等腰梯形教案
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文档简介
课题 等腰梯形
教材 上海教育出版社九年义务教育课本数学八年级第二学期
内容 第二十二章《四边形》 22.5等腰梯形
授课教师 上海市第二初级中学 孙申磊
[教学目标]
类比平行四边形性质的探索，通过猜想—论证的科学方法探究等腰梯形的性质，体验数学学习活动的过程，提高数学学习的自信心；学会将等腰梯形的计算和证明问题转化为三角形、平行四边形问题来解决，体验化归的数学思想.
[教学重点]
探索等腰梯形的性质.
[教学难点]
等腰梯形对称性的说理.
[教学过程]
教学过程 说明
一、概念复习1、你能在下面的图片中找出梯形吗？其中哪些是特殊梯形？2、回顾梯形的概念∶一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形.梯形中互相平行的一组边叫做梯形的底，另一组不平行的边叫做梯形的腰.3、回顾直角梯形及等腰梯形的概念.二、探究性质研究一个四边形，通常研究它的定义、性质和判定方法.本节课我们就来研究等腰梯形的性质.我们不妨回顾前一阶段学行四边形.在研究平行四边形的性质时，通过对平行四边形的边、角、对角线和对称性四个方面展开研究，得到了平行四边形的性质.现在我们能否类比平行四边形，也从边、角、对角线和对称性这四个方面来探究等腰梯形的性质呢？平行四边形等腰梯形两组对边分别相等边两组对角分别相等角两对角线互相平分对角线是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点对称性列表格，请同学思考∶同学们通过类比给出了关于等腰梯形性质的猜想.等腰梯形的两底平行，两腰相等.（随即向学生解释∶由等腰梯形定义就可推出，故不作为性质，也不再证明）等腰梯形在同一底上的两个内角相等；等腰梯形的两条对角线相等；等腰梯形是轴对称图形.对称轴是两底中点的连线.刚才同学们毕竟只是类比平行四边形的性质，给出了等腰梯形的性质的猜想，而我们接下来就要对每个猜想逐一进行证明或说理.猜想（1） 等腰梯形在同一底上的两个内角相等已知∶等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC.求证∶.证明∶过点D作DE//AB，交BC于点E∵AD//BC，DE//AB.∴四边形ABED是平行四边形.∴DE=AB,又∵AB=CD， ∴DE=DC,∴.又∵DE//AB,∴,∴.∵AD//BC,∴,∴.启发和鼓励同学们用其它方法证明，例如可以分别过点A和点D向梯形的下底作高，构造全等的直角三角形进行证明.这里不给出其他证法的详细证明过程了.若有同学将等腰梯形的两腰延长相交构造出一个等腰三角形去证明两角相等，应向学生指出这种想法可以证明，但繁琐而不必要.然而这种复原三角形的想法有价值，应予以肯定. ( http: / / www. ) 作高法 复原等腰三角形在肯定学生思路的同时，点出两种证法背后的共同点，即∶把等腰梯形的问题转化成平行四边形和三角形的问题，突出化归思想.等腰梯形的问题转化成三角形和平行四边形的问题解决，这揭示了三角形、特殊四边形和等腰梯形之间的密切联系.现在我们通过演示一组课件进一步揭示他们之间的内在联系.猜想（2）等腰梯形的两条对角线相等.已知∶等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O.求证∶AC=BD.证明∶∵梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD， ∴（等腰梯形在同一底上的两个内角相等） 在中， , ∴≌, ∴AC=BD.猜想(1)和(2)证明完成了，现在我们来研究等腰梯形的对称性.（请同学们描述等腰梯形的对称轴，并作说理）............看来大家对等腰梯形的对称性说法不一，说理也不够清楚，那我们就来看看下面这个思考题.思考∶如图，已知等腰梯形ABCD中，AB=CD，AD//BC，腰BA和CD的延长线相交于点E.求证∶和都是等腰三角形.证明∶∵四边形ABCD是等腰梯形，AB=CD， ∴, ∴是等腰三角形,∵AD//BC, ∴， ∴, ∴是等腰三角形.这个思考题能帮助你完成对等腰梯形对称性的说理吗？猜想（3）等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下两底的中点所在的直线.说理∶在例1的图中，作等腰三角形的顶角的平分线，它既垂直平分AD，又垂直平分BC.所以A、D两点关于直线对称，B、C两点也关于直线对称，即等腰梯形ABCD关于直线对称.通过思考题可以说明，等腰梯形ABCD关于直线对称，因此我们得到∶等腰梯形是一个轴对称图形，对称轴就是两底的中点所在的直线.三、小结1、学生小结2、教师小结（1）经历猜想--证明的过程，类比平行四边形的性质，探究了等腰梯形的性质；（2）通过等腰梯形性质的证明和初步运用（将等腰梯形问题转化为平行四边形和三角形的问题）与揭示图形之间的内在联系，体会化归的数学思想.四、作业 必做题∶练习册P.48 习题22.5（1） 1、2、3.2．已知∶如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC.梯形的高为m，它的两条对角线互相垂直.则梯形的面积为__________. 第2题图3．选做题：通过上题的求解，证明“等腰梯形的两条对角线相等”，还有其它方法吗？ 重点强调梯形概念中的“另一组边不平行”这个条件.让学生自己回顾从四个不同的方面得到的平行四边形的性质.以便进行性质的类比.等腰梯形的边、角、对角线的性质是图形的局部性质，而对称性是图形的整体性质，故表格设计中在对称性和前面的性质之间空一行以示区别.追问同学等腰梯形的对称轴在哪里？ 学生给出答案即可，为后面的说理作铺垫.证明时，先让学生充分思考，再根据学生思考的实际情况适当提示证明思路.通过几何画板课件，动态演示并揭示等腰梯形与平行四边形、三角形之间的密切联系本题既是性质的运用,同时为对称轴的说明进行铺垫.并以此为载体说明等腰梯形和等腰三角形的相互转化关系.说清等腰梯形的对称轴是一个难点.为此设计三阶段.1.寻找等腰三角形的对称轴;2.等腰三角形的对称轴和等腰梯形的对称轴重合;3.进行等腰梯形的对称轴的说理.作业设计说明∶必做题对所学知识进行有效巩固，面向全体学生；选做题面向部分优秀的学生.
教材 上海教育出版社九年义务教育课本数学八年级第二学期
内容 第二十二章《四边形》 22.5等腰梯形
授课教师 上海市第二初级中学 孙申磊
[教学目标]
类比平行四边形性质的探索，通过猜想—论证的科学方法探究等腰梯形的性质，体验数学学习活动的过程，提高数学学习的自信心；学会将等腰梯形的计算和证明问题转化为三角形、平行四边形问题来解决，体验化归的数学思想.
[教学重点]
探索等腰梯形的性质.
[教学难点]
等腰梯形对称性的说理.
[教学过程]
教学过程 说明
一、概念复习1、你能在下面的图片中找出梯形吗？其中哪些是特殊梯形？2、回顾梯形的概念∶一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形.梯形中互相平行的一组边叫做梯形的底，另一组不平行的边叫做梯形的腰.3、回顾直角梯形及等腰梯形的概念.二、探究性质研究一个四边形，通常研究它的定义、性质和判定方法.本节课我们就来研究等腰梯形的性质.我们不妨回顾前一阶段学行四边形.在研究平行四边形的性质时，通过对平行四边形的边、角、对角线和对称性四个方面展开研究，得到了平行四边形的性质.现在我们能否类比平行四边形，也从边、角、对角线和对称性这四个方面来探究等腰梯形的性质呢？平行四边形等腰梯形两组对边分别相等边两组对角分别相等角两对角线互相平分对角线是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点对称性列表格，请同学思考∶同学们通过类比给出了关于等腰梯形性质的猜想.等腰梯形的两底平行，两腰相等.（随即向学生解释∶由等腰梯形定义就可推出，故不作为性质，也不再证明）等腰梯形在同一底上的两个内角相等；等腰梯形的两条对角线相等；等腰梯形是轴对称图形.对称轴是两底中点的连线.刚才同学们毕竟只是类比平行四边形的性质，给出了等腰梯形的性质的猜想，而我们接下来就要对每个猜想逐一进行证明或说理.猜想（1） 等腰梯形在同一底上的两个内角相等已知∶等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC.求证∶.证明∶过点D作DE//AB，交BC于点E∵AD//BC，DE//AB.∴四边形ABED是平行四边形.∴DE=AB,又∵AB=CD， ∴DE=DC,∴.又∵DE//AB,∴,∴.∵AD//BC,∴,∴.启发和鼓励同学们用其它方法证明，例如可以分别过点A和点D向梯形的下底作高，构造全等的直角三角形进行证明.这里不给出其他证法的详细证明过程了.若有同学将等腰梯形的两腰延长相交构造出一个等腰三角形去证明两角相等，应向学生指出这种想法可以证明，但繁琐而不必要.然而这种复原三角形的想法有价值，应予以肯定. ( http: / / www. ) 作高法 复原等腰三角形在肯定学生思路的同时，点出两种证法背后的共同点，即∶把等腰梯形的问题转化成平行四边形和三角形的问题，突出化归思想.等腰梯形的问题转化成三角形和平行四边形的问题解决，这揭示了三角形、特殊四边形和等腰梯形之间的密切联系.现在我们通过演示一组课件进一步揭示他们之间的内在联系.猜想（2）等腰梯形的两条对角线相等.已知∶等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O.求证∶AC=BD.证明∶∵梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD， ∴（等腰梯形在同一底上的两个内角相等） 在中， , ∴≌, ∴AC=BD.猜想(1)和(2)证明完成了，现在我们来研究等腰梯形的对称性.（请同学们描述等腰梯形的对称轴，并作说理）............看来大家对等腰梯形的对称性说法不一，说理也不够清楚，那我们就来看看下面这个思考题.思考∶如图，已知等腰梯形ABCD中，AB=CD，AD//BC，腰BA和CD的延长线相交于点E.求证∶和都是等腰三角形.证明∶∵四边形ABCD是等腰梯形，AB=CD， ∴, ∴是等腰三角形,∵AD//BC, ∴， ∴, ∴是等腰三角形.这个思考题能帮助你完成对等腰梯形对称性的说理吗？猜想（3）等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下两底的中点所在的直线.说理∶在例1的图中，作等腰三角形的顶角的平分线，它既垂直平分AD，又垂直平分BC.所以A、D两点关于直线对称，B、C两点也关于直线对称，即等腰梯形ABCD关于直线对称.通过思考题可以说明，等腰梯形ABCD关于直线对称，因此我们得到∶等腰梯形是一个轴对称图形，对称轴就是两底的中点所在的直线.三、小结1、学生小结2、教师小结（1）经历猜想--证明的过程，类比平行四边形的性质，探究了等腰梯形的性质；（2）通过等腰梯形性质的证明和初步运用（将等腰梯形问题转化为平行四边形和三角形的问题）与揭示图形之间的内在联系，体会化归的数学思想.四、作业 必做题∶练习册P.48 习题22.5（1） 1、2、3.2．已知∶如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC.梯形的高为m，它的两条对角线互相垂直.则梯形的面积为__________. 第2题图3．选做题：通过上题的求解，证明“等腰梯形的两条对角线相等”，还有其它方法吗？ 重点强调梯形概念中的“另一组边不平行”这个条件.让学生自己回顾从四个不同的方面得到的平行四边形的性质.以便进行性质的类比.等腰梯形的边、角、对角线的性质是图形的局部性质，而对称性是图形的整体性质，故表格设计中在对称性和前面的性质之间空一行以示区别.追问同学等腰梯形的对称轴在哪里？ 学生给出答案即可，为后面的说理作铺垫.证明时，先让学生充分思考，再根据学生思考的实际情况适当提示证明思路.通过几何画板课件，动态演示并揭示等腰梯形与平行四边形、三角形之间的密切联系本题既是性质的运用,同时为对称轴的说明进行铺垫.并以此为载体说明等腰梯形和等腰三角形的相互转化关系.说清等腰梯形的对称轴是一个难点.为此设计三阶段.1.寻找等腰三角形的对称轴;2.等腰三角形的对称轴和等腰梯形的对称轴重合;3.进行等腰梯形的对称轴的说理.作业设计说明∶必做题对所学知识进行有效巩固，面向全体学生；选做题面向部分优秀的学生.