2020-2021学年山东省烟台市芝罘区七年级（上）期中数学试卷（五四学制） （Word版 含解析）

2020-2021学年山东省烟台市芝罘区七年级（上）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（每题3分，共36分）
1．下列交通标志图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．有三条线段3cm，6cm，xcm，能使这三条线段围成一个三角形的x的值是（　　）
A．2 B．3 C．6 D．9
4．如图，点B、E、A、D在同一条直线上，△ABC≌△DEF，AB＝7，AE＝2，则AD的长是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．将直角三角形的三条边长同时扩大为原来的2倍，得到的三角形是（　　）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定
6．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为（　　）
A．3 B． C．2 D．6
7．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为（　　）
A．4cm B．5cm C．cm D．cm
8．如图，为了测量池塘东西两边A、B之间的宽度，小明同学先从A点向南走到点O处，再继续向南走相同的距离到达点C，然后从点C开始向西走到与O、B两点共线的点D处，测量C、D间的距离就是A，B间的距离．这里判断△OCD≌△OAB的直接依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．SAS D．ASA
9．如图，BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，BF与CE交于G，若∠BDC＝130°，∠BGC＝100°，则∠A的度数为（　　）
A．60° B．70° C．80° D．90°
10．如图，小明准备测量一段水渠的深度，他把一根竹竿AB竖直插到水底，此时竹竿AB离岸边点C处的距离CD＝1.5米．竹竿高出水面的部分AD长0.5米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则水渠的深度BD为（　　）米．
A．2 B．2.5 C．2.25 D．3
11．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，连接MN，交AB于点H，以点H为圆心，HA的长为半径作的弧恰好经过点C，以点B为圆心，BC的长为半径作弧交AB于点D，连接CD，若∠A＝22°，则∠BDC＝（　　）
A．52° B．55° C．56° D．60°
12．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论共有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空（每题3分，共24分）
13．等边三角形是轴对称图形，它的对称轴共有　 　条．
14．在△ABC中，若∠A﹣∠C＝∠B，则这个三角形最大内角的度数是　 　．
15．已知△ABC与△DEF是一组全等三角形，它们的部分内角度数和边长如图，那么∠D的度数是　 　．
16．若一个等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则它的周长是　 　．
17．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为　 　cm．
18．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，如果△DEB的周长为6cm，则AB的长度是　 　．
19．如图所示，△ABC∽△ADE，BC的延长线过点E，∠ACB＝∠AED＝105°，∠CAD＝10°，∠B＝50°，∠DEF的度数是　 　．
20．如图，圆柱体的高为8cm，底面周长为4cm，小蚂蚁在圆柱表面爬行，从A点到B点，路线如图，则最短路程为　 　．
三、解答题（共7道题，满分60分）
21．（6分）尺规作图：
已知线段a和∠α．
作一个△ABC，使AB＝a，AC＝2a，∠BAC＝∠α．
要求：不写作法，保留作图痕迹．
22．（8分）如图，△ABC中，AC＝BC，点D，E在AB上，且AD＝BE，判断△CDE的形状并说明理由．
23．（8分）如图，△ABC中，AC＝15，AB＝25，CD⊥AB于点D，CD＝12．
（1）求线段AD的长度；
（2）判断△ABC的形状并说明理由．
24．（8分）如图所示，△ABC是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上的三角形），以DE为一边作出格点三角形△DEF，且分别满足下列条件：
（1）在图1中作出的△DEF与△ABC成轴对称；
（2）在图2中作出的△DEF与△ABC全等，但不成轴对称．
25．（8分）如图，△ABC中，∠C＝90°．
（1）尺规作图：作出∠BAC的角平分线，交BC于点D；（保留作图痕迹，不需写作法）
（2）若∠ABC＝30°，BC＝9cm，求AD的长度．
26．（10分）如图，小明家在一条东西走向的公路MN北侧200米的点A处，小红家位于小明家北500米（AC＝500米）、东1200米（BC＝1200米）的点B处．
（1）求小明家离小红家的距离AB；
（2）现要在公路MN上的点P处建一个快递驿站，使PA+PB最小，请确定点P的位置，并求PA+PB的最小值．
27．（12分）如图，点C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE、BD交于点O，连接OC．
（1）求证：AE＝BD；
（2）求∠AOD的度数；
（3）判断OA，OC，OD之间的数量关系，并证明你的结论．
2020-2021学年山东省烟台市芝罘区七年级（上）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共36分）
1．下列交通标志图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称的定义结合选项所给的特点即可得出答案．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误；
故选：B．
2．下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用全等图形的概念可得答案．
【解答】解：A、两个图形不属于全等图形，故此选项不合题意；
B、两个图形不属于全等图形，故此选项不合题意；
C、两个图形不属于全等图形，故此选项不合题意；
D、两个图形属于全等图形，故此选项符合题意；
故选：D．
3．有三条线段3cm，6cm，xcm，能使这三条线段围成一个三角形的x的值是（　　）
A．2 B．3 C．6 D．9
【分析】利用三角形的三边关系可得：6﹣3＜x＜6+3，然后可得答案．
【解答】解：由三角形的三边关系可得：6﹣3＜x＜6+3，
即：3＜x＜9，
故选：C．
4．如图，点B、E、A、D在同一条直线上，△ABC≌△DEF，AB＝7，AE＝2，则AD的长是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据全等三角形的性质可得AB＝ED，再根据等式的性质可得EB＝AD，进而可得答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴AB＝ED，
∴AB﹣AE＝DE﹣AE，
∴EB＝AD，
∵AB＝7，AE＝2，
∴EB＝5，
∴AD＝5．
故选：B．
5．将直角三角形的三条边长同时扩大为原来的2倍，得到的三角形是（　　）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定
【分析】根据勾股定理得出a2+b2＝c2，推出4a2+4b2＝4c2，得出（2a）2+（2b）2＝（2c）2，根据勾股定理的逆定理得出即可．
【解答】解：∵设原直角三角形的三边的长是a、b、c，则a2+b2＝c2，如图，
∴4a2+4b2＝4c2，
即（2a）2+（2b）2＝（2c）2，
∴将直角三角形的三条边长同时扩大2倍，得到的三角形还是直角三角形，
故选：C．
6．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为（　　）
A．3 B． C．2 D．6
【分析】根据角平分线的性质即可求得．
【解答】解：∵∠B＝90°，
∴DB⊥AB，
又∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，
∴DE＝BD＝3，
故选：A．
7．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为（　　）
A．4cm B．5cm C．cm D．cm
【分析】由勾股定理求出AB，由折叠的性质得出∠DEB＝90°，AE＝BE＝AB＝5，在Rt△BDE中，由三角函数即可求出DE的长．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，tanB＝＝＝，
由折叠的性质得：∠DEB＝90°，AE＝BE＝AB＝5，
∴tanB＝＝，
∴DE＝BE＝×5＝（cm）．
故选：C．
8．如图，为了测量池塘东西两边A、B之间的宽度，小明同学先从A点向南走到点O处，再继续向南走相同的距离到达点C，然后从点C开始向西走到与O、B两点共线的点D处，测量C、D间的距离就是A，B间的距离．这里判断△OCD≌△OAB的直接依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．SAS D．ASA
【分析】由题意知AO＝CO，根据∠BAO＝∠DCO＝90°和∠AOB＝∠COD即可证明△OCD≌△OAB．
【解答】解：在△OCD与△OAB中，
，
∴△OCD≌△OAB（ASA），
故选：D．
9．如图，BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，BF与CE交于G，若∠BDC＝130°，∠BGC＝100°，则∠A的度数为（　　）
A．60° B．70° C．80° D．90°
【分析】根据三角形内角和定理可求得∠DBC+∠DCB的度数，再根据三角形内角和定理及三角形角平分线的定义可求得∠ABC+∠ACB的度数，从而不难求得∠A的度数．
【解答】解：连接BC．
∵∠BDC＝130°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣130°＝50°，
∵∠BGC＝100°，
∴∠GBC+∠GCB＝180°﹣100°＝80°，
∵BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，
∴∠GBD+∠GCD＝∠ABD+∠ACD＝30°，
∴∠ABC+∠ACB＝110°，
∴∠A＝180°﹣110°＝70°．
故选：B．
10．如图，小明准备测量一段水渠的深度，他把一根竹竿AB竖直插到水底，此时竹竿AB离岸边点C处的距离CD＝1.5米．竹竿高出水面的部分AD长0.5米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则水渠的深度BD为（　　）米．
A．2 B．2.5 C．2.25 D．3
【分析】设BD的长度为xm，则AB＝BC＝（x+0.5）m，根据勾股定理构建方程即可解决问题；
【解答】解：设BD的长度为xm，则AB＝BC＝（x+0.5）m，
在Rt△CDB中，1.52+x2＝（x+0.5）2，
解得x＝2．
故选：A．
11．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，连接MN，交AB于点H，以点H为圆心，HA的长为半径作的弧恰好经过点C，以点B为圆心，BC的长为半径作弧交AB于点D，连接CD，若∠A＝22°，则∠BDC＝（　　）
A．52° B．55° C．56° D．60°
【分析】连接CH，根据线段垂直平分线的性质得到AH＝BH，推出∠ACB＝90°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：连接CH，
由题意得，直线MN是线段AB的垂直平分线，
∴AH＝BH，
∵CH＝AH，
∴CH＝AB，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝22°，
∴∠ACH＝∠A＝22°，
∴∠BCH＝∠B＝68°，
∵BC＝BD，
∴∠BDC＝∠BCD＝（180°﹣68°）＝56°，
故选：C．
12．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论共有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据等腰三角形的性质三线合一得到BD＝CD，AD⊥BC，故②③正确；通过△CDE≌△BDF，得到DE＝DF，CE＝BF，故①④正确．
【解答】解：∵BF∥AC，
∴∠C＝∠CBF，
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC＝∠CBF，
∴∠C＝∠ABC，
∴AB＝AC，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴BD＝CD，AD⊥BC，故②③正确，
在△CDE和△BDF中，
，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴DE＝DF，CE＝BF，故①正确；
∵AE＝2BF，
∴AC＝3BF，故④正确．
故选：A．
二、填空（每题3分，共24分）
13．等边三角形是轴对称图形，它的对称轴共有　3　条．
【分析】根据轴对称图形的对称轴的概念作答．
【解答】解：等边三角形的对称轴是三条高所在的直线．
故它的对称轴共有3条．
故填3．
14．在△ABC中，若∠A﹣∠C＝∠B，则这个三角形最大内角的度数是　90°　．
【分析】根据三角形的内角和是180度即可求解．
【解答】解：∵∠A﹣∠C＝∠B，
∴∠A＝∠C+∠B，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝90°，
即这个三角形最大内角的度数是90°，
故答案为：90°．
15．已知△ABC与△DEF是一组全等三角形，它们的部分内角度数和边长如图，那么∠D的度数是　72°　．
【分析】依据BC＝EF＝10，即可得到∠A与∠D是对应角，进而得出结论．
【解答】解：∵△ABC与△DEF是一组全等三角形，且BC＝EF＝10，
∴∠A与∠D是对应角，
∵∠A＝72°，
∴∠D＝72°，
故答案为：72°．
16．若一个等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则它的周长是　11cm或13cm　．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：分两种情况：
当三边是3，3，5时，能构成三角形，则周长是11；
当三边是3，5，5时，能构成三角形，则周长是13．
所以等腰三角形的周长为11cm或13cm．
故填11cm或13cm．
17．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为　20　cm．
【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答．
【解答】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
由题意得：AD＝EC＝6cm，DC＝BE＝14cm，
∴DE＝DC+CE＝20（cm），
答：两堵木墙之间的距离为20cm．
故答案是：20．
18．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，如果△DEB的周长为6cm，则AB的长度是　6cm　．
【分析】先根据角平分线的性质得到DC＝DE，再利用等量代换得到BE+BC＝6，接着证明Rt△ADC≌Rt△ADE得到AC＝AE，则AE＝BC，从而得到AB＝6cm．
【解答】解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DC＝DE，
∵△DEB的周长为6cm，
∴BE+BD+DE＝6，
即BE+BD+CD＝6，
∴BE+BC＝6，
在Rt△ADC和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），
∴AC＝AE，
∵AC＝BC，
∴AE＝BC，
∴BE+AE＝6，
即AB＝6（cm）．
故答案为6cm．
19．如图所示，△ABC∽△ADE，BC的延长线过点E，∠ACB＝∠AED＝105°，∠CAD＝10°，∠B＝50°，∠DEF的度数是　35°　．
【分析】由△ACB的内角和定理求得∠CAB＝25°；然后由相似三角形的对应角相等得到∠EAD＝∠CAB＝25°．则结合已知条件易求∠EAB的度数；最后利用△AEB的内角和是180度和图形来求∠DEF的度数．
【解答】解：∵∠ACB＝105°，∠B＝50°，
∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣105°＝25°．
又∵△ABC∽△ADE，
∴∠EAD＝∠CAB＝25°．
又∵∠EAB＝∠EAD+∠CAD+∠CAB，∠CAD＝10°，
∴∠EAB＝25°+10°+25°＝60°，
∴∠AEB＝180°﹣∠EAB﹣∠B＝180°﹣60°﹣50°＝70°，
∴∠DEF＝∠AED﹣∠AEB＝105°﹣70°＝35°．
故答案为：35°．
20．如图，圆柱体的高为8cm，底面周长为4cm，小蚂蚁在圆柱表面爬行，从A点到B点，路线如图，则最短路程为　10cm　．
【分析】沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，求出AC和BC的长，根据勾股定理求出斜边AB即可．
【解答】解：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB．则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，
AC＝4×1.5＝6，∠C＝90°，BC＝8，
由勾股定理得：AB＝10，
故答案为：10cm．
三、解答题（共7道题，满分60分）
21．（6分）尺规作图：
已知线段a和∠α．
作一个△ABC，使AB＝a，AC＝2a，∠BAC＝∠α．
要求：不写作法，保留作图痕迹．
【分析】先作∠MAN＝∠α，然后在AM上截取AC＝2a，再AN上截取AB＝a，从而得到△ABC．
【解答】解：如图，△ABC为所作．
22．（8分）如图，△ABC中，AC＝BC，点D，E在AB上，且AD＝BE，判断△CDE的形状并说明理由．
【分析】由等腰三角形的性质得出∠A＝∠B，证明△ACD≌△BCE（SAS），得出CD＝CE，则可得出结论．
【解答】解：△CDE为等腰三角形．
理由：∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴CD＝CE，
∴△CDE为等腰三角形．
23．（8分）如图，△ABC中，AC＝15，AB＝25，CD⊥AB于点D，CD＝12．
（1）求线段AD的长度；
（2）判断△ABC的形状并说明理由．
【分析】（1）根据勾股定理即可求解；
（2）根据勾股定理的逆定理即可求解．
【解答】解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
在Rt△ADC中，
∵∠ADC＝90°，AC＝15，CD＝12，
∴AD2＝AC2﹣CD2＝152﹣122＝81，
∵AD＞0，
∴AD＝9；
（2）△ABC是直角三角形，理由如下：
∵AB＝25，AD＝9，
∴BD＝AB﹣AD＝25﹣9＝16，
在Rt△CDB中，
∵∠BDC＝90°，
∴BC2＝CD2+BD2＝122+162＝400，
∵BC＞0，
∴BC＝20，
∵AC2+BC2＝152+202＝252＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC为直角三角形．
24．（8分）如图所示，△ABC是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上的三角形），以DE为一边作出格点三角形△DEF，且分别满足下列条件：
（1）在图1中作出的△DEF与△ABC成轴对称；
（2）在图2中作出的△DEF与△ABC全等，但不成轴对称．
【分析】利用网格图结合轴对称变换的性质和全等三角形的定义进行画图即可．
【解答】解：（1）（2）如图所示：
．
25．（8分）如图，△ABC中，∠C＝90°．
（1）尺规作图：作出∠BAC的角平分线，交BC于点D；（保留作图痕迹，不需写作法）
（2）若∠ABC＝30°，BC＝9cm，求AD的长度．
【分析】（1）依据角平分线的尺规作图方法，即可得到∠BAC的角平分线AD；
（2）依据角平分线的定义，即可得到∠CAD的度数，进而得出AD＝BD，再根据BC的长，即可得到AD的长．
【解答】解：（1）如图，AD即为所求；
（2）∵∠ABC＝30°，∠C＝90°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
又∵AD平分∠BAC，
∴，
∵∠C＝90°，∠CAD＝30°，
∴，
∵∠B＝∠BAD＝30°，
∴AD＝BD，
∵BC＝9cm，
∴BC＝BD+CD＝AD+AD＝AD＝9cm，
∴AD＝9×＝6（cm）．
26．（10分）如图，小明家在一条东西走向的公路MN北侧200米的点A处，小红家位于小明家北500米（AC＝500米）、东1200米（BC＝1200米）的点B处．
（1）求小明家离小红家的距离AB；
（2）现要在公路MN上的点P处建一个快递驿站，使PA+PB最小，请确定点P的位置，并求PA+PB的最小值．
【分析】（1）如图，连接AB，根据勾股定理即可得到结论；
（2）如图，作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P．驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）如图，连接AB，
由题意知AC＝500，BC＝1200，∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2＝5002+12002＝1690000…………，
∵AB＞0
∴AB＝1300米；
（2）如图，作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P．
驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B，
由题意知AD＝200米，A'C⊥MN，
∴A'C＝AC+AD+A'D＝500+200+200＝900米，
在RtΔA'BC中，
∵∠ACB＝90°，
∴A'B2＝A'C2+BC2＝9002+12002＝2250000，
∵A'B＞0，
∴A'B＝1500米，
即从驿站到小明家和到小红家距离和的最小值为1500米．
27．（12分）如图，点C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE、BD交于点O，连接OC．
（1）求证：AE＝BD；
（2）求∠AOD的度数；
（3）判断OA，OC，OD之间的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AC＝CD，CE＝CB，∠ACD＝∠ECB＝60°，进而得到∠ACE＝∠DCB，证明△ACE≌△DCB，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠EAC＝∠BDC，根据三角形内角和定理计算，得到答案；
（3）在线段AO上截取OM＝OD，连接DM，证明△ADM≌△CDO，根据全等三角形的性质证明结论．
【解答】（1）证明：∵△ACD和△BCE都是等边三角形，
∴AC＝CD，CE＝CB，∠ACD＝∠ECB＝60°，
∴∠ACD+∠DCE＝∠ECB+∠DCE，即∠ACE＝∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝BD；
（2）解：记AO与CD的交点为点F，
∵△ACE≌△DCB，
∴∠EAC＝∠BDC，
∵∠EAC+∠AFC+∠DCA＝∠BDC+∠DFO+∠AOD＝180°，∠AFC＝∠DFO，
∴∠AOD＝∠DCA＝60°；
（3）OA＝OC+OD，
理由如下：在线段AO上截取OM＝OD，连接DM，
∵OM＝OD，∠AOD＝60°，
∴△DOM为等边三角形，
∴DM＝DO，∠MDO＝60°，
∵△ACD是等边三角形，
∴∠ADC＝60°，AD＝DC，
∴∠ADM+∠MDC＝∠MDC+∠CDO＝60°，
∴∠ADM＝∠CDO，
在△ADM和△CDO中，
，
∴△ADM≌△CDO（SAS），
∴AM＝OC，
∵OA＝AM+MO，
∴OA＝OC+OD．