2020-2021学年冀教新版九年级下册数学《第30章 二次函数》单元测试卷 (word版 含解析)
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年冀教新版九年级下册数学《第30章 二次函数》单元测试卷 (word版 含解析) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 347.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 冀教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-05 20:54:17 | ||
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文档简介
2020-2021学年冀教新版九年级下册数学《第30章
二次函数》单元测试卷
一．选择题
1．下列式子中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y＝2x﹣1
B．y＝
C．y＝3x2
D．y＝ax2+bx+c
2．将抛物线y＝3x2+4沿y轴向上平移2个单位长度，所得的抛物线为（ ）
A．y＝3（x+2）2+4
B．y＝3x2+2
C．y＝3（x﹣2）2+4
D．y＝3x2+6
3．某工厂2017年产品的产量为a吨，该产品产量的年平均增长率为x（x＞0），设2019年该产品的产量为y吨，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．y＝a（1﹣x）2
B．y＝
C．y＝a（1+x）2
D．y＝a+a（1+x）+a（1+x）2
4．在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx+2（k≠0）的图象大致如图（ ）
A．
B．
C．
D．
5．抛物线y＝﹣（x﹣3）2+7的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，7）
B．（﹣3，﹣7）
C．（3，7）
D．（3，﹣7）
6．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①b2＜4ac；②abc＜0：③4a+b＝0；④a+b+c＞0
⑤当y＝2时，x只能等于0．其中结论正确的个数是（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
7．若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（5，y3）在抛物线y＝4（x﹣1）2+5上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3
B．y3＜y2＜y1
C．y2＜y1＜y3
D．y3＜y1＜y2
8．对于二次函数y＝﹣（x+1）2﹣2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．有最低点，坐标是（1，2）
B．有最高点，坐标是（﹣1，﹣2）
C．有最高点，坐标是（1，2）
D．有最低点，坐标是（﹣1，﹣2）
9．设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（ ）
A．若h＝4，则a＜0
B．若h＝5，则a＞0
C．若h＝6，则a＜0
D．若h＝7，则a＞0
10．对抛物线：y＝x2+2x﹣3而言，下列结论正确的是（ ）
A．与x轴有两个交点
B．开口向下
C．顶点坐标是（1，﹣2）
D．与y轴的交点是（0，3）
二．填空题
11．如果函数是关于x的二次函数，那么k的值是
．
12．如图，P是抛物线y＝2（x﹣2）2对称轴上的一个动点，直线x＝t平行y轴，分别与y＝x、抛物线交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t的值，则t＝
．
13．汽车刹车后行驶的距离s米与行驶的时间t秒的函数关系式是s＝30t﹣6t2，汽车刹车后到停下来前进了
米．
14．若某二次函数图象的形状与抛物线y＝3x2相同，且顶点坐标为（0，﹣2），则它的表达式为
．
15．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：
x
﹣3
0
1
y
4
4
n
当n＜0时，下列结论中一定正确的是
（填序号即可）．
①abc＜0；
②当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小；
③a＜﹣1；
④当n＝﹣时，关于x的不等式ax2+（b+）x+c＜0的解集为x＜﹣3或x＞1．
16．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0），则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是
．
17．已知实数a，b满足b2﹣a＝3，则代数式a2+4a+4b2+1的最小值为
．
18．二次函数y＝ax2+bx+c自变量x与函数值y之间有下列关系，那么（a+b+c）的值为
．
x
…
﹣3
﹣2
0
…
y
…
3
﹣1.68
﹣1.68
…
19．如图，在△ABC中，BC＝12，BC上的高AH＝8，矩形DEFG的边EF在边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．设DE＝x，矩形DEFG的面积为y，那么y关于x的函数关系式是
．（不需写出x的取值范围）．
20．将二次函数y＝x2﹣2x﹣5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为y＝
．
三．解答题
21．已知y＝（m﹣1）x是关于x的二次函数，求m的值．
22．已知：二次函数y＝x2﹣4x+3a+2（a为常数）．
（1）请写出该二次函数的三条性质；
（2）在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，求a的取值范围．
23．已知一次函数y1＝kx+n与二次函数y2＝x2+bx+c的图象都经过（1，﹣2），（3，2）两点．
（1）请你求出一次函数、二次函数的表达式．
（2）当x取何值时，y1＞y2．
24．下表给出一个二次函数的一些取值情况：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
0
﹣1
0
3
…
（1）请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（2）根据图象说明：当x取何值时，y的值大于0？
25．已知抛物线y＝﹣2x2+（b﹣2）x+（c﹣2020）（b，c为常数）．
（1）若抛物线的顶点坐标为（1，1），求b，c的值；
（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围；
（3）在（1）的条件下，存在正实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，恰好有≥≥，求m，n的值．
26．已知二次函数y＝x2﹣6x+5．
（1）将y＝x2﹣6x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；
（3）当x取何值时，y随x的增大而减小．
27．已知函数y1＝2kx+k与函数，定义新函数y＝y2﹣y1
（1）若k＝2，则新函数y＝
；
（2）若新函数y的解析式为y＝x2+bx﹣2，则k＝
，b＝
；
（3）设新函数y顶点为（m，n）．
①当k为何值时，n有大值，并求出最大值；
②求n与m的函数解析式；
（4）请你探究：函数y1与新函数y分别经过定点B，A，函数的顶点为C，新函数y上存在一点D，使得以点A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出k的值．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：A、是一次函数，故此选项不符合题意；
B、是反比例函数，故此选项不符合题意；
C、是二次函数，故此选项符合题意；
D、当a＝0时不是二次函数，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．解：将抛物线y＝3x2+4沿y轴向上平移2个单位长度所得直线解析式为：y＝3x2+4+2，即y＝3x2+6．
故选：D．
3．解：根据题意，得：y关于x的函数关系式为y＝a（1+x）2，
故选：C．
4．解：由一次函数解析式为：y＝kx+2可知，图象应该与y轴交在正半轴上，故A、B、C错误；
D符合题意；
故选：D．
5．解：∵y＝﹣（x﹣3）2+7，
∴此函数的顶点坐标为（3，7），
故选：C．
6．解：①∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故错误；
②∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵与y轴的交点为（0，2），
∴c＝2，
∵对称轴为x＝﹣＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故正确；
③∵与x轴的交点为（﹣1，0），（5，0），
∴对称轴为直线x＝﹣＝，
∴﹣b＝4a，即4a+b＝0，故正确；
④当x＝1时，y＝a+b+c＞0．故正确；
⑤∵（0，2）的对称点为（4，2），
∴当y＝2时，x＝0或4，故错误．
故选：B．
7．解：抛物线y＝4（x﹣1）2+5的开口向上，对称轴是直线x＝1，当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（5，y3）在抛物线y＝4（x﹣1）2+5上，
∴点（5，y3）关于对称轴x＝1的对称点是（﹣3，y3），
∵﹣3＜﹣2＜﹣1＜1，
∴y2＜y1＜y3，
故选：C．
8．解：∵二次函数y＝﹣（x+1）2﹣2，
∴该函数的图象开口向下，对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣2），有最高点，
故选项B中的说法正确，选项A、C、D中的说法错误；
故选：B．
9．解：当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式得：，
∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝7，
整理得：a（9﹣2h）＝1，
若h＝4，则a＝1，故A错误；
若h＝5，则a＝﹣1，故B错误；
若h＝6，则a＝﹣，故C正确；
若h＝7，则a＝﹣，故D错误；
故选：C．
10．解：A、∵△＝22﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，抛物线与x轴有两个交点，本选项正确，符合题意；
B、∵二次项系数1＞0，抛物线开口向上，本选项错误，不符合题意；
C、∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣4），本选项错误，不符合题意；
D．、当x＝0时，y＝﹣3，抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣3），本选项错误，不符合题意；
故选：A．
二．填空题
11．解：由题意得：k2﹣3k+2＝2，
解得k＝0或k＝3；
又∵k﹣3≠0，
∴k≠3．
∴k的值是0时．
故答案为：0．
12．解：∵y＝2（x﹣2）2，
∴y＝2x2﹣8x+8，
∵直线x＝t分别与直线y＝x、抛物线y＝2x2﹣8x+8交于点A、B两点，
∴设A（t，t），B（t，2t2﹣8t+8），AB＝|t﹣（2t2﹣8t+8）|＝|2t2﹣9t+8|，
①当△ABP是以点A为直角顶点的等腰直角三角形时，∠PAB＝90°，此时PA＝AB＝|t﹣2|，
即|2t2﹣9t+8|＝|t﹣2|，
∴2t2﹣9t+8＝t﹣2，或2t2﹣9t+8＝2﹣t，
解得t＝或1或3；
②当△ABP是以点B为直角顶点的等腰直角三角形时，则∠PBA＝90°，此时PB＝AB＝|t﹣2|，结果同上．
故答案为：或1或3．
13．解：∵s＝30t﹣6t2＝﹣6（t﹣）2+，
∴汽车刹车后到停下来前进了m．
故答案为：．
14．解：图象顶点坐标为（0，﹣2），
可以设函数解析式是y＝ax2﹣2，
又∵形状与抛物线y＝﹣3x2相同，即二次项系数绝对值相同，
∴|a|＝3，
∴这个函数解析式是：y＝3x2﹣2或y＝﹣3x2﹣2，
故答案为：y＝3x2﹣2或y＝﹣3x2﹣2．
15．解：①∵n＜0，由图表中数据可得出二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x＝＝﹣1.5，
∴a＜0，b＜0，
又∵x＝0时，y＝4，
∴c＝4＞0，
∴abc＞0，故①错误；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x＝﹣1.5，
∴当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小，故②正确；
③∵c＝3，
∴二次函数y＝ax2+bx+4，
∵当x＝1时，y＝n＜0，
∴a+b+4＜0，
∵﹣＝﹣1.5，
∴b＝3a，
∴a+3a+4＜0，
解答a＜﹣1，故③正确；
④∵点（﹣3，4）和（1，﹣）是直线y＝﹣x上的点，且二次函数y＝ax2+bx+c经过这两个点，
∴抛物线与直线y＝﹣x的交点为（﹣3，4），（1，﹣），
∴关于x的不等式ax2+（b+）x+c＜0的解集为x＜﹣3或x＞1，故④正确．
故答案为②③④．
16．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0），
∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c对应的x的值﹣1或5，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝5，
故答案为：x1＝﹣1，x2＝5．
17．解：∵b2﹣a＝3，
∴b2＝3+a，
∴3+a≥0，即a≥﹣3，
∴代数式a2+4a+4b2+1＝a2+4a+4（3+a）+1＝（a+4）2﹣3，
∴当a＝﹣3时，代数式a2+4a+4b2+1有最小值为﹣2，
故答案为﹣2．
18．解：∵抛物线经过点（﹣2，﹣1.68），（0，﹣1.68），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，即﹣＝﹣1，
∴＝2，
∴x＝﹣3和x＝1对应的函数值相等，
∵x＝﹣3时，y＝3，
∴x＝1时，y＝3，即a+b+c＝3，
∴（a+b+c）＝2×3＝6．
故答案为6．
19．解：∵四边形DEFG是矩形，BC＝12，BC上的高AH＝8，DE＝x，矩形DEFG的面积为y，
∴DG∥EF，
∴△ADG∽△ABC，
∴，
得DG＝，
∴y＝x＝+12x，
故答案为：y＝+12x．
20．解：（1）y＝x2﹣2x﹣5＝x2﹣2x+1﹣6
＝（x﹣1）2﹣6，
故答案为：（x﹣1）2﹣6．
三．解答题
21．解：∵y＝（m﹣1）x是关于x的二次函数，
∴m2+2m﹣1＝2，
解得m＝1或﹣3，
∵m﹣1≠0，
∴m≠1，
∴m＝﹣3．
22．解：（1）∵二次函数y＝x2﹣4x+3a+2＝（x﹣2）2+3a﹣2，
∴该二次函数开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，3a﹣2），
其性质有：①开口向上，②有最小值3a﹣2，③对称轴为x＝2．
（2）∵二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，
∴x2﹣4x+3a+2＝2x﹣1，
整理为：x2﹣6x+3a+3＝0，
∴△＝36﹣4（3a+3）＞0，
解得a＜2，
把x＝4代入y＝2x﹣1，解得y＝2×4﹣1＝7，
把（4，7）代入y＝x2﹣4x+3a+2得7＝16﹣16+3a+2，解得a＝，
故该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，a的取值为≤a＜2．
23．解：（1）∵一次函数y1＝kx+n与二次函数y2＝x2+bx+c的图象都经过（1，﹣2），（3，2）两点．
∴，，
解得，
∴一次函数的解析式为y1＝2x﹣4，二次函数的表达式为y2＝x2﹣2x﹣1．
（2）观察图象可知，当1＜x＜3，y1＞y2
24．解：（1）描点、连线得：
（2）由函数图象可知：当x＜1或x＞3时，y＞0．
25．解：（1）由题意可知，抛物线解析式是：y＝﹣2（x﹣1）2+1＝﹣2x2+4x﹣1，
∴，
∴b＝6，c＝2019；
（2）设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是（x0，y0），（﹣x0，﹣y0），
代入解析式可得：，
∴两式相加可得：﹣4x02+2（c﹣2020）＝0，
化简得：c＝2x02+2020，
又∵x0≠0，
∴c＞2020；
（3）由（1）可知抛物线为y＝﹣2x2+4x﹣1＝﹣2（x﹣1）2+1．
∴y≤1，
∵0＜m＜n，当m≤x≤n时，恰好有≥≥，
化简得：≥≥，
∵反比例函数在第一象限内y随x的增大而减小，
∴m+2≤y+2≤n+2，
∴m≤y≤n，
又∵y≤1，
∴m≤y≤n≤1或m≤y≤1≤n，
当m≤y≤n≤1时，
∵抛物线的对称轴是直线x＝1，且开口向下，
∴当m≤x≤n时，y随x的增大而增大．
∴当x＝m时，y最小值＝﹣2m2+4m﹣1．
当x＝n时，y最大值＝﹣2n2+4n﹣1，
又∵m≤y≤n，
∴有，
解得：m＝1或，n＝1或，
∵m＜n≤1，
∴．
当m≤y≤1≤n时，∵y的最大值为1，
∴n＝1，
x＝m时，最小值为m，即m＝﹣2m2+4m﹣1，
解得m＝1或，
∵m＜1，
∴m＝，
综上所述，满足条件的m的值为，n的值为1．
26．解：（1）y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4；
（2）二次函数的图象的对称轴是x＝3，顶点坐标是（3，﹣4）；
（3）∵抛物线的开口向上，对称轴是x＝3，
∴当x≤3时，y随x的增大而减小．
27．解：（1）当k＝2时，y1＝2kx+k＝4x+2，
∵函数，定义新函数y＝y2﹣y1，
∴y＝x2﹣2x+3﹣4x﹣2＝x2﹣6x+1，
故答案为：x2﹣6x+1；
（2）函数y1＝2kx+k与函数，定义新函数y＝y2﹣y1，
∴新函数y的解析式为y＝x2﹣2x+3﹣2kx﹣k＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k，
∵新函数y的解析式为y＝x2+bx﹣2，
∴b＝﹣2（k+1），3﹣k＝﹣2，
∴k＝5，b＝﹣12，
故答案为：5，﹣12；
（3）①由（2）知，新函数y＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k＝（x﹣k﹣1）2﹣k2﹣3k+2，
∵新函数y顶点为（m，n），
∴，
∴，
当时，；
②由①知，，
将k＝m﹣1代入n＝﹣k2﹣3k+2得：
∴n＝﹣m2﹣m+4；
（4）∵函数y1＝2kx+k＝k（2x+1），
当2x+1＝0即x＝﹣时，y＝0，
∴A（﹣，0），
∵新函数y＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k＝x2﹣2（k+1）x﹣（k+1）+4＝x2﹣（k+1）（2x+1）+4，
当2x+1＝0，即x＝﹣时，y＝+4＝，
∴B（﹣，），
∵函数＝（x﹣1）2+2，
∴C（1，2），
设D（c，d），
∵以点A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，
∴①当BC与AD为对角线时，（﹣+1）＝（﹣+c），（+2）＝（0+d），
∴c＝1，d＝，
∴D（1，），
将点D坐标代入新函数y＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k得，1﹣2（k+1）+3﹣k＝，
∴k＝﹣，
②当AB与CD是对角线时，（﹣﹣）＝（1+c），（+0）＝（2+d），
∴c＝﹣2，d＝，
∴D（﹣2，），将点D坐标代入新函数y＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k得，4+4（k+1）+3﹣k＝，
∴k＝﹣，
③当AC与BD为对角线时，（﹣+1）＝（﹣+c），（0+2）＝（+d），
∴c＝1，d＝﹣，
∴D（1，﹣），
将点D坐标代入新函数y＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k得，1﹣2（k+1）+3﹣k＝﹣，
∴k＝，
即满足条件的k的值为或﹣或﹣．
二次函数》单元测试卷
一．选择题
1．下列式子中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y＝2x﹣1
B．y＝
C．y＝3x2
D．y＝ax2+bx+c
2．将抛物线y＝3x2+4沿y轴向上平移2个单位长度，所得的抛物线为（ ）
A．y＝3（x+2）2+4
B．y＝3x2+2
C．y＝3（x﹣2）2+4
D．y＝3x2+6
3．某工厂2017年产品的产量为a吨，该产品产量的年平均增长率为x（x＞0），设2019年该产品的产量为y吨，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．y＝a（1﹣x）2
B．y＝
C．y＝a（1+x）2
D．y＝a+a（1+x）+a（1+x）2
4．在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx+2（k≠0）的图象大致如图（ ）
A．
B．
C．
D．
5．抛物线y＝﹣（x﹣3）2+7的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，7）
B．（﹣3，﹣7）
C．（3，7）
D．（3，﹣7）
6．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①b2＜4ac；②abc＜0：③4a+b＝0；④a+b+c＞0
⑤当y＝2时，x只能等于0．其中结论正确的个数是（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
7．若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（5，y3）在抛物线y＝4（x﹣1）2+5上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3
B．y3＜y2＜y1
C．y2＜y1＜y3
D．y3＜y1＜y2
8．对于二次函数y＝﹣（x+1）2﹣2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．有最低点，坐标是（1，2）
B．有最高点，坐标是（﹣1，﹣2）
C．有最高点，坐标是（1，2）
D．有最低点，坐标是（﹣1，﹣2）
9．设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（ ）
A．若h＝4，则a＜0
B．若h＝5，则a＞0
C．若h＝6，则a＜0
D．若h＝7，则a＞0
10．对抛物线：y＝x2+2x﹣3而言，下列结论正确的是（ ）
A．与x轴有两个交点
B．开口向下
C．顶点坐标是（1，﹣2）
D．与y轴的交点是（0，3）
二．填空题
11．如果函数是关于x的二次函数，那么k的值是
．
12．如图，P是抛物线y＝2（x﹣2）2对称轴上的一个动点，直线x＝t平行y轴，分别与y＝x、抛物线交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t的值，则t＝
．
13．汽车刹车后行驶的距离s米与行驶的时间t秒的函数关系式是s＝30t﹣6t2，汽车刹车后到停下来前进了
米．
14．若某二次函数图象的形状与抛物线y＝3x2相同，且顶点坐标为（0，﹣2），则它的表达式为
．
15．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：
x
﹣3
0
1
y
4
4
n
当n＜0时，下列结论中一定正确的是
（填序号即可）．
①abc＜0；
②当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小；
③a＜﹣1；
④当n＝﹣时，关于x的不等式ax2+（b+）x+c＜0的解集为x＜﹣3或x＞1．
16．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0），则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是
．
17．已知实数a，b满足b2﹣a＝3，则代数式a2+4a+4b2+1的最小值为
．
18．二次函数y＝ax2+bx+c自变量x与函数值y之间有下列关系，那么（a+b+c）的值为
．
x
…
﹣3
﹣2
0
…
y
…
3
﹣1.68
﹣1.68
…
19．如图，在△ABC中，BC＝12，BC上的高AH＝8，矩形DEFG的边EF在边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．设DE＝x，矩形DEFG的面积为y，那么y关于x的函数关系式是
．（不需写出x的取值范围）．
20．将二次函数y＝x2﹣2x﹣5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为y＝
．
三．解答题
21．已知y＝（m﹣1）x是关于x的二次函数，求m的值．
22．已知：二次函数y＝x2﹣4x+3a+2（a为常数）．
（1）请写出该二次函数的三条性质；
（2）在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，求a的取值范围．
23．已知一次函数y1＝kx+n与二次函数y2＝x2+bx+c的图象都经过（1，﹣2），（3，2）两点．
（1）请你求出一次函数、二次函数的表达式．
（2）当x取何值时，y1＞y2．
24．下表给出一个二次函数的一些取值情况：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
0
﹣1
0
3
…
（1）请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（2）根据图象说明：当x取何值时，y的值大于0？
25．已知抛物线y＝﹣2x2+（b﹣2）x+（c﹣2020）（b，c为常数）．
（1）若抛物线的顶点坐标为（1，1），求b，c的值；
（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围；
（3）在（1）的条件下，存在正实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，恰好有≥≥，求m，n的值．
26．已知二次函数y＝x2﹣6x+5．
（1）将y＝x2﹣6x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；
（3）当x取何值时，y随x的增大而减小．
27．已知函数y1＝2kx+k与函数，定义新函数y＝y2﹣y1
（1）若k＝2，则新函数y＝
；
（2）若新函数y的解析式为y＝x2+bx﹣2，则k＝
，b＝
；
（3）设新函数y顶点为（m，n）．
①当k为何值时，n有大值，并求出最大值；
②求n与m的函数解析式；
（4）请你探究：函数y1与新函数y分别经过定点B，A，函数的顶点为C，新函数y上存在一点D，使得以点A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出k的值．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：A、是一次函数，故此选项不符合题意；
B、是反比例函数，故此选项不符合题意；
C、是二次函数，故此选项符合题意；
D、当a＝0时不是二次函数，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．解：将抛物线y＝3x2+4沿y轴向上平移2个单位长度所得直线解析式为：y＝3x2+4+2，即y＝3x2+6．
故选：D．
3．解：根据题意，得：y关于x的函数关系式为y＝a（1+x）2，
故选：C．
4．解：由一次函数解析式为：y＝kx+2可知，图象应该与y轴交在正半轴上，故A、B、C错误；
D符合题意；
故选：D．
5．解：∵y＝﹣（x﹣3）2+7，
∴此函数的顶点坐标为（3，7），
故选：C．
6．解：①∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故错误；
②∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵与y轴的交点为（0，2），
∴c＝2，
∵对称轴为x＝﹣＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故正确；
③∵与x轴的交点为（﹣1，0），（5，0），
∴对称轴为直线x＝﹣＝，
∴﹣b＝4a，即4a+b＝0，故正确；
④当x＝1时，y＝a+b+c＞0．故正确；
⑤∵（0，2）的对称点为（4，2），
∴当y＝2时，x＝0或4，故错误．
故选：B．
7．解：抛物线y＝4（x﹣1）2+5的开口向上，对称轴是直线x＝1，当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（5，y3）在抛物线y＝4（x﹣1）2+5上，
∴点（5，y3）关于对称轴x＝1的对称点是（﹣3，y3），
∵﹣3＜﹣2＜﹣1＜1，
∴y2＜y1＜y3，
故选：C．
8．解：∵二次函数y＝﹣（x+1）2﹣2，
∴该函数的图象开口向下，对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣2），有最高点，
故选项B中的说法正确，选项A、C、D中的说法错误；
故选：B．
9．解：当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式得：，
∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝7，
整理得：a（9﹣2h）＝1，
若h＝4，则a＝1，故A错误；
若h＝5，则a＝﹣1，故B错误；
若h＝6，则a＝﹣，故C正确；
若h＝7，则a＝﹣，故D错误；
故选：C．
10．解：A、∵△＝22﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，抛物线与x轴有两个交点，本选项正确，符合题意；
B、∵二次项系数1＞0，抛物线开口向上，本选项错误，不符合题意；
C、∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣4），本选项错误，不符合题意；
D．、当x＝0时，y＝﹣3，抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣3），本选项错误，不符合题意；
故选：A．
二．填空题
11．解：由题意得：k2﹣3k+2＝2，
解得k＝0或k＝3；
又∵k﹣3≠0，
∴k≠3．
∴k的值是0时．
故答案为：0．
12．解：∵y＝2（x﹣2）2，
∴y＝2x2﹣8x+8，
∵直线x＝t分别与直线y＝x、抛物线y＝2x2﹣8x+8交于点A、B两点，
∴设A（t，t），B（t，2t2﹣8t+8），AB＝|t﹣（2t2﹣8t+8）|＝|2t2﹣9t+8|，
①当△ABP是以点A为直角顶点的等腰直角三角形时，∠PAB＝90°，此时PA＝AB＝|t﹣2|，
即|2t2﹣9t+8|＝|t﹣2|，
∴2t2﹣9t+8＝t﹣2，或2t2﹣9t+8＝2﹣t，
解得t＝或1或3；
②当△ABP是以点B为直角顶点的等腰直角三角形时，则∠PBA＝90°，此时PB＝AB＝|t﹣2|，结果同上．
故答案为：或1或3．
13．解：∵s＝30t﹣6t2＝﹣6（t﹣）2+，
∴汽车刹车后到停下来前进了m．
故答案为：．
14．解：图象顶点坐标为（0，﹣2），
可以设函数解析式是y＝ax2﹣2，
又∵形状与抛物线y＝﹣3x2相同，即二次项系数绝对值相同，
∴|a|＝3，
∴这个函数解析式是：y＝3x2﹣2或y＝﹣3x2﹣2，
故答案为：y＝3x2﹣2或y＝﹣3x2﹣2．
15．解：①∵n＜0，由图表中数据可得出二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x＝＝﹣1.5，
∴a＜0，b＜0，
又∵x＝0时，y＝4，
∴c＝4＞0，
∴abc＞0，故①错误；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x＝﹣1.5，
∴当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小，故②正确；
③∵c＝3，
∴二次函数y＝ax2+bx+4，
∵当x＝1时，y＝n＜0，
∴a+b+4＜0，
∵﹣＝﹣1.5，
∴b＝3a，
∴a+3a+4＜0，
解答a＜﹣1，故③正确；
④∵点（﹣3，4）和（1，﹣）是直线y＝﹣x上的点，且二次函数y＝ax2+bx+c经过这两个点，
∴抛物线与直线y＝﹣x的交点为（﹣3，4），（1，﹣），
∴关于x的不等式ax2+（b+）x+c＜0的解集为x＜﹣3或x＞1，故④正确．
故答案为②③④．
16．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0），
∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c对应的x的值﹣1或5，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝5，
故答案为：x1＝﹣1，x2＝5．
17．解：∵b2﹣a＝3，
∴b2＝3+a，
∴3+a≥0，即a≥﹣3，
∴代数式a2+4a+4b2+1＝a2+4a+4（3+a）+1＝（a+4）2﹣3，
∴当a＝﹣3时，代数式a2+4a+4b2+1有最小值为﹣2，
故答案为﹣2．
18．解：∵抛物线经过点（﹣2，﹣1.68），（0，﹣1.68），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，即﹣＝﹣1，
∴＝2，
∴x＝﹣3和x＝1对应的函数值相等，
∵x＝﹣3时，y＝3，
∴x＝1时，y＝3，即a+b+c＝3，
∴（a+b+c）＝2×3＝6．
故答案为6．
19．解：∵四边形DEFG是矩形，BC＝12，BC上的高AH＝8，DE＝x，矩形DEFG的面积为y，
∴DG∥EF，
∴△ADG∽△ABC，
∴，
得DG＝，
∴y＝x＝+12x，
故答案为：y＝+12x．
20．解：（1）y＝x2﹣2x﹣5＝x2﹣2x+1﹣6
＝（x﹣1）2﹣6，
故答案为：（x﹣1）2﹣6．
三．解答题
21．解：∵y＝（m﹣1）x是关于x的二次函数，
∴m2+2m﹣1＝2，
解得m＝1或﹣3，
∵m﹣1≠0，
∴m≠1，
∴m＝﹣3．
22．解：（1）∵二次函数y＝x2﹣4x+3a+2＝（x﹣2）2+3a﹣2，
∴该二次函数开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，3a﹣2），
其性质有：①开口向上，②有最小值3a﹣2，③对称轴为x＝2．
（2）∵二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，
∴x2﹣4x+3a+2＝2x﹣1，
整理为：x2﹣6x+3a+3＝0，
∴△＝36﹣4（3a+3）＞0，
解得a＜2，
把x＝4代入y＝2x﹣1，解得y＝2×4﹣1＝7，
把（4，7）代入y＝x2﹣4x+3a+2得7＝16﹣16+3a+2，解得a＝，
故该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，a的取值为≤a＜2．
23．解：（1）∵一次函数y1＝kx+n与二次函数y2＝x2+bx+c的图象都经过（1，﹣2），（3，2）两点．
∴，，
解得，
∴一次函数的解析式为y1＝2x﹣4，二次函数的表达式为y2＝x2﹣2x﹣1．
（2）观察图象可知，当1＜x＜3，y1＞y2
24．解：（1）描点、连线得：
（2）由函数图象可知：当x＜1或x＞3时，y＞0．
25．解：（1）由题意可知，抛物线解析式是：y＝﹣2（x﹣1）2+1＝﹣2x2+4x﹣1，
∴，
∴b＝6，c＝2019；
（2）设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是（x0，y0），（﹣x0，﹣y0），
代入解析式可得：，
∴两式相加可得：﹣4x02+2（c﹣2020）＝0，
化简得：c＝2x02+2020，
又∵x0≠0，
∴c＞2020；
（3）由（1）可知抛物线为y＝﹣2x2+4x﹣1＝﹣2（x﹣1）2+1．
∴y≤1，
∵0＜m＜n，当m≤x≤n时，恰好有≥≥，
化简得：≥≥，
∵反比例函数在第一象限内y随x的增大而减小，
∴m+2≤y+2≤n+2，
∴m≤y≤n，
又∵y≤1，
∴m≤y≤n≤1或m≤y≤1≤n，
当m≤y≤n≤1时，
∵抛物线的对称轴是直线x＝1，且开口向下，
∴当m≤x≤n时，y随x的增大而增大．
∴当x＝m时，y最小值＝﹣2m2+4m﹣1．
当x＝n时，y最大值＝﹣2n2+4n﹣1，
又∵m≤y≤n，
∴有，
解得：m＝1或，n＝1或，
∵m＜n≤1，
∴．
当m≤y≤1≤n时，∵y的最大值为1，
∴n＝1，
x＝m时，最小值为m，即m＝﹣2m2+4m﹣1，
解得m＝1或，
∵m＜1，
∴m＝，
综上所述，满足条件的m的值为，n的值为1．
26．解：（1）y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4；
（2）二次函数的图象的对称轴是x＝3，顶点坐标是（3，﹣4）；
（3）∵抛物线的开口向上，对称轴是x＝3，
∴当x≤3时，y随x的增大而减小．
27．解：（1）当k＝2时，y1＝2kx+k＝4x+2，
∵函数，定义新函数y＝y2﹣y1，
∴y＝x2﹣2x+3﹣4x﹣2＝x2﹣6x+1，
故答案为：x2﹣6x+1；
（2）函数y1＝2kx+k与函数，定义新函数y＝y2﹣y1，
∴新函数y的解析式为y＝x2﹣2x+3﹣2kx﹣k＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k，
∵新函数y的解析式为y＝x2+bx﹣2，
∴b＝﹣2（k+1），3﹣k＝﹣2，
∴k＝5，b＝﹣12，
故答案为：5，﹣12；
（3）①由（2）知，新函数y＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k＝（x﹣k﹣1）2﹣k2﹣3k+2，
∵新函数y顶点为（m，n），
∴，
∴，
当时，；
②由①知，，
将k＝m﹣1代入n＝﹣k2﹣3k+2得：
∴n＝﹣m2﹣m+4；
（4）∵函数y1＝2kx+k＝k（2x+1），
当2x+1＝0即x＝﹣时，y＝0，
∴A（﹣，0），
∵新函数y＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k＝x2﹣2（k+1）x﹣（k+1）+4＝x2﹣（k+1）（2x+1）+4，
当2x+1＝0，即x＝﹣时，y＝+4＝，
∴B（﹣，），
∵函数＝（x﹣1）2+2，
∴C（1，2），
设D（c，d），
∵以点A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，
∴①当BC与AD为对角线时，（﹣+1）＝（﹣+c），（+2）＝（0+d），
∴c＝1，d＝，
∴D（1，），
将点D坐标代入新函数y＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k得，1﹣2（k+1）+3﹣k＝，
∴k＝﹣，
②当AB与CD是对角线时，（﹣﹣）＝（1+c），（+0）＝（2+d），
∴c＝﹣2，d＝，
∴D（﹣2，），将点D坐标代入新函数y＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k得，4+4（k+1）+3﹣k＝，
∴k＝﹣，
③当AC与BD为对角线时，（﹣+1）＝（﹣+c），（0+2）＝（+d），
∴c＝1，d＝﹣，
∴D（1，﹣），
将点D坐标代入新函数y＝x2﹣2（k+1）x+3﹣k得，1﹣2（k+1）+3﹣k＝﹣，
∴k＝，
即满足条件的k的值为或﹣或﹣．