江苏省泰州市姜堰二中2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案
文档属性
| 名称 | 江苏省泰州市姜堰二中2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 987.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-06 17:53:39 | ||
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文档简介
江苏省姜堰第二中学2020－2021学年度第一学期期中考试
高二数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线false的焦点为F，准线为l，则点F到直线l的距离为（ ）
A．false B．1 C．2 D．4
2．已知向量false，false，且false，其中false，则false（ ）
A．4 B．-4 C．2 D．-2
3．若false，则false的值为（ ）
A．3 B．false C．-3 D．false
4．在平面直角坐标系xOy中，若椭圆false与双曲线false有相同的焦点，则双曲线T的渐近线方程为（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．在平面直角坐标系xOy中，直线false与两坐标轴分别交于点A，B，圆C经过A，B，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（ ）
A．false B．false
C．false D．false
6．如图，已知圆柱的底面半径为2，与圆柱底面成false角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的焦距为（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．如图，在三棱柱false中，false与false相交于点O，false，false，false，false，则线段AO的长度为（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线false的左焦点为F，点M，N在双曲线C上．若四边形OFMN为菱形，则双曲线C的离心率为（ ）
A．false B．false C．false D．false
二、多项选择题：本大题共4小题．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
9．已知两个不重合的平面false，false及直线m，下列说法正确的是（ ）
A．若false，false，则false B．若false，false，则false
C．若false，false，则false D．若false，false，则false
10．在平面直角坐标系xOy中，false，false分别为椭圆false的左、右焦点，点A在椭圆上．若false为直角三角形，则false的长度可以为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图，直线false，false相交于点O，点P是平面内的任意一点，若x，y分别表示点P到false，false的距离，则称false为点P的“距离坐标”．下列说法正确的是（ ）
A．距离坐标为false的点有1个 B．距离坐标为false的点有2个
C．距离坐标为false的点有4个 D．距离坐标为false的点在一条直线上
12．20世纪50年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金属反应可以人工合成金刚石．人工合成金刚石的典型晶态为立方体（六面体）、八面体和立方八面体以及它们的过渡形态．其中立方八面体（如图所示）有24条棱、12个顶点、14个面（6个正方形、8个正三角形），它是将立方体“切”去8个“角”后得到的几何体．已知一个立方八面体的棱长为1，则（ ）
A．它的所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为2
B．它的任意两条不共面的棱所在直线都相互垂直
C．它的体积为false
D．它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等
三、填空题：本大题共4小题．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13．在平面直角坐标系xOy中，已知直线false和直线false，false．若false与false平行，则false与false之间的距离为________．
14．在空间直角坐标系中，若三点false，false，false满足false，则实数a的值为________．
15．词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出自中国数学名著《九章算术·商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼．在《九章算术·商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．现有如图所示的“鳖臑”四面体PABC，其中false平面ABC，false，false，则四面体PABC的外接球的表面积为________．
16．早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击．现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同．建立如图所示的平面直角坐标系xOy，根据图上尺寸，溢流孔ABC所在抛物线的方程为________，溢流孔与桥拱交点A的横坐标为________．
四、解答题：本大题共6小题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．在①false；②false；③false的面积false三个条件中任选一个（填序号），补充在下面的问题中，并解答该问题．
已知false的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，________，D是边BC上的一点，false，且false，false，求线段AD的长．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．在平面直角坐标系xOy中，已知圆false，动圆M与直线false相切且与圆F外切．
（1）记圆心M的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；
（2）已知false，曲线C上一点P满足false，求false的大小．
19．如图，在直三棱柱false中，D为AC中点．
（1）求证：false平面false；
（2）若false，false，且false，求三棱锥false的体积．
20．在平面直角坐标系xOy中，已知圆false，点A，B是直线false与圆O的两个公共点，点C在圆O上．
（1）若false为正三角形，求直线AB的方程；
（2）若直线false上存在点P满足false，求实数m的取值范围．
21．如图，在四棱锥false中，平面false平面ABCD，false，false，false，false，false，false．
（1）若false，求直线DE与平面ABE所成角的正弦值；
（2）设二面角false的大小为false，若false，求false的值．
22．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆false的左顶点与上顶点的距离为false，且经过点false．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l与椭圆C相交于P，Q两点，M是PQ的中点．若椭圆上存在点N满足false，求证：false的面积S为定值．
2020－2021学年度第一学期期中调研测试
高二数学参考答案
2020.11
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1．B 2．B 3．D 4．D 5．A 6．D 7．A 8．C
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
9．BC 10．ABC 11．ABC 12．ACD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．false 14．false 15．false
16．false，false
四、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．（本小题满分10分）
解：选①．
由条件①false，
在false中，false，
所以false，
即false，
从而false．
因为B为三角形内角，所以false，
所以false．
因为A为三角形内角，所以false．
在false中，因为false，false，
故由正弦定理false得false，
即false，
所以false，
即false．
由false知false，因此false．
因为false，所以false．
选②．
由条件②false，结合余弦定理得false，
即false，
所以false，
因为A为三角形内角，所以false．
在false中，因为false，false，
故由正弦定理false得false，
即false，
所以false，
即false．
由false知false，因此false．
因为false，所以false．
选③．
由条件③，false的面积false，
得false，
即false，
因为A为三角形内角，所以false，从而false，
所以false，所以false．
在false中，因为false，false，
故由正弦定理false得false，
即false，
所以false，
即false．
由false知false，因此false．
因为false，所以false．
另解：false（略）
在false中，因为false，false，
由余弦定理得false，
所以false．
由正弦定理得false，
则false，
又B为锐角，所以false，
则false．
在false中，因为false，
所以false．
18．（本小题满分12分）
解：（1）设false，圆M的半径为r．
由题意知，false，M到直线l的距离为r．
方法一：
点M到点false的距离等于M到定直线false的距离，
根据抛物线的定义知，曲线C是以false为焦点，false为准线的抛物线．
故曲线C的方程为false．
方法二：
因为false，false，false，
所以false，化简得false，
故曲线C的方程为false．
（2）方法一：设false，由false，
得false，
又false，解得false，故false，
所以false，从而false．
方法二：过点P向直线false作垂线，垂足为Q．
由抛物线定义知，false，所以false，
在false中，因为false，
所以false，
从而false，故false．
19．（本小题满分12分）
（1）证明：连结false交false于点O，连结OD．
在三棱柱false中，false，false，
所以四边形false为平行四边形，所以O为false中点．
又因为D为AC中点，
所以OD为false的中位线，所以false．
又因为false平面false，OD平面false，
所以false平面false．
（2）解：方法一：三棱锥false的体积就是三棱锥false的体积．
过点D作false，垂足为E．
在直三棱柱false中，false平面ABC．
因为false平面ABC，所以false．
又因为false，且false，BC平面false，false，
所以false平面false，即DE为三棱锥false的高．
在false中，false，false，且false，
所以false，false，
在false中，false，
所以false．
又false的面积false，
所以三棱锥false的体积false，
故三棱锥false的体积等于3．
方法二：三棱锥false的体积就是三棱锥false的体积．
因为（1）中已证false面false，
所以false到平面false的距离等于A到平面false的距离．
因此三棱锥false的体积等于三棱锥false的体积，
即等于三棱锥false的体积．
在直三棱柱false中，false平面ABC，
所以false为三棱锥false的高．
因为false，false，且false，false．
因为D是AC的中点，
所以false的面积false．
故三棱锥false的体积false，
即三棱锥false的体积等于3．
20．（本小题满分12分）
解：（1）由false为正三角形，得false，
所以false，
所以原点O到直线AB的距离false．
由点到直线的距离公式得false，
解得false或false．
所以直线AB的方程为false或false．
（2）方法一：设false，false，false．
因为false，所以点P在以AB为直径的圆上．
记该圆圆心为false，则false是方程组false的解，
解得false
故以AB为直径的圆的方程为false，
其中false．
又点P在直线false上，即直线与圆有公共点，
所以false，即false．
解得false．
综上，实数m的取值范围是false．
方法二：设false，false．
联立直线AB与圆O方程，得false
消去y得false．①
所以false，false是①的两个解，
判别式false，
即false，
且false，false．
设点false，则false，false．
由false，false，②
将false，false，false代入②，
整理得false．
又false，false，
所以false，
关于x的方程false有实数解，
因此false，
即false，
解得false．
综上，实数m的取值范围是false．
21．（本小题满分12分）
解：因为平面false平面ABCD，false，平面false平面false，
PA平面PAB，所以false平面ABCD．
因为AD平面ABCD，所以false．
又false，所以PA，AB，AD两两互相垂直．
以false为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系false．
因为false，false，
所以false,false，false，false，false，
（1）若false，即E为PC中点，则false，
所以false，false，false．
设平面ABE的一个法向量为false，
则false即false
令false，得false，
所以平面ABE的一个法向量为false．
设直线DE与平面ABE所成角为false，
则false．
（2）因为false，则false．
设平面ABE的一个法向量为false，
则false即false
令false，得false，
所以平面ABE的一个法向量为false．
设平面AEC的一个法向量为false，
则false即false
令false，得false，
所以平面AEC的一个向量为false．
（或证明false平面PAC，从而false为平面PAC的一个法向量）
因为二面角false的大小为false，且false，
得false，
整理得false，
解得false，或false（舍）．所以false．
22．（本小题满分12分）
解：（1）椭圆C的左顶点false，上顶点false．
因为左顶点与上顶点的距离为false，
所以false，化简得false．①
因为椭圆经过点false，所以false，②
由①②解得false，false或false，false（舍去），
所以椭圆C的方程为false．
（2）当PQ斜率不存在时，N为false，
PQ方程为false，易得false，
此时false．
当PQ斜率存在时，设PQ的方程为false，
联立false得false，
由false，
得false．（*）
设false，false，
则false，false，
因此PQ的中点M为false．
又因为false，所以false，
将点M代入椭圆方程，得false，
化简得false，符合（*）式．
记点O到直线l的距离为d，
则false
false
false，
将false代入，得false．
综上，false的面积S为定值false．
高二数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线false的焦点为F，准线为l，则点F到直线l的距离为（ ）
A．false B．1 C．2 D．4
2．已知向量false，false，且false，其中false，则false（ ）
A．4 B．-4 C．2 D．-2
3．若false，则false的值为（ ）
A．3 B．false C．-3 D．false
4．在平面直角坐标系xOy中，若椭圆false与双曲线false有相同的焦点，则双曲线T的渐近线方程为（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．在平面直角坐标系xOy中，直线false与两坐标轴分别交于点A，B，圆C经过A，B，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（ ）
A．false B．false
C．false D．false
6．如图，已知圆柱的底面半径为2，与圆柱底面成false角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的焦距为（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．如图，在三棱柱false中，false与false相交于点O，false，false，false，false，则线段AO的长度为（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线false的左焦点为F，点M，N在双曲线C上．若四边形OFMN为菱形，则双曲线C的离心率为（ ）
A．false B．false C．false D．false
二、多项选择题：本大题共4小题．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
9．已知两个不重合的平面false，false及直线m，下列说法正确的是（ ）
A．若false，false，则false B．若false，false，则false
C．若false，false，则false D．若false，false，则false
10．在平面直角坐标系xOy中，false，false分别为椭圆false的左、右焦点，点A在椭圆上．若false为直角三角形，则false的长度可以为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图，直线false，false相交于点O，点P是平面内的任意一点，若x，y分别表示点P到false，false的距离，则称false为点P的“距离坐标”．下列说法正确的是（ ）
A．距离坐标为false的点有1个 B．距离坐标为false的点有2个
C．距离坐标为false的点有4个 D．距离坐标为false的点在一条直线上
12．20世纪50年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金属反应可以人工合成金刚石．人工合成金刚石的典型晶态为立方体（六面体）、八面体和立方八面体以及它们的过渡形态．其中立方八面体（如图所示）有24条棱、12个顶点、14个面（6个正方形、8个正三角形），它是将立方体“切”去8个“角”后得到的几何体．已知一个立方八面体的棱长为1，则（ ）
A．它的所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为2
B．它的任意两条不共面的棱所在直线都相互垂直
C．它的体积为false
D．它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等
三、填空题：本大题共4小题．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13．在平面直角坐标系xOy中，已知直线false和直线false，false．若false与false平行，则false与false之间的距离为________．
14．在空间直角坐标系中，若三点false，false，false满足false，则实数a的值为________．
15．词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出自中国数学名著《九章算术·商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼．在《九章算术·商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．现有如图所示的“鳖臑”四面体PABC，其中false平面ABC，false，false，则四面体PABC的外接球的表面积为________．
16．早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击．现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同．建立如图所示的平面直角坐标系xOy，根据图上尺寸，溢流孔ABC所在抛物线的方程为________，溢流孔与桥拱交点A的横坐标为________．
四、解答题：本大题共6小题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．在①false；②false；③false的面积false三个条件中任选一个（填序号），补充在下面的问题中，并解答该问题．
已知false的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，________，D是边BC上的一点，false，且false，false，求线段AD的长．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．在平面直角坐标系xOy中，已知圆false，动圆M与直线false相切且与圆F外切．
（1）记圆心M的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；
（2）已知false，曲线C上一点P满足false，求false的大小．
19．如图，在直三棱柱false中，D为AC中点．
（1）求证：false平面false；
（2）若false，false，且false，求三棱锥false的体积．
20．在平面直角坐标系xOy中，已知圆false，点A，B是直线false与圆O的两个公共点，点C在圆O上．
（1）若false为正三角形，求直线AB的方程；
（2）若直线false上存在点P满足false，求实数m的取值范围．
21．如图，在四棱锥false中，平面false平面ABCD，false，false，false，false，false，false．
（1）若false，求直线DE与平面ABE所成角的正弦值；
（2）设二面角false的大小为false，若false，求false的值．
22．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆false的左顶点与上顶点的距离为false，且经过点false．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l与椭圆C相交于P，Q两点，M是PQ的中点．若椭圆上存在点N满足false，求证：false的面积S为定值．
2020－2021学年度第一学期期中调研测试
高二数学参考答案
2020.11
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1．B 2．B 3．D 4．D 5．A 6．D 7．A 8．C
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
9．BC 10．ABC 11．ABC 12．ACD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．false 14．false 15．false
16．false，false
四、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．（本小题满分10分）
解：选①．
由条件①false，
在false中，false，
所以false，
即false，
从而false．
因为B为三角形内角，所以false，
所以false．
因为A为三角形内角，所以false．
在false中，因为false，false，
故由正弦定理false得false，
即false，
所以false，
即false．
由false知false，因此false．
因为false，所以false．
选②．
由条件②false，结合余弦定理得false，
即false，
所以false，
因为A为三角形内角，所以false．
在false中，因为false，false，
故由正弦定理false得false，
即false，
所以false，
即false．
由false知false，因此false．
因为false，所以false．
选③．
由条件③，false的面积false，
得false，
即false，
因为A为三角形内角，所以false，从而false，
所以false，所以false．
在false中，因为false，false，
故由正弦定理false得false，
即false，
所以false，
即false．
由false知false，因此false．
因为false，所以false．
另解：false（略）
在false中，因为false，false，
由余弦定理得false，
所以false．
由正弦定理得false，
则false，
又B为锐角，所以false，
则false．
在false中，因为false，
所以false．
18．（本小题满分12分）
解：（1）设false，圆M的半径为r．
由题意知，false，M到直线l的距离为r．
方法一：
点M到点false的距离等于M到定直线false的距离，
根据抛物线的定义知，曲线C是以false为焦点，false为准线的抛物线．
故曲线C的方程为false．
方法二：
因为false，false，false，
所以false，化简得false，
故曲线C的方程为false．
（2）方法一：设false，由false，
得false，
又false，解得false，故false，
所以false，从而false．
方法二：过点P向直线false作垂线，垂足为Q．
由抛物线定义知，false，所以false，
在false中，因为false，
所以false，
从而false，故false．
19．（本小题满分12分）
（1）证明：连结false交false于点O，连结OD．
在三棱柱false中，false，false，
所以四边形false为平行四边形，所以O为false中点．
又因为D为AC中点，
所以OD为false的中位线，所以false．
又因为false平面false，OD平面false，
所以false平面false．
（2）解：方法一：三棱锥false的体积就是三棱锥false的体积．
过点D作false，垂足为E．
在直三棱柱false中，false平面ABC．
因为false平面ABC，所以false．
又因为false，且false，BC平面false，false，
所以false平面false，即DE为三棱锥false的高．
在false中，false，false，且false，
所以false，false，
在false中，false，
所以false．
又false的面积false，
所以三棱锥false的体积false，
故三棱锥false的体积等于3．
方法二：三棱锥false的体积就是三棱锥false的体积．
因为（1）中已证false面false，
所以false到平面false的距离等于A到平面false的距离．
因此三棱锥false的体积等于三棱锥false的体积，
即等于三棱锥false的体积．
在直三棱柱false中，false平面ABC，
所以false为三棱锥false的高．
因为false，false，且false，false．
因为D是AC的中点，
所以false的面积false．
故三棱锥false的体积false，
即三棱锥false的体积等于3．
20．（本小题满分12分）
解：（1）由false为正三角形，得false，
所以false，
所以原点O到直线AB的距离false．
由点到直线的距离公式得false，
解得false或false．
所以直线AB的方程为false或false．
（2）方法一：设false，false，false．
因为false，所以点P在以AB为直径的圆上．
记该圆圆心为false，则false是方程组false的解，
解得false
故以AB为直径的圆的方程为false，
其中false．
又点P在直线false上，即直线与圆有公共点，
所以false，即false．
解得false．
综上，实数m的取值范围是false．
方法二：设false，false．
联立直线AB与圆O方程，得false
消去y得false．①
所以false，false是①的两个解，
判别式false，
即false，
且false，false．
设点false，则false，false．
由false，false，②
将false，false，false代入②，
整理得false．
又false，false，
所以false，
关于x的方程false有实数解，
因此false，
即false，
解得false．
综上，实数m的取值范围是false．
21．（本小题满分12分）
解：因为平面false平面ABCD，false，平面false平面false，
PA平面PAB，所以false平面ABCD．
因为AD平面ABCD，所以false．
又false，所以PA，AB，AD两两互相垂直．
以false为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系false．
因为false，false，
所以false,false，false，false，false，
（1）若false，即E为PC中点，则false，
所以false，false，false．
设平面ABE的一个法向量为false，
则false即false
令false，得false，
所以平面ABE的一个法向量为false．
设直线DE与平面ABE所成角为false，
则false．
（2）因为false，则false．
设平面ABE的一个法向量为false，
则false即false
令false，得false，
所以平面ABE的一个法向量为false．
设平面AEC的一个法向量为false，
则false即false
令false，得false，
所以平面AEC的一个向量为false．
（或证明false平面PAC，从而false为平面PAC的一个法向量）
因为二面角false的大小为false，且false，
得false，
整理得false，
解得false，或false（舍）．所以false．
22．（本小题满分12分）
解：（1）椭圆C的左顶点false，上顶点false．
因为左顶点与上顶点的距离为false，
所以false，化简得false．①
因为椭圆经过点false，所以false，②
由①②解得false，false或false，false（舍去），
所以椭圆C的方程为false．
（2）当PQ斜率不存在时，N为false，
PQ方程为false，易得false，
此时false．
当PQ斜率存在时，设PQ的方程为false，
联立false得false，
由false，
得false．（*）
设false，false，
则false，false，
因此PQ的中点M为false．
又因为false，所以false，
将点M代入椭圆方程，得false，
化简得false，符合（*）式．
记点O到直线l的距离为d，
则false
false
false，
将false代入，得false．
综上，false的面积S为定值false．
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