陕西省咸阳市高新中学2021届高三上学期第三次质量检测（11月）理科数学试题 Word版含答案

咸阳市高新中学2021届2020--2021学年第一学期第三次质量检测
（理科数学）
时间:120分钟，满分:150分 2020年11月4日14:30--16:30
选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)
1． 设集合A={x|﹣1＜x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，则A∪B等于（　　）
A．{2} B．{1，2，3} C．{﹣1，0，1，2，3} D．{0，1，2，3}
2． 若向量=（1，1），=（2，5），=（3，x）满足条件（8﹣）?=30，则x=（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
3． 设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（　　）
A．13 B．35 C．49 D．63
4. 若向量相互垂直，则的最小值为 （ ）
A．6 B．2 C．3 D．12
5． 设F1，F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若∠PF1F2=30°，则椭圆C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
6． 已知曲线，则下列说法正确的是（　　）
A．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2
B．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2
C．把C1向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线C2
D．把C1向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线C2
7． 《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（　　）
A．4立方丈 B．5立方丈 C．6立方丈 D．12立方丈
8． 曲线f（x）=x3﹣（x＞0）上一动点P（x0，f（x0））处的切线斜率的最小值为（　　）
A． B．3 C．2 D．6
9． 已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的直径为（　　）
A．13 B． C． D．
10． 设x，y满足约束条件，若目标函数的取值范围[m，n]恰好是函数y=2sinωx（ω＞0）的一个单调递增区间，则ω的值为（　　）
A． B． C． D．
11． 已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（　　）
A．（2，+∞） B．（，2） C．（，） D．（1，）
12． 对于函数f（x）和g（x），设α∈{x∈R|f（x）=0}，β∈{x∈R|g（x）=0}，若存在α、β，使得|α﹣β|≤1，则称f（x）与g（x）互为“零点关联函数”．若函数f（x）=ex﹣1+x﹣2与g（x）=x2﹣ax﹣a+3互为“零点关联函数”，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C．[2，3] D．[2，4]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 曲线与轴围成的平面图形面积为______________.
14． 有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是　 　．
15． 设l，m是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列命题正确的是　 　．
①若l⊥m，m⊥α，则l⊥α或 l∥α
②若l⊥γ，α⊥γ，则l∥α或 l?α
③若l∥α，m∥α，则l∥m或 l与m相交
④若l∥α，α⊥β，则l⊥β或 l?β
16． 在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=ex（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是　 　．
　
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，
（I）求角A的大小；
（II）若a=2，求的面积S的最大值．
18．设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn＝3n＋3.
(1)求{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足anbn＝log3an，求{bn}的前n项和Tn.
19．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，EB=，且M是BD的中点．
（1）求证：EM∥平面ADF；
（2）求二面角A﹣FD﹣B的余弦值的大小．
20．（12分）已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点k，过点k做圆C：（x﹣5）2+y2=9的两条切线，切点为．
（1）求抛物线E的方程；
（2）若直线AB是讲过定点Q（2，0）的一条直线，且与抛物线E交于A，B两点，过定点Q作AB的垂线与抛物线交于G，D两点，求四边形AGBD面积的最小值．
21．（14分）已知函数，记F（x）=f（x）﹣g（x）．
（1）求证：F（x）在区间（1，+∞）内有且仅有一个实根；
（2）用min{a，b}表示a，b中的最小值，设函数m（x）=min{f（x），g（x）}，若方程m（x）=c在区间（1，+∞）内有两个不相等的实根x1，x2（x1＜x2），记F（x）在（1，+∞）内的实根为x0．求证：．
　
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22.(本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy中，的参数方程为（t为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C的方程为.
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C与交于点A、B，若点P的坐标为，求|PA|+|PB|.
23. (本小题满分10分) 选修4—5：不等式选讲
已知a>0，b>0，c>0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.
(1)求a＋b＋c的值；(2)求a2＋b2＋c2的最小值．
咸阳市高新中学2021届2020--2021学年第一学期第三次质量检测
（理科数学）参考答案与试题解析　
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1． 设集合A={x|﹣1＜x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，则A∪B等于（　　）
A．{2} B．{1，2，3} C．{﹣1，0，1，2，3} D．{0，1，2，3}
[解析]解：∵A={x|﹣1＜x≤2，x∈N}={0，1，2}，集合B={2，3}，
∴A∪B={0，1，2，3}，故选：D．
2． 若向量=（1，1），=（2，5），=（3，x）满足条件（8﹣）?=30，则x=（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
[解析]解：∵向量=（1，1），=（2，5），
∴
∴
∴x=4．故选C．　
3． 设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（　　）
A．13 B．35 C．49 D．63
[解析]解：因为a1+a7=a2+a6=3+11=14，
所以 故选C．
4.若向量相互垂直，则的最小值为
A．6 B．2 C．3 D．12
解析、【答案】A 【解析】因为，所以，即，所以。则，当且仅当取等号，所以最小值为6，选A.
5． 设F1，F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若∠PF1F2=30°，则椭圆C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
[解析]解：∵线段PF1的中点在y轴上
设P的横坐标为x，F1（﹣c，0），∴﹣c+x=0，∴x=c；
∴P与F2的横坐标相等，∴PF2⊥x轴，
∵∠PF1F2=30°，∴PF2=，
∵PF1+PF2=2a，∴PF2=，
tan∠PF1F2===，
∴=，∴e==．故选：A．
　6． 已知曲线，则下列说法正确的是（　　）
A．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2
B．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2
C．把C1向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线C2
D．把C1向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线C2
[解析]解：根据曲线=sin（x﹣），
把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，可得y=sin（x）的图象；
再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2：y=sin（x﹣） 的图象，
故选：B．
　7． 《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（　　）
A．4立方丈 B．5立方丈 C．6立方丈 D．12立方丈
[解析]解：三棱柱的底面是边长为3，高为1的等腰三角形．三棱柱的高为2．
∴三棱柱的体积V=．
两个相同的四棱锥合拼，可得底面边长为2和3的矩形的四棱锥，其高为1．
∴体积V==2．
该刍甍的体积为：3+2=5．故选：B．
　
8． 曲线f（x）=x3﹣（x＞0）上一动点P（x0，f（x0））处的切线斜率的最小值为（　　）
A． B．3 C．2 D．6
[解析]解：f（x）=x3﹣（x＞0）的导数f′（x）=3x2+，
∴在该曲线上点（x0，f（x0））处切线斜率 k=3x02+，
由函数的定义域知 x0＞0，
∴k≥2=2，当且仅当3x02=，即x02= 时，等号成立．
∴k的最小值为2．故选：C．
　9． 已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的直径为（　　）
A．13 B． C． D．
[解析]解：因为直三棱柱中，AB=3，AC=4，AA1=12，AB⊥AC，
所以BC=5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径．
取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1，
矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R==13．故选：A．
　
10． 设x，y满足约束条件，若目标函数的取值范围[m，n]恰好是函数y=2sinωx（ω＞0）的一个单调递增区间，则ω的值为（　　）
A． B． C． D．
[解析]解：作出不等式组对应的平面区域如图：
则z的几何意义为区域内的点D（﹣2，0）的斜率，
由图象知DB的斜率最小，DA的斜率最大，
由，解得A（﹣1，2），
则DA的斜率kDA==2，
由，解得B（﹣1，﹣2），
则DB的斜率kDB==﹣2，
则﹣2≤z≤2，
目标函数的取值范围[﹣2，2]恰好是函数y=2sinωx（ω＞0）的一个单调递增区间，
可得2ω=，解得ω=，故选：C．
　
11． 已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（　　）
A．（2，+∞） B．（，2） C．（，） D．（1，）
[解析]解：双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，
不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=（x﹣c），
与y=﹣x联立，可得交点M（，﹣），
∵点M在以线段F1F2为直径的圆外，
∴|OM|＞|OF2|，即有+＞c2，
∴＞3，即b2＞3a2，
∴c2﹣a2＞3a2，即c＞2a．
则e=＞2．
∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）．故选A．　
12． 对于函数f（x）和g（x），设α∈{x∈R|f（x）=0}，β∈{x∈R|g（x）=0}，若存在α、β，使得|α﹣β|≤1，则称f（x）与g（x）互为“零点关联函数”．若函数f（x）=ex﹣1+x﹣2与g（x）=x2﹣ax﹣a+3互为“零点关联函数”，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C．[2，3] D．[2，4]
[解析]解：函数f（x）=ex﹣1+x﹣2的零点为x=1．
设g（x）=x2﹣ax﹣a+3的零点为β，
若函数f（x）=ex﹣1+x﹣2与g（x）=x2﹣ax﹣a+3互为“零点关联函数”，
根据零点关联函数，则|1﹣β|≤1，
∴0≤β≤2，如图．
由于g（x）=x2﹣ax﹣a+3必过点A（﹣1，4），
故要使其零点在区间[0，2]上，则
g（0）×g（2）≤0或，
解得2≤a≤3，
故选C．
　
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 曲线与轴围成的平面图形面积为______________.
[解析] 2
14． 有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是　丙　．
[解析]解：若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意．
若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意．
若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意．
故答案为：丙．
　
15． 设l，m是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列命题正确的是　②　．
①若l⊥m，m⊥α，则l⊥α或 l∥α
②若l⊥γ，α⊥γ，则l∥α或 l?α
③若l∥α，m∥α，则l∥m或 l与m相交
④若l∥α，α⊥β，则l⊥β或 l?β
[解析]解：①．若l⊥m，m⊥α，则l?α或 l∥α，故①错；
②由面面垂直的性质定理知，若l⊥γ，α⊥γ，则l∥α或 l?α，故②对；
③若l∥α，m∥α，则l∥m或 l与m相交，或l与m异面，故③错；
④若l∥α，α⊥β，则l⊥β或 l?β或l∥β或l?β，或l与β相交．故④错．
故答案为：②　
16． 在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=ex（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是　（e+e﹣1）　．
[解析]解：设切点坐标为（m，em）．
∴该图象在点P处的切线l的方程为y﹣em=em（x﹣m）．
令x=0，解得y=（1﹣m）em．过点P作l的垂线的切线方程为y﹣em=﹣e﹣m（x﹣m）．
令x=0，解得y=em+me﹣m．∴线段MN的中点的纵坐标为t=[（2﹣m）em+me﹣m]．
t'=[﹣em+（2﹣m）em+e﹣m﹣me﹣m]，令t'=0解得：m=1．
当m∈（0，1）时，t'＞0，当m∈（1，+∞）时，t'＜0．
∴当m=1时t取最大值（e+e﹣1）．
故答案为：（e+e﹣1）．　
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，
（I）求角A的大小；（II）若a=2，求的面积S的最大值．
[解析]解：（I）已知，
正弦定理化简可得：，即sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA=sinC
∵0＜C＜π，sinC≠0，∴cosA=1．即cosA=．∴A=．
（II）∵a=2，A=．
余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA 可得：b2+c2=4+bc．
∴4+bc≥2bc，当且仅当b=c时取等号． 解得：bc≤2（2+）
那么三角形面积S=bcsinA≤=．
　18．设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn＝3n＋3.
(1)求{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足anbn＝log3an，求{bn}的前n项和Tn.
解　(1)因为2Sn＝3n＋3，所以2a1＝3＋3，故a1＝3，
当n＞1时，2Sn－1＝3n－1＋3，此时2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1，即an＝3n－1，
所以an＝
(2)因为anbn＝log3an，所以b1＝，
当n＞1时，bn＝31－nlog33n－1＝(n－1)·31－n. 所以T1＝b1＝；
当n＞1时，Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋(1×3－1＋2×3－2＋…＋(n－1)×31－n)，
所以3Tn＝1＋(1×30＋2×3－1＋…＋(n－1)×32－n)，
两式相减，得2Tn＝＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n)－(n－1)×31－n
＝＋－(n－1)×31－n
＝－，所以Tn＝－，　
19．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，EB=，且M是BD的中点．
（1）求证：EM∥平面ADF；（2）求二面角A﹣FD﹣B的余弦值的大小．
[解析]（1）证明：法一、取AD的中点N，连接MN，NF，
在DAB中，M是BD的中点，N是AD的中点，
∴，
又∵，
∴MN∥EF且MN=EF．
∴四边形MNFE为平行四边形，则EM∥FN，
又∵FN?平面ADF，EM?平面ADF，故EM∥平面ADF．
法二、∵EB⊥平面ABD，AB⊥BD，
故以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣xyz．
∵AB=2，EB=，
∴B（0，0，0），D（3，0，0），A（0，0，2），E（0，0，），F（0，1，），M（，0，0），
，，，
设平面ADF的一个法向量是．
由，令y=3，得．
又∵，∴，
又EM?平面ADF，故EM∥平面ADF．
（2）解：由（1）可知平面ADF的一个法向量是．
，，
设平面BFD的一个法向量是，
由，令z=1，得，
∴cos＜＞==，
又二面角A﹣FD﹣B为锐角，
故二面角A﹣FD﹣B的余弦值大小为．
　
20．（12分）已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点k，过点k做圆C：（x﹣5）2+y2=9的两条切线，切点为．
（1）求抛物线E的方程；
（2）若直线AB是讲过定点Q（2，0）的一条直线，且与抛物线E交于A，B两点，过定点Q作AB的垂线与抛物线交于G，D两点，求四边形AGBD面积的最小值．
[解析]解：（1）根据题意，抛物线的E的方程为y2=2px（p＞0），则
设MN与x轴交于点R，由圆的对称性可知，．
于是，所以∠CMR=30°，∠MCR=60°，
所以|CK|=6，所以p=2．故抛物线E的方程为y2=4x．
（2）设直线AB的方程为x=my+2，设A=（x1，y1），B=（x2，y2），
联立得y2﹣4my﹣8=0，则y1+y2=4m，y1y2=﹣8．
∴
设G=（x3，y3），D=（x4，y4），
同理得，
则四边形AGBD的面积
=
令，
则是关于μ的增函数，
故Smin=48，当且仅当m=±1时取得最小值48．
　21．（12分）已知函数，记F（x）=f（x）﹣g（x）．
（1）求证：F（x）在区间（1，+∞）内有且仅有一个实根；
（2）用min{a，b}表示a，b中的最小值，设函数m（x）=min{f（x），g（x）}，若方程m（x）=c在区间（1，+∞）内有两个不相等的实根x1，x2（x1＜x2），记F（x）在（1，+∞）内的实根为x0．求证：．
[解析]证明：（1），定义域为x∈（0，+∞），
，当x＞1时，F'（x）＞0，
∴F（x）在（1，+∞）上单调递增，
又，
而F（x）在（1，+∞）上连续，
根据零点存在定理可得：
F（x）在区间（1，+∞）有且仅有一个实根．
（2）当0＜x≤1时，f（x）=xlnx≤0，
而，故此时有f（x）＜g（x），
由（1）知，F（x）在（1，+∞）上单调递增，
有x0为F（x）在（1，+∞）内的实根，
所以F（x0）=f（x0）﹣g（x0）=0，
故当1＜x＜x0时，F（x）＜0，即f（x）＜g（x）；
当x＞x0时，F（x）＞0，即f（x）＞g（x）．
因而，
当1＜x＜x0时，m（x）=xlnx，m'（x）=1+lnx＞0，
因而m（x）在（1，x0）上递增；
当x＞x0时，，
因而m（x）在（x0，+∞）上递减；
若方程m（x）=c在（1，+∞）有两不等实根x1，x2，
则满足x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞）
要证：，即证：x1+x2＞2x0，即证：x2＞2x0﹣x1＞x0，
而m（x）在（x0，+∞）上递减，
即证：m（x2）＜m（2x0﹣x1），又因为m（x1）=m（x2），
即证：m（x1）＜m（2x0﹣x1），
即证：
记，
由F（x0）=0得：，
∴h（x0）=0，
，
，则，当0＜x＜1时，g'（x）＞0；当x＞1时，g'（x）＜0．
故，所以当x＞0时，，
∵2x0﹣x＞0，∴，
因此，
即h（x）在递增．从而当1＜x1＜x0时，
h（x）＜h（x0）=0，即，
故得证．
　
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22.(本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy中，的参数方程为（t为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C的方程为.
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C与交于点A、B，若点P的坐标为，求|PA|+|PB|.
23. (本小题满分10分) 选修4—5：不等式选讲
已知a>0，b>0，c>0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.
(1)求a＋b＋c的值；(2)求a2＋b2＋c2的最小值．
【解析】　(1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c，
当且仅当－a≤x≤b时，等号成立．
又a>0，b>0，所以|a＋b|＝a＋b，
所以f(x)的最小值为a＋b＋c.
又已知f(x)的最小值为4，
所以a＋b＋c＝4.
(2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式得
(a2＋b2＋c2)(4＋9＋1)≥(×2＋×3＋c×1)2＝(a＋b＋c)2＝16，即a2＋b2＋c2≥.
当且仅当＝＝，即a＝，b＝，c＝时等号成立．
故a2＋b2＋c2的最小值为.