2020-2021学年湘教新版九年级下册数学《第1章 二次函数》单元测试卷Word版 含解析）

2020-2021学年湘教新版九年级下册数学《第1章
二次函数》单元测试卷
一．选择题
1．设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2+3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（　　）
A．a＝﹣1，b＝3，c＝0
B．a＝﹣1，b＝0，c＝3
C．a＝﹣1，b＝3，c＝3
D．a＝1，b＝0，c＝3
2．若将抛物线y＝x2﹣3向上平移5个单位长度，则得到的新抛物线的顶点坐标为（　　）
A．（0，2）
B．（0，﹣8）
C．（5，﹣3）
D．（﹣5，﹣3）
3．二次函数y＝x2+3x+化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．小强在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数y＝﹣x2+x+，则小强此次成绩为（　　）
A．8米
B．10米
C．12米
D．14米
5．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+b的图象大致是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．抛物线y＝3（x+1）2﹣3的顶点是（　　）
A．（1，3）
B．（1，﹣3）
C．（﹣1，3）
D．（﹣1，﹣3）
7．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则（　　）
A．a＞0，b＞0
B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0
D．a＜0，b＜0
8．若点A（﹣2，y1），B（0，y2），C（﹣，y3）是二次函数y＝ax2﹣2a+1（a是常数，且a＜0）的图象上三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＞y2＞y3
B．y1＞y3＞y2
C．y2＞y3＞y1
D．y3＞y1＞y2
9．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD＝CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形，③△DEF的面积最小值为2；④在此运动变化的过程中，四边形CDFE的始终为面积4；⑤△CDE面积的最大值为3．其中正确的结论是（　　）
A．①②③
B．①④⑤
C．①③④
D．③④⑤
10．如图，已知二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝kx+m的图象相交于点A（﹣3，5），B（7，2），则能使y1≤y2成立的x的取值范围是（　　）
A．2≤x≤5
B．x≤﹣3或x≥7
C．﹣3≤x≤7
D．x≥5或x≤2
二．填空题
11．如图，某名运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y＝﹣x2+x+，此运动员将铅球推出的距离是　
　m．
12．某公司10月份的产值是100万元，如果该公司第四季度每个月产值的增长率相同，都为x（x＞0），12月份的产值为y万元，那么y关于x的函数解析式是　
　．
13．设y1与y2都是x的二次函数（y1有最小值），且y1+y2＝﹣x2﹣8x+4，已知当x＝m时，y1＝y2＝﹣8，当x＝﹣m时，y1＝y2＝8，则m的值为　
　．
14．下表是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y的对应关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解x的值大约是　
　（精确到0.1）
x
6.1
6.2
6.3
6.4
y＝ax2+bx+c
﹣0.3
﹣0.1
0.2
0.4
15．已知二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣3），且过点（2，0），则这个二次函数的解析式　
　．
16．若点P（a，b）在抛物线y＝﹣2x2+2x+1上，则a﹣b的最小值为　
　．
17．在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝1时，y＝5；当x＝﹣1时，y＝﹣2．下列结论一定正确的有　
　（填序号即可）．
①a+b+c＝5；
②b＝；
③3a﹣2b+3c＝1；
④若a＜0，则a﹣b+3c＞﹣1．
18．若抛物线y＝x2﹣x﹣k（k为常数）与x轴的两个交点都在x轴的正半轴上，则k的取值范围是　
　．
19．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）与一次函数y＝kx+1图象交于A（﹣3，m），B（1，n）两点，则关于x的不等式ax2+（b﹣k）x+c≥1的解集为　
　．
20．如图，抛物线y＝的图象与坐标轴交于点A，B，D，顶点为E，以AB为直径画半圆交y正半轴交于点C，圆心为M，P是半圆上的一动点，连接EP．
①点E在⊙M的内部；
②CD的长为；
③若P与C重合，则∠DPE＝15°；
④在P的运动过程中，若AP＝，则PE＝
⑤N是PE的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时，点N运动的路径长是2π．
以上5个结论正确的是　
　；（填写序号）
三．解答题
21．已知：二次函数y＝x2﹣1．
（1）写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（2）画出它的图象．
22．已知抛物线y＝x2﹣mx+2m﹣1过定点H．
（1）求出H的坐标．
（2）若抛物线经过点A（0，1），求证：该抛物线恒在直线y＝﹣2x﹣1上方．
23．如图，函数y＝﹣x2+x+c（﹣2020≤x≤1）的图象记为L1，最大值为M1；函数y＝﹣x2+2cx+1（1≤x≤2020）的图象记为L2，最大值为M2．L1的右端点为A，L2的左端点为B，L1，L2合起来的图形记为L．
（1）当c＝1时，求M1，M2的值；
（2）若把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当点A，B重合时，求L上“美点”的个数；
（3）若M1，M2的差为，直接写出c的值．
24．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示：求二次函数的函数表达式．
25．已知：抛物线y＝x2﹣4x+3．
（1）它与x轴交点的坐标为　
　，与y轴交点的坐标为　
　，顶点坐标为　
　．
（2）在坐标系中画出此抛物线．
26．已知函数y＝（m2﹣m）x2+mx+（m+1），m是常数．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，求m的值．
27．已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（6，0）．
（1）若点（0，1）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式．
（2）若该抛物线与直线y＝3只有一个交点P，抛物线上任意不同两点（x1，y1），（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜3时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当3＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，OB交l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON．
①连接OP，当OP＝MN时，请判断△NOB的形状，并求出此时点B的坐标．
②求证：NM平分∠ONB．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：二次函数y＝﹣x2+3的二次项系数是a＝﹣1，一次项系数是b＝0，常数项是c＝3；
故选：B．
2．解：将抛物线y＝x2﹣3向上平移5个单位长度，则所得到抛物线为：y＝x2+2．
则平移后的抛物线的顶点坐标为：（0，2）．
故选：A．
3．解：y＝x2+3x+＝（x2+6x+9﹣9+5）＝（x+3）2+2．
故选：A．
4．解：在y＝﹣x2+x+中，当y＝0时，﹣
x2+x+＝0，
解得x1＝﹣2（舍去），x2＝10，
即小强此次成绩为10米，
故选：B．
5．解：∵y＝ax2+bx+c的图象的开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴的左侧，
∴b＜0，
∴一次函数y＝ax+b的图象经过二，三，四象限．
故选：C．
6．解：由y＝3（x+1）2﹣3，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣1，﹣3），
故选：D．
7．解：如图，抛物线的开口向下，则a＜0，．
抛物线的对称轴位于y轴的左侧，则a、b同号，即b＜0．
综上所述，a＜0，b＜0．
故选：D．
8．解：y＝ax2﹣2ax+1（a是常数，且a＜0），
对称轴是直线x＝﹣＝1，
即二次函数的开口向下，对称轴是直线x＝1，
即在对称轴的左侧y随x的增大而增大，
∵﹣2＜﹣＜0＜1，
∴y2＞y3＞y1，
故选：C．
9．解：连结CF，如图，
∵△ABC为直角三角形，
∴∠A＝45°，
∵F是等腰直角△ABC斜边上的中点，
∴CF＝AF＝BF，CF⊥AB，∠1＝45°，
在△ADF和△CEF中，
，
∴△ADF≌△CEF（SAS），
∴DF＝EF，∠3＝∠2，
∵∠3+∠CFD＝90°，
∴∠2+∠CFD＝90°，即∠DFE＝90°，
∴△DEF为等腰直角三角形，所以①正确；
当FD⊥AC时，FE⊥BC，则AD＝CE＝AC，此时四边形CDFE为正方形，所以②错误；
∵△DEF为等腰直角三角形，
∴DE＝FD，
当FD⊥AC时，FD的长度最小，此时FD＝AC＝2，
∴△DEF的面积最小值为＝2，所以③正确；
∵△ADF≌△CEF，
∴S△ADF＝S△CEF，
∴四边形CDFE的面积＝S△ACF＝S△ABC＝×4×4＝4，所以④正确；
∵S△CDE＝S四边形CDFE﹣S△DEF＝4﹣S△DEF，
而当FD⊥AC时，FD的长度最小，此时FD＝AC＝2，
∴S△DEF的最小值为×2×2＝2，
∴△CDE面积的最大值为4﹣2＝2，所以⑤错误．
故选：C．
10．解：由图可知，能使y1≤y2成立的x的取值范围是﹣3≤x≤7；
故选：C．
二．填空题
11．解：由题意得：当y＝0时，0＝﹣x2+x+，
∴x2﹣8x﹣9＝0，
∴（x+1）（x﹣9）＝0，
∴x1＝﹣1（不合题意，舍去），x2＝9．
∴此运动员把铅球推出9m．
故答案为：9．
12．解：由题意可得，
y＝100（1+x）2，
故答案为：y＝100（1+x）2．
13．解：∵当x＝m时，y1＝y2＝﹣8，
∴y1+y2＝﹣m2﹣8m+4＝﹣8+（﹣8）＝﹣16，
∵当x＝﹣m时，y1＝y2＝8，
∴y1+y2＝﹣m2+8m+4＝8+8＝16，
解得m＝2，
故答案为：2．
14．解：由表可知，当x＝6.2时，y的值最接近0，
所以，方程ax2+bx+c＝0一个解的近似值为6.2，
故答案为：6.2．
15．解：设此二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3．
∵其图象经过点（2，0），
∴a（2﹣1）2﹣3＝0，
∴a＝3，
∴y＝3（x﹣1）2﹣3，即y＝3x2﹣6x，
故答案为y＝3x2﹣6x．
16．解：∵点P（a，b）在抛物线y＝﹣2x2+2x+1上，
∴b＝﹣2a2+2a+1，
∴a﹣b＝a﹣（﹣2a2+2a+1）＝2a2﹣a﹣1，
∵a﹣b＝2a2﹣a﹣1＝2（a﹣）2﹣，
∴a﹣b的最小值为﹣，
故答案为﹣．
17．解：在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝1时，y＝5；当x＝﹣1时，y＝﹣2．
∴a+b+c＝5，a﹣b+c＝﹣2，故①正确；
由题意得，
两式相减得，2b＝7，
解得，b＝，故②正确；
两式相加得，2a+2c＝3，
∴a+c＝，
∴3a+3c＝，
∴3a﹣2b+3c＝﹣2×＝﹣，故③错误；
∵3a+3c＝，
∴3c＝﹣3a，b＝，
∴a﹣b+3c＝a﹣+﹣3a＝1﹣2a，
∵a＜0，
∴1﹣2a＞1，
∴a﹣b+3c＞﹣1，故④正确；
故答案为①②④．
18．解：若抛物线y＝x2﹣x﹣k与x轴的两个交点都在x轴正半轴上，
则方程x2﹣x﹣k＝0的两根大于0，即最小的根x＝＞0，
当1+4k＝0，即k＝﹣时，x最小，即﹣＜k＜0．
故答案是：﹣＜k＜0．
19．解：函数大概图象如下：
根据题意得出当ax2+bx+c≥kx+1时，则ax2+（b﹣k）x+c≥1，
则从图象看，关于x的不等式ax2+（b﹣k）x+c≥1的解集为﹣3≤x≤1，
故答案为﹣3≤x≤1．
20．解：抛物线y＝的图象与坐标轴交于点A，B，D，
则点A、B、D的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣），则点M（1，0），
顶点E的坐标为：（1，﹣2），AB＝4，CO＝，OD＝，故点D不在⊙M上；
①ME＝2＝AM，∴E应该在⊙M上，故不符合题；
②C是圆M与y轴交点，圆M半径为2，M（1，0）由勾股定理得OC＝，
CD＝2×＝3，故CD的长为，符合题意；
③如图1，连接PM、PE，点E（﹣1，2），故点E在圆上，
CO＝，OM＝1，PM＝2，故∠OPM＝30°，
EM∥y轴，则∠MEP＝∠EPC，而∠MEP＝∠MPE，
∴∠DPE＝DOM＝15°，符合题意；
④如图2，连接PB、PA、AE，
∵点B、E均在圆上，则∠ABP＝∠AEP＝α，
sin∠AEP＝sin∠ABP＝＝＝sinα，则cosα＝，
过点A作AK垂直于PE于K，
则AK＝AEsinα＝2×＝，EK＝AEcosα═，则PK＝AK＝，
故则PE＝，符合题意；
⑤如图3，图中实点G、N、M、F是点N运动中所处的位置，
则GF是等腰直角三角形的中位线，GF＝AB＝2，ME交AB于点R，则四边形GEFM为正方形，
当点P在半圆任意位置时，中点为N，连接MN，则MN⊥PE，连接NR，
则NR＝ME＝MR＝RE＝RG＝RF＝GF＝1，则点N的运动轨迹为以R为圆心的半圆，
则N运动的路径长＝×2πr＝π，故不符合题意；
故答案为：②③④．
三．解答题
21．解：（1）∵二次函数y＝x2﹣1，
∴抛物线的开口方向向上，顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴；
（2）在y＝x2﹣1中，令y＝0可得0＝x2﹣1．
解得x＝﹣1或1，
令x＝0可得y＝﹣1，结合（1）中的顶点坐标及对称轴，可画出其图象如图所示：
．
22．解：（1）∵y＝x2﹣mx+2m﹣1
＝x2﹣4﹣m（x﹣2）+3
＝（x+2）（x﹣2）﹣m（x﹣2）+3
＝（x﹣2）（x+2﹣m）+3，
∴抛物线y＝x2﹣mx+2m﹣1必过定点（2，3），
故H的坐标为（2，3）；
（2）证明：∵抛物线经过点A（0，1），
∴2m﹣1＝1，解得m＝1，
∴抛物线y＝x2﹣x+1，
设y1＝x2﹣x+1，y2＝﹣2x﹣1，
则y1﹣y2＝（x2﹣x+1）﹣（﹣2x﹣1）＝x2+x+2＝（x+）2+＞0，
∴y1＞y2，
∴该抛物线恒在直线y＝﹣2x﹣1上方．
23．解：（1）当c＝1时，
函数y＝﹣x2+x+c＝﹣x2+x+1＝﹣（x﹣）2+．
又∵﹣2020≤x≤1，
∴M1＝，
y＝﹣x2+2cx+1＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2．
又∵1≤x≤2020，
∴M2＝2；
（2）当x＝1时，y＝﹣x2+x+c＝c﹣；y＝﹣x2+2cx+1＝2c．
若点A，B重合，则c﹣＝2c，c＝﹣，
∴L1：y＝﹣x2+x﹣（﹣2020≤x≤1）；
L2：y＝﹣x2﹣x+1（1≤x≤2020）．
在L1上，x为奇数的点是“美点”，则L1上有1011个“美点”；
在L2上，x为整数的点是“美点”，则L2上有2020个“美点”．
又点A，B重合，
则L上“美点”的个数是1011+2020﹣1＝3030．
（3）y＝﹣x2+x+c（﹣2020≤x≤1）上时，当x＝时，M1＝+c，
y＝﹣x2+2cx+1（1≤x≤2020），对称轴为x＝c，
当c≥1时，M2＝c2+1，
∴|+c﹣c2﹣1|＝，
∴c＝﹣1（舍去）或c＝2；
当c＜1时，M2＝2c，
∴|2c﹣﹣c|＝，
∴c＝3（舍去）或c＝﹣；
∴c＝﹣或2．
24．解：由图象可知抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），且过点（0，﹣3），
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2﹣4，
把（0，﹣3）代入解析式得a﹣4＝﹣3，
解得a＝1，
则抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3．
25．解：（1）∵抛物线y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1＝（x﹣3）（x﹣1），
∴该抛物的顶点坐标为（2，﹣1），当y＝0时，x1＝3，x2＝1，当x＝0时，y＝3，
∴它与x轴交点的坐标为（3，0）、（1，0），与y轴交点的坐标为（0，3），顶点坐标为（2，﹣1），
故答案为：（3，0）、（1，0），（0，3），（2，﹣1）；
（2）由（1）知，它与x轴交点的坐标为（3，0）、（1，0），与y轴交点的坐标为（0，3），顶点坐标为（2，﹣1），且过点（4，3），
抛物线如右图所示．
26．解：（1）依题意m2﹣m＝0且m≠0，所以m＝1
（2）依题意m2﹣m≠0，所以m≠1且m≠0．
27．解：（1）将（0，1）和点A的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：36a+6b＝﹣1；
（2）当x1＜x2＜3时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，即为当x＜3时，y随x的增大而增大，
当3＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，即为当x＞3时，y随x的增大而减小，故抛物线开口下，且抛物线的对称轴为直线x＝3，
∵该抛物线与直线y＝3只有一个交点P，故点P是抛物线的顶点，即点P（3，3），
则设抛物线的表达式为y＝a（x﹣3）2+3，将点（6，0）代入上式并解得a＝﹣，
故抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣3）2+3＝﹣x2+2x①；
设点B的坐标为（m，﹣
m2+2m），
由点O、B的坐标知，直线OB的表达式为y＝（﹣m+2）x，
当x＝3时，y＝（﹣m+2）x＝6﹣m，故点M（3，6﹣m），
∵点M、N关于点P对称，由中点公式得，点N（3，m），
①由O、P的坐标得，OP＝＝3＝MN，则MN＝6，
即MN＝m﹣（6﹣m）＝6，解得m＝3+3，
则点B（3，﹣3），点N（3，3+3），
由点B、O的坐标知，OB2＝（3+3）2+（﹣3）2＝36+18，
同理ON2＝36+18＝OB2，BN2＝72+36＝OB2+ON2，
故△NOB为等腰直角三角形；
②连接NB，
由点O、N的坐标，同理可得，直线ON的表达式为y＝mx②，
联立①②得：﹣
x2+2x＝mx，解得x＝6﹣m，设直线ON交抛物线与点H，则点H的横坐标为6﹣m，
而点B的横坐标为m，抛物线的对称轴为x＝3，故点B、H关于抛物线对称轴（即关于MN）对称，
∴NM平分∠ONB．