重庆市南开高级中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试卷 PDF版含答案

重庆南开中学高 2023 级高一（上）期中考试
数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题8 个小题，每小题 5 分，共 40 分，每小题只．有．一．个．选项符
合要求，答案请涂写在机读卡上．
1. 已知集合A??x x?3?,B ???1,0,1,2,3,4,5?，则?CRA??B ?
A. {?1,0,1,2} B. {?1,0,1} C. {3,4,5} D. {x|x?3}
2. “?x?1,x?0.”的否定是
A. ?x ?1,x?0 B. ?x?1,x?0 C. ?x?1,x?0 D. ?x?1,x?0
3. 下列函数是偶函数且在?0,???上单调递增的是
2 2 3
A. y ? ?x B. y ? x ?2x C. y ? x D. y ? x
4. 如图所示直角梯形OABC中，AB∥OC，AB＝1，OC＝BC＝2，直线
l:x ?t?0?t ?2?截该梯形所得位于l左边图形面积为S，则函数S
＝f（t）的图象大致为
A． B．
C． D．
c
5. 已知函数 3
f ?x??ax ?bx? ?2，若 f(2)?5，则 f(?2)的值为
x
A. 0 B. ?1 C. 1 D. 2
高2023级数学试题第1页，共4页
6. 函数 f ?x?? x?2 x?1的值域为
A. R B. [1,??) C. [0,??) D. (?2,??)
7．已知 y ? f ?x?是定义在R上的偶函数，f(3)?0，且 f(x)在x?[0,??)单调递增，则
不等式(x?2)f(x)?0的解为
A.???,?1??(3,??) B.??2,?1??(2,??)
C.??3,0??(3,??) D.??3,?2??(3,??)
8. 已知x,y ?0，且xy?2x? y ?7，则x? y的最小值为
A. 3 B. 1 C. 4 D. 2
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3
分。
2
9. “?x??1,2?,x ?x?a?0”的充分不必要条件是
A. a????,7? B. a????,5? C. a????,4? D. a??6,???
10. 下列说法正确的是
2 2 1
A. 若a ?b，则ac ?bc B. 存在a，使得不等式a? ?2成立
a
b?m b
C. 若a ?b?0,m?0，则 ? D. 若a?b?c，且a?b?c?0 则ac?bc
a?m a
2
??x ?(2a?4)x x??1
?
11. 已知函数 f ?x???x?a 在R上单调递增，则a可以是
? x??1
?x?2
A. ?1 B. 0 C. 1 D. 3
x?a
12. 已知函数 f ?x?? 2 ，则以下说法正确的有
x ?bx?1
A.若 f ?x?为奇函数，则a?b?0
B.对任意a,b?R， f ?x?不可能是偶函数
C. 当a?b?1时，函数在?0,???上单调递增
D.若不存在M ，使得 f ?x? ? M 恒成立，则b?(??,?2]?[2,??)
高2023级数学试题第2页，共4页
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
三、填空题：本大题 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分. 各题答案必须填写在答
题卡上相应位置（只填结果，不写过程）.
x?2
13.已知函数 f ?x?1?? ,则 f(3)?_____________
x
1
14.已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，且 2
x ?0 时， f(x)? x ? ，则 x?0 时，
x
f(x)?_____________
x?2
15. 函数 y ? 的单调递减区间为_______________
x?1
?x?1
16. 已知函数 2
f ?x?? ,g?x?? x ?ax ，若对任意x1???1,0?，都存在x2??1,3?，
x?2
使得 f ?x1?? g?x2?，则a的范围是______________
四、解答题：本大题 6 个小题，共 70 分. 各题解答必须答在答题卡上（必须写
出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）.
17.已知函数 2
f ?x?? x ?ax?3?a 。
（1）若a ?3，求 f ?x?的定义域和单调区间；
（2）若 f ?x?定义域为R，求a的取值范围。
2x?1
18.已知集合A?{x ?1}，B ?{x|x?a|?3}。
x?2
（1）若a ?3，求A?B；
（2）若x?A是x?B的充分不必要条件，求a的范围。
2
19.已知二次函数 f ?x??ax ?bx?c，满足 f ?x?1?? f ?x??2x?3，且 f ?x?在R上的
最小值为?1。
（1）求 f ?x?的解析式；
f ?x??k
（2）令g?x?? ，若g?x?在[1,??)上单调递增，求k的取值范围。
x
高2023级数学试题第3页，共4页
20.已知定义在?0,???上的函数 f ?x?对任意x,y均满足 f ?xy??2020? f ?x?? f ?y?，
若对任意x?1， f ?x??2020。
（1）求 f ?1?并判断函数 f ?x?的单调性并证明；
（2）解不等式 f ?x?? f ?x?1?? 4040。
2
?x ?10x?100,0? x?20
?
21. 某工厂生产某种产品，每年生产x万件，总成本为 f(x)?? 3600 （万
?35x? ?180,x?20
? x
元），每件商品售价为34元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完。
f(x)
（1）求每件产品的成本g(x)? (元/件）的最小值；
x
（2）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式，并求出
年产量为多少万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
2
22．已知函数 2
f ?x???x?1? ?a ,g?x?? 2x x?a ?5 。
（1）若g?x?在?1,2?上单调递增，求a的范围；
（2）若对任意的x???1,1?，都有 f ?x?? g?x?恒成立，求a的取值范围。
高2023级数学试题第4页，共4页
重庆南开中学高 2023 级高一（上）期中考试
数学参考答案
一、选择题
CCDC BCDA
二、多选题
9．AC 10．BCD 11．ABC 12．ABD
三、填空题
2 1 ?1 7?
13．2 14．?x ? 15． ?1,2? 16．? , ?
x ?2 3?
四、解答题
17. （1） 2
f ?x?? x ?3x ，定义域为(??,0]?[3,??)。
（2） f ?x?定义域为R，即 2
x ?ax?3?a?0在R上恒成立，
即 2
??a ?4?3?a??0，解得?6?a?2 。
18. （1）当a ?3时，A?[?1,2)，B ??0,6?，A?B?[0,2)
? a?3?2
（2）由x?A是x?B的充分不必要条件，可得A是B的真子集，? ，
?a?3??1
解得?1?a?2。经检验，发现a ??1和a ?2均满足题意，故?1?a?2。
? 2a?2
19. （1） f ?x?1?? f ?x??2a?a?b?2x?3 ，得? ，解得a?1,b?2。此时
?a?b?3
2
f ?x?? x ?2x?c ，当x??1时，函数取得最小值?1，可得c ?0，故 2
f ?x?? x ?2x。
k k k
（2）g?x?? x? ?2,令u ? x? ?2，g?x?在[1,??)上单调递增，即u ? x? ?2
x x x
高2023级数学试题第5页，共4页
k
在[1,??)上单调递增，且u ? x? ?2?0在[1,??)上恒成立。
x
k 2
u ? x? ?2?0在[1,??)上恒成立，可得k ??x ?2x在[1,??)上恒成立，即k ??3
x
k
当k ?0时，u ? x? ?2在[1,??)上单调递增，满足题意
x
当k ?0时，u ? x?2在[1,??)上单调递增，满足题意
k
当k ?0时，要使u ? x? ?2在[1,??)上单调递增，只需 k ?1，即0?k ?1。
x
综上，k 的取值范围是??3,1?
20.（1）任取x1,x2 ?0，设x2 ?tx1,?t ?1?，则x2 ? x1， f ?t??2020
由题意得 f ?x2?? f ?tx1?? f ?x1?? f ?t?? 2020? f ?x1 ?
故 f ?x?在?0,???上单调递减。
（2）令x? y?1可得 f ?1??2020
由 f ?x?? f ?x?1?? 4040，可得 f ?x?? f ?x?1??2020? 2020? f ?1?
即 f ?x?x?1??? f ?1?，由 f ?x?在?0,???上单调递减，
?x?x?1??1
? ?1? 5
可得? x?0 解得0? x?
? 2
? x?1?0
? 100
( ) ??x?10? ,0? x?20
f x
21. （1） x
g(x)? ?? ，
x ? 3600 180
35? 2 ? ,x?20
?? x x
100 100
当0? x?20，g(x)? x?10? ?10?2 x? ?30,当x?10取最小值30。
x x
3600 180 1 1
当x?20，g(x)?35? 2 ? ,令t ? ?(0, ) ，
x x x 20
2 1 3
y ?35?3600t ?180t,当t ? ,即x?40,取最小值32
40 4
综上所述，当x?10取最小值30。
高2023级数学试题第6页，共4页
2
??x ?24x?100,0? x?20
?
L(x)?34x? f(x)?? 3600
??x? ?180,x?20
? x
2 2
0? x?20时，?x ?24x?100??(x?12) ?44?44,当x?12,最大值为44
3600 3600 3600
x?20时，?x? ?180?180-(x? )?180-2 x? ?60，
x x x
当x?60,取最大值60。
综上所述，当x?60,取最大值60。
2
? 2x ?2ax?5 x?a
22（1）g?x??? 2
??2x ?2ax?5 x?a
?a ?
①当a?0时，g?x?在? ,???上单调递增，满足条件
?2 ?
? a? a
②当a ?0时，g?x?在???, ?,?a,???上单调递增，故 ?2或a?1。
? 2? 2
故当a?1或a?4时，若g?x?在?1,2?上单调递增。
2
（2）由于对任意的 2
x???1,1?，都有 f ?x?? g?x?恒成立，可得2x x?a ??x?1? ?a ?5
在x???1,1?上恒成立。
即 2 2 2 2 2 2
2x ?2ax? x ?2x?a ?4或者2x ?2ax??x ?2x?a ?4恒成立。
对于 2 2 2 2 2
2x ?2ax??x ?2x?a ?4，化简得3x ?2?a?1?x?a ?4?0，
2
此时 2 2
?1?4?a?1? ?12?a ?4???2a ?4a?8?0 恒成立，
即 2 2
3x ?2?a?1?x?a ?4?0恒不成立。
故只有 2 2 2 2 2
2x ?2ax??x ?2x?a ?4，即x ?2?a?1?x?a ?4?0在x???1,1?上恒成
立。令 2 2
h?x?? x ?2?a?1?x?a ?4。
2 ?1? 7 ?1? 7
①当 2
??4?a?1? ?4?4?a ??0 即 ?a? 时，
2 2
高2023级数学试题第7页，共4页
2 2
x ?2?a?1?x?a ?4?0在R上恒成立，满足题意
②当 2 2
h?x??0的两根均小于?1时，x ?2?a?1?x?a ?4?0在x???1,1?上恒成立。
? ??0
?
此时?a?1??1，解得a??
??h??1??0
③当 2 2
h?x??0的两根均大于1时，x ?2?a?1?x?a ?4?0在x???1,1?上恒成立。
? ??0
?
此时?a?1?1，解得0?a?1
??h?1??0
??1? 7 ?
综上，a??? ,1?
? 2 ??
高2023级数学试题第8页，共4页