河南省新乡市2020-2021学年九年级上学期期中考试数学试卷（word版含答案）

2020-2021学年上学期九年级数学期中试卷
总分：120分
考试时间：100分钟
一、选择题（每题3分，共10题，30分）
1.下列图形中，是中心对称图形的是(
)
A.
B.
C.
D.
（第2题图）
2.如图，内接于，CD是的直径，∠BCD=52°，则∠A的度数是(
)
A．52°
B．38°
C．26°
D．19°
3.如图，的半径为10，若OP=8，则经过点P的弦长可能是(
)
A．6
B．10
C．19
D．22
4.下列方程是一元二次方程的是(
)
（第3题图）
A.
B.
C.
D.
5.如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点落在点处，则，两点间的距离为(
)
A.
B.
C.
D.
（第5题图）
6.同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是(
)
7.国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A.
B.
C.
D.
8.已知抛物线的顶点关于坐标原点的对称点为.若点在这条抛物线上，则点的坐标为(
)
A.
B.
C.
D.
9.如图，在中，AB=AC=5，BC=6，将绕点B逆时针旋转60°得到，连接，则的长为(
)
A.
B.
C.
D.6
（第9题图）
10.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D，F分别在
AC，BC边上．C、D两点不重合，设CD的长度为x，Rt△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是(
)
A
B.
C.
D.
二、填空题（每题3分，共5题，15分）
（第10题图）
11.如图，一块等腰直角三角尺在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置，使，，三点共线，那么旋转角的大小为________.
12.如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4
:
3
:
5，则∠D的度数是
．
13.将抛物线
向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，得到抛物线的解析式为
．
14.菱形的一条对角线长为8，其边长是方程的一个根，则菱形的周长为
．
15.如图，在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为
．
（第11题图）
（第12题图）
（第15题图）
三、解答题（本大题共8小题，满分75分）
16.(8分)解下列方程：
(1)；
(2).
17.(9分)已知关于的一元二次方程.
(1)求证：无论k为任何实数，此方程总有两个实数根.
(2)已知x=1是该方程的一个根，求方程的另一个根.
18.(9分)如图，三个顶点的坐标分别为，，.(每个小方格都是边长为个单位长度的正方形).
(1)请画出关于轴对称的(点、、的对应点分别为点、、)，并写出点的坐标；
(2)请画出绕点逆时针旋转后的(点的对应点分别为点),并写出点的坐标.
（3）请画出关于原点O成中心对称的△(点的对应点分别为点),并写出点的坐标.
19.(9分)
如图,学校准备用总长为24米的铁围栏在学生公寓后面的场地上建一个50平方米的矩形ABCD(AB(1)求与墙垂直的一边有多宽？
(2)利用现有的材料可建成最大面积是多少的自行车棚？
20.(9分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为弧BD的中点，延长AD，BC交于P，连结AC．
(1)求证：AB=AP；
(2)当AB=10,DP=2时，求线段CP的长．
21.（10分）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
(1)求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
(2)若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润W(元)最大？最大利润是多少？
(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？
22.（10
分）背景知识：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AC=BC，则．
（1）解决问题：
如图(1)，∠ACD=90°，AC=DC，MN
是过点A的直线，过点D作DB⊥MN于点B，连接CB，现尝试探究线段BA、BC、BD之间的数量关系：过点C作CE⊥CB，与MN交于点E，易发现图中出现了一对全等三角形，即______≌______，由此可得线段BA、BC、BD之间的数量关系是：________；
（2）类比探究：将图(1)中的
MN
绕点A旋转到图（2）的位置，其它条件不变，试探究线段BA、BC、BD之间的数量关系，并证明；
（3）拓展应用：将图(1)中的
MN
绕点A旋转到图
（3）的位置，其它条件不变，若BD=2，BC=，则
AB
的长为______（直接写结果）．
23.（11分）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B（3，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，3），已知对称轴x=1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内（包括△OBC的边界），求h的取值范围；
（3）设点P是抛物线上x轴上方任一点，点Q在直线l：x=﹣3上，△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．
2020-2021学年上学期九年级数学期中试卷答案
选择题
1.D
2.B
3.C
4.A
5.A
6.C
7.C
8.D　9.B
10.A　　
二、填空题
11.135°
12.120°
13.
14.20
15.
【解答】如答图，
过点Q作QM⊥x轴于M，过点作N⊥x轴于N，
设Q(m，)，则PM＝m－1，QM＝．
∵∠PMQ＝∠PN＝∠QP＝90°，∠QPM＝∠PN，
PQ＝P，∴△PQM≌△．∴PN＝QM＝，
＝PM＝m－1．∴ON＝1＋PN＝，
从而(，1－m)．
当m＝2时，有最小值为5，于是的最小值为.
三、解答题
16.(1)………………(4分)
(2）
………………………(4分)
17.(1)证明：证明:∵△=[-(k+4)]2-16k=k2-8k+16=(k-4)2≥0,
∴无论k为任何实数,此方程总有两个实数根.……………………(3分)
(2)把x=1代入方程中得1-(k+4)+4k=0，∴k=1……………………(5分)
∴方程为x2-5x+4=0.∴……………………(8分)
所以该方程的另一根为x=4.……………………(9分)
18.(1)如图所示，此时的坐标为（2，-4）.
(2)如图所示，此时的坐标为（-2，2）.
(3)如图所示，此时的坐标为（-2，-4）.
（每一小题3分，其中画图2分，坐标1分）
19.（1）设与墙垂直的一边AB为x米，则AD为（24-2x+1）米，……………………(1分)
∴x（25-2x）=50……………………(2分)
整理得：2x2-25x+50=0，
解得x1=2.5，x2=10，……………………(3分)
当x1=2.5时，BC=25-2x=20，符合AB当x2=10时，BC=25-2x=5，不符合AB答：与墙垂直的一边为2.5米.…………………………………………(5分)
（2）设与墙垂直的一边AB为x米，
则AD长为（25-2x）米，设面积为y平方米，………………………(6分)
则y=x(25-2x),
∴y=-2x2+25x，………
(7分)
配方得：y=，………
(8分)
∵AB所以当x=时，y最大为，
所以利用现有的材料可建成最大面积为平方米的车棚.………
(9分)
20.（1）证明：∵C为的中点，
∴∠BAC=∠CAP，
∵AB是直径，
∴∠ACB=∠ACP=90°，
∵∠ABC+∠BAC=90°，∠P+∠CAP=90°，
∴∠ABC=∠P，
∴AB=AP.……………………………
(4分)
（2）解：如图，连接BD．
∵AB是直径，
∴∠ADB=∠BDP=90°，
∵AB=AP=10，DP=2，
∴AD=10-2=8，………………………………(6分)
∴BD=
∴PB=，
∵AB=AP，AC⊥BP，
∴BC=PC==，
∴PC=．……………………………………………(9分)
21.（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y=kx+b,
将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：
，
解得：，
故一次函数的解析式为：y=
-2x+160；……………
(3分)
（2）由题意得：w=（x-30）（-2x+160）=-2（x-55）2+1250，
∵-2＜0，故当x＜55时，w随x的增大而增大，而30≤x≤50，
∴当x=50时，w由最大值，此时，w=1200，
故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；……………
(7分)
（3）由题意得：（x-30）（-2x+160）≥800，
解得：40≤x≤70，
当x=70时，销售量最少.
∴每天的销售量y=-2x+160≥20，
∴每天的销售量最少应为20件．……………
(10分)
22.（1）
△EAC≌△BDC……………
(1分）
……………
(2分)
(2)
BD—AB=BC
.
过点C作CE⊥CB,
与MN交于点E,则∠ECB=90°
∴∠ECB+∠BCA=∠ACD+∠BCA,即：∠ECA=∠BCD.
∵DB⊥MN,
∴∠ABD=∠ACD=90°,
记AC与BD的交点为点F，则∠BFA=∠DFC，
∴∠BAF=∠FDC
在△ACE与△DCB中，
∴△ACE≌△DCB（ASA）…………………
(5分)
∴AE=BD,
CE=CB
∴在Rt△BCE中,
BE=BC，
∴BD
=AE=BA+BE=
BA+BC
即BD—AB=BC
.
……………………………………………
(7分)
(3)
如图所示，过点C作EC⊥CB交MN于点E
同（2），可证
△ACE≌△DCB
∴AE=BD=2
，∴
……………
(10分)
23.解：（1）∵抛物线的对称轴x=1，B（3，0），
∴A（-1，0）
∵抛物线y=ax2+bx+c过点C（0，3）
∴当x=0
时，c=3．
又∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，0），B（3，0）
∴，
∴
∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3；……………
(4分)
（2）∵C（0，3），B（3，0），
∴直线BC解析式为y=-x+3，
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴顶点坐标为（1，4）
∵对于直线BC：y=-x+3，当x=1时，y=2；将抛物线向下平移h个单位长度，
∴当h=2时，抛物线顶点落在BC上；
当h=4时，抛物线顶点落在OB上，
∴将抛物线向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内（包括△OBC的边界），
则2≤h≤4；…………
(8分)
（3）设P（m，-m2+2m+3），Q（-3，n），
P点在x轴上方，过P点作PM垂直于直线l，交直线l于M点，过B点作BN垂直于MP的延长线于N点，如图所示：
∵B（3，0），
∵△PBQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，
∴∠BPQ=90°，BP=PQ，
则∠PMQ=∠BNP=90°，且易得∠MPQ=∠NBP，
在△PQM和△BPN中，
∴△PQM≌△BPN（AAS），
∴PM=BN，
∵PM=BN=-m2+2m+3，根据B点坐标可得PN=3-m，且PM+PN=6，
∴-m2+2m+3+3-m=6，
解得：m=1或m=0，
∴P（1，4）或P（0，3）．
综上可得，符合条件的点P的坐标是（1，4）或（0，3）．…………
(11分)