北师大版八年级数学上册《7.4 平行线的性质》 同步练习（word解析版）

7.4
平行线的性质
一．选择题
1．如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD交于点M、N，点H在直线CD上，HG⊥EF于点G，过点作GP∥AB．则下列结论：
①∠AMF与∠DNF是同旁内角；
②∠PGM＝∠DNF；
③∠BMN+∠GHN＝90°；
④∠AMG+∠CHG＝270°．
其中正确结论的个数是（　　）
A．1个
B．2
个
C．3个
D．4个
2．如图，AC∥BD，AE平分∠BAC交BD于点E，若∠1＝64°，则∠2＝（　　）
A．116°
B．122°
C．128°
D．142°
3．如图，AB∥CD，∠BAE＝120°，∠DCE＝30°，则∠AEC＝（　　）度．
A．70
B．150
C．90
D．100
4．如图，∠DAC+∠ACB＝180°，EF∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝3∠BCF，∠ACF＝20°，则∠FEC的度数是（　　）
A．10°
B．20°
C．15°
D．30°
5．如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝43°，那么∠2的度数是（　　）
A．48°
B．107°
C．92°
D．73°
6．小明将含30°的三角板和一把直尺如图放置，测得∠1＝25°，则∠2的度数是（　　）
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
7．如图，直线a∥b，直线l与a、b分别相交于A、B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若∠1＝60°，则∠2的度数为（　　）
A．60°
B．40°
C．30°
D．20°
8．如图，AB∥CD，∠EGB＝50°，∠CHF＝（　　）
A．25°
B．30°
C．50°
D．130°
9．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（　　）
A．相交或垂直或平行
B．相交或垂直
C．垂直或平行
D．平行或相交
10．如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E，若∠1＝40°，则∠2的度数为（　　）
A．25°
B．20°
C．15°
D．10°
11．如图，把一张上下两边平行的纸条沿EF折叠，若∠1＝84°，则∠2的度数为（　　）
A．106°
B．132°
C．84°
D．127°
12．如图，AB∥CD，BF平分∠ABE，且BF⊥DE垂足为F，则∠ABE与∠EDC的数量关系是（　　）
A．∠ABE＝∠EDC
B．∠ABE+∠EDC＝180°
C．∠EDC﹣∠ABE＝90°
D．∠ABE+∠EDC＝90°
13．下面说法正确的个数为（　　）
①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
②两直线被第三条直线所截，同旁内角互补
③两角之和为180°，则这两个角一定是邻补角
④画一条线段的垂线段可以画无数条
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
14．如图，直线a∥b，点C在直线b上，∠ACB＝90°，则（　　）
A．∠A＝∠1+∠2
B．∠2+∠3+∠A＝180°
C．∠1+∠2＝90°
D．∠1+∠2+∠3＝180°
15．下列说法正确的有（　　）
①平面内，不相交的两条直线是平行线；
②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④相等的角是对顶角；
⑤两角之和为180°，这两个角一定邻补角；
⑥P是直线a外一点，A、B、C分别是a上的三点，PA＝1，PB＝2，PC＝3，则点P到直线a的距离一定是1．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二．填空题
16．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1＝36°，那么∠2的度数是　
　．
17．如图，直线AB∥CD，∠A＝60°，∠D＝40°，则∠E＝　
　．
18．如图，一束光线从点C出发，经过平面镜AB反射后，沿与AF平行的线段DE射出（此时∠1＝∠2），若测得∠DCF＝100°，则∠A＝　
　．
19．如图，已知直线AB∥CD，MN分别交AB，CD于点E，F，∠BEF与∠DFE的两条平分线相交于点P1，∠BEP1与∠DFP1的两条平分线相交于点P2，则∠P2的度数为　
　．
20．如图，D为△ABC中BA延长线上一点，AE∥BC，若∠1＝∠2，∠BAC＝36°，则∠B＝　
　°．
21．如图，AB∥CD，CB平分∠ABD，若∠ABC＝40°，则∠D的度数为　
　．
22．如图，AB∥CD，∠A＝50°，则∠1＝　
　．
23．如图，若AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BED＝90°，则∠BFD＝　
　．
24．如图，已知点C为两条相互平行的直线AB，ED之间一点，∠ABC和∠CDE的角平分线相交于F，若∠BCD＝∠BFD+10°，则∠BCD的度数为　
　．
25．如图，如果∠1＝∠3，∠2＝64°，那么∠4的度数为　
　．
三．解答题
26．问题情境
（1）如图1，已知AB∥CD，∠PBA＝125°，∠PCD＝155°，求∠BPC的度数．
佩佩同学的思路：过点P作PG∥AB，进而PG∥CD，由平行线的性质来求∠BPC，求得∠BPC＝　
　°；
问题迁移
（2）图2，图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合，∠ACB＝90°，DF∥CG，AB与FD相交于点E，有一动点P在边BC上运动，连接PE，PA，记∠PED＝∠α，∠PAC＝∠β．
①如图2，当点P在C，D两点之间运动时，请直接写出∠APE与∠α，∠β之间的数量关系；
②如图3，当点P在B，D两点之间运动时，∠APE与∠α，∠β之间有何数量关系？请判断并说明理由．
27．综合与探究
问题情境
在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线AM∥BN，连接AB，点P是射线AM上的一个动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
探索发现
“快乐小组”经过探索后发现：
（1）当∠A＝60°时，∠CBD＝∠A．请说明理由．
（2）不断改变∠A的度数，∠CBD与∠A却始终存在某种数量关系，用含∠A的式子表示∠CBD为　
　．
操作探究
（3）“智慧小组”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线AM上运动时，无论点P在AM上的什么位置，∠APB与∠ADB之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由．
（4）点P继续在射线AM上运动，当运动到使∠ACB＝∠ABD时，请直接写出2∠ABC+∠A的结果．
28．填空：（将下面的推理过程及依据补充完整）
如图，已知：CD平分∠ACB，AC∥DE，CD∥EF，求证：EF平分∠DEB．
证明：∵CD平分∠ACB（已知），
∴∠DCA＝∠DCE（角平分线的定义），
∵AC∥DE（已知），
∴∠DCA＝（　
　），
∴∠DCE＝∠CDE（等量代换），
∵CD∥EF（已知），
∴　
　＝∠CDE（　
　），
∠DCE＝∠BEF（　
　），
∴　
　＝　
　（等量代换），
∴EF平分∠DEB（　
　）．
29．完成下面推理过程．
如图：已知，∠A＝112°，∠ABC＝68°，BD⊥DC于点D，EF⊥DC于点F，求证：∠1＝∠2．
证明：∵∠A＝112°，∠ABC＝68°（已知）
∴∠A+∠ABC＝180°
∴AD∥BC（　
　）
∴∠1＝　
　（　
　）
∵BD⊥DC，EF⊥DC（已知）
∴∠BDF＝90°，∠EFC＝90°（　
　）
∴∠BDF＝∠EFC＝90°
∴BD∥EF（　
　）
∴∠2＝　
　（　
　）
∴∠1＝∠2（　
　）
30．如图：已知，∠HCO＝∠EBC，∠BHC+∠BEF＝180°．
（1）求证：EF∥BH；
（2）若BH平分∠EBO，EF⊥AO于F，∠HCO＝64°，求∠CHO的度数．
参考答案
一．选择题
1．解：∵∠AMF与∠DNF不是同旁内角，
∴①错误；
∵AB∥CD，GP∥AB，
∴AB∥CD∥GP，
∴∠PGM＝∠CNM＝∠DNF，∠BMN＝∠HNG，∠AMN+∠HNG＝180°，故②正确；
∵HG⊥MN，
∴∠HNG+∠GHN＝90°，
∴∠BMN+∠GHN＝90°，故③正确；
∵∠CHG＝∠MNH+∠HGN，
∴∠MNH＝∠CHG﹣90°，
∴∠AMN+∠HNG＝∠AMN+∠CHG﹣90°＝180°，
∴∠AMG+∠CHG＝270°，故④正确，
故选：C．
2．解：∵∠1＝64°，
∴∠3+∠4＝180°﹣64°＝116°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠3＝∠4＝116°÷2＝58°，
∵AC∥BD，
∴∠2+∠4＝180°，
∴∠2＝180°﹣58°＝122°．
故选：B．
3．解：如图，延长AE交CD于点F，
∵AB∥CD，
∴∠BAE+∠EFC＝180°，
又∵∠BAE＝120°，
∴∠EFC＝180°﹣∠BAE＝180°﹣120°＝60°，
又∵∠DCE＝30°，
∴∠AEC＝∠DCE+∠EFC＝30°+60°＝90°．
故选：C．
4．解：设∠BCE＝∠ECF＝∠BCF＝x，
∵∠DAC＝3∠BCF，
∴∠DAC＝6x，
∵∠DAC+∠ACB＝180°，
∴6x+x+x+20°＝180°，
解得x＝20°，
所以，∠FEC的度数为20°．
故选：B．
5．解：∵将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，∠1＝43°，
∴∠2＝∠3＝180°﹣43°﹣30°＝107°．
故选：B．
6．解：如图：
∵∠1＝25°，∠3＝∠1+30°，
∴∠3＝55°，
∵直尺的对边平行，
∴∠4＝∠3＝55°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣∠4＝180°﹣90°﹣55°＝35°，
故选：C．
7．解：∵a∥b，
∴∠1+∠2+∠BAC＝180°，
∵∠ABC＝90°，∠1＝60°，
∴∠2＝30°，
故选：C．
8．解：∵AB∥CD，∠EGB＝50°，
∴∠EHD＝∠EGB＝50°，
∴∠CHF＝∠EHD＝50°．
故选：C．
9．解：在同一个平面内，两条直线只有两种位置关系，即平行或相交．
故选：D．
10．解：在矩形ABCD中，∠C＝90°，AB∥CD，
∴∠1+∠CBD＝90°，CD∥AB，
∵∠1＝40°，
∴∠CBD＝50°，∠ABD＝∠1＝40°，
由折叠可知：∠2+∠ABD＝∠CBD，
∴∠2+∠ABD＝50°，
∴∠2＝10°．
故选：D．
11．解：如图，
∵AF∥BE，
∴∠1＝∠4＝84°，
∵把一张上下两边平行的纸条沿EF折叠，
∴∠3＝∠AEF＝＝48°，
∵AF∥BE，
∴∠3+∠2＝180°，
∴∠2＝180°﹣48°＝132°，
故选：B．
12．解：过F点作FG∥AB，
∵AB∥CD，
∴FG∥CD，
∴∠BFG＝∠ABF，∠DFG+∠CDF＝180°，
∵BF⊥DE，
∴∠BFD＝90°，
∵BF平分∠ABE，
∴∠ABE＝2∠ABF，
∴∠BFG+∠DFG+∠CDF＝∠ABF+180°，
∴90°+∠CDE＝∠ABE+180°，即∠EDC﹣∠ABE＝90°．
故选：C．
13．解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故此选项正确；
②两条平行的直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故此选项错误；
③两角之和为180°，则这两个角互补，不一定是邻补角，故此选项错误；
④在同一平面内，经过一点能画一条且只能画一条直线与已知直线垂直，经过的点不确定，可以画无数条，故此选项正确；
综上所述，正确的个数有2个，
故选：B．
14．解：∵a∥b，
∴∠4+∠ACB+∠2＝180°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠4+∠2＝90°，
∵∠4＝∠1，
∴∠1+∠2＝90°．
故选：C．
15．解：①根据平行线的定义，平面内，不相交的两条直线是平行线，故本选项正确；
②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项正确正确；
③平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；
④相等的角不一定是对顶角，故本选项错误；
⑤两角之和为180°，则这两个角互为补角，但不一定是邻补角；故本选项错误；
⑥P是直线l外一点，A，B，C分别是l上的三点，已知PA＝1，PB＝2，PC＝3，则点P到l的距离不大于1．故此选项错误．
综上所述，正确的有2个，
故选：B．
二．填空题
16．解：∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝36°，∠1+∠3＝90°，
∴∠3＝54°，
∴∠2＝54°，
故答案为：54°．
17．解：∵AB∥CD，∠A＝60°，
∴∠A＝∠1＝60°，
∵∠1＝∠E+∠D，∠D＝40°，
∴∠E＝∠1﹣∠D＝60°﹣40°＝20°，
故答案为：20°．
18．解：∵DE∥AF，
∴∠2＝∠A，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝∠A，
∵∠DCF＝∠A+∠1＝2∠A＝100°，
∴∠A＝50°，
故答案为：50°．
19．解：过P1作P1G∥AB，可得P1G∥CD，如图，
∴∠BEP1＝∠EP1G，∠GP1F＝∠P1FD，
∵EP1、FP1分别为∠BEF与∠EFD的平分线，
∴∠BEP1＝∠FEP1，∠EFP1＝∠DFP1，
∵AB∥CD，
∴∠BEP1+∠FEP1+∠EFP1+∠DFP1＝180°，即2（∠BEP1+∠DFP1）＝180°，
∴∠BEP1+∠DFP1＝90°，
∵∠BEP1、∠DFP1的平分线相交于点K1，
∴∠BEP2＝∠P1EP2，∠P1FP2＝∠DFP2，
∵∠BEP1+∠FEP1+∠EFP1+∠DFP1＝180°，即2（∠BEP1+∠P1FD）＝180°，
∴∠BEP1+∠P1FD＝90°，即∠P1EP2+∠P1FP2＝45°，
∴∠K1＝180°﹣（∠P1EF+∠EFP1）﹣（∠P1EP2+∠P1FP2）＝45°，
故答案为：45°．
20．解：∵∠BAC＝36°，∠1+∠2+∠BAC＝180°，
∴∠1+∠2＝144°，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝72°，
∵AE∥BC，
∴∠1＝∠B，
∴∠B＝72°，
故答案为：72．
21．解：∵CB平分∠ABD，
∴∠ABD＝2∠ABC＝80°，
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠D＝180°，
∴∠D＝180°﹣80°＝100°，
则∠D的度数为100°．
故答案为：100°．
22．解：如图：
∵AB∥CD，
∴∠A+∠2＝180°，
∵∠A＝50°，
∴∠1＝∠2＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°．
故答案为：130°．
23．解：∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠4，∠1＝∠2，
∵∠BED＝90°，∠BED＝∠4+∠EDC，
∴∠ABE+∠EDC＝90°，
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠1+∠3＝45°，
∵∠5＝∠2+∠3，
∴∠5＝∠1+∠3＝45°，
即∠BFD＝45°，
故答案为：45°．
24．解：∵∠ABC和∠CDE的角平分线相交于F，
∴∠EDA＝∠ADC，∠CBE＝∠ABE，
又∵AB∥ED，
∴∠EDF＝∠DAB，∠DFE＝∠ABF，
设∠EDF＝∠DAB＝x，∠DFE＝∠ABF＝y，
∴∠BFD＝∠EDA+∠ADE＝x+y，
在四边形BCDF中，∠FBC＝x，∠ADC＝y，∠BFD＝x+y，
∴∠BCD＝360°﹣2（x+y），
∵∠BCD＝∠BFD+10°，
∴∠BFD＝x+y＝100°，
∴∠BCD＝360°﹣2（x+y）＝160°，
故答案为：160°．
25．解：∵∠1＝∠3，
∴AB∥CD，
∴∠2＝∠5，
∵∠2＝64°，
∴∠5＝64°，
∵∠5+∠4＝180°，
∴∠4＝116°，
故答案为：116°．
三．解答题
26．解：（1）过点P作PG∥AB，则PG∥CD，
由平行线的性质可得∠B+∠BPG＝180°，∠C+∠CPG＝180°，
又∵∠PBA＝125°，∠PCD＝155°，
∴∠BPC＝360°﹣125°﹣155°＝80°，
故答案为：80；
（2）①如图2，
∠APE与∠α，∠β之间的数量关系为∠APE＝∠α+∠β；
②如图3，∠APE与∠α，∠β之间的数量关系为∠APE＝∠β﹣∠α；理由：
过P作PQ∥DF，
∵DF∥CG，
∴PQ∥CG，
∴∠β＝∠QPA，∠α＝∠QPE，
∴∠APE＝∠APQ﹣∠EPQ＝∠β﹣∠α．
27．解：（1）∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN＝180°，
又∵∠A＝60°，
∴∠ABN＝180°﹣∠A＝120°．
∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBP＝∠ABP，∠DBP＝∠PBN，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝∠ABP+∠PBN＝∠ABN＝60°，
∴∠CBD＝∠A．
（2）∵BC，CD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBP＝∠ABP，∠DBP＝∠PBN，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝∠ABP+∠PBN＝∠ABN，
∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN＝180°，
∴∠ABN＝180°﹣∠A，
∴∠CBD＝．
（3）∠APB＝2∠ADB
理由如下：
∵BD分别平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠NBD，
∵AM∥BN，
∴∠PBN＝∠APB∠NBD＝∠ADB，
∴∠APB＝2∠ADB．
（4）∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
当∠ACB＝∠ABD时，有∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC＝∠DBN，
∵BC，CD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴2∠ABC＝∠ABN，
∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN＝180°，
∴2∠ABC+∠A＝（∠A+∠ABN）＝×180°＝90°．
28．证明：∵CD平分∠ACB（已知），
∴∠DCA＝∠DCE（角平分线的定义），
∵AC∥DE（已知），
∴∠DCA＝∠CDE（两直线平行，内错角相等），
∴∠DCE＝∠CDE（
等量代换），
∵CD∥EF
（
已知
），
∴∠DEF＝∠CDE（两直线平行，内错角相等），
∠DCE＝∠FEB（两直线平行，同位角相等），
∴∠DEF＝∠FEB（等量代换），
∴EF平分∠DEB（
角平分线的定义
）．
故答案为：∠CDE；∠DEF；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；∠DEF；∠FEB；角平分线的定义．
29．证明：∵∠A＝112°，∠ABC＝68°（已知），
∴∠A+∠ABC＝180°．
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠1＝∠3
（两直线平行，内错角相等
）．
∵BD⊥DC，EF⊥DC（已知），
∴∠BDF＝90°，∠EFC＝90°（垂直的定义）．
∴∠BDF＝∠EFC＝90°．
∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行）．
∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）．
∴∠1＝∠2（等量代换）．
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；∠3；两直线平行，内错角相等；垂直的定义；
同位角相等，两直线平行；∠3；两直线平行，同位角相等；等量代换．
30．证明：（1）∵∠HCO＝∠EBC，
∴EB∥HC．
∴∠EBH＝∠CHB．
∵∠BHC+∠BEF＝180°，
∴∠EBH+∠BEF＝180°．
∴EF∥BH．
（2）∵∠HCO＝∠EBC，
∴∠HCO＝∠EBC＝64°，
∵BH平分∠EBO，
∴∠EBH＝∠CHB＝∠EBC＝32°．
∵EF⊥AO于F，EF∥BH，
∴∠BHA＝90°．
∴∠FHC＝∠BHA+∠CHB＝122°．
∵∠CHO＝180°﹣∠FHC
＝180°﹣122°
＝58°．