3.3.2 抛物线的简单几何性质（1） 课件(共34张PPT)

(共34张PPT)
人教2019
A版
选择性必修
一
第三章圆锥曲线的方程
学习目标
1.掌握抛物线的简单几何性质.
2.
归纳、对比四种方程所表示的抛物线的几何性质的异同.
3.掌握直线与抛物线位置关系的判断。
问题导学
探究
1.
范围
抛物线
y2
=
2px
(p＞0)
在
y
轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M
的坐标
(x,
y)
的横坐标满足不等式
x
≥
0；当x
的值增大时，|y|
也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线．
概念形成
2.
对称性
观察图象，不难发现，抛物线
y2
=
2px
(p＞0)关于
x
轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴．?
3.
顶点
抛物线和它轴的交点叫做抛物线的顶点.抛物线的顶点坐标是坐标原点
(0,
0)
．
4.
离心率
抛物线上的点M
到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率.
用
e
表示，e
=
1．
探究
抛物线四种形式的标准方程及其性质
抛物线的几何性质
标准方程
y2=2px
(p>0)
y2=-2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
x2=-2py
(p>0)
焦点坐标
准线方程
顶点坐标
O(0,0)
离心率
e=1
1.对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析,
其共同点:(1)顶点都为原点;
(2)对称轴为坐标轴;
(3)准线与对称轴垂直,垂足与焦点分别关于原点对称,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的
;
(4)焦点到准线的距离均为p.
其不同点:(1)对称轴为x轴时,方程的右端为±2px,左端为y2;对称轴为y轴时,方程的右端为±2py,左端为x2;(2)开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的正半轴上,方程的右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的负半轴上,方程的右端取负号.
2.只有焦点在坐标轴上,顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程.
归纳总结
1.
判断
(1)抛物线关于顶点对称.(　　)
(2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心.(　　)
(3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.(　　)
小试牛刀
答案:(1)×　(2)√　(3)√
2.思考：怎样根据抛物线的标准方程判断抛物线的对称轴和开口方向?
解析:一次项的变量若为x(或y),则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴,一次项系数的
符号决定开口方向.
如果y是一次项,负时向下,正时向上.
如果x是一次项,负时向左,正时向右.
3.
以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为(　　)
A.y2=8x
B.y2=-8x
C.y2=8x或y2=-8x
D.x2=8y或x2=-8y
解析:设抛物线方程为y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0),依题意得x=
,代入y2=2px或y2=-2px得|y|=p,∴2|y|=2p=8,p=4.∴抛物线方程为y2=8x或y2=-8x.
答案:C
问题思考
(1)掌握抛物线的性质,重点应抓住“两点”“两线”“一率”“一方向”,它们分别指的是什么?
(2)抛物线的性质与椭圆和双曲线性质的主要区别有哪些?
提示:“两点”是指抛物线的焦点和顶点;“两线”是指抛物线的准线和对称轴;“一率”是指离心率1;“一方向”是指抛物线的开口方向.
提示:抛物线的离心率等于1,它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一条准线.它没有中心,通常称抛物线为无心圆锥曲线,而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线.
问题思考
典例解析
跟踪训练1
.设抛物线y=mx2(m≠0)的准线与直线y=1的距离为3,求抛物线的标准方程.
跟踪训练
故所求抛物线的标准方程为y=8x2.
错因分析本题在解答过程中容易出现两个错误:一是不能正确理解抛物线标准方程的形式,错误地将所给方程看成是抛物线的标准方程,得到准线方程为y=-
;
二是得到准线方程后,只分析其中的一种情况,而忽略了另一种情况,只得到了一个解.
例4
.斜率为
1
的直线经过抛物线
y2
=
4x
的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求焦点弦长AB的长．
典例解析
直线和抛物线的位置关系有三种：相交、相切、相离
将直线方程和抛物线方程联立，消元转化为关于
x（或
y
的）
方程组：
Ax2
+
Bx
+
C
=
0（或Ay2
+
By
+
C
=
0），其中A，B，C
为常数.
若A
=
0，则直线和抛物线相交（直线与抛物线的对称轴平行），有一个交点；
若A
≠
0，计算判别式
Δ＝B2
－4AC
：
若
Δ＞0，则直线和抛物线相交（有两个交点）；
若
Δ
=
0，则直线和抛物线相切（有一个交点）；
若
Δ＜0，则直线和抛物线相离（无交点）.
归纳总结
跟踪训练
当堂达标
4.
已知抛物线y2=8x.
(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围;
(2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,|OA|=|OB|,若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长.
解:(1)抛物线y2=8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0),(2,0),x=-2,x轴,x≥0.
(2)如图所示,由|OA|=|OB|可知AB⊥x轴,垂足为点M,
又焦点F是△OAB的重心,
课堂小结