江西省南康高级中学2020-2021学年高二上学期第三次大考（11月）数学（理）试题 Word版含答案

南康中学2020～2021学年度第一学期高二第三次大考
数 学（理科）试 卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知一个几何体三视图如图所示，则此几何体的组成方式
为（ ）
A. 上面圆台，下面为圆柱
B. 上面为圆台，下面为棱柱
C. 上面为棱台，下面为棱柱
D. 上面为棱台，下面为圆柱
2．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12.设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（ ）
A． B． C． D．
3．某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 （ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
4. 如图，在正方体中，异面直线和所成
角的大小为（ ）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 120°
5. 已知，是互不重合的直线，，是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形按斜二测画法画出的直观图，则原图形的周长是（ ）cm
A.
B.
C.
D.
7．执行如图所示的程序框图，如果输入的是10，
那么输出的是（ ）
A．2
B．
C．
D．
8. 若圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为2的等腰三角形，则过此圆锥顶点的所有截面中，截面面积的最大值为（ ）
A. B. 1 C. D. 2
9．等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
10. 五四青年节活动中，高三（1）、（2）班都进行了场知识辩论赛，比赛得分情况的茎叶图如图所示（单位：分），其中高三（2）班得分有一个数字被污损，无法确认，假设这个数字具有随机性，那么高三（2）班的平均得分大于高三（1）班的平均得分的概率为（ ）
A. B. C. D.
11．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是A1C1的中点,则O到平面ABC1D1的距离为(　 　)
A. B. C. D.
12. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若sin B＋2sin Acos C＝0，则当cos B取最小值时，＝（ ）
A. B. C. 2 D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡上.
13. 已知数列满足，则通项______.
14. 若，，则函数有零点的概率为__________.
15.在面积为4的正方形中，是线段的中点，现将图形沿折起，使线段重合，得到一个四面体（其中点B重合于点A），则该四面体外接球的表面积为_________．
16.边长为1的正方体,点P为面对角线上一点，则AP+BP的最小值为________.
三．解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.
17．赣州市公安局交警支队依据《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：所有主干道路凡机动车途经十字口或斑马线，无论转弯或者直行，遇有行人过马路，必须礼让行人，违反者将被处以100元罚款，记3分的行政处罚．如表是本市一主干路段监控设备所抓拍的5个月内，机动车驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：
月份 1 2 3 4 5
违章驾驶员人数 120 105 100 90 85
（1）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程；
（2）预测该路段月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数．
参考公式：．
18．如图，在正三棱柱中，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）证明：平面；
（3）若，求直线与平面所成角的正弦值.



19．某中学组织了地理知识竞赛，从参加考试的学生中抽出40名学生，将其成绩（均为整数）分成六组，，…，，其部分频率分布直方图如图所示．观察图形，回答下列问题．
（1）求成绩在的频率，并补全这个频率分布直方图：
（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（计算时可以用组中值代替各组数据的平均值）
（3）从成绩在和的学生中选两人，求他
们在同一分数段的概率．

20.已知为等比数列，且各项均为正值，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前n项和为，求.
21. 已知直线过定点，圆：．
（1）若与圆相切，求的方程；
（2）若与圆交于，两点，求面积的最大值，并求此时的直线方程．
22. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，，，，．
(1)求证：平面PCA⊥平面PCD；
(2)设E为侧棱PC上的一点，若直线BE与底面ABCD所成的角为45°，求二面角 的余弦值．
南康中学2020～2021学年度第一学期高二第三次大考
数学（理科）参考答案
一.选择题
1－12 ABBCB BCDAD BB
12.由sin B＋2sin Acos C＝0，根据正弦定理和余弦定理得，
∴，∴，
∴，
当且仅当，即时取等号，cos B取最小值．
故选：B．
二．填空题
13. 14. 15. 16.
三．解答题
17．解：（1）由表中数据，计算；………………2分
………………4分
…6分
所以与之间的回归直线方程为 …8分
（2）时，………………10分
18．（1）证明：连接，交于点，连接.
因为为矩形，则为的中点；
因为为的中点，所以，
又因为平面，平面，
所以//平面.…………4分
（2）在正三棱柱中，
因为平面，平面，所以.
因为为等边三角形，为的中点，所以.
又因为，平面，所以平面；…………8分
（3）由（2）知，平面，所以 即为直线与平面所成的角，
设等边的边长为2，则，
所以在中，，，所以.
即直线与平面所成的角的正弦值为.…………12分
19．解：（1）因为各组的频率之和等于1，所以成绩在的频率为
…………2分
补全频率分布直方图如图所示：
（2）根据题意，60分及以上的分数在，，，这四个组，其频率之和为，故本次考试的及格率为75% ……………………6分
利用中值估算学生成绩的平均分，则有
…………8分
所以本次考试的平均分为71分。
（3）成绩在的人数为人，成绩在的人数为人
从成绩在和的学生中选两人，将分数段的4人编号为，，，，将分数段的2人编号为，，从中任选两人，则基本事件构成集合
共15个，其中同一分数段内所含基本事件为：，，，，
，，共7个，故概率 ………………12分
20．(1)设数列的公比为q，由得，所以
由条件可知，故………………2分
由，得，故数列的通项公式为；………………4分
（2）因为 ………………6分
故…………………8分
∴………10分

所以数列的前n项和.………………12分
21.（1）由题，得圆的标准方程为，则圆心坐标为，半径…1分
①当直线的斜率不存在时，直线，符合题意；………………2分
②当直线的斜率存在时，设直线：，即．………3分
因为直线l与圆相切，
所以圆心到直线l的距离等于半径，即，解得，……………4分
所以直线的方程为，化为一般式为． ………………5分
综上，l的方程为或； ………………6分
（2）由第（1）知直线与圆交于两点，则斜率必定存在，则直线l的方程为，
所以圆心到直线l的距离，………………7分
所以面积，………………9分
所以当时，取得最大值2，由，
解得或，………………11分
所以直线l的方程为或．………………12分
22.解：(1)在平行四边形ABCD中，∠ADC=60°，，，由余弦定理得
，
∴，∴∠ACD=90°，即CD⊥AC，………………1分
又PA⊥底面ABCD，CD底面ABCD，∴PA⊥CD，…………2分
又，∴CD⊥平面PCA.………………3分
又CD平面PCD，∴平面PCA⊥平面PCD.………………4分
(2)如图，以A为坐标原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴，
y轴，z轴，建立空间直角坐标系.
则，，，，.
设，，则
∴x=0，，，即点E的坐标为
∴ ……………………6分
又平面ABCD的一个法向量为，∴sin45°
解得 ……………………8分
∴点E的坐标为，∴，，
设平面EAB的法向量为，由得
令z=1，得平面EAB的一个法向量为 ………………10分
∴.
又二面角E-AB-D的平面角为锐角，
所以，二面角E-AB-D的余弦值为 ……………………12分