上海市普陀区2021届高三上学期期中考试数学试题 Word版含答案

普陀区2021届高三数学期中教学调研测试卷 2020.11.16
说明∶本试卷满分150分，考试时间120分钟．本套试卷另附答题纸，填空题和选择题直接填在相应的位置，每道解答题的解答必须写在的相应区域内．
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中1-6每个空格填对得4分，7-12每个空格填对得5分，填错或不填在正确的位置一律得零分．
1．已知false，若false，（false为虚数单位），则false__________．
2．已知函数false，则false的反函数false____________．
3．已知：false，且false为第四象限角，则false___________．
4．从4名男生和3名女生选2人参加校园辩论赛，则至少有一名女生的概率是___________．
5．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积是________．
6．若false的展开式中所有二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．
7．定义在false上的函数false是奇函数，则实数false的值为______．
8．设数列false前项和为false，若false，且对任意正整数false，都有false，则false_________．
9．已知false，若存在实数false使函数false有两个零点，则false的取值范围是______．
10．已知false，若false点是false所在平面内一点，且false，则false的最大值为__________．
11．已知递增数列false共有2020项，且各项和均不为零，false，如果从false中任取两项false、false，当false时，false仍是数列false中的项，则数列false的各项和false______．
12．对任意闭区间false，用false表示函数false在上的最大值，若正数false满足false，则false的值为____________．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号涂在答题纸相应的位置上，每题选对得5分，不选、造错或选出的代号超过一个一律得零分．
13．“false”是“false”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．已知非零false在非零false方向上的投影是false，下列说法正确的是（ ）
A．false在false方向上的投影一定是false B．false在false方向上的投影一定是false
C．false在false方向上的投影一定是false D．false在false方向上的投影一定是false
15．已知常数false，不等式false的解集为false，不等式false的解集为false，则下列关系式中不可能成立的是（ ）
A．false B．false C．false D．false
16．关于函数，有下列叙述：
①存在函数false满足，对任意false都有false；
②存在函数false满足，对任意false都有false；
③存在函数false满足，对任意false都有false；
④存在函数false满足，对任意false都有false；
其中，叙述正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框內写出必要的步骤．
17．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图所示的多面体false中，false是正方形，false是梯形，false平面false
false．
（1）求多面体false的体积；
（2）设false为false的中点，求直线false和平面false所成角．
18．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知false，设false，记函数false．
（1）求函数false的最小正周期和单调递增区间；
（2）设false的角false所对的边分别为false，若false，求false的面积．
19．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分．
随着“新冠”疫情得到有效控制，企业进入了复工复产阶段为了支持一家小微企业发展，某科创公司研发了一种玩具供其生产销售．根据测算，该企业每月生产戈套玩具的成本false由两部分费用（单位：元）构成：①固定成本（与生产玩具套数false无关），总计2万元；②生产所需成本false
（1）问：该企业每月生产多少套玩具时，可使得平均每套所需的成本费用最少？此时每套玩具的成本费用是多少？
（2）因“疫情”防控的需要，要求企业的复工复产逐步进行，假设复工后，企业每月生产false套，售价定为false（单位：元），且每月生产出的玩具能全部售出如果企业的月产量与复工率成正比，且该企业复工率达100%时的月产量为4000套，问：该企业的复工率至少达到多少时，才能确保月利润不少于10万元？
20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）．
设false为数列false的前false项和，其中false是常数．
（1）求证：数列false为等差数列；
（2）若false且对于任意的false成等比数列，求false的值；
（3）设false，若对一切正数false，不等式false恒成立，求实数false的取值范围．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知函数false的在数集false上都有定义，对于任意的false，当false时，false或false成立，则称false是数集false上false的限制函数．
（1）试判断函数false是否是函数false在false上的限制函数；
（2）设false是false在区间false上的限制函数且false在区间false上的值恒正，求证：函数false在区间false上是增函数；
（3）设false，试写出函数false在false上的限制函数，并利用（2）的结论，求false在false上的单调区间，说明理由．
普陀区2021届高三数学教学调研测试卷 2020.11.16
说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟．本套试卷另附答题纸，填空题和选择题直接填在相应的位置，每道解答题的解答必须写在的相应区域内．
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中1-6每个空格填对得4分，7-12每个空格填对得5分，填错或不填在正确的位置一律得零分．
1．【答案】：false 2．【答案】：false 3．【答案】：false
4．【答案】：false 5．【答案】：false 6．【答案】：false 7．【答案】：1 8．【答案】：false
9．【答案】：false
【解析】：因为false有两个零点，所以false与false的图像有两个交点，由false得false或false，
当false时，函数图像如图所示，存在实数false满足题意；
当false时，false在定义域上单调递增，舍去；
当false时，函数图像如图所示，存在实数false满足题意；
综上，实数false的取值范围是false．
10．【答案】：13
【解析】：如图建系，设false，
所以false，
所以false，
所以false，当且仅当false时取等号，
所以false的最大值为13．
11．【答案】：2021
【解析】：因为递增数列false共有2020项，且各项均不为0，false，
所以false，所以false，
若false，则false，与false是数列false中的项矛盾，
所以false，
所以false，即false，
对上式累加，得false，所以false．
【变式】2020-2021年上海市南洋模范中学高一上期中第21题
已知集合false具有性质false对任意的false与false两数中至少有一个属于false．
（1）分别判断数集false与false是否具有性质false，并说明理由；
（2）证明：false，且false；
（3）当false时，若false，求集合false．
【解析】：（1）因为false都属于数集false，所以数集false具有性质false，因为false和false均不属于数集false，所以数集false不具有性质false；
（2）令false，因为false与false两数中至少有一个属于false，
所以false不属于false，所以false属于集合false，即false，所以false，
令false，因为false与false两数中至少有一个属于false，
所以false不属于false，所以false属于集合false，
令false，则false是集合false中的某一项，
若false，符合题意，若false，则false，所以false，矛盾，
同理false等于其他项均矛盾，所以false，
同理，令false，可得false，
倒序相加得false，
即false；
（3）当false时，令false，当false时，false，
因为集合false具有性质false，所以false，所以false，
所以false，
所以false，
所以false，所以false，即false，
又因为false，所以false，所以false，
所以false，所以false，
所以false，即false是首项为0，公差为false的等差数列，所以false．
12．【答案】：false或false．
【解析】：①当false时，false，由false，得false，无解；
②当false时，false，
由false，得false，所以false；
③当false时，false或1，
由false，得false，所以false，
④当false时，false，不合题意，舍去；
综上，false或false．
【变式】2019-2020年上海市七宝中学高三下三模第11题．
用false表示函数false在闭区间false上的最大值，若正数false满足false，则false的最大值为________．
【答案】：false
【解析】：①当false时，false，所以false，无解；
②当false时，false，所以false，
所以false，所以false；
③当false时，false或1，
所以false且false，所以false，所以false，所以false，
④当false时，false，舍去，
综上所述，false的最大值为false．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号涂在答题纸相应的位置上，每题选对得5分，不选、造错或选出的代号超过一个一律得零分．
13．【答案】：A 14．【答案】：D
15．【答案】：B
【解析】：由三角不等式得false，
若false，则false，所以false，所以false，故不可能的是B．
16．【答案】：A
【解析】：①令false，则false，所以false，令false，则false，所以false，矛盾，故不存在；
②令false，则false，所以false，令false，则false，所以false，矛盾，故不存在；
③令false，则false化为false，令false，则false，所以false，正确；
④令false，得false，令false，得false，矛盾，故不存在；
所以正确的个数是1个，故选A．
三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框內写出必要的步骤．
17．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分．
【答案】：（1）false；（2）false．
18．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分．
【答案】：见详解
【解析】：（1）false，
所以最小正周期false，
令false，解得false，
所以单调递增区间为false；
（2）由false得false，因为false，所以false，所以false，所以false，
由余弦定理得false，即false，所以false，
又false，所以false，所以false．
19．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分．
【答案】：见详解
【解析】：（1）false，
当且仅当false，即false时取等号，
所以每月生产2000套玩具时，平均每套所需的成本费用最少，为25元；
（2）设利润为false，
所以false，即false，
所以false，
所以该企业的复工率至少达到75%时，才能确保月利润不少于10万元．
20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）．
【答案】：见详解
【解析】：（1）当false时，false，
当false时，false，
又false，适合，所以false，
所以false为定值，所以数列false为等差数列；
（2）因为false，所以false，且对于任意的false成等比数列，
所以false成等比数列，即false成等比数列，
所以false，解得false；
（3）因为false，所以false，
①当false为偶数时，
false
false，
false，
因为不等式false恒成立，所以false恒成立，
所以false，令false，则false，
所以false，所以false
②当false为奇数时，
falsefalse，
false，
因为不等式false恒成立，所以false，
所以false，所以false，
所以实数false的取值范围是false．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
【答案】：见详解
【解析】：（1）对任意false，因为false，
所以，false在false上的限制函数为false
（2）对于任意的false，当false时，
因为false在区间false上恒为正值，所以false，
由于false或false成立，
所以false，即false，
所以false在false上是增函数．
（3）设false，则false，
所以false，即false．
由false，解得false，
因而，当false时，false递增，即false的递增区间是false；
当false时，false通减，即false的递减区间是false．
【注】本题改编于2018-2019年上海市宝山区二模第21题，下面附上原题．
已知函数false的在数集false上都有定义，对于任意的false，当false时，false或false成立，则称false是数集false上false的限制函数．
（1）求false在false上的限制函数false的解析式；
（2）证明：如果false在区间false上恒为正值，则false在false上是增函数；
[注：如果false在区间false上恒为负值，则false在区间false上是减函数．此结论无需证明，可以直接应用．]
（3）利用（2）的结论，求函数false在false上的单调区间．
【解析】：（1）对任意false，因为false， 2分
所以，false在false上的限制函数为false 4分
（2）对于任意的false，当false时，
因为false在区间false上恒为正值，所以false， 6分
由于false或false成立，
所以false，即false， 9分
所以false在false上是增函数． 10分
（3）设false，则false， 11分
所以false， 13分
即false． 15分
由false，解得false， 16分
因而，当false时，false递增，即false的递增区间是false； 17分
当false时，false递减，即false的递减区间是false． 18分