上海市金山高级中学2021届高三上学期期中考试数学试题 Word版含答案

金山中学2020学年度第一学期高三年级数学学科期中考试卷2020.1
（时间120分钟 满分150分）
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接墳写结果，否则一律得零分．
1．已知集合false，false，则false__________．
2．复数false的虚部为___________．
3．若球主视图的面积为false，则该球的体积等于__________．
4．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率_________．
5．已知双曲线C：false的一个焦点坐标为false，且它的一条渐近线与直线l：false垂直，则双曲线C的标准方程为___________．
6．在false中，若false，则角B的大小为__________．
7．已知角false的顶点在坐标原点，始边与x轴旳正半轴重合，将角false的终边按逆时针方向旋转false后经过点false，则false____________．
8．false展开式中false的系数为__________．
9．已知数列false满足false，则数列false的前n项和false为____________．
10．在false中，false，false，false，P为线段false上的点，且false，则false的最大值为_________．
11．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：false，若函数false是定义在R上的奇函数，且对任意x都有false，当false时，false，则false________．
12．将正整数12分解成两个正整数的乘积有false，false，false，三种，其中false是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称false为12的最佳分解，当false是正整数n的最佳分解时，我们定义函数false，例如false，则数列false的前2020项和为__________．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
13．若样本平均数为false，总体平均数为false，则（ ）
A．false B．false C．false是false的估计值 D．false是false的估计值
14．标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”，“白”，“空”三种情况，因此有种false种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即false，下列数据最接近false的是（ ）
A．false B．false C．false D．false
15．设false，命题false，命题false，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
16．在直角坐标系false中，对于点false，定义变换false：将点false变换为点false，使得false，其中false．这样变换false就将坐标系false内的曲线变换为坐标系内false内的曲线．则四个函数false，false，false，false在坐标系false内的图象，变换为坐标系false内的四条曲线（如图）依次是（ ）
A．②，③，①，④ B．③，②，④，① C．②，③，④，① D．③，②，①，④
三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．（本题共14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图，四棱锥false中，false底面false，且底面false为平行四边形，若false，false，false．
（1）求证：false；
（2）若false，求点D到平面false的距离h．
18．（本题共14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知函数false的图象过点false，最小正周期为false，且最小值为false．
（1）求函数false的解析式；
（2）若false，false的值域是false，求m的取值范围．
19．（本题共14分，第1小题6分，第2小题8分）
2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元false满足false（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按false元来计算）
（1）将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
20．（本题共16分，第1小题4分，第2小题6分，第2小题6分）
在平面直角坐标系false中，已知false，false，false为三个不同的定点．以原点O为圆心的圆与线段false，false，false都相切．
（1）求圆O的方程及m，n的值；
（2）若直线l：false与圆O相交于M，N两点，且false，求t的值；
（3）在直线false上是否存在异于A的定点Q，使得对圆O上任意一点P，都有false（false为常数）？若存在，求出点Q的坐标及false的值；若不存在，请说明理由．
21．（本题共16分，第1小题4分，第2小题6分，第2小题8分）
已知数列false，记集合．false
（1）对于数列false：1，2，3，4，写出集合T；
（2）若false，是否存在false，使得false？若存在，求出一组符合条件的i，j；若不存在，说明理由．
（3）false，把集合T中的元素从小到大排列，得到的新数列为B：false，若false，求m的最大值．
金山中学2020学年度第一学期高三年级数学学科期中考试卷2020.11
（时间120分钟 满分150分）
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．
1．【答案】false 2．【答案】false 3．【答案】false 4．【答案】false 5．【答案】false 6．【答案】false或false 7．【答案】1 8．【答案】30
9．【解析】当false时，由false，
得false，
两式相减，得false，又false，适合，所以false，
所以false，
所以false．
10．【答案】设false，因为false，
所以false，所以false，
所以false，因为false，所以false，
因为false，所以false，所以false，
所以false，所以false，
以false所在直线为x轴，false所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则false，因为P为线段false上的点，
所以存在实数false，使得false，
又false，
所以false，
所以false，则false，
所以false，故false的最大值为3．
11．因为函数false是定义在R上的奇函数，所以false，
又false，所以false，即false是周期为2的周期函数，
因为false
且当false时，false，
所以false，
false，
因为false，即false，所以false，
所以false，
所以false．
12．由题意得false，
false，归纳得false，
则false
false
false．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，毎题只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
13．D 14．B 15．C
16．A
因为false，所以false，
对于函数false，显然false，故false，
故函数false对应的图像是①；
对于函数false，false，
故函数false对应的图像是④；
对于函数false和false，当false时，false，
即当false时，false，
所以函数false对应的图像是②，函数false对应的图像是③；
故选A．
三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．（本题共14分，第1小题6分，第2小题8分）
（1）因为false，
所以false，
所以false，所以false，
因为false平面false，false平面false，
所以false，又false，
所以false平面false，因为false平面false，所以false；
（2）由（1）得false，
所以false，
因为false，所以false，所以false，
因为false，
所以false，所以false，
所以false，
由等体积法，得false，即false，解得false．
18．（本题共14分，第1小题6分，第2小题8分）
【解析】（1）因为函数的最小值为false，所以false，
因为最小正周期为false，所以false，所以false，
因为图象过点false，所以false，因为false，所以false，
所以false；
（2）因为false，所以false，
因为false，且false，
由余弦函数的性质得false，所以false，即false．
19．（本题共14分，第1小题6分，第2小题8分）
（1）由题意得当false时，false（万件），
所以false，解得false，所以false，
所以每件产品的销售价格定位false（元），
所以利润false；
（2）false，
因为false，所以false（万元），
当且仅当false时取等号，所以促销费用投入3万元时，厂家的利润最大．
20．（本题共16分，第1小题4分，第2小题6分，第2小题6分）
（1）由于圆O与线段false相切，所以半径false，故圆O的方程为false，
又圆O与线段false相切，所以false，所以false，
此时直线false的方程为false，
因为圆O与线段false相切，所以false，解得false或false，
由于点A，C是不同的点，所以false；
（2）法一：设false，则false，
由false得false，
由false得false，
所以false，
所以false，
所以false，所以false，
故false；
法二：因为false，所以false，
所以圆心到直线的距离false，
即false，故false；
（3）设false，
则false，false，
若在直线false上是否存在异于A的定点Q，使得对圆O上任意一点P，
都有false，则false对任意P恒成立，
即false，
整理得false，
因为点Q在直线false上，所以false，
因为点P在圆O上，所以false，
故false对任意false恒成立，
所以false
显然false，所以false，故false，
因为false，解得false或false，
当false时，false与点A重合，舍去，
当false时，false，
综上，存在定点false满足题意，此时false．
21．（本题共16分，第1小题4分，第2小题6分，第2小题8分）
（1）false；
（2）假设存在false，使得false，
则false，
由于false和false奇偶性相同，所以false和false奇偶性不同，
因为false，
所以1024必有大于3的奇因子，矛盾，
故不存在false，使得false；
（3）首先证明：当false时，对任意的false，都有false，
若false，使得false，
由于false和false均大于2且奇偶性不同，
所以false不成立，
其次证明：除false形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和，
若正整数false，其中false，
当false时，由等差数列的性质，有
false
false，此时结论成立，
当false时，由等差数列的性质，有
false
false，此时结论成立，
对于数列false，此问题等价于数列0，1，2，3，…，n，…，其相应集合T中满足：false有多少项？
由上述证明可知，正整数2，4，8，16，32，64，128，256，512不是集合T中的项，
故n的最大值为1001．