16.1 第1课时 二次根式的概念 课件（共39张PPT）

(共39张PPT)
第十六章
二次根式
16.1
二根次式
第1课时
二次根式的概念
人教版八年级数学下册
教学课件
1.
情景导学
1
2.
新课目标
2
3.
新课进行时
4.
知识小结
目录
Contents
5.
随堂演练
6.
课后作业
第一部分
情景导学
情景导学
（1）如左图所示，礼盒的上面是正方形，其面积为3，则它的边长是
.
如果其面积为S，则它的边长是
.
（2）如左图所示，一个长方形的围
栏，长是宽的2倍，面积为130m2,则它的宽为
m.
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下时离地面的高度h（单位：m)满足关系式h=5t2.如果用含有h的式子表示t,那么t为
.
情景导学
问题1
什么叫做平方根?
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
问题2
什么叫做算术平方根?
如果
x2
=
a（x≥0），那么
x
称为
a
的算术平方根.用
表示.
问题3
什么数有算术平方根?
我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.
情景导学
50米
a米
塔座所形成的这个直角三角形的
斜边长为______________米。
塔座
?米
情景导学
用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？
(1)如图?的海报为正方形，若面积为2m2,则边长为_____m；若面积为S
m2，则边长为_____m．
(2)如图?的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6m2，则它的宽为_____m．
图?
图?
情景导学
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间
t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系
h
=5t2，如果用含有h
的式子表示
t
，那么t为_____．
情景导学
下球体
S
圆形的下球体在平面图上的面积为S，
则半径为____________.
第二部分
新课目标
新课目标
1.理解二次根式的概念.（重点）
2.掌握二次根式有意义的条件.（重点）
3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）
第三部分
新课进行时
新课进行时
核心知识点一
二次根式的概念及有意义的条件
问题1
这些式子分别表示什么意义？
分别表示2，S，3，
的算术平方根．
上面问题中，得到的结果分别是：
，
，
，
．
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
问题2
这些式子有什么共同特征？
新课进行时
一般地，我们把形如
的式子叫做二次根式.
“
”称为二次根号.
两个必备特征
①外貌特征：含有“
”
②内在特征：被开方数a
≥0
注意：a可以是数，也可以是式.
新课进行时
例1
下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
解：
(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.
是否含二次根号
被开方数是不是非负数
二次根式
不是二次根式
是
是
否
否
分析：
新课进行时
例2
当x是怎样的实数时,
在实数范围内有
意义?
解：由x-2≥0，得
x≥2.
当x≥2时，
在实数范围内有意义.
【变式题1】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
解：由题意得x-1＞0，
∴x＞1.
新课进行时
解：∵被开方数需大于或等于零，
∴3+x≥0，∴x≥-3.
∵分母不能等于零，
∴x-1≠0，∴x≠1.
∴x≥-3
且x≠1.
要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.
归纳
新课进行时
【变式题2】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
解：(1)∵无论x为何实数，
∴当x=1时，
在实数范围内有意义.
(2)∵无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0，
∴无论x为何实数，
在实数范围内都无意义.
被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
归纳
新课进行时
(2)多个二次根式相加如
有意义的
条件：
(3)二次根式作为分式的分母如
有意义的条件：
A＞0；
归纳总结
(4)二次根式与分式的和如
有意义的条件：
A≥0且B≠0.
(1)单个二次根式如
有意义的条件：A≥0；
新课进行时
1.下列各式：
.
一定是二次根式的个数有
（
）
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
B
2.(1)若式子
在实数范围内有意义，则x的取值
范围是_______;
(2)若式子
在实数范围内有意义，则x的
取值范围是___________.
x
≥1
x
≥0且x≠2
练一练
新课进行时
问题1
当x是怎样的实数时，
在实数范围内有意义？
呢？
前者x为全体实数；后者x为正数和0.
当a＞0时，
表示a的算术平方根，因此
＞0；当a=0时，
表示0的算术平方根，因此
=0.这就是说，当a≥0时，
≥0.
问题2
二次根式
的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？
核心知识点一
二次根式的双重非负性
新课进行时
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式
我们知道：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
（2）
表示一个数或式的算术平方根，可知
≥0.
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
二次根式的双重非负性
归纳总结
新课进行时
例3
若
，求a
-b+c的值.
解：
由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,
解得a=2,b=3,c=4.
所以a-b+c=2-3+4=3.
多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
归纳
典例精析
新课进行时
例4
已知y=
,求3x+2y的算术平方根.
解：由题意得
∴x=3，∴y=8，
∴3x+2y=25.
∵25的算术平方根为5，
∴3x+2y的算术平方根为5．
新课进行时
【变式题】已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足
，求此三角形的周长．
解：由题意得
∴a=3，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
若
，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.
归纳
第四部分
知识小结
知识小结
二次根式
定义
带有二次根号
在有意义条件下求字母的取值范围
抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.
被开方数为非负数
二次根式的双重非负性
二次根式
中,a≥0且
≥0
第五部分
随堂演练
随堂演练
已知|3x-y-1|和
互为相反数，求x+4y的平方根．
解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．
解得x=1，y=2．
∴x+4y=1+2×4=9，
∴x+4y的平方根为±3.
随堂演练
2.式子
有意义的条件是
（
）
A.x＞2
B.x≥2
C.x＜2
D.x≤2
3.当x=____时，二次根式
取最小值，其最小值为______．
1.
下列式子中，不属于二次根式的是（
）
C
A
-1
0
随堂演练
4.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有
意义？
随堂演练
5.(1)若二次根式
有意义，求m的取值范围．
解：由题意得m-2≥0且m2-m-2≠0，
解得m≥2且m≠-1，m≠2，
∴m＞2．
(2)无论x取任何实数，代数式
都有意义，求m的取值范围．
解：由题意得x2+6x+m≥0，
即(x+3)2+m-9≥0.
∵(x+3)2≥0，
∴m-9≥0，即m≥9.
随堂演练
6.若x，y是实数，且y＜
,求
的值.
解：根据题意得，
∴x=1.
∵y＜
,
∴y＜
，
∴
.
随堂演练
7.先阅读，后回答问题：
当x为何值时，
有意义？
解：由题意得x(x-1)≥0
由乘法法则得
解得x≥1
或x≤0
即当x≥1
或x≤0时，
有意义.
随堂演练
体会解题思想后，试着解答：当x为何值时，
有意义？
解：由题意得
则
解得x≥2或x＜
，
即当x≥2或x＜
时，
有意义．
第六部分
课后作业
1、完成教材本课时对应习题；
2、完成同步练习册本课时的习题。
课后作业
谢谢欣赏
THANK
YOU
FOR
LISTENING
谢谢大家!
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