北师大版八年级数学上册《7.5 三角形内角和定理》 同步练习（word解析版）

7.5
三角形内角和定理
一．选择题
1．如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（　　）
A．∠B＝∠D
B．∠1＝∠A+∠D
C．∠2＞∠D
D．∠C＝∠D
2．一个三角形三个内角之比为1：3：5，则最小的角的度数为（　　）
A．20°
B．30°
C．40°
D．60°
3．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝108°，则∠DAC的度数为（　　）
A．80°
B．82°
C．84°
D．86°
4．在下列结论中正确的是（　　）
A．三角形的三个内角中最多有一个锐角
B．三角形的三条高都在三角形内
C．钝角三角形最多有一个锐角
D．三角形的三条角平分线都在三角形内部
5．如图，在三角形ABC中，∠A＝45°，三角形ABC的高线BD，CE交于点O，则∠BOC的度数（　　）
A．120°
B．125°
C．135°
D．145°
6．如图，在三角形ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝24°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，其角平分线相交于D，则∠BDC＝（　　）
A．141°
B．142°
C．143°
D．145°
7．已知直线a∥b，Rt△DCB按如图所示的方式放置，点C在直线b上，∠DCB＝90°，若∠B＝20°，则∠1+∠2的度数为（　　）
A．90°
B．70°
C．60°
D．45°
8．△ABC是直角三角形，则下列选项一定错误的是（　　）
A．∠A﹣∠B＝∠C
B．∠A＝60°，∠B＝40°
C．∠A+∠B＝∠C
D．∠A：∠B：∠C＝1：1：2
9．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A’，若∠B＝60°，∠C＝80°，则∠1+∠2等于（　　）
A．40°
B．60°
C．80°
D．140°
10．如图，在△ABC中，∠B+∠C＝α，按图进行翻折，使B'D∥C'G∥BC，B'E∥FG，则∠C'FE的度数是（　　）
A．
B．90°﹣
C．α﹣90°
D．2α﹣180°
11．如图，在△ABC中，∠ACB＞∠B，AD平分∠BAC，点E在射线BC上，EF⊥AD于G，交AB、AC于点F、H，GM⊥BC于M．下列结论：①∠DGM＝∠E；②2∠ADE＝∠ACE+∠B；③∠DAC＝∠EGM﹣∠B；④∠E＝∠ACB﹣∠B．其中正确的结论个数为（　　）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
二．填空题
12．已知：如图，在△ABC中，点D在BC上，∠B＝40°，∠B＝∠BAD，∠C＝∠ADC，则∠DAC的度数为　
　．
13．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是三角形∠BAC的角平分线，若∠EAD＝5°，∠B＝50°，则∠C的度数为　
　．
14．已知△ABC中，∠ABC＝30°，AD是BC边上的高，∠CAD＝20°，则∠BAC＝　
　°．
15．如图，△ABC中，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，并相交于点O，∠BOC＝140°，则∠A＝　
　°．
16．如图，在直角三角形ABC中，点P、Q分别是AC、BC边上的两个动点，MP、NQ分别平分∠APQ和∠BQP，交AB于点M、N，MR、NR又分别平分∠BMP和∠ANQ，两条角平分线交于点R，则∠R＝　
　°．
三．解答题
17．如图，∠XOY＝90°，点A，B分别在射线OX，OY上移动，BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，试问∠ACB的大小是否发生变化，如果不变，求出∠C的度数．
18．如图，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P．
（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，则∠A＝　
　°；
（2）若∠A＝80°，试求∠BPC的度数；
（3）试直接写出∠DPC与∠A之间的数量关系：∠DPC＝　
　．
19．已知：如图在△ABC中，BD是角平分线，DE∥BC，∠A＝60°，∠BDC＝80°，求∠BDE的度数．
20．如图，在△ABC，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F．
（1）若∠DAE＝10°，∠AEF＝50°，求∠B，∠C的度数；
（2）若∠DAE＝α，∠AEF＝β，请直接用含α，β的式子表示∠B，∠C．
21．如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，DE∥BC交AC于点E，EF⊥CD于点G，交BC于点F．
（1）判断∠ADE与∠EFC是否相等，并说明理由；
（2）若∠ACB＝72°，∠A＝60°，求∠DCB的度数．
参考答案
一．选择题
1．解：∵∠A+∠AOD+∠D＝180°，∠C+∠COB+∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，
∴∠B＝∠D，
∵∠1＝∠2＝∠A+∠D，
∴∠2＞∠D，
故选项A，B，C正确，
故选：D．
2．解：三角形的最小的角＝×180°＝20°，
故选：A．
3．解：设∠1＝∠2＝x，
∵∠4＝∠3＝∠1+∠2＝2x，
∴∠DAC＝180°﹣4x，
∵∠BAC＝108°，
∴x+180°﹣4x＝108°，
∴x＝24°，
∴∠DAC＝180°﹣4×24°＝84°．
故选：C．
4．解：A、三角形的三个内角中，最多可以有3个内角是锐角，本选项错误，不符合题意．
B、锐角三角形的三条高在三角形内部，本选项错误，不符合题意．
C、钝角三角形有两个锐角，本选项错误，不符合题意．
D、三角形的三条角平分线都在三角形内部，本选项正确，符合题意．
故选：D．
5．解：∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝45°，
∴∠ABC+∠ACB＝135°，
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ABC+∠BCE＝∠ACB+∠CBD＝90°，
∴∠ABC+∠BCE+∠ACB+∠CBD＝180°，
∴∠BCE+∠CBD＝45°，
∵∠BOC+∠BCE+∠DBC＝180°，
∴∠BOC＝135°．
故选：C．
6．解：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝×50°＝25°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB＝∠ACB＝×24°＝12°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB
＝180°﹣25°﹣12°
＝143°．
故选：C．
7．解：如图，延长BD交直线b于点M．
∵∠DCB＝90°，∠B＝20°，
∴∠BDC＝90°﹣20°＝70°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠BMC，
∵∠BDC＝∠DMC+∠2＝∠1+∠2，
∴∠1+∠2＝70°，
故选：B．
8．解：A、由∠A﹣∠B＝∠C，可知∠A＝90°，本选项不符合题意．
B、由∠A＝60°，∠B＝40°，可知∠C＝80°，△ABC不是直角三角形，本选项符合题意．
C、由∠A+∠B＝∠C，可知∠C＝90°，本选项不符合题意．
D、由∠A：∠B：∠C＝1：1：2，可知∠C＝90°，本选项不符合题意．
故选：B．
9．解：连接AA′．
∵∠B＝60°，∠C＝80°，
∴∠A＝40°
∵∠1＝∠EA′A+∠EAA′，∠2＝∠DA′A+∠DAA′，∠BCA＝∠EA′D，
∴∠1+∠2＝∠EA′A+∠EAA′+∠DA′A+∠DAA′＝∠EAD+∠EA′D＝2∠EAD＝80°，
故选：C．
10．解：设∠ADB′＝γ，∠AGC′＝β，∠CEB′＝y，∠C′FE＝x，
∵B'D∥C'G，
∴γ+β＝∠B+∠C＝α，
∵EB′∥FG，
∴∠CFG＝∠CEB′＝y，
∴x+2y＝180°
①，
∵γ+y＝2∠B，β+x＝2∠C，
∴γ+y+β+x＝2α，
∴x+y＝α②，
②×2﹣①可得x＝2α﹣180°，
∴∠C′FE＝2α﹣180°．
故选：D．
11．解：∵AD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DAC，
∵AD⊥EF，
∴∠AGF＝∠AGH＝90°，
∴∠AFG+∠BAD＝90°，∠AHG+∠DAC＝90°，
∴∠AFG＝∠AHG，
∵GM⊥BE．AD⊥EF，
∴∠GME＝∠DGE＝90°，
∴∠DGM+∠EGM＝90°，∠E+∠EGM＝90°，
∴∠DGM＝∠E，故①正确，
∵∠ACE+∠B＝∠B+∠BAC+∠B，∠ADC＝∠B+∠BAD，∠BAC＝2∠BAD，
∴∠ACE+∠B＝2（∠B+∠BAD）＝2∠ADC，故②正确，
∵∠EGM+∠DGM＝90°，∠DGM+∠GDM＝90°，
∴∠EGM＝∠ADC，
∵∠DAC＝∠DAB＝∠ADC﹣∠B，
∴∠DAC＝∠EGM﹣∠B，故③正确，
∵∠B+∠E＝∠AFH＝∠AHF，∠ACB＞∠EHC，∠EHC＝∠AHF＝∠AFH，
∴∠ACB＞∠B+∠E，
∴∠ACB﹣∠B＞∠E，故④错误，
故选：B．
二．填空题
12．解：∵∠B＝∠BAD＝40°，∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴∠ADC＝80°，
∴∠C＝∠ADC＝80°，
∴∠DAC＝180°﹣160°＝20°，
故答案为20°．
13．解：∵AD是BC边上的高，∠EAD＝5°，
∴∠AED＝85°，
∵∠B＝50°，
∴∠BAE＝∠AED﹣∠B＝85°﹣50°＝35°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAC＝2∠BAE＝70°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣50°﹣70°＝60°．
故答案为60°．
14．解：分为两种情况：①如图1，
∵AD为BC边上的高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝30°，
∴∠BAD＝60°，
∵∠CAD＝20°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°+20°＝80°；
②如图2，
∵AD为BC边上的高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝30°，
∴∠BAD＝60°，
∵∠CAD＝20°，
∴∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣20°＝40°；
故答案为：80或40．
15．解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，
∵∠BOC＝140°，
∴∠1+∠2＝180°﹣140°＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝2×40°＝80°，
∴∠A＝180°﹣80°＝100°，
故答案为：100
16．解：∵∠C+∠A+∠B＝180°，∠C+∠CPQ+∠CQP＝180°，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，∠CPQ+∠CQP＝90°，
∴∠APQ+∠BQP+∠CPQ+∠CQP＝360°，
∴∠APQ+∠BQP＝270°，
∵MP、NQ分别平分∠APQ和∠BQP，
∴∠MPQ+∠NQP＝∠APM+∠BQN＝135°，
∵∠MPQ+∠NQP+∠PMN+∠QNM＝360°，
∴∠PMN+∠QNM＝225°，
∵MR、NR又分别平分∠BMP和∠ANQ，
∴∠NMR+∠MNR＝112.5°，
∵∠NMR+∠MNR+∠R＝180°，
∴∠R＝67.5°．
故答案为67.5．
三．解答题
17．解：∵∠ABY＝90°+∠OAB，AC平分∠OAB，BE平分∠ABY，
∴∠4＝∠ABY＝（90°+∠OAB）＝45°+∠OAB，
即∠4＝45°+∠1，
又∵∠4＝∠C+∠1，
∴∠C＝45°．
18．解：∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点P，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，
∴∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠BPC＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，
（1）∵∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣70°＝60°．
故答案为60．
（2）∵∠A＝80°，
∴∠BPC＝90°+×80°＝130°；
（3）∵∠BPC＝90°+∠A，
∴∠DPC＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A．
故答案为：90°﹣∠A．
19．解：∵∠A＝60°，∠BDC＝80°，∠BDC＝∠A+∠ABD，
∴∠ABD＝20°，
∵BD是角平分线，
∴∠ABD＝∠DBC＝20°，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC＝20°，
即∠BDE的度数是20°．
20．解：（1）∵AD⊥BC，∠DAE＝10°，
∴∠AED＝∠ADE﹣∠DAE＝80°，
∵∠AEF＝50°，
∴∠FEC＝180°﹣∠AEF﹣∠AED＝50°，
∵EF⊥AC，
∴∠EAF＝90°﹣∠AEF＝40°，∠C＝90°﹣∠FEC＝40°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC＝80°，
∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠B＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣80°﹣40°＝60°；
（2）∵AD⊥BC，∠DAE＝α，
∴∠AED＝∠ADE﹣∠DAE＝90﹣α，
∵∠AEF＝β，
∴∠FEC＝180°﹣∠AEF﹣∠AED＝180﹣β﹣（90﹣α）＝90+α﹣β，
∵EF⊥AC，
∴∠EAF＝90﹣β，∠C＝90°﹣∠FEC＝β﹣α，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC＝180﹣2β，
∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝α+β．
21．解：（1）∠ADE＝∠EFC，
理由：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∵CD⊥AB，EF⊥CD，
∴AB∥EF，
∴∠B＝∠EFC，
∴∠ADE＝∠EFC；
（2）∵∠ACB＝72°，∠A＝60°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝48°，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
∴∠DCB＝180°﹣90°﹣48°＝42°．