四川省遂宁东辰荣兴国际学校2020-2021学年高一上学期第二次半月考试（11月）数学试题 Word版含答案

1249680010782300遂宁东辰荣兴国际学校高2023届高一上期第二次半月考试
数学试题
满分：150分 时间：120分钟
第I卷（选择题）
一、单选题（共12小题，每题5分，共60分）
1.已知集合false，false，则false （ ）
A．false B．false C．false D．false
2.函数+的定义域是 ( )
A. (0, +). B.[-1, + C. (-1,0) U (0, +) D. (-1,+)
3.下列四组函数中，表示同一函数的是 ( )
A.false B. false
C.false D. false
4.下列函数中，既是奇函数又在(0, +)上单调递增的是 ( )
A. B. false C. D.false
5.已知函数false，若false，false，false，则false，false，false的大小关系为 （ ）
A．false B．false C．false D．false.
393636582556.下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中
不正确的是(　 　)
A．这几年生活水平逐年得到提高
B．生活费收入指数增长最快的一年是2015-2016年
C．生活价格指数上涨速度最快的一年是2016-2017年
D．虽然2017-2018年的生活费收入增长缓慢，但生活价格指数略有降低，因而生活水平有较大的改善
7.已知sin(π＋θ)＋cos＝2cos(π－θ)，则sinθcosθ－cos2θ＝(　　)
A． B．－ C． D．
8.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作.其中《方田》章给出计算弧4704080792480田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是 (　　)
A.6 m2 B.9 m2 C.12 m2 D.15 m2
9.已知false是偶函数，它在false上是减函数，若false，则false的取值范围是( )
A.false B. false C.false D.false
10.．函数false的图象可能是 （ ）
A． B．C．D．
11.已知函数false，若存在非零实数false，使得false成立，则实数false的取值范围是(　　)
A．false B．false C．false D．false
12.已知函数false的图像关于false轴对称，当函false在false同时递增或同时递减时，把区间false叫做函数false的“不动区间”,若区间false为函数false的“不动区间”，则实数false的取值范围是 （ ）
A． false B． false C．false D．false
第II卷（非选择题）
二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）
13.已知幂函数false的图象过点false，则false=__________.
14.已知角α的终边在直线y＝2x上，求sin α＋cos α的值为
15.已知函数false，若false，则false________.
16.给出下列命题：
①函数false与false互为反函数，其图象关于直线false对称；
②已知函数false，则false；
③当false且false时，函数false的图像必过定点（2，－2）；
④用二分法求函数false在区间(2，3)内的零点近似值，至少经过3次二分后精确度达到0.1；
⑤函数false的零点有2个。其中所有正确命题的序号是
三．解答题：（共6小题，共70分）
17.(本小题满分10分）
求下列各式的植：
(1)
(2)

18.(本小题满分12分）已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)＝，且<α<，求cos α－sin α的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值.

19.（本题满分12分）水葫芦原产于巴西，1901年作为观赏植物引入中国．现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾，严重影响了航道安全和水生动物生长．某科研团队在某水域放入一定面积的水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过2个月覆盖面积为18 m2，经过3个月覆盖面积为27 m2.现水葫芦覆盖面积y(单位：m2)与经过时间x(x∈N)个月的关系有两个函数模型y＝false(k>0，false>1)与
y＝pfalse＋q(p>0)可供选择．
(1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
(2)求原先投放的水葫芦的面积并求约经过几个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1 000倍．
(参考数据：≈1.414，≈1.732，lg2≈0.301 0，lg3≈0.477 1)



20.（本题满分12分）已知函数false
(Ⅰ)判断函数false在定义域上的单调性，并利用定义加以证明；
(Ⅱ）若对于任意false,不等式false恒成立，求实数false的取值范围。
21.（本题满分12分）已知函数false．
（1）若对于任意false，恒有false成立，求实数false的取值范围；
（2）若false，求函数false在区间[0, 2]上的最大值false．



22.（本题满分12分）已知a∈R，当x>0时，f(x)＝log2.
(1)若函数f(x)的图象过点(1,1)，求此时函数f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝f(x)＋2log2x只有一个零点，求实数a的值；
(3)设a>0，若对任意实数t∈，函数f(x)在[t，t＋1]上的最大值与最小值的差不大于1，求实数a的取值范围．
遂宁东辰荣兴国际学校高2023届高一上期第二次半月考试
数学试题(参考答案）
1-5 CADBC 6-10 CCBBD 11-12 BA
3 14.或－ 15.2 16.①③
17.
(1)原式 = X+ X +3分
= 2 + + = . ……5 分
(2)原式 = -lg2 Ig5
=2 - Ig2 -lg2 Ig5
=2-lg2Ig5
=2-=false ........10分
18. 解　(1)f(α)＝＝sin α·cos α.
(2)由f(α)＝sin α·cos α＝可知，
(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin α·cos α＋sin2α
＝1－2sin α·cos α＝1－2×＝.
又∵<α<，∴cos α ∴cos α－sin α＝－.
(3)∵α＝－＝－6×2π＋，
∴f＝cos·sin
＝cos·sin
＝cos·sin＝×＝.
19.解：(1)∵函数y＝kax(k>0，a>1)中，y随x的增长而增长，且速度越来越快，函数y＝pfalse＋q(p>0)中，y随x的增长而增长，且速度越来越慢，∴依题意应选函数y＝kax(k>0，a>1)．则有解得∴y＝8×false(x∈N)．
(2)由(1)知，当x＝0时，y＝8.设经过x个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1 000倍，则有8×x＝8×1 000，∴x＝log1 000＝＝≈17.04.故原先投放的水葫芦的面积为8 m2，约经过17个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1 000倍．
20.解：(Ⅰ)∵falsefalsefalse，其定义域为R
∴false是R上的增函数 ……2分
证明如下：任取false且false， ……3分
则falsefalse ……5分
∵false，∴false,false,false, ……6分
∴false,即false ……7分
故false是R上的增函数 ……8分
(Ⅱ）由题不等式false恒成立
falsefalse对任意false恒成立
falsefalse，
而false的最小值为false（false时取得）
故false ……12分
（注：也可以false对任意false恒成立falsefalse对任意false恒成立
，∴false，故false）
（1）解法一：对任意的false，恒有false，即false，
整理得false对任意的false恒成立， ………2分
构造函数false，其中false，则false，即false… 4分
即false，解得false，因此，实数a的取值范围是false. ……6分
解法二：对任意的false，恒有false，即false，
整理得false对任意的false恒成立， ……2分
false ………5分
因此，实数a的取值范围是false. ……6分
（2）false．
false false ……7分
①当false，即false时，函数false在false上单调递增，
在false上单调递减，此时false； ………9分
②当false，即false时，false在[0, 2]上单调递增，
此时false． …………11分
综上所述，false． …………12分
22解：(1)∵函数f(x)＝log2的图象过点(1,1)，
∴f(1)＝log2(1＋a)＝1，
∴a＝1，∴此时函数f(x)＝log2(x>0)．
(2)由f(x)＋2log2x＝0，得log2＋2log2x＝0，
∴log2＝0，
∴·x2＝1，化为ax2＋x－1＝0，
当a＝0时，可得x＝1，经检验知满足函数g(x)只有一个零点；
当a≠0时，令Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－，可得x＝2，
经检验知满足函数g(x)只有一个零点，
综上可得a＝0或a＝－.
(3)任取x1，x2∈(0，＋∞)且x1 则f(x2)－f(x1)＝log2－log2＝log2，
∵00，∴0 ∴0<<1，∴log2<0，f(x2)－f(x1)<0，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
∴函数f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值与最小值分别为f(t)，f(t＋1)，
∴f(t)－f(t＋1)＝log2－log2≤1，
整理得at2＋(a＋1)t－1≥0对任意t∈恒成立，
令h(t)＝at2＋(a＋1)t－1，
∵a>0，∴函数h(t)在区间上单调递增，
∴h≥0，即＋－1≥0，解得a≥.
故实数a的取值范围为.