浙江省台州市四校2012届高三第一次联考理科数学试卷

浙江省台州市四校2012届高三第一次联考理科数学试卷
选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设是非空集合，定义={且}，己知
，则等于 （ ）
A．(2，+∞) B．[0，1]∪[2，+∞)
C．[0，1)∪(2，+∞) D．[0,1]∪(2，+∞)
2. 已知命题：抛物线的准线方程为；命题：若函数为
偶函数，则关于对称．则下列命题是真命题的是 ( )
A． B． C． D．
3．已知cos（α－）+sinα= （ ）
A．－　　　 B ． C． － D．
4．．设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则 （ 　 ）A． B．2 C． D．45．设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是 （ ）
6．中,、、C对应边分别为、、.若,,,且此三角形有两解,则的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
7．某同学对函数进行研究后，得出以下五个结论：①函数的图象是中心对称图形；②对任意实数，均成立；③函数的图象与轴有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；④函数的图象与直线有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；⑤当常数满足时，函数的图象与直线有且仅有一个公共点。其中所有正确结论的序号是 ( )
A．①②④ B．①②③④ C．①②④⑤ D．①②③④⑤
8．在直角梯形ABCD中，，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆内运动，设，则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
9.若长度为定值的线段AB的两端点分别在x轴正半轴和y轴正半轴上移动，O为坐标原点，则的重心、内心、外心、垂心的轨迹都不可能是 （ ）
A．点 B．线段 C 圆弧 D．抛物线的一部分
10．已知函数的零点个数为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，满分28分。
11.已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝（），n＝（cosA,sinA）.若m⊥n，且acosB+bcosA=csinC，则角B＝____▲_____
12．已知函数是定义在上的增函数，函数的图象关于点(1 , 0)对称，若对任意的，不等式恒成立，则当时，的取值范围是____▲_____
13．设为三个非零向量，且，
则的最大值是____▲_____．
14．观察下列几个三角恒等式:
①；
②；
③.
一般地,若都有意义,你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为 ▲
15．如图，已知是椭圆 的左、右焦点， 点在椭圆上，线段与圆相切于点，
且点为线段的中点，则椭圆的离心率为 ▲ .
16．已知函数,,
设,且函数的零点均在区间内,
则的最小值为____▲_____.
17.已知对任意平面向量=(x,y),把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量
，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角
得到点P. 设平面内曲线C上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转后得到点的轨迹是
曲线，则原来曲线C的方程是____▲_____
三、解答题：本大题共5小题，满分72分。解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤
18、（本题满分14分）
已知集合，
（Ⅰ）当时，求；
（Ⅱ）求使的实数的取值范围。
19、（本题满分14分）
已知：函数的最大值为，最小正周期为．
（Ⅰ）求:的解析式；
（Ⅱ）若的三条边为，，，满足，边所对的角为．求：角的取值范围及函数的值域．
20 、（本题满分14分）
已知函数 HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 ，， HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3
（Ⅰ）当时，若 HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 在上单调递增，求 HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 的取值范围；
（Ⅱ）求满足下列条件的所有实数对：当 HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 是整数时，存在，使得 HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 是的最大值， HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 是的最小值；
（Ⅲ）对满足（Ⅱ）的条件的一个实数对 HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 ，试构造一个定义在，且 HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 上的函数，使当 HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 时，，当 HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 时，取得最大值的自变量的值构成以 HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 为首项的等差数列。
21、（本小题满分14分）
椭圆过点P，且离心率为，F为椭圆的右焦点，、两点在椭圆上，且 ，定点（－4，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当时 ，问：MN与AF是否垂直；
并证明你的结论.
（Ⅲ）当、两点在上运动，
且 =6时,
求直线MN的方程.
22、（本小题满分15分）
已知函数在上为增函数,且,为常数,.
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）若在上为单调函数,求m的取值范围;
（Ⅲ）设,若在上至少存在一个，使得成立，求的m取值范围.
2011年台州市四校联考数学（理科）答案
一、选择题（每小题5分，共50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C B D A C D D B
二、填空题（每小题4分，共28分）
11. 12. (13,49) 13. 14．
15． 16． 9 17．
三、解答题（共72分）
（18）(本题满分l4分)
解：（Ⅰ）当 …………………6分
（Ⅱ）时， ；时，
①当时，要使必须
②当时，，所以使的不存在，
③，要使，必须
综上可知，使的实数的范围为 ……………………14分
(19)(本题满分l4分)
（Ⅰ），
由，得………………2分
由及，得………………4分
…………6分
（Ⅱ）．………………8分
为三角形内角，所以………………10分
，，…………14分
（20）（本题满分14分）
解：（Ⅰ）当时， HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 ，
若， HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 ，则在 HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 上单调递减，不符题意。
故，要使 HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 在上单调递增，必须满足 HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 ，∴ 。 （4分）
（Ⅱ）若 HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 ，，则 HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 无最大值，故，∴ HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 为二次函数，
要使有最大值，必须满足 HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 ，即且 HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 ，
此时，时， HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 有最大值。
又取最小值时， HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 ，依题意，有，则 HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 ，
∵且 HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 ，∴，得 HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 ，此时或 HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 。
∴满足条件的实数对是 HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 。 （9分）
（Ⅲ）当实数对是 HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 时， （14分）
依题意，只需构造以2（或2的正整数倍）为周期的周期函数即可。
如对 HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 ，，
此时， HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 ，
故
21，解：（Ⅰ）椭圆的离心率为
即可得 --2分
又椭圆过点P
解得，，椭圆C的方程为----- -----------4分
（Ⅱ）设，
则，
当时，， -----------５分
由M，N两点在椭圆上，
---------６分
若，则（舍去）， ------------７分
．　　　　　 ------------8分
（Ⅲ）因为=6．--９分
由已知点F(2,0), 所以|AF|=6, 即得|yM-yN|= ------------1０分
当MN轴时，故直线的斜率存在. ------------11分
不妨设直线MN的方程为：-----
联立、得 ------------12分
||=解得 ------------14分
此时，直线MN的方程为或 ------------15分
(22)(本题满分15分)
解：（1）由题意：在上恒成立，即，
在上恒成立，
只需sin…………（4分）
(2) 由(1),得f(x)-g(x)=mx-,,由于f(x)-g(x)在其定义域内为单调函数，则在上恒成立，即在上恒成立，故，综上，m的取值范围是 …………（9分）
（3）构造函数F(x)=f(x)-g(x)-h(x),,
当由得，，所以在上不存在一个，使得； …………（12分）
当m>0时，，因为，所以在上恒成立，故F(x)在上单调递增，，故m的取值范围是…………………………………………………………………………（15分）
另法:(3) 令
第21题
第21题