人教版九年级下册数学 27.2.2相似三角形的性质 同步练习（Word版 含解析）

27.2.2相似三角形的性质 同步练习
一．选择题
1．如图，△ABC∽△DCA，∠B＝33°，∠D＝117°，则∠BAD的度数是（　　）
A．150° B．147° C．135° D．120°
2．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，BC＝7m，则建筑物CD的高是（　　）
A．3.5m B．4m C．4.5m D．5m
3．如图，在△ABC，AB＝AC＝a，点D是边BC上的一点，且BD＝a，AD＝DC＝1，则a等于（　　）
A． B． C．1 D．2
4．如图，在?ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则△DEF与四边形EFCO的面积比为（　　）
A．1：4 B．1：5 C．1：6 D．1：7
5．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝5：4，则△ABC与△DEF的周长比为（　　）
A．5：4 B．4：5 C．2： D．：2
6．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝5：2，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（　　）
A．5：7 B．10：4 C．25：4 D．25：49
7．如图，在△ABC，D是BC上一点，BD：CD＝1：2，E是AD上一点，DE：AE＝1：2，连接CE，CE的延长线交AB于F，则AF：AB为（　　）
A．1：2 B．2：3 C．4：3 D．4：7
8．两个相似三角形面积比是4：9，其中一个三角形的周长为24cm，则另一个三角形的周长是（　　）cm．
A．16 B．16或28 C．36 D．16或36
9．在平面直角坐标系中，已知A（2，4），P（1，0），B为y轴上的动点，以AB为边构造△ABC，使点C在x轴上，∠BAC＝90°，M为BC的中点，则PM的最小值为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，正方形ABCD中，延长CB至E使CB＝2EB，以EB为边作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB，AM交于点N，K．则下列说法：①△ANH≌△GNF；②∠DAM＝∠NFG；③FN＝2NK；④S△AFN：S四边形DMKH＝2：7．其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二．填空题
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若AD＝6，BD＝2，则CD＝　 　．
12．如图，A，B两点被池塘隔开，为测量A，B两点间的距离，在池塘边任选一点C，连接AC，BC，并延长AC到D，使CD＝AC，延长BC到E，使CE＝BC，连接DE，如果测量DE＝20m，则AB的长度为　 　．
13．在平面直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为　 　时，使得△BOC∽△AOB．
14．如图，△ABC中，CA＝CB，点E在BC边上，点D在AC边上，连接AE、DE，若AB＝AE，2∠AEB+∠ADE＝180°，BE＝8，CD＝，则CE＝　 　．
15．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则的值是　 　．
三．解答题
16．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE、BC的延长线相交于点F，且EF?DF＝CF?BF．求证：△CAB∽△DAE．
17．如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一点，连接DP并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点E．求证：
（1）△APB≌△APD；
（2）PD2＝PE?PF．
18．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，连接DE，点F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）求证：△ADF∽△DEC；
（3）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长．
参考答案
一．选择题
1．解：∵△ABC∽△DCA，
∴∠BAC＝∠D＝117°，∠DAC＝∠B＝33°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝150°，
故选：A．
2．解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB∥DC，
∴△ABE∽△ACD，
∴＝，
∵BE＝1.5m，AB＝3m，BC＝7m，
∴AC＝AB+BC＝10m，
∴＝，
解得，DC＝5，
即建筑物CD的高是5m，
故选：D．
3．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C，
∴∠DAC＝∠B，
∵∠C＝∠C，
∴△CDA∽△CAB，
∴＝，
∴CA2＝CD?CB，
∵CA＝a，BD＝a，CD＝1，
∴CB＝1+a，
∴a2＝1?（1+a），
∴a2﹣a﹣1＝0，
∴a＝或（舍弃），
故选：A．
4．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，AB∥CD，
∵E为OD的中点，
∴DE＝EO＝DO，
∴BO＝2EO，BE＝3DE，
∵DF∥AB，
∴△DFE∽△BAE，
∴＝（）2＝，
设S△DEF＝x，则S△BEA＝9x，
∵BO＝2OE，
∴S△AOB＝6x＝S△DOC，
∴四边形EFCO的面积＝5x，
∴△DEF与四边形EFCO的面积比＝1：5，
故选：B．
5．解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝5：4，
∴△ABC与△DEF的相似比为：2，
∴△ABC与△DEF的周长比为：2，
故选：D．
6．解：设DE＝5k，EC＝2k，则CD＝7k，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝7k，DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴＝＝＝，
故选：D．
7．解：过D作DH∥AB交CF于H，如图，
∵DH∥BF，
∴＝，
∵BD：CD＝1：2，
∴CD：BC＝2：3，
∴BF＝DH，
∵DH∥AF，
∴＝＝2，
∴AF＝2DH，
∴AF：BF＝2DH：DH＝4：3，
∴AF：AB＝4：7．
故选：D．
8．解：∵两个相似三角形面积比是4：9，
∴两个相似三角形相似比是2：3，
∴两个相似三角形周长比是2：3，
∵一个三角形的周长为24cm，
∴另一个三角形的周长是16cm或36cm，
故选：D．
9．解：如图，过点A作AH⊥y轴于H，过点C作CE⊥AH于E，
则四边形CEHO是矩形，
∴OH＝CE＝4，
∵∠BAC＝∠AHB＝∠AEC＝90°，
∴∠ABH+∠HAB＝90°，∠HAB+∠EAC＝90°，
∴∠ABH＝∠EAC，
∴△AHB∽△CEA，
∴＝，即＝，
∴AE＝2BH，
设BH＝x，则AE＝2x，
∴OC＝HE＝2+2x，OB＝4﹣x，
∴B（0，4﹣x），C（2+2x，0），
∵BM＝CM，
∴M（1+x，），
∵P（1，0），
∴PM＝＝，
∴PM的最小值为＝，
故选：C．
10．解：∵四边形EFGB是正方形，
∴FG＝BE，∠FGB＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，H为AD的中点，
∴BC＝AD＝2AH，
∵CB＝2EB
∴AH＝FG，
∵∠HAN＝∠FGN＝90°，∠ANH＝∠GNF，
∴△ANH≌△GNF（AAS），故①正确；
∵∠HAN＝∠FGN＝90°，
∴AD∥FM，
过点H作HP⊥MG于点P，则AG＝HP，HD＝PM，
∵FG＝AH＝HD，
∴FG＝PM，
∴FP＝MG，
∵∠HPF＝∠AGM＝90°，
∴△PHF≌△GAM（SAS），
∴∠HFP＝∠AMG，
∵AD∥FM，
∴∠DAM＝∠AMG，
∴∠DAM＝∠NFG，故②正确；
∵△ANH≌△GNF，
∴∠AHN＝∠GFN，NF＝NH，
∴∠KAH＝∠KHA，
∴KA＝KH，
∵∠KAH+∠KAN＝90°，∠KHA+∠KNA＝90°，
∴∠KAN＝∠KNA，
∴AK＝NK＝KH，
∴FN＝2NK，故③正确；
∵FN＝NH，
∴，
∵NK＝KH，
，
∵，
∴，
∴S△AFN：S四边形DMKH＝2：7，故④正确．
故选：A．
二．填空题
11．解：∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∵∠ADC＝∠CDB，
∴△ADC∽△CDB，
∴＝，即＝，
解得，CD＝2，
故答案为：2．
12．解：∵CD＝AC，CE＝BC，
∴＝＝，
又∵∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC∽△DEC，
∴＝＝，
∵DE＝20m，
∴AB＝40m，
故答案为：40m．
13．解：∵点A为（4，0），
∴AO＝4；
∵点B为（0，2），
∴OB＝2．
若△BOC∽△AOB．
则：＝．
即：＝，
∴OC＝1．
故点C为（﹣1，0）或者（1，0）．
故答案为：（﹣1，0）或者（1，0）．
14．解：如图，过点A作AM⊥BE于E，过点D作DN⊥EC于N，
∵CA＝CB，AB＝AE，
∴∠B＝∠CAB，∠B＝∠AEB，
∴∠B＝∠CAB＝∠AEB，
∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∠B+∠AEB+∠BAE＝180°，
∴∠C＝∠BAE，
∴2∠AEB+∠C＝180°，
又∵2∠AEB+∠ADE＝180°，
∴∠C＝∠ADE，
又∵∠ADE＝∠C+∠DEC，
∴∠C＝∠DEC，
∴DE＝DC＝，
∵AB＝AE，AM⊥BE，DE＝CC，DN⊥EC，
∴BM＝ME＝BE＝4，EN＝NC＝EC，AM∥DN，
∴△CDN∽△CAM，
∴，
∴，
∴EC＝12，EC＝﹣5（不合题意舍去），
故答案为：12．
15．解：∵DE∥AC，
∴△DOE∽△COA，
∴＝（）2＝，
∴＝，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴＝，
∴＝，
故答案为：．
三．解答题
16．证明：∵EF?DF＝CF?BF．
∴，
∵∠EFC＝∠BFD，
∴△EFC∽△BFD，
∴∠CEF＝∠B，
∴∠B＝∠AED，
∵∠CAB＝∠DAE，
∴△CAB∽△DAE．
17．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，
在△ABP和△ADP中，
，
∴△ABP≌△ADP（SAS）；
（2）∵△ABP≌△ADP，
∴PB＝PD，∠ADP＝∠ABP，
∵AD∥BC，
∴∠ADP＝∠E，
∴∠E＝∠ABP，
又∵∠FPB＝∠EPB，
∴△EPB∽△BPF，
∴，
∴PB2＝PE?PF，
∴PD2＝PE?PF．
18．解：（1）证明：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）证明：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C，
∴△ADF∽△DEC；
（3）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝8，
由（2）知△ADF∽△DEC，
∴＝，
∴DE＝＝＝12．
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
AE＝＝＝6．