2.1.1 等式的性质与方程的解集
学习目标
1.通过理解等式的性质,体会用等式的性质解方程,培养学生数学抽象能力;
2.通过类比推理,掌握等式推理的基本形式和规则,探索出解方程的核心方法,培养学生逻辑推理能力;
3.通过求方程的解集,培养学生数学运算能力.
自主预习
1.感受等式的性质在现实世界中的体现.
2.理解几个重要的恒等式.
3.会用十字相乘法进行因式分解.
4.理解一元一次方程以及一元二次方程的解集的求法.
课堂探究
一、等式的性质
1.复习回顾
我们已经学习过等式的性质:
(1)等式的两边同时加上同一个数或代数式,等式仍成立;
(2)等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式,等式仍成立.
2.尝试与发现
用符号语言和量词表示上述等式的性质:
(1)如果a=b,则对任意c,都有a+c=b+c;
(2)如果a=b,则对任意不为零的c,都有ac=bc.
因为减去一个数等于加上这个数的相反数,除以一个数等于乘以这个数的倒数,因此上述等式性质中的“加上”与“乘以”如果分别改为“减去”与“除以”,结论仍成立.
二、恒等式
1.尝试与发现
补全下列(1)(2)中的两个公式,然后将下列含有字母的等式进行分类,并说出分类的标准:
(5)a2-b2= (平方差公式);?
(6)(x+y)2= (两数和的平方公式);?
(7)3x-6=0;
(8)(a+b)c=ac+bc;
(5)m(m-1)=0;
(6)t3+1=(t+1)(t2-t+1).
2.感受新知
(1)从量词的角度来对以上6个等式进行分类:
对任意实数都成立的等式有: .?
只是存在实数使其成立的等式有: .?
(2)一般地,含有字母的等式,如果其中的字母取任意实数时等式都成立,则称其为恒等式,也称等式两边恒等.
(3)恒等式是进行代数变形的依据之一.例如,因为(x+y)2=x2+2xy+y2对任意x,y都成立,所以可用其他代数式去替换其中的x,y,等式仍然会成立,若用-z替换其中的y,则
(x-z)2=x2+2x(-z)+(-z)2
=x2-2xz+z2,
由此就得到了以前学过的两数差的平方公式.
3.经典例题
例1 化简(2x+1)2-(x-1)2.
4.课堂练习
(2)a2-6a+9; (2)4m(x-y)-8n(y-x);
(3)-16a2.
反思感悟 分解因式的常用方法
(1)平方差公式法;(2)完全平方公式法;
(3)提取公因式法;(4)十字相乘法.
下面我们介绍另外一个经常会用到的恒等式:对任意的x,a,b,都有
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.
这个恒等式的证明,只需将左边展开然后合并同类项即可.
可以利用这个恒等式来进行因式分解.给定式子x2+Cx+D,如果能找到a和b,使得D=ab且C=a+b,则
x2+Cx+D=(x+a)(x+b).
为了方便记忆,已知C和D,寻找满足条件的a和b的过程,通常用如图来表示,其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C,也正因为如此,这种因式分解的方法称为“十字相乘法”.
例如,对于式子x2+5x+6来说,因为2×3=6且2+3=5,所以
x2+5x+6= .?
练习:用十字相乘法分解因式:
(1)x2+3x+2; (2)x2+2x-15; (3)p2+13p+36.
【尝试与发现】
证明恒等式
(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd.
并由此探讨Ex2+Fx+G的因式分解方法.
上述恒等式的证明,也只需将左边展开然后合并同类项即可.
据此也可进行因式分解.例如,对于3x2+11x+10来说,因为1×3=3,2×5=10,1×5+3×2=11,如图所示,所以3x2+11x+10=(x+2)(3x+5).
三、方程的解集
1.思考:(1)一元一次方程kx+b=0(k≠0)的根是什么?
(2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么?
2.新课讲授
方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值.
一般地,把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集.
利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形,可以得到一些方程的解集.
3.做一做:求方程x2+3x+2=0的解集.
4.想一想:一元二次方程的解集中一定有两个元素吗?
5.经典例题
例2 求方程x2-5x+6=0的解集.
例2说明,如果一个一元二次方程可以通过因式分解化为
(x-x1)(x-x2)=0
的形式,那么就能方便得出原方程的解集.
例3 求关于x的方程ax=2的解集,其中a是常数.
【尝试与发现】
能直接在等式ax=2的两边同时除以a,从而得到x=吗?为什么?
课堂练习
1.设集合A={1,2,3},B={x|3x2-4mx+1=0},若A∩B={1},则m=( )
A.1
B.-
C.
D.-1
2.下列运用等式的性质进行的变形中,正确的是( )
A.如果a=b,那么a+c=b-c
B.如果=,那么a=b
C.如果a=b,那么=
D.如果a2=3a,那么a=3
3.关于x的方程x2+px-2=0的解是1和q,则p= ,p+q的值为 .?
核心素养专练
1.已知U={2,1,0},M={x∈R|x2-2x=0},则?UM=( )
A.{0}
B.{1,2}
C.{1}
D.{1,0,2}
2.下列因式分解,错误的是( )
A.x2+7x+10=(x+2)(x+5)
B.x2-2x-8=(x-4)(x+2)
C.y2-7y+12=(y-3)(y-4)
D.y2+7y-18=(y-9)(y+2)
3.(多选题)下列说法正确的有( )
A.方程2x2-x-1=0的解集是{1,2}
B.方程-6x2-x+2=0的解集是
C.若方程ax2+8ax+21=0的解集是{-7,-1},那么a的值是3
D.如果集合A={x|ax2-2x-1=0}只有一个元素,则a的值是-1
4.已知集合A={-1,2},B={x|ax=1},若B?A,则由实数a的所有可能的取值组成的集合为 .?
5.若集合A={x|x2+2x-8=0},B={x|x2+2(a+1)x+2a2-2=0},则当a=1时,A∩B= ;若A∩B=B,则实数a的取值范围是 .?
6.将下列各式因式分解:
(1)x2+3x+2; (2)2x2-7x+3;
(3)10(x+2)2-29(x+2)+10.
7.已知集合A={x|x2+ax-6=0},B={x|x2+bx+c=0},且A≠B,A∪B={-2,3},A∩B={-2},求a,b,c的值.
参考答案
课堂探究
略
课堂练习
1.A 2.B 3.1 -1
核心素养专练
1.C 2.D 3.BC 4.
5.{-4} a≥3或a<-1
6.(1)(x+1)(x+2) (2)(x-3)(2x-1) (3)(2x-1)(5x+8)
7.解:∵A∩B={-2},∴-2∈A,即(-2)2+(-2)a-6=0,解得a=-1.
∴A={-2,3}.∵A∪B={-2,3},A∩B={-2},且A≠B,
∴B={-2}.∴(-2)2+b(-2)+c=0,Δ=b2-4c=0,解得b=c=4.
综上,a=-1,b=c=4.
学习目标
1.理解等式的性质,能用等式的性质解方程;
2.掌握常见的代数恒等式,并能用恒等式进行化简求值、十字相乘法分解因式;
3.理解方程的解集的含义,会求一元一次方程及一元二次方程的解集.
自主预习
1.等式的性质
问题1:你能写出已经学习过的等式的性质并用符号语言和量词表示吗?
2.恒等式
问题2:你能完成下方的“尝试与发现”,写出你的分类标准吗?
尝试与发现
补全下列(1)(2)中的两个公式,然后将下列含有字母的等式进行分类,并说出分类的标准:
(1)a2-b2= (平方差公式);?
(2)(x+y)2= (两数和的平方公式);?
(3)3x-6=0;
(4)(a+b)c=ac+bc;
(5)m(m-1)=0;
(6)t3+1=(t+1)(t2-t+1).
问题3:什么叫恒等式?证明恒等式:对任意的x,a,b都有(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.怎样利用这个恒等式进行分解因式?
3.方程的解集
问题4:(1)一元一次方程kx+b=0(k≠0)的根是什么?
(2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么?
(3)什么叫做方程的解集?
课堂探究
一、等式的性质
探究一:(1)如果a+c=b+c,一定有a=b吗?
(2)如果ac=bc,一定有a=b吗?
二、恒等式
例1 化简(2x+1)2-(x-1)2.(几种方法)
跟踪训练1:
化简下列各式
(1)a2-6a+9;(2)4m(x-y)-8n(y-x);
(3)-16a2.
探究二:(1)给定式子x2+Cx+D,怎样找到a,b,使得x2+Cx+D=(x+a)(x+b)?
练习:
分解因式(1)x2+3x+2;(2)x2+2x-15;(3)p2+13p+36.
(2)【尝试与发现】
证明恒等式
(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd.
并由此探讨Ex2+Fx+G的因式分解方法.
跟踪训练2:
分解因式:(1)15x2-23x+8;(2)mx2+(m2+m+1)x+m2+m.
三、方程的解集
例2 求方程x2-5x+6=0的解集.
跟踪训练3:求下列方程的解集
(1)x2-4x+4=0;(2)x2+6x+8=0.
思考与讨论:一元二次方程的解集中一定有两个元素吗?
例3 求关于x的方程ax=2的解集,其中a是常数.
【尝试与发现】
能直接在等式ax=2的两边同时除以a,从而得到x=吗?为什么?
归纳总结:含参数的一元一次方程ax=b的解的情况.
核心素养专练
【合格基础练】
1.根据等式的性质,下列结论正确的是( )
A.若=,则x=y
B.若x=y,则=
C.若x+a=y-a,则x=y
D.若x=y,则ax=by
2.(多选题)如果x=y,a为有理数,那么下列等式一定成立的是( )
A.1-y=1-x
B.x2=y2
C.=
D.ax=ay
3.我市某楼盘准备以每平方米15
000元的均价对外销售,有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,为了加快资金周转,房地产开发商对价格经过连续两次下调,最终以每平方米12
150元的均价销售,则平均每次下调的百分率是( )
A.8%
B.9%
C.10%
D.11%
4.若m2-5m-6=(m+a)(m+b),则a,b的值为 .?
5.把下列各式分解因式:
(1)x2+5x-6; (2)(x+y)2-4y(x+y);
(3)x4+11x2-12;
(4)x2-6xy+8y2.
6.求关于x的方程ax=x-1的解集,其中a是常数.
【等级过关练】
7.(多选题)已知集合A={1,2},B={x|ax-2=0},若B?A,则a的值可能是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
8.把下列各式分解因式:
(1)4x2-14xy-18y2;
(2)7(x+y)3-5(x+y)2-2(x+y);
(3)x3-4xy2-2x2y+8y3;
(4)x2-4mx-8mn-4n2.
9.已知a+b=,ab=2,求代数式a3b+2a2b2+ab3的值.
10.已知关于x的方程x-=1-与-=1有相同的解,求a的值及方程的解集.
参考答案
自主预习
略
课堂探究
略
核心素养专练
【合格基础练】
1.A 2.ABD 3.C 4.a=-6,b=1或a=1,b=-6
5.(1)(x+6)(x-1) (2)(x+y)(x-3y)
(3)(x2+12)(x+1)(x-1) (4)(x-2y)(x-4y)
6.解:原方程化为(a-1)x=-1,
当a=1时,无解,∴解集为?;
当a≠1时,x=-=,解集为.
【等级过关练】
7.ABC
8.(1)2(x+y)(2x-9y) (2)(x+y)(x+y-1)(7x+7y+2) (3)(x-2y)2(x+2y) (4)(x+2n)(x-2n-4m)
9.解:a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2,∵a+b=,ab=2,∴原式=2×=2×=.
10.解:∵x-=1-,
∴6x-3(3-2x)=6-(x+2a),
∴x=.
∵-=1,
∴2(2x+a)-(x-a)=6.
∴x=-a+2.
∴=-a+2.
∴a=1.∴x=1.
综上,a=1,解集为{1}.2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
第1课时
学习目标
1.通过对一元二次方程的解集及根与系数的关系的学习,培养数学抽象、逻辑推理的数学素养.
2.通过求一元二次方程的解集,提升数学运算素养.
自主预习
阅读课本P47~50,填空.
1.一元二次方程的一般形式是什么?
思考:你认为最简单的一元二次方程具有什么样的形式?可以怎样得到这种方程的解集?举例说明.
总结:(1)一般地,方程x2=t.
当t>0时,解集为 ;?
当t=0时,解集为 ;?
当t<0时,解集为 .?
(2)方程(x-k)2=t.
当t>0时,解集为 ;?
当t=0时,解集为 ;?
当t<0时,解集为 .?
2.将x2+2x+3=0化为(x-k)2=t的形式,并写出这个方程的解集.
归纳总结:
直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.
课堂探究
问题1:如何利用配方法,将ax2+bx+c=0(a≠0)化为(x-k)2=t的形式?
归纳总结:(1)配方法:通过方程的简单变形,将左边配成一个含有未知数的完全平方式,若右边是一个非负常数,则可以运用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
(2)ax2+bx+c=0(a≠0)= (配方后的形式).?
问题2:方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集情况如何?谁决定方程的解集情况?二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)图像与x轴交点情况如何?
归纳总结:
1.一般地, 称为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判别式.通常用Δ表示,即Δ=b2-4ac.?
2.当Δ>0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有 实数根,函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有 个交点;当Δ=0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有 实数根,函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有 个交点;当Δ<0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 实数根,函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有 个交点.?
问题3:当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集不是空集时,方程的解是什么?
归纳总结:
公式法:将一元二次方程中的系数a,b,c的值代入式子x=中,就求得方程的根,这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
当堂练习
1.用这节课所学习的方法解前边情境与问题中的一元二次方程.
2.求下列方程的解集:
(1)(x-3)2-49=0;
(2)(x-1)2=(4-2x)2;
(3)2x2+4x-1=0.
例题 求方程x-2-1=0的解集.
变式:解方程(1)x4-x2-2=0;(2)x2--2=0.
课堂小结
求解一元二次方程的方法有哪些?
课堂练习
1.一元二次方程x2-16=0的解集是( )
A.{-8,8}
B.{-4}
C.{4}
D.{-4,4}
2.用配方法解方程x2-8x+5=0,将其化为(x+a)2=b的形式,正确的是( )
A.(x+4)2=11
B.(x+4)2=21
C.(x-8)2=11
D.(x-4)2=11
3.用公式法解方程6x-8=5x2时,a,b,c的值分别是( )
A.5,6,-8
B.5,-6,-8
C.5,-6,8
D.6,5,-8
4.求下列方程的解集:
(1)(x+1)2=12; (2)3x2-x=15-x;
(3)x4+4x2-12=0;
(4)4x2+8x+1=0.
核心素养专练
1.一元二次方程x2-9=0的解集是( )
A.{3}
B.{-3}
C.{-3,3}
D.{-9,9}
2.一元二次方程x2=3x的解集是( )
A.{0}
B.{3}
C.{-3}
D.{0,3}
3.一元二次方程4x2+1=4x的解集情况是( )
A.为空集
B.只有一个元素
C.有两个元素
D.无法确定元素的个数
4.用配方法解下列方程,配方正确的是( )
A.2y2-4y-4=0可化为(y-1)2=4
B.x2-2x-9=0可化为(x-1)2=8
C.x2+8x-9=0可化为(x+4)2=16
D.x2-4x=0可化为(x-2)2=4
5.将方程x2-2x=3化为(x-m)2=n的形式,则m,n分别是 .?
6.求下列方程的解集:
(1)2x2+5x=-2;
(2)x4-7x2+12=0;
(3)-2(x2-5x)-24=0;
(4)--2=0; (5)2x-=5.
参考答案
自主预习
略
课堂探究
略
课堂小结
略
课堂练习
1.D 2.D 3.C
4.(1){2-1,-2-1} (2){-,}
(3){-,} (4)
核心素养专练
1.C 2.D 3.B 4.D
5.1,4
6.(1) (2){-2,-,,2}
(3)原方程可化为
(x2-5x+4)(x2-5x-6)=0,
∴(x-1)(x-4)(x+1)(x-6)=0,
∴方程的解集为{-1,1,4,6}.
(4)原方程可化为
=0,
∴+1=0或-2=0,
即=0或=0.
∴方程的解集为.
(5)令=t,则2x=t2-1(t≥0),
∴原方程可化为t2-1-t=5,
即t2-t-6=0,
∴t=3或t=-2(舍),
∴=3,
∴x=4,
方程的解集为{4}.
学习目标
1.学生在初中已经掌握解一元二次方程,本课时进一步深化对配方法的理解;
2.通过对一元二次方程实根个数的讨论,进一步深入理解分类讨论的数学思想;
3.引入换元法解一元二次方程的思想,体会数学学习过程中化繁为简解决问题的基本方法;
4.结合具体的实际应用问题,让学生借助数学抽象转化为方程求解问题进行求解运算,提升数学抽象、数学运算的素养.
自主预习
《九章算术》第九章“勾股”问题二十:今有邑方不知大小,各中开门.出北门二十步有木,出南门一十四步,折而西行一千七百七十五步见木.问邑方几何.
问题二十的译文:今有正方形小城,其边长是未知数,城墙各边正中都开有一门.出北门,20步处有一棵树,出南门14步,转向西走1
775步恰好能看见那棵树.求正方形小城的边长是多少.
根据题中的描述可作出示意图,如图所示,其中A点代表北门,B处是木,C点代表南门,而且AB=20,CD=14,DE=1
775,求正方形的边长.
课堂探究
对用因式分解法不容易得到解集的一元二次方程,我们该如何下手去研究呢?
提出问题:你认为最简单的一元二次方程具有什么样的形式?可以怎样得到这种方程的解集?
1.独立完成P48的第一个尝试与发现.
2.学生独立完成后相互交流下各自的答案.
一般地,方程x2=t.
(1)当t>0时, ;?
(2)当t=0时, ;?
(3)当t<0时, .?
一般地,方程(x-k)2=t.
(1)当t>0时, ;?
(2)当t=0时, ;?
(3)当t<0时, .?
3.结合前面教师的讲解,学生尝试独立完成第二个的“尝试与发现”.
4.相互交流,谈谈“尝试与发现”的结果与初中所学的用公式法求解的关系以及判别式研究方程根的情况的异同.
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)化为(x-k)2=t的形式,过程如下:
例题 求方程x-2-1=0的解集.
跟踪练习
求下列方程的解集:
(1)x4-x2-2=0;
(2)x2--2=0;
(3)x2++x--4=0.
核心素养专练
1.已知关于x的一元二次方程|m|x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围.
2.如图,要在长25
m的墙EF的一边,通过砌墙来围一个矩形花园ABCD,与围墙平行的一边BC上要预留3
m宽的入口(如图中MN所示,入口不用砌墙),用能砌46
m长墙的材料砌墙,当矩形的长BC为多少米时,矩形花园的面积为299
m2?
参考答案
自主预习
略
课堂探究
2.一般地,方程x2=t.
(1)当t>0时,解集为{,-}.
(2)当t=0时,解集为{0};
(3)当t<0时,解集为?.
一般地,方程(x-k)2=t.
(1)当t>0时,解集为{k+,k-}.
(2)当t=0时,解集为{k};
(3)当t<0时,解集为?.
4.略
例题 解法一:设=y,则y≥0,原方程可变为y2-2y-1=0,
∴y2-2y+1=2,
∴(y-1)2=2,
∴y=1+或y=1-(舍).
从而=1+,即x=3+2,
∴原方程的解集为{3+2}.
解法二:原方程可化为x-1=2,
因为≥0,所以x-1≥0,即x≥1.
方程两边平方得x2-2x+1=4x,
化简得x2-6x+1=0,
∴x2-6x+9=8,
∴(x-3)2=8,
∴x=3+2或x=3-2(舍),
∴原方程的解集为{3+2}.
跟踪练习
(1){,-} (2){,-}
(3)
核心素养专练
1.-1
2.23
m2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
第2课时
学习目标
1.掌握一元二次方程的根与系数的关系.
2.会用其求一些关于方程两根的代数式的值.
3.通过对一元二次方程解集及根与系数的关系的学习,培养数学抽象、逻辑推理的数学素养.
自主预习
阅读课本P50尝试与发现.
问题:已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集不是空集时,方程的解是什么?
x1= ;x2= ;?
x1+x2= ;?
x1x2= .?
总结:这一结论称为一元二次方程根与系数的关系.
课堂探究
例1 (一元二次方程的根与系数的关系)已知一元二次方程2x2+3x-4=0的两根为x1与x2,求下列各式的值:
(1)+; (2)|x1-x2|.
课堂练习:
1.已知一元二次方程2x2+2x-1=0的两个根为x1,x2,且x1A.x1+x2=1
B.x1x2=-1
C.|x1|<|x2|
D.+x1=
2.已知α,β是一元二次方程x2+x-2=0的两个实数根,则α+β-αβ的值是( )
A.3
B.1
C.-1
D.-3
总结归纳:利用根与系数的关系求有关代数式的值的一般方法.
例2 (与一元二次方程相关的求未知字母的值或范围问题)已知关于x的一元二次方程2x2-kx+3=0的解集中只有一个元素,则k的值为( )
A.±2
B.±
C.2
D.2或3
课堂练习
1.已知x=-1是关于x的一元二次方程2x2+kx-1=0的一个根,则实数k的值为( )
A.1
B.-1
C.0
D.2
2.若关于x的一元二次方程x2-(2a+1)x+a2=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围为 .?
总结归纳:如何根据已知条件求一元二次方程中字母系数的取值或取值范围问题.
课堂小结
一元二次方程根与系数的关系.
当堂检测
1.已知实数x1,x2满足x1+x2=7,x1x2=12,则以x1,x2为根的一元二次方程是( )
A.x2-7x+12=0
B.x2+7x+12=0
C.x2+7x-12=0
D.x2-7x-12=0
2.设x1,x2是方程2x2-9x+6=0的两个根,求下列各式的值.
(1)+;
(2)(x1-3)(x2-3);
(3)x1-x2.
核心素养专练
1.已知α,β是一元二次方程x2-5x-2=0的两个不相等的实数根,则α+β+αβ的值为( )
A.-1
B.9
C.3
D.27
2.若关于x的一元二次方程x2-4x+m=0的一个根为x=2-,则方程中m的值及方程的另一个根分别是
( )
A.1,2+
B.-1,2+
C.1,-2-
D.-1,-2-
3.若关于x的一元二次方程x2+2x-m=0的解集中只有一个元素,则m的值为 .?
4.已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图像如图所示,则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解集为 .?
5.已知一元二次方程x2+3x-1=0的两根分别为x1,x2,利用根与系数的关系求下列式子的值:
(1)x2+x1; (2)+; (3)|x1-x2|;
(4)+;
(5)+.
6.当m取何值时,关于x的方程(m+2)x2+2x-1=0有两个不相等的实数根?
参考答案
自主预习
略
课堂探究
略
课堂练习
略
课堂小结
略
当堂检测
1.A
2.解:由根与系数的关系,得x1+x2=,x1x2=3.
(1)+==÷3=.
(2)(x1-3)(x2-3)
=x1x2-3(x1+x2)+9
=3-3×+9=-.
(3)∵(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=-4×3=,
∴x1-x2=±.
核心素养专练
1.C 2.B 3.-1 4.{-1,3}
5.解:(1)3 (2)3 (3)
(4)原式====11.
(5)原式=(x1+x2)(-x1x2+)=(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2]=(-3)×[(-3)2+3]=-36.
6.解:由题意得
∴
∴m>-3且m≠-2.
学习目标
1.结合学生已经学习掌握的相关知识,推导得到一元二次方程的根与系数的关系;
2.训练学生借助根与系数的关系,解决相关问题;
3.让学生在利用根与系数的关系求解相关代数式的值的过程中,体会代换的思想,训练学生数学抽象、数学运算的素养.
自主预习
我们知道,当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集不是空集时,这个方程的解可以记为x1=,x2=.那么你能否通过计算,得到当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集不是空集时两根和与两根积的值呢?
【学生活动】
1.学生自主通过计算完成课本第50页上面的“尝试与发现”;
2.让学生对结论的结构特征进行分析.
课堂探究
我们得到的两根之和、两根之积都是由方程的系数确定的,这一结论对两根相等的情况也是适用的,那么能否结合它们与系数的关系,换一种方式得到两根和与两根积的值呢?
例题(课本第50页例2)已知一元二次方程2x2+3x-4=0的两根为x1与x2,求下列各式的值:
(1)+;
(2)|x1-x2|.
评价反馈
1.(课本P51练习B第2题)已知方程x2-2x+1=0的两根为x1与x2,求下列各式的值:
(1)x2+x1;
(2)+.
2.(课本P51练习B第3题)已知关于x的方程x2-2x+m-1=0的两根同号,求实数m的取值范围.
课后拓展
练习B 1,4,5题.
参考答案
自主预习
略
课堂探究
例题 解:由一元二次方程根与系数的关系,得
x1+x2=-,x1x2=-2.
(1)由上有,
+=-2x1x2=-2×(-2)=.
(2)因为
=-4x1x2=-4×(-2)=.
所以|x1-x2|==.
评价反馈
1.(1)2 (2)2
2.(1,2]2.1.3 方程组的解集
学习目标
1.理解消元法解方程组的思想,会用消元法解二元一次方程组,三元一次方程组.
提高数学抽象、数学运算的学科素养.
2.掌握解三元一次方程组过程中三元化二元或一元的基本思路,进一步体会“消元”思想.
提高直观想象的学科素养.
3.理解消元法解二元二次方程组的基本思路,会解简单的二元二次方程组.在特定语境中能正确列出方程组.提高数学运算的核心素养.
4.通过求方程组的解集,让学生逐步体会数学学习严谨的学习态度和周密的思考方法.培养学生逻辑推理的学科素养.
重点:
1.用消元法解方程组.
2.判断方程组是有限集还是无限集.
3.解读古代数学语境,能正确列出方程组.
难点:
在应用题中正确解读语境,能够列出题目要求的方程组.
自主预习
一、新知探究
1.方程组的解集
一般地,将多个方程联立,就能得到方程组,方程组中,由每个方程的解集得到的 称为这个方程组的解集.?
2.求方程组解集的依据是等式的性质等,常用的方法是 .?
3.二元一(二)次方程组解集的表示方法为 ,三元一次方程组解集的表示方法为 .?
二、初显身手
1.用代入法解方程组时,代入正确的是
( )
A.x-2-x=4
B.x-2-2x=4
C.x-2+2x=4
D.x-2+x=4
2.二元一次方程组的解集为( )
A.{(x,y)|(2,3)}
B.{(x,y)|(3,2)}
C.{(x,y)|(-2,3)}
D.{(x,y)|(-2,-3)}
3.已知A={(x,y)|x+y=5},A={(x,y)|2x-y=4},则A∩B= .?
课堂探究
课堂引入:
李阳求得方程组的解集为{(x,y)|(5,Θ)},由于不小心滴了墨水,刚好遮住两个数?和Θ,你能帮他找回这两个数吗?
【尝试与发现】
将x-y=1看成含有两个未知数x,y的方程:
(1)判断(x,y)=(3,2)是否是这个方程的解;
(2)判断这个方程的解集是有限集还是无限集.
合作探究一:思考两分钟,然后小组讨论达成共识,准备展示:
总结:
概念形成:
将方程x+y=3与x-y=1形成一个方程组,解这个方程组,想一想用到的方法是什么?
一般地,将多个方程联立,就能得到方程组.方程组中,由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集.
思考:二元一次方程组是否一定有解呢?通过下述题目给出答案:
(1) (2)
试一试:你能解决课堂引入的题目了吗?
有关方程组的求解问题在古代《九章算术》中已经进行了深入的研究.请看:
《九章算术》第八章“方程”问题一:今有上禾三秉⑧,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗⑤;上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,实三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,实二十六斗.问上、中、下禾实一秉各几何.
请根据题意完成横线上内容:
设上禾实一秉x斗,中禾实一秉y斗,下禾实一秉z斗,根据题意可列方程组
由此可解得这个方程组的解集为(3) .?
总结:
类比上面研究二元一次方程组的学习方法思考下面“尝试与发现”
【尝试与发现】
设方程组的解集为A.判断(x,y,z)=(3,2,0)和(x,y,z)=(4,4,1)是否是集合A中的元素;判断A是一个有限集还是一个无限集.
合作探究二:思考两分钟,然后小组讨论达成共识,准备展示:
总结:
例1 求方程组的解集.
变式训练:求下列方程组的解集.
总结:
例2 求方程组的解集.
总结:
评价反馈
1.求下列方程组的解集:
(1) (2)
2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过点(-1,2),(2,8),(5,158),求这个二次函数的解析式.
课堂小结
布置作业
层次一:课后练习题
层次二:练习册
参考答案
自主预习
一、新知探究
1.交集 2.消元法 3.(x,y)(x,y,z)
二、初显身手
1.C 2.A 3.{(3,2)}
课堂探究
课堂引入
略
概念形成
②-①得:2y=2,y=1, ③
将③代入①得:x=2.
所以,解集为{(x,y)|(2,1)}.
思考:
(1)? (2){(x,y)|2x-y=-1,x∈R,y∈R}
九章算术
(1)2x+3y+z=34;(2)x+2y+3z=26;
(3).
例1 解:将②代入①,整理得x2+x-2=0,解得x=1或x=-2,
利用②可知,x=1时,y=2;x=-2时,y=-1,
所以原方程组的解集为{(1,2),(-2,-1)}.
变式训练
解:
由①得:y=7-x,③
将③代入②得:x(7-x)=12,
即:x2-7x+12=0,
x=3或x=4,
当x=3时,y=4.
当x=4时,y=3.
所以,解集为{(3,4),(4,3)}.
例2 解:由②得:x2+y2-2x-4y=-4,③
①-③得:x+2y=3,即x=3-2y,④
将④代入①得:5y2-12y+7=0,
所以y=1或y=.
当y=1时,x=1;当y=时,x=.
所以解集为.
评价反馈:
1.(1){(-2+3,4-6),(-2-3,4+6)}
(2)
2.y=8x2-6x-12
学习目标
1.会用消元法解二元一次方程组和三元一次方程组.
2.掌握二元二次方程组的解法.
3.能够根据具体的数量关系,列出方程组解决简单的实际问题,尤其与中国古代数学史有关的数学问题.
自主预习
1.我们以前是利用什么方法解二元一次方程组的?
2.方程的解与方程的解集的区别与联系是什么?
3.(1)求方程组的解.
(2)求一元二次方程x2+x-2=0的解集.
课堂探究
一、导入新课
问题1:
将x-y=1看成含有两个未知数x,y的方程:
(1)判断(x,y)=(3,2)是否是这个方程的解;
(2)判断这个方程的解集是有限集还是无限集.
问题2:
设集合A={(x,y)|x-y=1},B={(x,y)|x+y=3},A∩B= .?
方程组的解集如何表示?
1.方程组的解集
一般地,将多个方程联立,就能得到方程组.方程组中,由每个方程的解集得到的 称为这个方程组的解集.?
2.求方程组解的过程要不断应用等式的性质,常用的方法是
,一般可以分为
消元法和 消元法.?
3.二元一次方程组解集的表示方法为 ,三元一次方程组解集的表示方法为 .?
二、典型例题
(一)三元一次方程组的解法
例1 求下列方程组的解集.
问题:同学们想一下,求解三元一次方程组的一般方法是怎样的?
归纳小结:
变式训练:设方程组的解集为集合A.判断(x,y,z)=(3,2,0)和(x,y,z)=(4,4,1)是否为集合A中的元素;判断A是一个有限集还是无限集.如何表示方程组的解集?(提示:可以将其中一个变量当作常数)
(二)二元二次方程组的解法
例2 求下列方程组的解集
(1)
(2)
问题1:现在请同学们想一下,求解二元二次方程组的一般方法是怎样的?
归纳小结:
变式训练:求方程组的解集.
(三)方程组的实际应用
例3 《九章算术》第八章“方程”问题一:今有上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗;上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,实三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,实二十六斗.问上、中、下禾实一秉各几何.(禾:粮食作物的总称.秉:束.斗:计量单位,1斗=10升.)(请列方程组解决这个问题)
问题:解答应用题的一般思路是怎样的?
归纳小结:
当堂检测
1.方程组的解集是( )
A.(5,4)
B.(5,-4)
C.{(-5,4)}
D.{(5,-4)}
2.求方程组的解集时,要使运算简便,消元的方法应选取( )
A.先消去x
B.先消去y
C.先消去z
D.以上说法都不对
3.设计一个二元二次方程组,使得这个二元二次方程组的解是和试写出符合要求的方程组 .(写一个即可)?
4.《九章算术》是我国古代数学的经典著作,书中有一个问题:“今有黄金九枚,白银一十一枚,称之重适等,交易其一,金轻十三两,问金、银一枚各重几何?”意思是:甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金质量相同),乙袋中装有白银11枚(每枚白银质量相同),称重两袋相等,两袋互相交换1枚后,甲袋比乙袋轻了13两(袋子质量忽略不计),问黄金、白银每枚各重多少两?设每枚黄金重x两,每枚白银重y两,根据题意可列方程组为 .?
课堂小结
本节课我们主要学习了哪些主要内容?你有什么收获?
课后作业
1.阅读课本,结合学案,进行知识整理,整理笔记本,尤其要阅读一下课本第52页的拓展阅读.了解一下《九章算术》在代数中的一些成就.
2.基础自测:课本第54页练习A,第55页练习B.
3.能力提升:
(1)若==,且a-b+c=12,则2a-3b+c等于
( )
A.
B.2
C.4
D.12
(2)若|3a+b+5|+|2a-2b-2|=0,则2a2-3ab的值是( )
A.14
B.2
C.-2
D.-4
(3)我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题:今有甲乙丙三人持钱,甲语乙丙:各将公等所持钱,半以益我,钱成九十(意思是把你们两个手上的钱各分一半,我手上就有90钱);乙复语甲丙,各将公等所持钱,半以益我,钱成七十;丙复语甲乙:各将公等所持钱,半以益我,钱成五十六.则乙手上有( )钱.
A.28
B.32
C.56
D.70
(4)已知方程组则“k=±”是方程组的解集中只含有一个元素的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(5)已知x=2,y=-1,z=-3是三元一次方程组的解,则m2-7n+3k的值为 .?
(6)某班对思想品德、历史、地理三门课程的选考情况进行调研,数据如下:
科目
思想品德
历史
地理
参考人数(人)
19
13
18
其中思想品德、历史两门课程都选了的有3人,历史、地理两门课程都选了的有4人,则该班选了思想品德而没有选历史的有 人;该班至少有学生 人.?
(7)已知x,y满足方程组
①甲看了看说:这是二元一次方程组;乙想了想说:这不是二元一次方程组,甲、乙两人的说法正确的是 .?
②求x2+4y2的值.
③若已知:+=和(2y+x)2=x2+4y2+4xy,则+= (直接求出答案,不用写过程).?
(8)水果市场将120吨水果运往各地商家,现有甲、乙、丙三种车型供选择,每辆车的运载能力和运费如下表所示:(假设每辆车均满载)
车型
甲
乙
丙
汽车运载量(吨/辆)
5
8
10
汽车运费(元/辆)
400
500
600
①若全部水果都用甲、乙两种车型来运送,需运费8
200元,问分别需甲、乙两种车型各几辆?
②市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送(每种车型至少1辆),已知它们的总辆数为16辆,你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗?
参考答案
自主预习
1.略
2.略
3.(1)
(2){-2,1}.
课堂探究
略
当堂检测
1.D 2.B
3.答案不唯一,如
4.
课堂小结
略
课后作业
3.(1)C (2)D (3)B (4)A (5)113 (6)16,29 (7)①乙 ②17 ③±
(8)解:①设需甲车型x辆,乙车型y辆,得:
解得
答:需甲车型8辆,乙车型10辆.
②设需甲车型x辆,乙车型y辆,丙车型z辆,得:
消去z,得5x+2y=40,x=8-y,
因x,y是正整数,且不大于16,得y=5,10,
由z是正整数,解得或
当x=6,y=5,z=5时,总运费为:6×400+5×500+5×600=7
900(元);
当x=4,y=10,z=2时,总运费为:4×400+10×500+2×600=7
800(元)<7
900(元);
运送方案:甲车型4辆,乙车型10辆,丙车型2辆.2.2.1 不等式及其性质
第1课时
学习目标
1.使学生能在实际问题中找到不等关系,并能列出不等式和不等式组,抽象成数学问题;
2.引导学生运用对比联想,得到不等式的简单性质,并学会用综合法证明不等式;
3.使学生掌握“作差法”比较两个数或两个代数式的大小;
4.让学生对不等式性质进行直观解释和逻辑证明,逐步提升学生的代数推理能力,发展直观想象和逻辑推理素养.
自主预习
1.任意给两个实数a,b,那么a≥b? .?
2.实数大小比较 符号表示
如果a-b是正数,那么 ?
a-b>0?a>b;
如果a-b等于0,那么 ?
a-b=0?a=b;
如果a-b是负数,那么 ,?
反之也成立.a-b<0?a3.不等式的性质
性质1 推论1 ?
性质2 ?
推论2 ?
性质3 ?
推论3 ?
性质4 ?
推论4 ?
性质5 ?
推论5 ?
课堂探究
例1 比较x2-x和x-2的大小.
跟踪训练1 若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是( )
A.f(x)B.f(x)=g(x)
C.f(x)>g(x)
D.随x值变化而变化
例2 求证:
如果a+b>c,则a>c-b.
跟踪训练2
1.如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.
2.如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.
核心素养专练
1.对于实数a,b,c,有下列说法,其中正确选项是( )
A.若a>b,则acB.若ac2>bc2,则a>b
C.若aab>b2
D.若a>b,>,则a>0,b<0
2.若A=a2+3ab,B=4ab-b2,则A,B的大小关系是( )
A.A≤B
B.A≥B
C.AB
D.A>B
3.已知x<1,比较x3-1与2x2-2x的大小.
4.若bc-ad≥0,bd>0,求证:≤.
参考答案
自主预习
1.a≤b 2.a>b,a=b,a3.性质1 如果a>b,那么a+c>b+c
推论1 如果a+b>c那么a>c-b
性质2 如果a>b,c>0,那么ac>bc
推论2 如果a>b,c>d,那么a+c>b+d
性质3 如果a>b,c<0,那么ac推论3 如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd
性质4 如果a>b,b>c,那么a>c
推论4 如果a>b>0,那么an≥bn(n∈N,n>1)
性质5 a>b?b推论5 如果a>b>0,那么>
课堂探究
例1 解:因为
(x2-x)-(x-2)
=x2-2x+2
=(x-1)2+1,
又因为(x-1)2≥0,所以(x-1)2+1≥1>0,
所以(x2-x)-(x-2)>0,
所以x2-x>x-2.
跟踪训练1 C
解析:f(x)-g(x)=(3x2-x+1)-(2x2+x-1)
=x2-2x+2=(x-1)2+1>0,
所以f(x)>g(x).故选C.
例2 证明:(方法一)“作差”
a-(c-b)=(a+b)-c
因为a+b>c,
所以(a+b)-c>0,
所以a>c-b.
(方法二)根据“性质1”
在a+b>c两边同时加上-b,不等式依然成立.
即a+b+(-b)>c+(-b),
即a>c-b.
跟踪训练2
1.证明:(方法一)“作差”
(a+c)-(b+d)=(a-b)+(c-d),
因为a>b,c>d,
所以a-b>0,c-d>0,
所以a+c>b+d.
(方法二)根据“性质1”和“性质4”.
由“性质1”,有
a>b?a+c>b+c,
c>d?c+b>d+b,
由“性质4”(传递性),
有a+c>b+d.
2.证明:(方法一)“作差”
ac-bd=a(c-d)+d(a-b),
因为a>b>0,c>d>0,
所以a-b>0,c-d>0,
所以ac>bd.
(方法二)根据“性质2”和“性质4”.
由“性质2”,有
a>b,c>0?a·c>b·c,
c0?c·b>d·b,
由“性质4”(传递性),
有ac>bd.
核心素养专练
1.B
2.B 解析:因为A-B=a2+3ab-(4ab-b2)=+b2≥0,所以A≥B.
3.解:x3-1-(2x2-2x)
=x3-2x2+2x-1
=(x3-x2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2
=(x-1)(x2-x+1)=(x-1)·,
因为x<1,所以x-1<0.
又因为+>0,
所以(x-1)<0,
所以x3-1<2x2-2x.
4.证明:因为bc-ad≥0,
所以ad≤bc.
因为bd>0,
所以≤,
所以+1≤+1,
所以≤.
学习目标
1.了解现实世界和日常生活中的不等关系.
2.掌握比较实数大小的基本方法—作差法,掌握作差法比较代数式大小的基本步骤.
3.理解不等式的性质,能利用不等式的性质证明简单的不等式及比较大小.
自主预习
1.不等关系与不等式
不等式的定义:?
.?
在上述不等式符号中,要特别注意“≥”“≤”.
任意给定两个实数a,b,则a≥b??
a≤b??
2.两实数(代数式)大小比较
实数与数轴上的点 ,即 ?
.?
点的坐标的定义: .?
另外,数轴上的点往数轴的正方向运动时,它所对应的实数会 .一个数加上一个正数,相当于数轴上对应的点向 方向移动了一段距离;一个数减去一个正数(即加上一个负数),相当于数轴上对应的点向 方向移动了一段距离.?
由此可以看出,要比较两个实数a,b的大小,只需考察 与 的相对大小就可以了,即?
? ?
? ?
? ?
3.不等式的性质
性质1 ?
性质2 ?
性质3 ?
性质4 ?
性质5 ?
课堂探究
[合作探究1]5≥3,2≥2,2≤2这三个命题都是真命题吗?
[合作探究2]结合图1找到a图1
[要点归纳1]
[典型例题1]比较x2-x和x-2的大小.
[要点归纳2]
性质1 如果a>b,那么a+c>b+c.
图2
[思考](1)结合图2利用数轴,给出性质1的直观解释;(2)证明性质1.
性质2 如果a>b,c>0,那么ac>bc.
性质3 如果a>b,c<0,那么ac[试一试]请参考性质1的证明方法,尝试证明性质2,3.
性质4 如果a>b,b>c,则a>c.
图3
[思考](1)结合图3利用数轴,给出性质4的直观解释;(2)证明性质4.
性质5 a>b?b[试一试](1)利用数轴,给出性质5的直观解释;(2)证明性质5.
[合作探究3]用“充分不必要”“必要不充分”“充要”填空:
(1)a>b是a+c>b+c的 条件;?
(2)如果c>0,则a>b是ac>bc的 条件;?
(3)如果c<0,则a>b是ac(4)a>b且b>c是a>c的 条件.?
[评价反馈]
1.判断下列命题的真假:
(1)当x=3时,x≥3;
(2)当x>3时,x≥3;
(3)当x≥3时,x=3;
(4)当x≥3且x≤3时,x=3.
2.填空:
(1)x+5 x+2;?
(2)a(3)a(4)当c 0时,a>b?ac(5)a>b?a-1 b-2.?
3.已知t=a+4b,s=a+b2+4,则t和s的大小关系是( )
A.t>s
B.t≥s
C.tD.t≤s
核心素养专练
1.b克糖水中有a克糖(b>a>0),若再添上m克糖(m>0),则糖水变甜了,根据这个事实提炼的一个不等式为( )
A.<
B.>
C.<
D.>
2.设a=3x2-x+1,b=2x2+x,x∈R,则( )
A.a>b
B.aC.a≥b
D.a≤b
3.(多选)下列说法正确的是( )
A.某人月收入x不高于2
000元可表示为“x<2
000”
B.小明的身高x
cm,小华的身高y
cm,则小明比小华矮表示为“x>y”
C.某变量x至少是a可表示为“x≥a”
D.不等式x≥2的含义是指x不小于2
4.下列命题中正确的有 .(填序号)?
(1)不等式x≥3的含义是指x不小于3.
(2)若a(3)若a>b,则ac>bc一定成立.
5.当m>1时,m3与m2-m+1的大小关系为 .?
6.某公司有20名技术人员,计划开发A,B两类共50件电子器件,每类每件所需人员和预计产值如下:
产品种类
每件需要人员数
每件产值(万元/件)
A类
7.5
B类
6
今制定计划欲使总产值最高,则A类产品应生产 件,最高产值为 万元.?
7.已知x∈R且x≠-1,比较与1-x的大小.
参考答案
自主预习
略
课堂探究
略
核心素养专练
1.B [糖水变甜了,说明糖水中糖的浓度增加了,故>.]
2.C [∵a-b=x2-2x+1=(x-1)2≥0,∴a≥b.]
3.CD [对于A,x应满足x≤2
000,故A错;对于B,x,y应满足x4.(1)(2) [(1)正确.不等式x≥3表示x>3或x=3,即x不小于3,故此说法是正确的.(2)正确.不等式a≤b表示a5.m3>m2-m+1 [∵m3-(m2-m+1)=m3-m2+m-1=m2(m-1)+(m-1)=(m-1)(m2+1).
又∵m>1,故(m-1)(m2+1)>0.∴m3>m2-m+1.]
6.20 330 [设应开发A类电子器件x件,则开发B类电子器件(50-x)件,则+≤20,解得x≤20.
由题意,得总产值y=7.5x+6×(50-x)=300+1.5x≤330,
当且仅当x=20时,y取最大值330.
所以应开发A类电子器件20件,能使产值最高,为330万元.]
7.解:∵-(1-x)==,
当x=0时,=1-x;
当1+x<0,即x<-1时,<0,
∴<1-x;
当1+x>0且x≠0,即-10时,>0,
∴>1-x.2.2.3 一元二次不等式的解法
学习目标
1.经历从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的过程,能用符号语言来描述这个模型,提升数学抽象素养;
2.通过一元二次不等式实例的求解,能概括解一元二次不等式的一般步骤,提高总结归纳能力;会运用一元二次不等式知识解决有关的问题,发展数学应用意识.
自主预习
汽车在行驶中,由于惯性,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止,一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.
在一个限速为40
km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了.事后现场勘查,测得甲车的刹车距离略超过6
m,乙车的刹车距离略超过10
m.已知甲、乙两种车型的刹车距离s
m与车速v
km/h之间的关系分别为s甲=v2-v,s乙=v2-v.试判断甲、乙两车有无超速现象.
不难看出,要判断甲、乙两车是否超速,就是要得到它们车速的取值范围,也就是要解不等式
v2-v>6和 ,?
即v2-10v-600>0和 ,?
一般地,形如ax2+bx+c>0的不等式称为 ,其中a,b,c是 ,而且 .一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等.?
[尝试与发现1]任意选定一些数,看它们是否是不等式x(x-1)>0的解,由此给出解这个不等式的方法.
注意到 ,结果才能是正数,也就是说,ab>0当且仅当?
或
因此,不等式可以转化为两个不等式组或
用类似的方法可以求得不等式(x+1)(x-1)<0的解,但此时的依据是:ab<0当且仅当
或 ,?
因为不等式可以转化为两个不等式组或
一般地,如果x1不等式(x-x1)(x-x2)>0的解集是 .?
[尝试与发现2]通过代入数值验证的方法,猜测以下一元二次不等式的解集,由此总结求一元二次不等式解集的一般方法:
(1)x2<-1;(2)x2>-2;(3)x2<9.
因为任何一个实数的平方一定是一个非负数,因此上述尝试与发现中(1)的解集为 ,(2)的解集为 .?
对于x2<9来说,两边同时开根号可得<,即|x|<3,因此-3课堂探究
例1 求不等式x2-x-2>0的解集.
反思感悟:
因式分解法:不等式的左端能够进行因式分解可用此法,它只能适用于解决一类特殊的不等式.
跟踪训练1 求下列不等式的解集:
(1)2x2+x-6>0; (2)(3x-1)(x+4)>0.
例2 求下列不等式的解集:
(1)x2+4x+1≥0;
(2)x2-6x-1≤0;
(3)-x2+2x-1<0;
(4)2x2+4x+5>0.
反思感悟:
配方法:一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)通过配方总可以化为(x-h)2>k或(x-h)2跟踪训练2 求下列不等式的解集:
(1)x2+x+1>0.
(2)-4x2+18x-≥0.
例3 求不等式≥1的解集.
反思感悟:1.对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解,但要注意分母不为零.
2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解.
跟踪训练3 求下列不等式的解集:
(1)<0;
(2)≤2.
核心素养专练
1.不等式x2>1的解集是( )
A.{x|x>1}
B.{x|x>±1}
C.{x|-1D.{x|x>1或x<-1}
2.不等式x(2-x)<0的解集是( )
A.(2,+∞)
B.(-∞,2)
C.(0,2)
D.(-∞,0)∪(2,+∞)
3.不等式x2+2x-3<0的解集为( )
A.{x|x<-3或x>1}
B.{x|x<-1或x>3}
C.{x|-1D.{x|-34.求下列不等式的解集:
(1)x(x-3)<0;
(2)(x+1)(1-x)≥0;
(3)x2+6x-7≤0;
(4)x2-8x+16<0.
5.求下列不等式的解集:
(1)x2+2x-5<0;
(2)x2-4x-2≥0;
(3)x2+6x+10≤0;
(4)x2-8x+16≤0;
(5)-x2+8x-1≤0;
(6)2x2-4x+3<0.
6.求下列不等式的解集:
(1)>0;
(2)>1.
参考答案
自主预习
v2-v>10,v2-10v-2
000>0,一元二次不等式,常数,a≠0,只有两个同号的数相乘,(x1,x2),(-∞,x1)∪(x2,+∞),?,R
课堂探究
例1 (-∞,-1)∪(2,+∞).
跟踪训练1 (1)(-∞,-2)∪
(2)(-∞,-4)∪
例2 (1)(-∞,-2-
]∪[-2+,+∞)
(2)[3-,3+
]
(3){x|x≠1}
(4)R
跟踪训练2 (1)R
(2)
例3 (-∞,-3]∪(2,+∞)
跟踪训练3 (1)(-∞,-2)∪(1,+∞)
(2)(-∞,2)∪[5,+∞)
核心素养专练
1.D 2.D 3.D 4.(1)(0,3) (2)[-1,1]
(3)[-7,1] (4)?
5.(1)[-1-,-1+]
(2)(-∞,2-
]∪[2+,+∞) (3)?
(4){4} (5)(-∞,4-]∪[4+,+∞)
(6)?
6.(1)(-∞,-1)∪(1,+∞) (2)(1,2)
学习目标
1.能在现实情境或数学情境中提取出一元二次不等式模型.
2.能恰当使用因式分解法和配方法解一元二次不等式.
课堂探究
情境与问题:
汽车在行驶中,由于惯性,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止,一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.
在一个限速为40
km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了.事后现场勘查,测得甲车的刹车距离略超过6
m,乙车的刹车距离略超过10
m.已知甲、乙两种车型的刹车距离s
m与车速v
km/h之间的关系分别为
s甲=v2-v,s乙=v2-v.
试判断甲、乙两车有无超速现象.
任务一:通过阅读上面内容,解答以下问题:
问题1:(1)如何构建数学关系式解决是否超速问题?
(2)所得数学关系特征是什么?
一般的,形如 的不等式称为一元二次不等式,其中a,b,c是 ,而且 ,不等号也可以是 .?
任务二:探究形如:(x-x1)(x-x2)>0或(x-x1)(x-x2)<0的解集.
问题2:(1)两个数相乘结果为正数,则这两个数满足什么关系?
依据:ab>0当且仅当 .?
(2)x(x-1)>0可以等价转化成什么形式?解集是什么?
(3)(x+1)(x-1)<0的解集是什么?
依据:ab<0当且仅当 .?
结论:一般地,如果x1不等式(x-x1)(x-x2)>0的解集是 .?
这种解不等式的方法叫因式分解法.
问题3:使用因式分解法解一元二次不等式的前提是什么?
例1 求不等式x2-x-2>0的解集.
回到情境与问题中的不等式,v2-10v-600>0可以化为(v+20)(v-30)>0,因此甲车的车速v>30;
而v2-10v-2
000>0可以化为 ,?
因此乙车的车速 .由此可见,乙车肯定超速了.?
小结因式分解法解题规律:
任务三:探究形如:(x-h)2>k或(x-h)2问题4:(1)通过代入数值验证的方法,猜测以下一元二次不等式的解集:
①x2<-1 ;②x2>-2 ;③x2<9 .?
(2)类比方程的研究方法,解不等式x2<9.
(3)借助(2)解法特点解不等式x2-6x-1≤0.
结论:一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x-h)2>k或(x-h)2这种解不等式的方法叫配方法.
问题5:(1)配方法适合解什么特征的一元二次不等式?
(2)几种特殊情形:①(x-h)2>0的解集为 ;(x-h)2<0的解集为 .?
②当k<0时,不等式(x-h)2>k的解集为 ,不等式(x-h)2例2 求下列不等式的解集:
(1)x2+4x+1≥0; (2)-x2+2x-1<0;
(3)2x2+4x+5>0.
变式训练:->-x2.
小结配方法解题规律:
拓展性问题:求不等式≥1的解集.
课堂小结
通过本节课的学习,你有什么收获?(知识层面、思想方法层面)
布置作业
1.阅读课本,结合学案,进行知识整理、整合.
2.完成课本第71页A组 第2,3题;B组 第1,2题.
3.选做题:B组 第5题.
参考答案
课堂探究
问题1:(1)v2-v>6;v2-v>10
(2)ax2+bx+c>0;常数;a≠0;< ≥ ≤
问题2:(1)同号;或
(2)或(-∞,0)∪(1,+∞)
(3)(-1,1);或(x1,x2);(-∞,x1)∪(x2,+∞)
问题3:一元二次不等式是特殊类型、能因式分解.
例1 (-∞,-1)∪(2,+∞)
情境与问题:(v+40)(v-50)>0;v>50.
问题4:(1)①?;②R;③(-3,3).
(2)∵x2<9,∴<,即|x|<3,∴-3(3)[3-,3+
].
问题5:(1)一般的一元二次不等式
(2)①(-∞,h)∪(h,+∞);?;②R;?
例2 (1)(-∞,-2-]∪[-2+,+∞)
(2)(-∞,1)∪(1,+∞) (3)R
变式训练:(-∞,-1)∪
拓展性问题:(-∞,-3]∪(2,+∞)
课堂小结
略
布置作业
略2.2.4 均值不等式及其应用
第1课时
学习目标
1.学会推导并掌握均值不等式.
2.能够简单应用定理求最值.
自主预习
1.给定两个正数a,b,数 称为a,b的算术平均值,数 称为a,b的几何平均值.?
2.如果a,b都是正数,那么≥,当且仅当 时,等号成立.?
3.几何意义:所有周长一定的矩形中, 的面积最大.?
课堂探究
问题探究一
(1)假设一个矩形的长和宽分别为a和b,求与这个矩形周长相等的正方形的边长,以及与这个矩形面积相等的正方形的边长,并比较这两个边长的大小;
(2)如下表所示,再任意取几组正数,算出它们的算术平均值和几何平均值,猜测一般情况下两个数的算术平均值与几何平均值的相对大小,并根据(1)说出结论的几何意义.
a
1
2
b
1
4
1
3
1
2
问题探究二
均值定理的几何解释:
作线段AD=a,延长AD至点B,使DB=b(a,b>0)以AB为直径作半圆O,过D点作CD⊥AB于D,交半圆于点C,连接AC,BC,OC.当点D在线段AB(端点除外)上运动时,试探讨OC与CD的大小关系.
典型例题:
例1 已知x>0,求y=x+的最小值,并说明当x为何值时y取得最小值.
变式训练1
已知x>0,y>0,xy=24,求4x+6y的最小值,并说明此时x,y的值.
要点归纳
在利用均值不等式求最值时要注意三点:
一是各项均为正;
二是寻求定值,求和式最小值时应使积为定值,求积式最大值时应使和为定值;
三是考虑等号成立的条件是否具备.
例2 已知ab>0,求证:+≥2,并推导出等号成立的条件.
变式训练2
已知ab>0,求证:+≥2,并推导出等号成立的条件.
例3 已知x∈(-1,3),求y=(1+x)(3-x)的最大值,以及y取得最大值时x的值.
核心素养专练
1.若0
A.a>>>b
B.b>>>a
C.b>>>a
D.b>a>>
2.已知a>0,b>0,则++2的最小值是( )
A.2
B.2
C.4
D.5
3.设b>a>0,且a+b=1,则此四个数,2ab,a2+b2,b中最大的是( )
A.b
B.a2+b2
C.2ab
D.
4.x∈[0,3],y=(1+x)(3-x)的最大值是 ,最小值是 .?
参考答案
自主预习
1.
2.a=b
3.正方形
课堂探究
典型例题
例1 解:因为x>0,所以根据均值不等式有x+≥2=2,其中等号成立的条件是当且仅当x=,即x2=1,解得x=1或x=-1(舍去),因此x=1时,y取得最小值2.
变式训练1 解:∵x>0,y>0,
∴4x+6y≥2.
又xy=24,
∴4x+6y≥2=48.
当且仅当4x=6y时,等号成立.
即当x=6,y=4时,最小值为48.
例2 证明:因为ab>0,所以>0,>0,根据均值不等式得
+≥2=2.
即+≥2.
当且仅当=时,即a2=b2等号成立.因为ab>0,所以等号成立的条件是a=b.
变式训练2 证明:因为ab>0,所以>0,>0,根据均值不等式得
+≥2=2.
即+≥2.
当且仅当=时,即9a2=b2等号成立.因为ab>0,所以等号成立的条件是3a=b.
例3 解:当x∈(-1,3)时,1+x>0,3-x>0.≤=2.从而(1+x)(3-x)≤4,即y≤4.当且仅当1+x=3-x,即x=1时,等号成立.从而x=1时,y取得最大值4.
核心素养专练
1.C 2.C 3.A 4.4 0
学习目标
1.能够掌握均值不等式的内容以及证明过程.
2.结合具体实例,能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题.
自主预习
知识点一 算术平均值与几何平均值
对任意两个 a,b,数 叫做a,b的算术平均值,数 叫做a,b的几何平均值,两个正实数的算术平均值 它的几何平均值.?
知识点二 均值定理
1.均值定理
如果 ,那么 ?.当且仅当a=b时,等号成立,以上结论通常称为 定理,又叫均值不等式.?
均值定理可叙述为:两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值.
2.均值不等式求最值的条件
(1)x,y必须是 .?
(2)求积xy的最大值时,应看和x+y是否为 ;求和x+y的最小值时,应看积xy是否为 .?
(3)等号成立的条件是否满足.
3.用均值不等式求最值
(1)设x,y为正实数,若x+y=s(和s为定值),则当且仅当 时,积xy有最 值.?
(2)设x,y为正实数,若xy=p(积p为定值),则当且仅当 时,和x+y有最 值.?
课堂探究
探究均值不等式
国际数学家大会是由国际数学联盟(IMU)主办,首届大会于1897年在瑞士苏黎世举行,1900年巴黎大会之后每四年举行一次,它已经成为最高水平的全球性数学科学学术会议.第24届国际数学家大会会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.
问题1 四边形ABCD特殊吗?
问题2 四边形的面积与四个直角三角形之间有关系吗?
问题3 每个直角三角形的两直角边分别用a,b表示,你能用ab来表示四边形与直角三角形的面积吗?
问题4 中间的小正方形可以消失吗?
问题5 此时a2+b2与2ab的关系怎么样?
问题6 a2+b2≥2ab的关系永远成立吗?你能用代数法证明吗?
问题7 特别地,当,代替a,b时,上述表达式变为什么?
均值定理 如果a,b∈R+,那么 ,当且仅当a=b时,等号成立.?
均值定理可以表述为: .?
均值不等式的使用条件:
尝试分别用代数法和几何法证明均值定理.
代数法:
几何法:
例1 已知x,y∈R+,求证:+≥2,并推导出不等式中等号成立的条件.
变式训练1 已知a,b∈R+,求证:≥4.
例2 (1)已知矩形的面积为100,则这个矩形的长、宽各为多少时,矩形的周长最短?最短周长是多少?
(2)已知矩形的周长为36,则这个矩形的长、宽各为多少时,它的面积最大?最大面积是多少?
变式训练2 已知x∈(-1,3),求y=(1+x)(3-x)的最大值,以及y取最大值时x的值.
核心素养专练
1.已知a,b,c为不全相等的正数,求证:a+b+c>++.
2.求函数y=2--x(x>0)的最大值及相应的x.
课后作业
课本第76页练习A.
参考答案
自主预习
知识点一 正实数,,,大于或等于
知识点二 1.a,b∈R+,≥,均值
2.(1)正实数 (2)定值,定值
3.(1)x=y 最大值 (2)x=y 最小值
课堂探究
≥,两个正实数的算数平均数大于等于它们的几何平均数.
例1 证明:∵x,y∈R+,∴>0,>0.
∴+≥2=2,即+≥2,
当且仅当x=y时等号成立.
变式训练1 证明:∵a,b∈R+,∴,∈R+.
∴a+≥2=2,b+≥2=2.
∴≥4.
当且仅当a=,b=,即a=b=1时等号成立.
例2 解:(1)设矩形的长为x,则宽为,则矩形的周长l=2≥2×2=40,当且仅当x=,即x=10时等号成立,因此,当矩形的长和宽都是10时,它的周长最短,最短周长为40.
(2)
设矩形的长为x,则宽为=18-x,则矩形的面积S=x(18-x)≤=81,当且仅当x=18-x,即x=9时等号成立,因此,当矩形的长宽都是9时,它的面积最大,最大面积为81.
变式训练2 解:因为x∈(-1,3),所以1+x>0,3-x>0.
所以y=(1+x)(3-x)≤=4,
当且仅当1+x=3-x,即x=1时等号成立.
因此y的最大值是4,此时x是1.
核心素养专练
1.解:∵a,b,c为不全相同的正数,
∴a+b>2,b+c>2,a+c>2,
∴a+b+b+c+a+c>2+2+2.
∴a+b+c>++.
2.解:∵x>0,∴y=2--x=2-≤2-2=-2.当且仅当=x,即x=2时等号成立.
因此y的最大值是-2,此时x=2.
课后作业
略2.2.4 均值不等式及其应用
第2课时
学习目标
1.理解均值不等式,并能运用均值不等式解决一些较为简单的问题;
2.认识到数学是从实际中来的,体会思考与发现的过程.
自主预习
一、常见的不等式
1.a2+b2≥ (a,b∈R).?
2.ab≤ ≤(a,b∈R).?
二、均值定理
1.均值定理的内容: .?
2.均值定理成立的条件: 、 、 .?
课堂探究
1.问题探究(情境引入)
判断以下解题过程的正误
(1)已知x<0,求x+的最值;
解:x+≥2=2,∴原式有最小值2.
(2)已知x≥时,求x2+1的最小值.
解:x2+1≥2=2x,当且仅当x2=1.
即x=1时,x2+1有最小值2x=2.
2.典型例题
题型一 求一元解析式最值
例1 已知x>2,则x+的最小值为 .?
变式训练 已知x<,求函数y=4x-2+的最大值.
题型二 求二元解析式最值
例2 已知x>0,y>0,且+=1,求x+y的最小值.
变式训练 已知正数x,y满足x+y=1,则+的最小值是 .?
题型三 均值不等式在实际问题中的应用
例3 (1)已知矩形的面积为100,则这个矩形的长、宽各为多少时,矩形的周长最短?最短周长是多少?
(2)已知矩形的周长为36,则这个矩形的长、宽各为多少时,它的面积最大?最大面积是多少?
例3的结论可以表述为:
要点归纳:
两个正数的积为常数时, .?
两个正数的和为常数时, .?
变式训练 将一根铁丝切割成三段做一个面积为2
m2,形状为直角三角形的框架,在下列四种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是( )
A.6.5
m
B.6.8
m
C.7
m
D.7.2
m
题型四 证明不等式
例4 已知a,b是实数,求证:a2+b2≥2ab.
并说明等号成立的条件.
变式训练 已知a,b∈R,求证:
(1)(a+b)2≥4ab;
(2)2(a2+b2)≥(a+b)2.
核心素养专练
1.(多选)若a,b∈R,且a·b>0,则下列不等式中,恒成立的是( )
A.a2+b2≥2ab
B.a+b≥2
C.+>
D.+≥2
2.求函数y=+x(x>3)的最小值.
3.已知x>0,y>0,且+=1,求x+y的最小值.
参考答案
自主预习
略
课堂探究
例1 解:x+=x-2++2,
∵x-2>0,
∴x-2++2≥2+2=4+2=6.
当且仅当x-2=2,即x=4时取“=”.
变式训练 解:∵4x-5<0,∴y=4x-2+=-+3≤-2+3=1,当且仅当5-4x=,即x=1时,ymax=1.
例2 解:∵x>0,y>0,+=1,
∴x+y=(x+y)=++10≥6+10=16,
当且仅当=,即x=4,y=12时,上式取等号.
变式训练 解:∵x+y=1,
∴+=(x+y)=5++.
∵+≥2=4,
∴5++≥9.
当且仅当即x=,y=时等号成立.
∴=9.
例3 解:(1)设矩形的长与宽分别为x与y,依题意得xy=100.
因为x>0,y>0,所以≥==10,所以2(x+y)≥40.当且仅当x=y时,等号成立,由可知此时x=y=10.
因此,当矩形的长和宽都是10时,它的周长最短,最短周长为40.
(2)设矩形的长与宽分别为x与y,依题意得2(x+y)=36,即x+y=18.
因为x>0,y>0,所以=≥,因此≤9,即xy≤81.当且仅当x=y时,等号成立,
此时x=y=9.
因此,当矩形的长和宽都是9时,它的面积最大,
最大面积为81.
例3的结论表述略
要点归纳:略
变式训练 C
解析:设两直角边分别为a,b,直角三角形的框架的周长为l,
则ab=2,∴ab=4,l=a+b+≥2+=4+2≈6.828(m).
∵要求够用且浪费最少,故选C.
例4 证明:因为a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,所以a2+b2-2ab≥0,即a2+b2≥2ab,等号成立时,
当且仅当(a-b)2=0,
即a=b.
变式训练 证明:(1)因为(a+b)2-4ab=(a-b)2≥0,所以(a+b)2≥4ab,当且仅当a=b时等号成立.
(2)因为2(a2+b2)-(a+b)2=(a-b)2≥0,当且仅当a=b时等号成立.
核心素养专练
1.AD
2.5
3.4
学习目标
1.能够熟练掌握均值不等式及变形的应用.
2.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题.
自主预习
知识点一 均值不等式及变形
均值不等式的常见变形,试用不等号连接,并说明等号成立的条件.
当a>0,b>0时,有 ? ? ?.
当且仅当 时,以上三个等号同时成立.?
知识点二 用均值不等式求最值
用均值不等式≥求最值应注意:
(1)x,y是否是 ;?
(2)求积xy的最大值时,应看和x+y是否为 ;求和x+y的 时,应看积xy是否为定值;?
(3)等号成立的条件是否满足.
课堂探究
题型一 利用均值不等式求最值
例1 (1)已知x>2,求x+的最小值;
(2)设0跟踪训练1 函数y=2x+(x<0)的最大值为 .?
例2 (1)若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值是 ;?
(2)若实数x,y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是 .?
跟踪训练2 已知正数x,y满足x+y=1,则+的最小值是 .?
题型二 均值不等式在实际问题中的应用
例3 某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需用面粉6吨,每吨面粉的价格为1
800元,面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元,购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少?
跟踪训练3 高三学生在新的学期里,刚刚搬入新教室,随着楼层的升高,上、下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高,已知当教室在第n层楼时,上、下楼造成的不满意度为n,但高处嘈杂声较小,环境较好,因此随着教室所在楼层的升高,环境不满意度降低,设教室在第n层楼时,环境不满意度为,则同学们认为最适宜的教室所在的楼层应为
( )
A.2
B.3
C.4
D.8
课堂练习
1.设x>0,则y=3-3x-的最大值是( )
A.3
B.3-2
C.-1
D.3-2
2.设a>0,b>0,若是3a与3b的等比中项,则+的最小值为( )
A.8
B.4
C.1
D.
3.设a,b,c∈R,ab=2,且c≤a2+b2恒成立,则c的最大值是( )
A.
B.2
C.
D.4
核心素养专练
核心素养之数学建模——一种常见的函数模型y=x+(a>0)
某市实施机动车单双号限行,新能源汽车不在限行范围内,某人为了出行方便,准备购买某种新能源汽车.假设购车费用为14.4万元,每年应交付保险费、充电费等其他费用共0.9万元,汽车的保养维修费为:第一年0.2万元,第二年0.4万元,第三年0.6万元,…,依等差数列逐年递增.
(1)设使用n年该车的总费用(包括购车费用)为f(n),试写出f(n)的表达式;
(2)问这种新能源汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年年平均费用最少)?年平均费用的最小值是多少?
参考答案
自主预习
略
课堂探究
例1 解:(1)∵x>2,∴x-2>0,
∴x+=x-2++2≥2+2=6,
当且仅当x-2=,即x=4时,等号成立.
∴x+的最小值为6.
(2)∵00,∴y=4x(3-2x)=2[2x(3-2x)]≤2=.
当且仅当2x=3-2x,即x=时,等号成立.
∵∈,∴函数y=4x(3-2x)的最大值为.
跟踪训练1 -4
例2 (1)18 (2)
解析:(1)∵xy=2x+y+6≥2+6,
设=t(t>0),即t2≥2t+6,(t-3)(t+)≥0,∴t≥3,则xy≥18.
当且仅当2x=y且2x+y+6=xy,即x=3,y=6时等号成立,故xy的最小值为18.
(2)根据题意,得1=(x+y)2-xy≥(x+y)2-=(x+y)2,
所以≥(x+y)2,所以x+y≤,
当且仅当x=y>0且x2+y2+xy=1,即x=y=时等号成立.
跟踪训练2 9
解析:∵x+y=1,
∴+=(x+y)=5++.
∵x>0,y>0,∴>0,>0,
∴+≥2=4,∴5++≥9.
当且仅当即x=,y=时等号成立.
∴=9.
例3 解:设该厂每x天购买一次面粉,其购买量为6x吨.
由题意可知,面粉的保管及其他费用为
3×[6x+6(x-1)+6(x-2)+…+6×1]=9x(x+1).
设平均每天所支付的总费用为y元,
则y=[9x(x+1)+900]+6×1
800
=9x++10
809≥2
+10
809=10
989(元),
当且仅当9x=,即x=10时,等号成立.
所以该厂每10天购买一次面粉时,才能使平均每天所支付的总费用最少.
跟踪训练3 B
解析:由题意知,教室在第n层楼时,同学们总的不满意度y=n+≥4,当且仅当n=,即n=2时,不满意度最小,又n∈N+,分别把n=2,3代入y=n+,易知n=3时,y最小.故最适宜的教室应在3楼.
课堂练习
1.D 解析:∵x>0,∴3x+≥2=2,当且仅当x=时取等号,∴-≤-2,则y=3-3x-≤3-2,故选D.
2.B 解析:由题意知3a·3b=3,即3a+b=3,所以a+b=1.
因为a>0,b>0,所以+=(a+b)=2++≥2+2
=4,
当且仅当a=b=时,等号成立.
3.D 解析:∵ab=2,∴a2+b2≥2ab=4.又c≤a2+b2恒成立,∴c≤4.故选D.
核心素养专练
解:(1)由题意,得f(n)=14.4+(0.2+0.4+0.6+…+0.2n)+0.9n=14.4++0.9n=0.1n2+n+14.4.
(2)设该车的年平均费用为S万元,则有S=
f
(n)=(0.1n2+n+14.4)=++1≥2+1=3.4,当且仅当=,即n=12时等号成立,此时S取得最小值3.4.
故这种新能源汽车使用12年报废最合算,年平均费用的最小值是3.4万元.
[素养评析]数学建模是对现实问题进行数学抽象,建立和求解模型的过程,其过程耗时费力,所以建立的模型要有广泛的应用才有价值.本题(2)中所涉及的y=x+(a>0)就是一个应用广泛的函数模型.第二章
等式与不等式
本章小结
学习目标
能够从函数的观点认识方程和不等式,感悟函数和方程、不等式之间的联系,认识函数的重要性.掌握等式与不等式的性质.重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.
自主预习
不
等
式
课堂探究
任务一:不等式的基本性质的应用
例1 下列结论中正确的是( )
①a>b>0,d>c>0?>;
②a>b,c>d?a-c>b-d;
③>?a>b;
④a>b?an>bn(n∈N,n>1).
A.①②③
B.①③
C.②③④
D.①③④
任务二:一元二次不等式的解法及其应用
例2 解下列不等式:
(1)≥2;(2)2x3+x2-5x+2>0.
例3 解关于x的不等式(x-2)(ax-2)>0.
解一元二次不等式的步骤:
任务三:二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系
例4 当实数m取何范围的值时,方程x2+(m-3)x+m=0的两根满足:(1)都是正根;(2)都在(0,2)内?
思考:根的分布问题应该从哪几个方面考虑?
例5 已知一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|-2任务四:基本不等式的应用
例6 已知3a2+2b2=5,试求y=(2a2+1)(b2+2)的最大值.
例7
如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求点B在AM上,点D在AN上,且对角线MN过点C,已知AB=3米,AD=2米.
(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则DN的长应在什么范围内?
(2)当DN的长为多少时,矩形花坛AMPN的面积最小?并求出最小值.
课堂练习
1.若a∈R且a≠0,比较a与的大小.
2.求函数y=的最小值.
核心素养专练
对任意x∈[1,2],不等式1-mx≤≤1-nx恒成立,试求n的最大值与m的最小值.
参考答案
自主预习
略
课堂探究
例1 思路分析:判断不等关系的真假,要紧扣不等式的性质,应注意条件与结论之间的联系.
【解析】∵d>c>0?>>0,又a>b>0,∴>,∴①对;
∵a>b,-c<-d不同向,不等式不可加,∴②错;
∵>,c2>0,∴a>b,∴③对;
只有当a>b>0时,才有an>bn,
∴④错,故选B.
答案:B
例2 【思路分析】对于(1),要先移项、通分化为≥0(或≤0)的形式,再化为整式不等式,转化必须保持等价;对于(2),要因式分解后借助穿根法处理.
【解】(1)原不等式可化为-2≥0,∴>0,∴∴-1≤x<0.
∴原不等式的解集为{x|-1≤x<0}.
(2)原不等式可化为(x-1)(x+2)(2x-1)>0.
利用数轴标根法或穿根法(如图所示),
∴-21.
∴不等式的解集为.
例3 【思路分析】不等式中含有参数a,因此需要先判断参数a对方程(x-2)(ax-2)=0的解的影响,然后求解.
【解】(1)当a=0时,原不等式化为x-2<0,∴x<2,
∴原不等式的解集为{x|x<2}.
(2)当a<0时,原不等式化为(x-2)<0.
方程(x-2)=0的两根为2,,
又2>,∴原不等式的解集为.
(3)当a>0时,原不等式化为(x-2)>0.
方程(x-2)=0的两根为2,.
当02,原不等式的解集为.
当a=1时,原不等式化为(x-2)2>0,解集为{x∈R|x≠2}.
当a>1时,2>>0,原不等式的解集为.
综上所述,不等式解集为当a=0时,{x∈R|x<2};当a=1时,{x∈R|x≠2};当a<0时,;当01时,.
解一元二次不等式的步骤:
1.若能因式分解,则用数轴穿根法;
2.若不能因式分解,则用配方法.
配方法的步骤:
(1)把一元二次不等式的二次项系数化为1;
(2)一元二次不等式通过配方变为(x-h)2>k或(x-h)2(3)根据k值情况确定不等式的解集.
例4 【思路分析】对于(1),可利用判别式及根与系数的关系求解;对于(2),可构造二次函数,结合二次函数的图像求解.
【解】(1)设方程的两根为x1,x2.
则由题意可得
解得m的取值范围是(0,1].
(2)(由对应的函数几何意义求解)
设f(x)=x2+(m-3)x+m,由题意得
解得思考:根的分布问题应该从哪几个方面考虑?
1.开口方向;
2.判别式Δ;
3.对称轴;
4.区间端点函数值的正负.
例5 【思路分析】由于一元二次不等式解集的分界点是相应一元二次方程的两根,所以解答就从这个关系入手.
【解析】由于ax2+bx+1>0的解集为{x|-2由根与系数的关系,得
解得a=b=-.
答案:- -
例6 【思路分析】要求积的最大值,关键是结合条件配凑出和为定值,然后利用基本不等式求解.
【解】∵2a2+1>0,b2+2>0,y=(2a2+1)(b2+2),
∴=≤.
∵3a2+2b2=5,∴6a2+4b2=10.
∴≤,可得≤.∴y的最大值为.
例7 【思路分析】对于(1),首先建立矩形AMPN的面积y与DN的长x的函数关系式,然后利用不等式求解;对于(2),根据(1)中建立的函数关系式结合基本不等式求解.
【解】(1)设DN的长为x(x>0)米,则AN的长为(x+2)米,如图所示.
∵=,∴AM=.
∴矩形花坛AMPN的面积y=AN·AM=.
由y>32,得>32.
∵x>0,∴3x2-20x+12>0.
解得06,
即DN长的取值范围是∪(6,+∞).
(2)由(1)知矩形花坛AMPN的面积为
y===3x++12
≥2+12=24.
当且仅当3x=,即x=2时,矩形花坛AMPN的面积取得最小值24平方米.
故DN的长为2米时,矩形AMPN的面积最小,最小值为24平方米.
课堂练习
1.【思路分析】可以利用作差比较法比较两个代数式的大小.
【解】a-=.
当a=±1时,=0,则a=;
当-11时,>0,则a>.
当a<-1或02.【思路分析】从函数解析式结构上看,它与基本不等式结构相差太大,而且利用前面求最值的方法不易求解,怎么办呢?事实上,我们可以把分母视为一个整体,用它来表示分子,原式即可展开.
【解】令t=x2+1,则t≥1,且x2=t-1.
∴y====t++1.
∵t≥1,∴t+≥2=2,
当且仅当t=,即t=1时,等号成立.
∴当x=0时,函数取得最小值3.
核心素养专练
【思路分析】对任意x∈[1,2],不等式恒成立,且m与n都是一次的,因此可考虑分离参数m和n.
【解】∵1-mx≤≤1-nx恒成立,
∴-mx≤-1≤-nx,
∴-mx≤≤-nx,
∴-mx≤≤-nx.
又∵x∈[1,2],
∴n≤≤m恒成立.
设y=,x∈[1,2],
令=t,则t∈[,],y=.
可求得ymin=,ymax=,
∴m=,n=.
故所求n的最大值为,m的最小值为.
学习目标
1.梳理等式的性质,理解不等式的概念,掌握不等式的性质,通过类比理解等式与不等式的共性与差异;
2.会解常见的方程和不等式及不等式组,如一元二次方程、一元二次不等式、绝对值不等式、二元及三元方程组等;
3.掌握基本不等式,结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值和最小值问题.
本章重点:绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法、均值不等式的应用.
本章难点:均值不等式的灵活应用及不等式的证明.
重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.
培养学生类比思想、分类讨论思想和数形结合的数学思想等.
知识点梳理
课堂探究
●不等式性质的应用
例1
(1)(多选)下列命题正确的有( )
A.若a>1,则<1
B.若a+c>b,则<
C.对任意实数a,都有a2≥a
D.若ac2>bc2,则a>b
(2)已知2◎跟踪训练1
(多选)已知a,b,c∈R,那么下列命题中错误的是( )
A.若a>b,则ac2>bc2
B.若>,则a>b
C.若a3>b3且ab<0,则>
D.若a2>b2且ab>0,则<
●不等式组的解法
例2
1.解不等式组:
2.已知关于x的不等式组的整数解只有3个,求a的取值范围.
3.解下列关于x的不等式.
(1)-1(2)m2x2+2mx-3<0.
◎跟踪训练2
解下列不等式.
(1)≤0;
(2)-3x2-2x+8≥0;
(3)ax2-(a+1)x+1<0.
●绝对值不等式的解法
例3 解下列不等式.
(1)|2x-5|>3;
(2)|2x-1|+|2x+1|≤6.
◎跟踪训练3
解下列不等式.
(1)|2x+1|-2|x-1|>0;
(2)|x+3|-|2x-1|<+1.
●均值不等式
例4 若x>0,y>0,且x+2y=5,求+的最小值,并求出取得最小值时x,y的值.
◎跟踪训练4
1.函数y=x(3-2x)(0≤x≤1)的最大值是 .?
2.当x>1时,不等式x+≥a恒成立,当x= 时等号成立,实数a的取值范围是 .?
●等式与不等式的应用
例5 某单位用2
160万元购得一块空地,计划在该空上建造一栋至少10层,每层2
000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?
注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=.
课堂练习
1.已知集合M={x|-4≤x≤7},N={x|x2-x-12>0},则M∩N=( )
A.{x|-4≤x<-3或4B.{x|-4C.{x|x≤-3或x>4}
D.{x|x<-3或x≥4}
2.(多选)已知a>b>0,下列不等式不成立的是( )
A.a+>b+
B.a+≥b+
C.>
D.b->a-
3.不等式|x+1|-|x-2|≥1的解集是 .?
4.已知x>0,y>0,且满足+=1,xy= 时,x+2y的最小值为 .?
核心素养专练
[A 基础达标]
1.(多选)如果a,b,c满足cA.ab>ac
B.c(b-a)>0
C.cb2D.ac(a-c)<0
2.若a>0,b>0,且a2+3b2=6,则ab的最大值为( )
A.1
B.
C.
D.2
3.设m>1,P=m+,Q=5,则P,Q的大小关系为( )
A.PB.P=Q
C.P≥Q
D.P≤Q
4.不等式1+x>的解集为( )
A.{x|x>0}
B.{x|x≥1}
C.{x|x>1}
D.{x|x>1或x=0}
5.设a,b是不相等的正数,x=,y=,则x,y的大小关系是 (用“>”“<”或“=”连接).?
6.设m+n>0,则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是 .?
7.已知08.解下列不等式:
(1)0<|x-2|≤|4x+2|;
(2)≥-1.
9.已知x,y都是正数.
(1)若3x+2y=12,求xy的最大值;
(2)若x+2y=3,求+的最小值.
[B 能力提升]
10.不等式≤x-2的解集是( )
A.(-∞,0]∪(2,4]
B.[0,2)∪[4,+∞)
C.[2,4)
D.(-∞,2]∪(4,+∞)
11.已知实数x,y,若x≥0,y≥0且x+y=3,则+的最大值为 ,此时xy= .?
12.解不等式≥2.
13.解关于x的不等式ax2+(1-a)x-1>0(a<0).
14.志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD,已知点E在边CD上,AE=CE,AB>AD,矩形的周长为8
cm.
(1)设AB=x
cm,试用x表示出图中DE的长度,并求出x的取值范围;
(2)计划在△ADE区域涂上蓝色代表星空,如果要使△ADE的面积最大,那么应怎样设计队徽的长和宽?
参考答案
课堂探究
例1 (1)AD (2)-6跟踪训练1 ABD
例2 1.解集为[-1,2) 2.(-5,-4]
3.解:(1)??
不等式的解集为{x|-3≤x<-2或0(2)当m=0时,-3<0恒成立,解集为R.
当m≠0时,二次项系数m2>0,Δ=16m2>0.
不等式化为(mx+3)(mx-1)<0.
当m>0时,解集为;
当m<0时,解集为.
跟踪训练2 (1)(-2,1]
(2)
(3)解:当a=0时,x>1,解集为(1,+∞);
当a≠0时,方程化简为(ax-1)(x-1)<0.
当a<0时,方程整理为(x-1)>0,,
∴x>1或x<,解集为∪(1,+∞);
当a>0时,方程整理为(x-1)<0,,
当01,∴1当a=1时,=1,∴方程无解,解集为空集;
当a>1时,<1,∴例3 (1)(-∞,-1)∪(4,+∞)
(2)
跟踪训练3
(1)不等式的解集为.
(2)不等式的解集为.
例4 解:因为x>0,y>0,且x+2y=5,
所以+=(x+2y)
=
≥=5,
当且仅当即时等号成立.
所以+的最小值为5,此时x=3,y=1.
跟踪训练4
1.
2.2 a≤3
例5 解:设将楼房建为x层,平均综合费用设为y元.
则每平方米的平均购地费用为=.
∴每平方米的平均综合费用
y=560+48x+=560+48.
当x+取最小值时,y有最小值.
∵x>0,∴x+≥2=30.
当且仅当x=,即x=15时,上式等号成立.
∴当x=15时,y有最小值2
000元.
因此该楼房建为15层时,每平方米的平均综合费用最少.
课堂练习
1.A
2.BCD
3.[1,+∞)
4.36 18
核心素养专练
A 基础达标
1.ABD
2.C
3.C
4.C
5.x6.(-n,m)
7.
8.(1)
(2)
9.(1)6 (2)1+
B 能力提升
10.B
11. 2
12.(-3,1)
13.当-114.解: (1)设DE=y
cm,则AE=CE=(x-y)cm,
由矩形周长为8
cm,可得AD=(4-x)cm.
在三角形ADE中,由勾股定理可得(4-x)2+y2=(x-y)2,
整理得y=4-,
由AB>AD可得x>2,由周长为8可得x<4,
综上DE长度为cm,2(2)S=(4-x)×y,由y=4-可得S=(4-x)·=2(4-x)=2,
由2因此Smax=2(6-4)=12-8,此时队徽的长为2
cm,宽为(4-2)cm.