6.3平面向量坐标运算 同步学案

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平面向量的坐标及其运算学案
一．学习目标
平面向量作为高中数学的一个重要解题工具，主要表现在其既有几何的概念，又有代数的状态；因此在本节课中，学习平面向量的代数特征——坐标；并学会利用坐标得到平面向量的其他特征；如平行与垂直的结论条件、数量积的计算、向量夹角的求解等。
二．基础知识
1.向量的坐标表示：
在平面直角坐标系中，设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基底，对于平面内的任意一个向量，有且只有一对实数，使得，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作，此式叫做向量的坐标表示，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标。
设，则向量的坐标就是终点的坐标；反过来，终点的坐标就是向量的坐标；因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的。
2.平面向量加、减运算的坐标表示：
已知，则：
(1)，即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)．
(2)若点坐标为，点坐标为，为坐标原点，则，，，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
3.平面向量数乘运算的坐标表示及中点坐标公式：
(1)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标；
(2)设向量，则．
(3)中点坐标公式：若的坐标分别为，线段的中点的坐标为，
则
4.两个向量共线的坐标表示
(1)向量共线的坐标表示
设，则
(2)向量共线的坐标表示的推导
①设，则．
上式若用坐标表示，可写为，
②设时，.
综上①②，向量共线的坐标表示为
5.平面向量数量积的坐标表示
设向量，则；即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
6.平面向量长度(模)的坐标表示：
若向量，则，或
其含义是：向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根。
7.两向量垂直的坐标表示：
设，则
8.平面向量夹角的坐标表示
设都是非零向量，，是与的夹角，则
9.数量积基本概念结论性质：
(1)与轴平行的向量的纵坐标为0，即；与轴平行的向量的横坐标为0，即．
(2)公式与有什么区别与联系？
提示：两个公式都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式的差异，可以相互推导；若题目给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用求解，若已知两向量的坐标，则可选用求解。
(3)对于任意的非零向量，如何用坐标表示与向量同向的单位向量？
提示：记向量的单位向量为，则，且，所以
，此为与向量同向的单位向量。
(4)若，怎样求线段的长度？
提示：由于，且线段的长度等于向量的模，所以线段的长度
；
(5)已知非零向量，则与的坐标表示有何区别？
提示：若，即.
若，即.
两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反
(6)两向量与满足，与的夹角一定是钝角吗？
提示：不一定，与夹角可能是。
三．典例分析与性质总结
题型1：平面向量的坐标表示
例1：在平面直角坐标系中，向量的方向如图所示，，向量的坐标分别为_____，________，________.
[方法技巧]
始点为坐标原点的向量的坐标由终点的坐标决定；一般可以借助三角函数的定义来确定点的坐标，此时需明确点所在的象限，点到原点的距离，点与原点的连线与轴正方向的夹角。
题型2：平面向量加、减运算的坐标运算
例2：已知边长为单位长度的正方形，若点与坐标原点重合，边、分别落在轴、轴的正方向上，则向量的坐标为________．
[方法技巧]
①向量的坐标运算主要是利用加法、减法运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，要注意三角形法则及平行四边形法则的应用；
②若是给出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则。
题型3：平面向量数乘运算的坐标表示
例3：已知，且，，求及的坐标．
[方法技巧]
①相等向量的坐标是相同的，解题时注意利用向量相等建立方程组；
②进行平面向量的坐标运算时，应先将向量用坐标表示出来.一般地，已知有向线段两端点的坐标，应先求出向量的坐标；求点的坐标时，可以转化为求以坐标原点为起点，点为终点的向量的坐标。
题型4：两个向量共线的坐标表示
例4：已知，当为何值时，与平行？
[方法技巧]
设，当且仅当时，向量共线。
对条件的理解有两方面的含义：由，可判定共线；反之，若共线，则。
题型5：三点共线问题
例5：(1)已知，求证：三点共线；
(2)设向量，当为何值时，三点共线？
[方法技巧]
一般地，把三点共线问题转化成向量共线问题，而向量共线常用的判断方法有两种：一是直接用
；二是利用坐标运算。
题型6：利用向量共线解决几何问题
例6：已知点，求直线与交点的坐标．
[方法技巧]
①向量共线在几何中的应用可分为两个方面：①已知两向量共线，求点或向量的坐标；②证明或判断三点共线、直线平行；
②解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三点共线，由两向量无公共点确定直线平行。
题型7：平面向量数量积的坐标运算
例7：已知向量，求，．
[方法技巧]
进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算。
题型8：向量的模的问题
例8：(1)向量与的夹角为，，若点的坐标是，则点的坐标为(　　)
A．
B．
C．
D．
(2)设向量与的夹角为，且，，则________，________.
[方法技巧]
(1)要求向量的模需先由条件求出向量的坐标，再求模；
(2)已知向量的模求坐标，要设出坐标列方程(组)求解。
题型9：向量的夹角与垂直问题
例9：(1)已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是(　　)
A．
B．
C．
D．
(2)已知向量．若向量与垂直，则________.
[方法技巧]
根据向量的坐标表示求与的夹角时，需要先求出及，再求夹角的余弦值，从而确定。
题型10：平面向量与三角函数的交汇问题
用含有三角函数的坐标表示向量，就使得向量与三角函数建立了密切的内在联系。通过向量的坐标运算，将向量条件转化为三角函数关系是解题的第一步，根据题目要求，求解余下的三角函数问题是解题的第二步，利用这两步求解的策略，可将向量与三角函数的综合问题转化为两个基本问题解决。
例10：在平面直角坐标系中，已知向量，，.
(1)若，求的值；
(2)若与的夹角为，求的值。
四．变式演练与提高
1.在平面直角坐标系中，，且如图所示，则的坐标为(　　)
A．
B．
C．
D．
2.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，求顶点D的坐标．
3.如图，在中，已知，分别是的中点，且与交于点，求的坐标．
4.已知向量，若，求的值。
5.如果向量，，试确定实数的值，使三点共线．
6.向量，则(　　)
A．　　　B．0
C．1　　　　D．2
7.已知点，若向量与同向，且，则点的坐标为(
)
A．
B．
C．
D．
8.平面向量，，且与的夹角等于与的夹角，求。
9.已知向量，，．
(1)求向量的长度的最大值；
(2)设，且，求的值。
五．反思总结
1.在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系，关系图如图所示：
2.向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同.
当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同；
3.向量坐标形式的运算，要牢记公式，细心计算，防止符号错误；
4.对向量共线条件的理解
①已知，由成立，可判断与共线；反之，若与共线，它们的坐标应满足.
②在讨论向量共线时，规定零向量可以与任一向量共线，故在的条件下，与共线
的条件可化为，即两向量共线的条件为相应坐标成比例．
5.三点共线问题
①若，则三点共线的条件为
，
换言之（当）
②若已知三点的坐标，判断其是否共线可采用以下两种方法：
⑴直接利用上述条件，计算是否为0.
⑵任取两点构成向量，计算出两向量如，再通过两向量共线的条件进行判断．
6.向量的坐标表示简化了向量数量积的运算．为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持．
7.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．
8.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆；若，则，.
六．课后作业
1.已知向量满足，，则的坐标分别为(　　)
A．
B．
C．
D．
2.向量，为坐标原点，则点在第四象限时，的取值范围是(　　)
A．
B．
C．或
D．
3.若向量与相等，已知，求.
4.已知是坐标原点，点在第一象限，，
(1)求向量的坐标；
(2)若，求的坐标。
5.已知向量，且，求的值。
6.已知向量，若与共线，则
.
7.已知向量，若点能构成三角形，求实数应满足的条件．
8.若，，且，则等于(　　)
A．3　　　　B.
C．　　　D．
9.已知，，求夹角的余弦。
10.已知平面向量，，，且，.
(1)求和；
(2)若，求向量与向量的夹角的大小。
七．参考答案
（三．典例分析与性质总结）
例1：解析
设，，
，
同理可知，
，
∴，，
例2：解析
根据题意建立平面直角坐标系(如图)，则各顶点的坐标分别为
，所以，，，
所以．
例3：解析
由，可得、，所以，
．
设，
则，解得；
同理
所以，。
例4：解析
因为．
，
又与平行，故，即．
例5：解析：
(1)证明：∵，；
∴，即与共线．
又∵与有公共点A，∴三点共线．
(2)若三点共线，则与共线，
∵，，
∴.
解得或.
例6：解析：
设点，则，，
∵三点共线，∴，∴.
又，．
∵三点共线，∴，∴.
联立解得
∴点的坐标为
例7：解析：
.
∵，，∴，
∴
例8：解析：
(1)∵向量与的夹角为，
∴设．
由此可得
解之得（舍去负值）；∴，
设，得，
则有；解得，
∴，故选D.
(2)，所以，
则，；又，
所以.
例9：解析：
(1)∵与的夹角为锐角，
∴且，即且与方向不同，
即，且，
解得．故选A.
(2)因为，与垂直，所以，解得。
例10：解析：
(1)因为，，
所以，即
所以
(2)因为，与的夹角为；所以
即；所以，
因为，所以，
所以，即
（四．变式演练与提高）
1.解析：
，。
2.解析：
设顶点的坐标为，
在平行四边形中，，
又，，
即；解得
∴顶点的坐标为.
3.解析：
∵，∴，
∵是的中点，∴
∵分别是的中点，∴为的中点；
∴
4.解析：
，因为，所以，得
5.解析：
依题意知，
则，．
∵三点共线，∴，∴.
即当时，三点共线。
6.解析：
，∴，
7.解析：
设，则，
由与同向，所以，①
又，所以，②
联立①②解得且，故，选D.
8.解析：
设与的夹角为，与的夹角为；
由已知得，因为，，所以
由已知得，所以，即，解得
9.解析：
(1)∵，，∴，
∴
∵，∴；∴.
当时，
∴的长度的最大值为2.
(2)∵，∴
又，，
∴.
∵，∴，即.
故而可知或
经检验，当时，，即，此时与共线，故舍去．
所以
（六．课后作业）
1.解析：
由题知，于是，所以．
2.解析：
由点在第四象限，所以，解得.
3.解析：
∵，，
∴；解得.
4.解析：
(1)设点，则，，
即，所以
(2)
5.解析：
由，得
所以
解得，所以.
6.解析：
，
∵与共线，∴存在实数，使，
即，解得
7.解析：
，．
由于点能构成三角形，则与不共线，
所以，解得.
8.解析：
，∴.
9.解析：
∵，，∴，∴；
设的夹角为，
∵，
∴
10.解析：
(1)∵，∴.∴.
∵，∴.
∴.
∴，．
(2)
设的夹角为，
则
∵，∴.
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