初中数学人教版九年级上册 24.3正多边形和圆练习题（Word版 含解析）

初中数学人教版九年级上册第二十四章
24.3正多边形和圆练习题
一、选择题
半径为r的圆的内接正六边形边长为
A.
B.
C.
r
D.
2r
下列圆的内接正多边形中，中心角最大的图形是
A.
正三角形
B.
正方形
C.
正五边形
D.
正六边形
若一个正多边形的中心角等于一个内角，则这个正多边形的边数为?
?
?
A.
3
B.
4
C.
5
D.
6
如图，正六边形ABCDEF内接于，连接则的度数是
A.
B.
C.
D.
如图，正六边形ABCDEF内接于，半径为4，则这个正六边形的边心距OM的长为?
?
?
A.
2
B.
C.
D.
下列说法中正确的有
矩形是正多边形，因为它的各个角相等；菱形是正多边形，因为它的各边都相等；正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形；正五边形的对角线都相等???
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF的边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是
A.
B.
C.
D.
如图，是正五边形ABCDE的外接圆，P是的一点，则的度数为???
A.
B.
C.
D.
如下图，已知的内接正六边形ABCDEF的边心距，则该圆的内接正三角形ACE的面积为???
A.
2
B.
4
C.
D.
在圆内接正六边形ABCDEF中，正六边形的边长，则这个正六边形的中心角和外接圆的圆心到边的距离分别是?
???
A.
，
B.
，
C.
，2
D.
，2
二、填空题
在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为______．
如图，正六边形ABCDEF的顶点B，C分别在正方形AMNP的边AM，MN上．若，则______．
如图，与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角的大小为__________度．
同圆的内接正三角形与外切正三角形的周长比是______．
若正六边形的半径长为4，在它的边长等于______
．
三、解答题
若一个正六边形的周长为24，求该正六边形的面积．结果保留根号
如图所示，正五边形ABCDE的对角线AC和BE相交于点求证：
；
．
如下图，已知和上的一点A．
作的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；
在题的作图中，如果点E在上，求证：BE是的内接正十二边形的一边．
如下图，，，，，M，N分别是的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，，正n边形的边AB，BC上的点，且，连接OM，ON．
求图中的度数；
图中的度数是________，图中的度数是________；
试探究的度数与正n边形边数n的关系直接写出答案．
如图，AB为的直径，AC，DC为弦，，P为AB的延长线上的点，．
求证：DP是的切线；
若的半径为，求图中阴影部分的面积．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：如图，ABCDEF是的内接正六边形，连接OA，OB，
则三角形AOB是等边三角形，所以．
故选：C．
画出圆O的内接正六边形ABCDEF，连接OA，OB，得到正三角形AOB，可以求出AB的长．
本题考查的是正多边形和圆，连接OA，OB，得到正三角形AOB，就可以求出正六边形的边长．
2.【答案】A
【解析】解：正三角形一条边所对的圆心角是，
正方形一条边所对的圆心角是，
正五边形一条边所对的圆心角是，
正六边形一条边所对的圆心角是，
一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形，
故选：A．
根据正多边形的中心角的度数即可得到结论．
本题考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形的中心角的定义是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查的是正多边形内角、和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键．
根据正n边形的中心角的度数为进行计算即可得到答案．
【解答】
解：设这个正多边形的边数为n，
因为正多边形的中心角等于其内角，
所以，
解得，
所以这个正多边形的边数为4．
故选B．
4.【答案】A
【解析】解：在正六边形ABCDEF中，
，，
，
故选A．
根据正六边形的内角和求得，然后根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟记多边形的内角和是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正六边形的性质，求出BM是解决问题的关键．
连接OC、OB，证出是等边三角形，求出BM，根据勾股定理求解即可．
【解答】
解：如图，连接OB，OC．
因为多边形ABCDEF是正六边形，所以，
因为，所以是等边三角形，
所以，，
所以，
所以．
故选B．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了判断命题的正误的知识，熟知课本上学过的有关定理是解决本题的关键．根据矩形、菱形、正多边形的性质对每个小题逐一进行判断后即可得到正确的结论．
【解答】
解：矩形的四条边不一定相等，所以矩形不一定是正多边形，故错误；
菱形的各角不一定相等，所以菱形不一定是正多边形，故错误；
正多边形边数为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形，故错误；
正五边形的对角线都相等，故正确，
正确的说法只有一个．
故选A．
7.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查正六边形、正方形的性质等知识，解题的关键作出点M的运动轨迹，利用图象解决问题，题目有一定的难度．
如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的弧线，分别对6次旋转过程进行分析，可知，由此即可判断．
【解答】
解：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的弧线，
观察图象可知：在第一次旋转过程中，
在第二次旋转过程中，点M的位置不变，
在第三次旋转过程中，BM的长由1逐渐变小为；
在第四次旋转过程中，点M在以点E为圆心，为半径的圆弧上，BM的长由逐渐变小为，然后逐渐变大为；
在第五次旋转过程中，BM的长由逐渐变大为1；
在第六次旋转过程中，点M的位置不变，．
显然连续六次旋转的过程中，．
故选：C．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
连接OC，求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．
【解答】
解：如图，连接OC，OD．
是正五边形，
，
，
故选B．
9.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正六边形的性质，由勾股定理求出OC是解决问题的关键．
连接OC、OB，过O作于N，证出是等边三角形，根据勾股定理列方程求解即可．
【解答】
解：如图所示，连接OC、OB，过O作于N，
多边形ABCDEF是正六边形，
，
，
是等边三角形，
，
，，
在中，，
，
．
是的内接正三角形，
，
，，
，
该圆的内接正三角形ACE的面积，
故选：D．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了正多边形和圆、多边形的内角与外角等知识，熟记多边形的内角和公式是解答本题的关键．
根据多边形的内角和公式即可得出的度数，再根据三角形的外角性质计算即可．
【解答】
解：如图：连接OB，OC．
，
中心角为，
是等边三角形，
．
是边上的高，
，
故选B．
11.【答案】
【解析】解：如图所示，连接OB、OC，过O作，设此正方形的边长为a，
，
，
即．
故答案为：．
先根据题意画出图形，再连接OB、OC，过O作，设此正方形的边长为a，由垂径定理及正方形的性质得出，再由勾股定理即可求解．
本题考查的是正多边形和圆，解答此类问题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合求解．
12.【答案】
【解析】解：在中，，，，
，
，，
，
四边形AMNP是正方形，
，
，
故答案为．
在中，根据条件，，，解直角三角形即可解决问题；
本题考查正多边形与圆，解直角三角形，正方形的性质，正六边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
13.【答案】144
【解析】
【分析】
本题考查切线的性质、正多边形与圆的关系、多边形的内角和等知识．
根据正多边形内角和公式可求出、，根据切线的性质可求出、，从而可求出．
【解答】
解：五边形ABCDE是正五边形，
，
、DE与相切，
，
．
14.【答案】1：2
【解析】解：如图所示：
圆的内接正三角形的内心到每个顶点的距离是等边三角形高的，设内接正三角形的边长为a，
等边三角形的高为，
该等边三角形的外接圆的半径为
同圆外切正三角形的边长．
周长之比为：3a：：2，
故答案为：1：2．
作出正三角形的边心距，连接正三角形的一个顶点和中心可得到一直角三角形，解直角三角形即可．
本题考查了正多边形和圆的知识，解题时利用了圆内接等边三角形与圆外接等边三角形的性质求解，关键是构造正确的直角三角形．
15.【答案】4
【解析】解：正六边形的中心角为，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，
故正六边形的外接圆半径等于4，则正六边形的边长是4．
故答案为：4．
根据正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形解答即可．
此题主要考查了正多边形和圆，利用正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形得出是解题关键．
16.【答案】解：过点O作，垂足为D．
，，
为等边三角形，且三条对角线把正六边形分成了六个全等的等边三角形．
正六边形的周长为24，
．
，
，．
在中，
根据勾股定理得．
．
．
【解析】此题考查了圆的内接六边形的性质与等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
过点O作，垂足为D，即可得是等边三角形，且三条对角线把正六边形分成了六个全等的等边三角形，又由正六边形的周长为24，即可求得AB的长，继而求得的面积，则可求得该六边形的面积．
17.【答案】证明：五边形ABCDE是正五边形，
，，
，
，
，
；
五边形ABCDE是正五边形，
，，
，
，
，
，
．
【解析】本题考查了正多边形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定的应用，解此题的关键是能求出各个角的度数．
根据正多边形求出，，求出，求出，最后求出即可；
求出，即可得出答案．
18.【答案】解：如图所示：
作法：作直径AC；
作直径；
依次连结A、B、C、D四点，
四边形ABCD即为的内接正方形；
分别以A、C为圆心，以OA长为半径作弧，交于E、H、F、G；
顺次连结A、E、F、C、G、H各点．
六边形AEFCGH即为的内接正六边形．
证明：连结OE、BE．
，，
，
正十二边形一边所对应的角度为，
为的内接正十二边形的一边．
【解析】本题考查的是正多边形和圆，熟知圆内接正四边形及正六边形的作法是解答此题的关键．
根据圆内接正多边形的作法画出图形即可；
根据和的度数，进而求出的度数，然后可得出结论．
19.【答案】解：分别连接OB、OC，
，
，
，O是外接圆的圆心，
平分
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
；
；；
当n时，．
【解析】
【分析】
本题考查的是正多边形和圆，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．
先分别连接OB、OC，可求出，故，再由圆周角定理即可求出；
同即可解答；
由、找出规律，即可解答．
【解答】
解：见答案；
连接OB、OC，
是正方形ABCD的外接圆的圆心，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
；
；
同理可得，在图中．
故答案为；；
由可知，；在中，；在中，
故当n时，．
20.【答案】证明：连接OD，
，
由圆周角定理得：，
，
，
，
，
为半径，
是切线；
解：，，，
，由勾股定理得：，
图中阴影部分的面积
【解析】连接OD，求出，求出，求出，根据切线判定推出即可．
求出OP、DP长，分别求出扇形DOB和三角形ODP面积，即可求出答案．
本题考查了扇形面积，三角形面积，切线的判定，圆周角定理等知识点的应用，主要考查学生的推理和计算能力．
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