浙江省台州市四校2012届高三第一次联考文科数学试卷

浙江省台州市四校2012届高三第一次联考文科数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设是非空集合，定义={且}，己知
,，则等于 （ ）
A．(2，+∞) B．[0，1]∪[2，+∞)
C．[0，1)∪(2，+∞) D．[0,1]∪(2，+∞)
2. 已知命题：抛物线的准线方程为；命题：若函数为
偶函数，则关于对称．则下列命题是真命题的是 ( )
A． B． C． D．
3．已知cos（α－）+sinα= （ ）
A．－　　　 B ． C． － D．
4．已知三个平面，若，且相交但不垂直，分别为内的直线，则 （ ）
A． B．
C． D．
5. 如果一个几何体的三视图如图所示
（单位长度：cm），则此几何体的表面积是（　 　）
A. cm B. cm
C. 96 cm D. 112 cm
6. 两个正数、的等差中项是，一个等比中项是，且则双曲线的离心率为 （ 　　）
A． B． C． D．
7．设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则（ 　　）A． B．2 C． D．48．设数列{an}的前n项和为Sn，令，称Tn为数列a1,a2,…,
an的“理想数”.已知a1,a2,…,a500的“理想数”为1002，那么数列3,a1,a2,….a500的“理想数”为 ( )
A．1001 B．1003 C．1004 D．1005
9．函数在区间的简图是 （ 　　）
10．右图是函数f(x)=x2+ax+b的部分图象,则函数的零点所在的区间是 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11.已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝（），n＝（cosA,sinA）.若m⊥n，且acosB+bcosA=csinC，则角B＝_______
12、点P在平面ABC上的射影为O，且PA、PB、PC两两垂直，那么O是△ABC的 心.
13、已知△AOB,点P在直线AB上,且满足,则=_____ .
14、平面上三条直线，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数的取值集合为 ．
15、在等差数列中，表示其前项，若，，则的取值范围是 ．
16、已知椭圆的离心率为过椭圆上一点M作直线MA，MB交椭圆于A、B两点且斜率分别为、，若A、B关于原点对称．则的 值为 ．
17、设函数，则下列命题中正确命题的序号有 ．
①当时，函数在R上是单调增函数；
②当时，函数在R上有最小值；
③函数的图象关于点（0，c）对称；
④方程可能有三个实数根．
三、解答题（本大题共5小题共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18. (本题满分14分)
在△中,角,,的对边分别为,,．已知向量,,且．
（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若,求角的值。
(19) (本题满分14分)
已知等差数列 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 前n项和为,且 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 =17, =100．
（Ⅰ）求数列 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ( )，求数列 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 的前n项和
20．（本题满分14分）
如图，三角形ABC中，AC=BC=，ABED是边长为的正方形，平面ABED⊥底面ABC，且，若G、F分别是EC、BD的中点，
（Ⅰ）求证：GF//底面ABC；
（Ⅱ）求证：平面EBC⊥平面ACD；
（Ⅲ）求几何体ADEBC的体积V。
21．(本题满分15分)
已知：椭圆（），过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）斜率大于零的直线过与椭圆交于，两点，若，求直线的方程；
（Ⅲ）是否存在实数，直线交椭圆于，两点，以为直径的圆过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
22. (本题满分15分)
对于函数，其中a为实常数，已知函数
y＝f（x）的图象在点（－1，f（－1））处的切线与y轴垂直．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）若关于的方程有三个不等实根，求实数的取值范围；
2011年台州市四校联考数学（文科）试卷答案
一、选择题（每小题5分，共50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C B A D B B A C
二、填空题（每小题4分，共28分）
11. 12垂心 13. 14． 15．（4，） 16． 17．①③④
三、解答题（共72分）
（18）解: （1）由得；　
整理得．即，……… 5分
又．又因为,所以．…………….7分
　（2）因为，所以, 故．　　
　　　由．
　　　即,所以．
　　即．因为，所以,　　　　　　
故或．　所以或．…………….14分
(19)解：（I）设首项为,公差为d,
则解得…………………….5分
…………………….7分
（II）∵=
当n为偶数时,
….10分
当n为奇数时,
= …………….13分
…………………….14分
20. 解（I）证法一：取BE的中点H，连结HF、GH，（如图1）
∵G、F分别是EC和BD的中点
∴HG//BC，HF//DE，……………………………2分
又∵ADEB为正方形 ∴DE//AB，从而HF//AB
∴HF//平面ABC，HG//平面ABC
∴平面HGF//平面ABC
∴GF//平面ABC……………………………………5分
证法二：取BC的中点M，AB的中点N连结GM、FN、MN（如图2）
∵G、F分别是EC和BD的中点
∴…………………2分
又∵ADEB为正方形 ∴BE//AD，BE=AD
∴GM//NF且GM=NF
∴MNFG为平行四边形
∴GF//MN，又，
∴GF//平面ABC……………………………………5分
（Ⅱ）∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB
又∵平面ABED⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC …………7分
∴BE⊥AC 又∵CA2+CB2=AB2
∴AC⊥BC ∴AC⊥平面BCE
从而平面EBC⊥平面ACD……………………………………9分
（Ⅲ）连结CN，因为AC=BC，所以CN⊥AB，且
又平面ABED⊥平面ABC，
所以CN⊥平面ABED。
∵C—ABED是四棱锥
∴VC—ABED=……………………14分
(用向量法一样给分)
21. 解（1）由， ，得，，
所以椭圆方程是：……………………4分
（2）设EF：（）代入，得，
设，，由，得．
由，……………………8分
得，，（舍去），（没舍去扣1分）
直线的方程为：即……………………10分
（3）将代入，得（*）
记，，PQ为直径的圆过，则，即，又，，得．………………13分
解得，此时（*）方程，存在，满足题设条件．…………15分
22．解（Ⅰ）．
据题意，当时取极值，所以．
因为．
由1－2a＝0，得． ……6分
（Ⅱ）因为，则．
所以．
由，得，即x＜－1或1＜x＜2．
所以f（x）在区间，（1，2）上单调递增，
在区间（－1，1），（2，＋∞）上单调递减．……8分
所以的极大值为，
极小值为． ……11分
由此可得函数y＝f（x）的大致图象如下：
令，若关于的方程有三个不等实根，
则关于的方程在上有三个不等实根，
即函数的图象与直线在上有三个不同的交点．
又，由图象可知，，
故的取值范围是． ……15分
x
y
1
1
O
图1
图2
x
y
O
－1
1
2