石门高级中学2020-2021学年度第一学期高二年级数学科第二次统测（Word含答案）

广东省佛山市石门高级中学2020-2021学年度第一学期高二年级数学科
第二次统测试题
（全卷共4页，供高二1-19班使用）
成绩________
一、单项选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
直线在x轴，y轴上的截距分别为a，b，则
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
2、直线的斜率是，直线经过点，，，则a的值为
A.
B.
1
C.
D.
3、已知圆的弦过点，当弦长最短时，该弦所在直线的方程为
A.
B.
C.
D.
4、已知圆，则，则圆M与圆N的公切线条数是?
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
5、过点的直线与圆相交于A，B两点，则其中O为坐标原点面积的最大值为
A.
B.
C.
1
D.
2
6、已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直x轴的直线交C于A，B两点，且，则C的方程为
A.
B.
C.
D.
7、
如图，在长方体中，，，
M为棱上的一点．当取得最小值时，的长为?
A.
B.
C.
D.
8、已知椭圆与直线交于A，B两点，
焦点，其中c为半焦距，若是直角三角形，
则该椭圆的离心率为
A.
B.
C.
D.
9、已知三棱锥中，PA，PB，PC两两垂直，且长度相等．若点P，A，B，C都在半径为1的球面上，则球心到平面ABC的距离为?
A.
B.
C.
D.
10、我们把由半椭圆与半椭圆合成
的曲线称作“果圆”其中，如图，
设点，是相应椭圆的焦点，、和、是“果圆”
与x，y轴的交点，若是边长为1的等边三角形，
则a，b的值分别为
A.
5，4
B.
，1
C.
5，3
D.
，1
二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
11、如图，在三棱锥中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，平面ABC，，，，则下列四个判断中正确的是(
)
A.
三棱锥的体积为6
B.
直线PB与直线DF垂直
C.
平面DEF截三棱锥所得的截面面积为12
D.
点P与点A到平面BDE的距离相等
12、如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，下列四个判断中正确命题为?
?
A.
P到、、、四点的距离之和为定值
B.
曲线C关于直线、均对称
C.
曲线C所围区域面积必小于36
D.
曲线C总长度不大于
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13、椭圆上一点P到右焦点的距离的最小值为______.
14、椭圆的一个焦点为，点P在椭圆上，如果线段的中点M在y轴上，
则点M到坐标原点O的距离
=__________.
15、P是椭圆上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小为
.
16、已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：椭圆，点B为在第一象限中的任意一点，过B作的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于两点，则面积的最小值为__________.
解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（本小题满分10分）
已知直线．
求过点与直线L平行的直线的方程
与直线L垂直，试确定实数a的值．
18、（本小题满分12分）
已知圆C：，
1已知点A（1,4），点B为圆C上的一动点，求线段AB的中点Q的轨迹方程；
2过点的直线L与圆C相交于不同的两点M、N，若，求直线L的方程．
19、（本小题满分12分）
已知椭圆C：的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．
Ⅰ求椭圆C的方程；
Ⅱ过椭圆的左焦点且斜率为1的直线L交椭圆于A，B两点，求．
20、（本小题满分12分）
如图，底面是边长为1的正方形，平面，，与平面所成角为．
求证：平面BDE；
求二面角的余弦值．
21、（本小题满分12分）
如图，已知斜三棱柱中，，在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，且．
求证：；??
在直线上找一点M，使得二面角的平面角为．
22、（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，以的短轴为直径的圆与直线相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线交于，两点，且．已知上存在点，使得是以为顶角的等腰直角三角形，若在直线的右下方，求的值．
石门高级中学2020-2021学年度第一学期高二年级数学科
第二次统测答案
一、单项选择题：BCBBB
CAACD
7、解：由题意，将侧面绕逆时针转展开，与侧面共面如图，
连接，当，M，共线时，取得最小值，
由，，可得M为的中点，，
在长方体中，平面，
又平面，则，
又，故B．
9、解：三棱锥中，PA，PB，PC两两垂直，且长度相等，
此三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接球O，且体对角线为球O的直径，
球O的半径为1，设正方体的边长为a，则有，解得，
正方体的边长为，即，
球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离，
设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥的体积
，
由勾股定理易知为边长为的正三角形，
，则，
，
由正方体的几何形状可知，直线PO经过三菱锥以P为顶点的高线，所以球心到平面ABC的距离为，
球心即正方体中心到截面ABC的距离为．
故选：C．
10、解：由题意可得，
，解得，
又，得，即，．
故选：D．
二、多项选择题：11、ACD
12、BC
11、选项A三棱锥的高为DE，底面积，，故选项A正确，
选项B：因为平面ABC，，则又因为，，故
,所以，，又因为PA平行于DE，且PA不在平面DEF内，故
若直线PB与直线DF垂直，即代表PB和平面DEF垂直，又因为，即代表，显然错误，故选项B错误．
选项C取PB的中点为G，发现平面DEF截三棱锥所得的截面即长方形DEFG，，故选项C正确，
选项D因为PA平行于DE，且PA不在平面DEB内，故，所以点P与点A到平面BDE的距离相等，故选项D正确．故答案选：ACD
12、解：若点P在椭圆?上，P到、两点的距离之和为定值、到、两点的距离之和不为定值，故A错误；
两个椭圆关于直线、均对称，曲线C关于直线、均对称，故B正确；
曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故C正确；
曲线C所围区域在半径为3的圆外部，所以曲线的总长度大于圆的周长：，故D错误．
故选BC．
三、填空题：
13、1
14、15、
16、
16、解：设，则椭圆在点B处的切线方程为，
令，得，令，得，
又点B在椭圆的第一象限上，，，且，
，
，即，当且仅当，即时面积取最小值．
即B为时，三角形OCD的面积的最小值为．
四、解答题：
17、解：因为，所以，…………2分
所求直线过点A和直线l平行，则根据点斜式方程可得，…………4分
即．……………………………………5分
由已知可得，所以直线的斜率．………………………………7分
由，…………………………………………8分
可得．………………………………………………10分
18、解：
设，，…………………………1分
则由中点公式得，解得．…………3分
因为点B在圆C上，则，………………5分
所以，化简得：．……6分
若，则圆C到直线l的距离为2．…………7分
当直线l的斜率不存在时，l：，符合题意．…………8分
当直线l的斜率存在时，设l：，即．…………9分
圆心到直线l的距离，解得，…………………………10分
直线l的方程为．…………………………11分
故直线l的方程为或为………………12分
19、解：Ⅰ由题意：，，短轴一个端点到右焦点的距离为．
即，…………1分
而，
所以，，………………3分
所以椭圆的方程：；……4分
Ⅱ由Ⅰ，左焦点，直线l的方程：，……6分
设，，
联立与椭圆的方程整理得：，………………8分
所以，，…………9分
．…………12分
20、证明：因为平面ABCD，且平面ABCD，
所以，………………1分
因为ABCD是正方形，
所以，………………2分
又，DE，平面BDE，…………3分
所以平面?……………………4分
解：因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图所示．……5分
因为BE与平面ABCD所成角为，即，……………………………………6分
所以，
由，可知，，，…………7分
则0，，0，，0，，1，，1，，
所以，
0，
设平面BEF的法向量为y，，则
即
令，则2，，…………………9分
因为平面BDE，
所以为平面BDE的法向量，．……10分
所以，…………11分
因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．…………12分
21、证明：作交AB于点E，分别以所在直线为轴建系，…1分
?
，?
?
?
所以…………2分
?
?，…………3分?
?
?
，……4分
所以?，………………5分?
?
?
?
存在，设，…………6分?
，，……7分?
设平面的一个法向量为??
有?
?，?…………9分
又因为平面
的一个法向量为……10分
，得?，??………………11分
所以M在的延长线上且．……………12分
22、【解析】（1）依题意，，
2分
因为离心率，所以，解得，
4分
所以的标准方程为．
5分
（2）因为直线的倾斜角为，且是以为顶角的等腰直角三角形，在直线的右下方，所以轴，
6分
过作的垂线，垂足为，则为线段的中点，
所以，故，
7分
所以，即，
整理得．①
8分
由得．
所以，解得，
9分
所以，②，③
10分
由得，，④
将④代入②得，⑤
11分
将④⑤代入③得，解得．
综上，的值为．……………………………………………………………………
12分
10
/
10