7.5.2三角形内角和定理-北师大版八年级数学上册课件（24张）

(共24张PPT)
7.5.2三角形内角和定理
第七章
平行线的证明
1、认识三角形外角及内角和定理的两个推论及其证明
2、会运用三角形内角和定理的两个推论解决相关问题
学习目标（1分钟）
观察
B
C
A
1
D
A
C
B
1
D
A
C
B
1
D
外角定义：
三角形的一边与另一边的延长线组成的角
叫做三角形的外角.
三个特征:1.
∠
1的顶点在三角形的一个顶点上;
2.
∠
1的一条边是三角形的一条边;
3.
∠
1的另一条边是三角形的某条边的延长线
·
·
·
画图并思考：
　画一个△ABC
，你能画出它的所有外角来吗？请动手试一试．同时想一想△ABC的外角共有几个呢？
归纳：
　　每一个三角形都有６个外角．
每一个顶点相对应的外角都有２个．
每个外角与相邻的内角是邻补角．
1
2
4
三角形的外角与三角形的内角之间有怎样的数量关系?
外角
A
3
B
C
D
相邻内角
不相邻
内
角
思考1
相邻的内角：
不相邻的两内角：
A
B
C
△ABC的外角∠ACD与它不相邻的内角∠
A、
∠
B有怎样的关系？
D
探究？
∠ACD=
∠
A+
∠
B
能证明这个结论吗？
已知：如图,
∠ACD
是△ABC的一个外角,证明：∠ACD=
∠B+
∠A
A
B
C
D
证明：
△ABC中
∵∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理）
∠ACB+∠ACD=180°（平角定义）
∴∠ACD=∠A+∠B（等量代换）
定理1、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
已知：如图,
∠ACD
是△ABC的一个外角,求证：∠ACD=
∠B+
∠A
A
C
B
D
你能说出三角形的外角与每一个不相邻的内角之间的关系吗?
∵
∠ACD=
∠B+
∠A
∴∠ACD＞∠A,
∠ACD
＞∠B
结论2、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
归纳总结：
推论1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
推论2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
由公理、定理直接得出的真命题叫做推论。
证明：∵∠EAC=∠B+∠C
(三角形的一个外角等于和它
不相邻的两个内角的和)
∠B=∠C
(已知)
∴∠C=
∠EAC(等式性质)
例2
已知:如图，在△ABC中,
AD平分外角∠EAC,∠B=∠C.
求证：AD∥BC.
∴∠DAC=∠C(等量代换)
∴
AD∥BC(内错角相等,两直线平行).
A
C
D
B
E
∵
AD平分∠EAC(已知)
∴∠DAC=
∠EAC(角平分线的定义)
·
·
例题是运用了定理“内错角相等,两直线平行”得到了证明.
还有其它方法吗？
证明：∵∠EAC=∠B+∠C
(三角形的一个外角等于和它
不相邻的两个内角的和)
∠B=∠C
(已知)
∴∠B=
∠EAC(等式性质)
A
C
D
B
E
·
·
∵
AD平分∠EAC(已知)
∴∠DAE=
∠EAC(角平分线的定义)
∴∠DAE=∠B(等量代换)
∴
AD∥BC(同位角相等,两直线平行)
这里是运用了公理“同位角相等，两直线平行”得到了证明.
已知:如图在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B=∠C.
求证：AD∥BC.
1、判断题：
a、三角形的外角和是指三角形所有外角的和。（
）
b、三角形的外角和等于它内角和的2倍。（
）
c、三角形的一个外角等于两个内角的和。（
）
d、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。（
）
e、三角形的一个外角大于任何一个内角。（
）
f、三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角。（
）
自学检测1（10分钟）
3
2
1
A
B
C
5
6
4
2、根据“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”可知：
∠1=∠
+
∠
.
∠2=∠
+
∠
.
∠3=∠
+
∠
.
三式相加得：
∠1+∠
2+∠3
=
2（
∠
+
∠
+∠
）
(1)
而
∠4+∠5
+
∠6
=
(2)
比较（1）与（2）可得：
5
6
4
6
5
4
4
5
6
∠1+∠
2+
∠3=
360?
180?
3.如图:△ABC中，D是BC延长线上一点
1）则∠
＞∠
，
∠
＞∠
；
2）若∠A=35°,∠DCA=80°，
则
∠ACB=
°∠B=
°
ACD
A
ACD
B
100
45
35°
80°
4.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，
若∠A=85°，∠BDC=115°
则∠ABC=
°
60
115°
85°
1
2
·
自学指导2（1分钟）
学生自学，教师巡视（5分钟）
认真阅读P182内容，学习例题3，并思考：
1、要证明两个角的不等关系，我们有哪些关于角的不等关系的结论？
2、能直接运用这个结论吗？
3、能否适当添加辅助线，构建出可以直接运用这个结论的角？
4、你还有其他的证明方法吗？与同桌交流
注意解答过程和书写格式
例3：已知：如图P是△ABC内一点，连接PB、PC。
（1）求证：∠BPC
＞
∠BAC
（2）
∠BPC
与∠BAC、
∠ABP、
∠ACP有怎样的数量关系？说明理由。
证明：
法一：（1）延长BP交AC于点D.
∵
∠BPC
是△PDC的一个外角
∴
∠BPC＞
∠PDC
∵
∠PDC是△ABD的一个外角
∴
∠PDC
＞
∠BAC
∴
∠BPC
＞
∠BAC
D
法二：连接AP并延长交BC于点E.
∵
∠1是△ABP的一个外角
∴
∠1
＞
∠3
∵
∠2是△ACP的一个外角
∴
∠2
＞
∠4
∴
∠
1+
∠2
＞
∠3+
∠4
即
∠BPC
＞
∠BAC
E
1
2
3
4
D
1
2
3
4
(2)证明：（法一）
∵
∠1
是△ABP的一个外角
∴
∠1=∠3+
∠
5
∵
∠2是△ACP的一个外角
∴
∠2
=
∠4+
∠6
∴
∠
1+
∠2=
∠3+
∠
4+
∠5+
∠6
即
∠BPC
=
∠BAC
+
∠
ABP
+
∠ACP
E
1
2
3
4
5
6
（法二）∠BPC
=
∠A+
∠ABP+
∠ACP
证明：∵
∠1
是△PDC的一个外角
∴
∠1
=
∠2+
∠3
∵
∠2是△ABD的一个外角
∴
∠2=∠A+
∠4
∴
∠1
=
∠A+
∠3+
∠4
即∠BPC
=
∠A+
∠ABP+
∠ACP
自学检测2（10分钟）
1.已知：如图所示,在△ABC中,
∠A=45°，∠B=550
∠ACB=
.
A
B
C
D
45°
2.已知：如图所示.
求证：(1)∠BDC>∠A
(2)∠BDC=∠A+∠B+∠C.
B
C
A
D
证明(1)
：延长ＢD交ＡＣ于Ｅ
∵∠BDC是△DEC的一个外角
∴∠BDC>∠DEC
(三角形的一个外角大
于任何一个和它不相邻的内角)
∵∠DEC是△ABE的一个外角
∴∠DEC>∠A(三角形的一个外角大于
任何一个和它不相邻的内角)
∴∠BDC>∠A
E
800
2.已知：如图所示.
求证：(1)∠BDC>∠A;
(2)∠BDC=∠A+∠B+∠C.
证明：
(2)∵∠BDC是△DEC的一个外角
∴∠BDC
=∠C+∠DEC
(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)
∵∠DEC是△ABE的一个外角
∴∠DEC=∠A+∠B
(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)
∴∠BDC=∠A+∠B+∠C
(等量代换)
B
C
A
D
E
今天的收获
小结(2分钟)
1
三角形的外角性质：
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
2
三角形的内角和等于180?
当堂训练（15分钟）
1、求下列各图中∠1的度数。
30°
60°
1
35°
120°
1
45°
50°
1
90°
85°
95°
2、如图，已知AB∥CD，∠A＝50°，
∠C＝∠E．则∠C＝（
）
A．20°
B．25°
C．30°
D．40°
B
A
B
C
D
E
50°
已知：在△ABC中,
∠1是它的一个外角,
E为边AC上一点,延长BC到D,连接DE.
求证:
∠1>∠2.
C
A
B
F
1
3
4
5
E
D
2
选做题
2.已知：如右下图在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC(∠C
>∠B)，求证：∠EAD=
(∠C-∠B)
1、如左下图：是一个五角星，
求证∠A
+∠B
+∠C
+∠D
+∠E
=180°
B
E
D
C
A
A
B
C
D
E
4
已知：在△ABC中,
∠1是
它的一个外角,
E为边AC上
一点,延长BC到D,连接DE.
求证:
∠1>∠2.
证明：
∵
∠1是△ABC的外角
(已知)
∴
∠1>∠3
(三角形的一个外角大于任何一个和它不相
邻的内角)
∵∠3是△CDE的一个外角
∴∠3>∠2
(三角形的一个外角大于任何一个和它不相
邻的内角)
∴
∠1>∠2
C
A
B
F
1
3
4
5
E
D
2
证明:∵∠1是△BDF的一个外角(外角的定义),
∴
∠1=∠B+∠D(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).
∴
∠2=∠C+∠E(三角形的一个外角
等于和它不相邻的两个内角的和).
又∵∠A+∠1+∠2=180°(三角形内角和定理).
又∵
∠2是△EHC的一个外角(外角的定义),
A
B
C
D
E
F
1
H
2
∴
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E
=180°
1.如图1：是一个五角星，
求证:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°
证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=
∠BAC
∵∠BAC=180°-（∠B+∠C）
∴∠EAC=
[180°-（∠B+∠C）]
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=90°-∠C，
∵∠EAD=∠EAC-∠DAC
∴∠EAD=
[180°-（∠B+∠C）]-（90°-∠C）
=
（∠C-∠B）．
2.已知：如图在⊿ABC中，AD⊥BC于D，
AE平分∠BAC(∠C>∠B)，
求证：∠EAD=
(∠C-∠B)
B
E
D
C
A