2020-2021学年沪科版数学九上期末模拟试题1（含解析）

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2020-2021学年沪科版数学九上期末模拟试题1
姓名：__________班级：__________考号：__________总分_________
、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
的值等于（ ）
A． B． C． 1 D．
如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（　　）
A． B． C． D．
已知点，，都在反比例函数的图像上，且，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD＝90°，CO＝CD．若B（1，0），则点C的坐标为（　　）
A．（1，2） B．（1，1） C．（，） D．（2，1）
如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C．P为y轴上一点，连接，．则的面积为（ ）
A．5 B．6 C．11 D．12
如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（　　）
A．8 B．12 C．14 D．16
足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：
t 0 1 2 3 4 5 6 7 …
h 0 8 14 18 20 20 18 14 …
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t=；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m，其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0，②a+b+c＝0，③ac+b+1＝0，④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（　　）
A．R2﹣r2=a2 B．a=2Rsin36° C．a=2rtan36° D．r=Rcos36°
如图，抛物线y=﹣x2+x+与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若点P是线段AC上方的抛物线上一动点，当△ACP的面积取得最大值时，点P的坐标是（　　）
A．（4，3） B．（5，） C．（4，） D．（5，3）
如图，A．B是函数y=上两点，P为一动点，作PB∥y轴，PA∥x轴，下列说法正确的是（　　）
①△AOP≌△BOP；②S△AOP=S△BOP；③若OA=OB，则OP平分∠AOB；④若S△BOP=4，则S△ABP=16
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
、填空题（本大题共6小题，每小4分，共24分）
如图所示的正六边形ABCDEF，连结FD，则∠FDC的大小为　 　．
如图，点A在函数y=（x＞0）的图象上，且OA=4，过点A作AB⊥x轴于点B，则△ABO的周长为　　　　　　．
二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ab＞0；②a+b﹣1＝0；③a＞1；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为1，另一个根为﹣．其中正确结论的序号是_____．
如图，点A，B在反比例函数y=（k＞0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足C，D分别在x轴的正、负半轴上，CD=k，已知AB=2AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，则k的值是　　　　　　．
如图，正方形ABCD中，BC=2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE=45°．若PF=，则CE=　 　．
图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为　 　分米，当OB从水平状态旋转到OB'（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB'上的点E'处，则B'E'﹣BE为　 　分米．
、解答题（本大题共8小题，共78分）
计算：2sin30°+3﹣1+（﹣1）0﹣．
如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE=∠ADF．
（1）判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PF：PC=1：2，AF=5，求CP的长．
鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售量为y个．
（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；
（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？
（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？
如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD=∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC=8，AD=3．
（1）求CE的长；
（2）求证：△ABC为等腰三角形．
（3）求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．
如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛的点处，它沿着点的南偏东的方向航行．
（1）渔船航行多远距离小岛最近(结果保留根号)？
（2）渔船到达距离小岛最近点后，按原航向继续航行到点处时突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少(结果保留根号)？
如图，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E.
（1）若，AE=2，求EC的长；
（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F,C,G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P.问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由.

定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△PAB，△PBC，△PCA中，若至少有一个三角形与△ABC相似，则称点P是△ABC的自相似点．
例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC=∠A，∠BCP=∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P是△ABC的自相似点．
请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：
在平面直角坐标系中，点M是曲线y=（x＞0）上的任意一点，点N是x轴正半轴上的任意一点．
（1）如图2，点P是OM上一点，∠ONP=∠M，试说明点P是△MON的自相似点；当点M的坐标是（，3），点N的坐标是（，0）时，求点P的坐标；
（2）如图3，当点M的坐标是（3，），点N的坐标是（2，0）时，求△MON的自相似点的坐标；
（3）是否存在点M和点N，使△MON无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．
如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PON的面积．
2020-2021学年沪科版数学九上期末模拟试题1答案解析
、选择题
【考点】特殊角的三角函数值
【分析】根据特殊角的三角函数值直接求解即可．
解：cos30°=．
故选：B．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的记忆情况．特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要熟练掌握．
【考点】平行线分线段成比例定理
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式即可解答．
解：∵DE//AB，
∴
∴的值为．
故答案为A．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理确定对应比例关系是解答本题的关键．
【考点】反比例函数的图像与性质
【分析】首先画出反比例函数，利用函数图像的性质得到当时，，，的大小关系．
解： 反比例函数，
反比例函数图像在第二、四象限，
观察图像：当时，
则．
故选A．
【点睛】本题考查的是反比例函数的图像与性质，掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键．
【考点】圆周角定理
【分析】连接DC，利用三角函数得出∠DCO=30°，进而利用圆周角定理得出∠DBO=30°即可．
解：连接DC，
∵C（，0），D（0，1），
∴∠DOC=90°，OD=1，OC=，
∴∠DCO=30°，
∴∠OBD=30°，
故选：B．
【点评】此题考查圆周角定理，关键是利用三角函数得出∠DCO=30°．
【考点】坐标与图形性质，位似变换
【分析】首先利用等腰直角三角形的性质得出A点坐标，再利用位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，ky），进而求出即可．
解：∵∠OAB＝∠OCD＝90°，AO＝AB，CO＝CD，等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，点B的坐标为（1，0），
∴BO＝1，则AO＝AB＝，
∴A（，），
∵等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，
∴点C的坐标为：（1，1）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．
【考点】反比例函数的性质,反比例函数系数k的几何意义
【分析】连接OA和OC，利用三角形面积可得△APC的面积即为△AOC的面积，再结合反比例函数中系数k的意义，利用S△AOC=S△OAB-S△OBC，可得结果.
解：连接OA和OC，
∵点P在y轴上，则△AOC和△APC面积相等，
∵A在上，C在上，AB⊥x轴，
∴S△AOC=S△OAB-S△OBC=6，
∴△APC的面积为6，
故选B.
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的系数k的几何意义是解题的关键.
【考点】三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质
【分析】直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，DE=BC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．
解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵=，
∴=，
∵△ADE的面积为4，
∴△ABC的面积为：16，
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，正确得出△ADE∽△ABC是解题关键．
【考点】二次函数的应用
【分析】由题意，抛物线的解析式为y=ax（x﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，可得y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，由此即可一一判断．
解：由题意，抛物线的解析式为y=ax（x﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，
∴y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，
∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，
∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，
∵t=9时，y=0，
∴足球被踢出9s时落地，故③正确，
∵t=1.5时，y=11.25，故④错误．
∴正确的有②③，
故选B．
【点评】本题考查二次函数的应用、求出抛物线的解析式是解题的关键，属于中考常考题型．
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点
【分析】①由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，则可对①进行判断，
②根据对称轴是直线x＝1，可得b＝﹣2a，代入a+b+c，可对②进行判断，
③利用OA＝OC可得到A（﹣c，0），再把A（﹣c，0）代入y＝ax2+bx+c即可对③作出判断，
④根据抛物线的对称性得到B点的坐标，即可对④作出判断．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确，
∵b＝﹣2a，
∴a+b＝a﹣a＝0，
∵c＞0，
∴a+b+c＞0，所以②错误，
∵C（0，c），OA＝OC，
∴A（﹣c，0），
把A（﹣c，0）代入y＝ax2+bx+c得ac2﹣bc+c＝0，
∴ac﹣b+1＝0，所以③错误，
∵A（﹣c，0），对称轴为直线x＝1，
∴B（2+c，0），
∴2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，所以④正确，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c），抛物线与x轴交点个数由△决定，熟练掌握二次函数的性质是关键．
【考点】正多边形和圆；解直角三角形．.
【分析】根据圆内接正五边形的性质求出∠BOC，再根据垂径定理求出∠1=36°，然后利用勾股定理和解直角三角形对各选项分析判断即可得解．
解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，
∴∠BOC=×360°=72°，
∴∠1=∠BOC=×72°=36°，
R2﹣r2=（a）2=a2，
a=Rsin36°，
a=2Rsin36°；
a=rtan36°，
a=2rtan36°，
cos36°=，
r=Rcos36°，
所以，关系式错误的是R2﹣r2=a2．
故选A．
【点评】本题考查了圆内接四边形，解直角三角形，熟练掌握圆内接正五边形的性质并求出中心角的度数是解题的关键．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的最值．
【分析】连接PC、PO、PA，设点P坐标（m，﹣），根据S△PAC=S△PCO+S△POA﹣S△AOC构建二次函数，利用函数性质即可解决问题．
解：连接PC、PO、PA，设点P坐标（m，﹣）
令x=0，则y=，点C坐标（0，），
令y=0则﹣x2+x+=0，解得x=﹣2或10，
∴点A坐标（10，0），点B坐标（﹣2，0），
∴S△PAC=S△PCO+S△POA﹣S△AOC=××m+×10×（﹣）﹣××10=﹣（m﹣5）2+，
∴x=5时，△PAC面积最大值为，
此时点P坐标（5，）．
故点P坐标为（5，）．
【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、两点之间线段最短、最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用对称解决在性质问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型．　
【考点】反比例函数综合题
【分析】由点P是动点，进而判断出①错误，设出点P的坐标，进而得出AP，BP，利用三角形面积公式计算即可判断出②正确，利用角平分线定理的逆定理判断出③正确，先求出矩形OMPN=4，进而得出mn=4，最后用三角形的面积公式即可得出结论．
解：∵点P是动点，
∴BP与AP不一定相等，
∴△BOP与△AOP不一定全等，故①不正确；
设P（m，n），
∴BP∥y轴，
∴B（m，），
∴BP=|﹣n|，
∴S△BOP=|﹣n|×m=|12﹣mn|
∵PA∥x轴，
∴A（，n），
∴AP=|﹣m|，
∴S△AOP=|﹣m|×n=|12﹣mn|，
∴S△AOP=S△BOP，故②正确；
如图，过点P作PF⊥OA于F，PE⊥OB于E，
∴S△AOP=OA×PF，S△BOP=OB×PE，
∵S△AOP=S△BOP，
∴OB×PE=OA×PE，
∵OA=OB，
∴PE=PF，
∵PE⊥OB，PF⊥OA，
∴OP是∠AOB的平分线，故③正确；
如图1，延长BP交x轴于N，延长AP交y轴于M，
∴AM⊥y轴，BN⊥x轴，
∴四边形OMPN是矩形，
∵点A，B在双曲线y=上，
∴S△AMO=S△BNO=6，
∵S△BOP=4，
∴S△PMO=S△PNO=2，
∴S矩形OMPN=4，
∴mn=4，
∴m=，
∴BP=|﹣n|=|3n﹣n|=2|n|，AP=|﹣m|=，
∴S△APB=AP×BP=×2|n|×=8，故④错误；
∴正确的有②③，
故选：B．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质，三角形面积公式，角平分线定理逆定理，矩形的判定和性质，正确作出辅助线是解本题的关键．
、填空题
【考点】正多边形和圆．等腰三角形的性质
【分析】首先求得正六边形的内角的度数，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
解：∵在正六边形ABCDEF中，∠E=∠EDC=120°，
∵EF=DE，
∴∠EDF=∠EFD=30°，
∴∠FDC=90°，
故答案为：90°
【点评】此题考查了正多边形和圆．等腰三角形的性质，此题难度不大，注意数形结合思想的应用．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】由点A在反比例函数的图象上，设出点A的坐标，结合勾股定理可以表现出OA2=AB2+OB2，再根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出AB?OB的值，根据配方法求出（AB+OB）2，由此即可得出AB+OB的值，结合三角形的周长公式即可得出结论．
解：∵点A在函数y=（x＞0）的图象上，
∴设点A的坐标为（n，）（n＞0）．
在Rt△ABO中，∠ABO=90°，OA=4，
∴OA2=AB2+OB2，
又∵AB?OB=?n=4，
∴（AB+OB）2=AB2+OB2+2AB?OB=42+2×4=24，
∴AB+OB=2，或AB+OB=﹣2（舍去）．
∴C△ABO=AB+OB+OA=2+4．
故答案为：2+4．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、完全平方公式以及三角形的周长，解题的关键是求出AB+OB的值.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，巧妙的利用完全平方公式直接求出两直角边之和是关键.
【考点】根与系数的关系,二次函数图象与系数的关系,抛物线与x轴的交点
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x＝1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：①由二次函数的图象开口向上可得a＞0，对称轴在y轴的右侧，b＜0，
∴ab＜0，故①错误；
②由图象可知抛物线与x轴的交点为（1，0），与y轴的交点为（0，﹣1），
∴c＝﹣1，
∴a+b﹣1＝0，故②正确；
③∵a+b﹣1＝0，
∴a﹣1＝﹣b，
∵b＜0，
∴a﹣1＞0，
∴a＞1，故③正确；
④∵抛物线与与y轴的交点为（0，﹣1），
∴抛物线为y＝ax2+bx﹣1，
∵抛物线与x轴的交点为（1，0），
∴ax2+bx﹣1＝0的一个根为1，根据根与系数的关系，另一个根为﹣，故④正确；
故答案为②③④．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换．会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y＝a+b+c，然后根据图象判断其值．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式，勾股定理
【分析】根据三角形面积间的关系找出2S△ABD=S△BAC，设点A的坐标为（m，），点B的坐标为（n，），结合CD=k、面积公式以及AB=2AC即可得出关于m、n、k的三元二次方程组，解方程组即可得出结论．
解：∵E是AB的中点，
∴S△ABD=2S△ADE，S△BAC=2S△BCE，
又∵△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，
∴2S△ABD=S△BAC．
设点A的坐标为（m，），点B的坐标为（n，），
则有，
解得：，或（舍去）．
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及勾股定理，构造直角三角形利用勾股定理巧妙得出k值是解题的关键．　
【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
【分析】如图，连接EF．首先求出DM、DF的长，证明△DEF∽△DPC，可得=，求出DE即可解决问题．
解：如图，连接EF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA=2，∠DAB=90°，∠DCP=45°，
∴AM=BM=1，
在Rt△ADM中，DM===，
∵AM∥CD，
∴==，
∴DP=，∵PF=，
∴DF=DP=PF=，
∵∠EDF=∠PDC，∠DFE=∠DCP，
∴△DEF∽△DPC，
∴=，
∴=，
∴DE=，
∴CE=CD﹣DE=2﹣=．
故答案为．
【点评】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．　
【考点】等边三角形的性质，解直角三角形的应用
【分析】如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可．
解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．
∵AM⊥CD，
∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°，
∴四边形OQMP是矩形，
∴QM＝OP，
∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∵OP⊥CD，
∴∠COP＝∠COD＝30°，
∴QM＝OP＝OC?cos30°＝5（分米），
∵∠AOC＝∠QOP＝90°，
∴∠AOQ＝∠COP＝30°，
∴AQ＝OA＝5（分米），
∴AM＝AQ+MQ＝5+5．
∵OB∥CD，
∴∠BOD＝∠ODC＝60°
在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝2（分米），
在Rt△PKE中，EK＝＝2（分米）
∴BE＝10﹣2﹣2＝（8﹣2）（分米），
在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝2（分米），
在Rt△FJE′中，E′J＝＝2，
∴B′E′＝10﹣（2﹣2）＝12﹣2，
∴B′E′﹣BE＝4．
故答案为5+5，4．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
、解答题
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值
【分析】直接利用特殊角的三角函数值结合零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简进而求出答案．
解：2sin30°+3﹣1+（﹣1）0﹣
=2×++1﹣2
=．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值、乘方、绝对值等考点的运算．
【考点】切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆的有关性质
【分析】（1）结论：AB是⊙O切线，连接DE，CF，由∠FCD+∠CDF=90°，只要证明∠ADF=∠DCF即可解决问题．
（2）只要证明△PCF∽△PAC，得=，设PF=a．则PC=2a，列出方程即可解决问题．
解：（1）AB是⊙O切线．
理由：连接DE、CF．
∵CD是直径，
∴∠DEC=∠DFC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠DEC+∠ACE=180°，
∴DE∥AC，
∴∠DEA=∠EAC=∠DCF，
∵∠DFC=90°，
∴∠FCD+∠CDF=90°，
∵∠ADF=∠EAC=∠DCF，
∴∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠ADC=90°，
∴CD⊥AD，
∴AB是⊙O切线．
（2）∵∠CPF=∠CPA，PCF=∠PAC，
∴△PCF∽△PAC，
∴=，
∴PC2=PF?PA，设PF=a．则PC=2a，
∴4a2=a（a+5），
∴a=，
∴PC=2a=．
【点评】本题考查切线的判定、相似三角形的判定和性质、圆的有关性质等知识，解题的关键是添加辅助线，记住直径所对的圆周角是直角，学会用方程的思想解决问题，属于中考常考题型．　
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【分析】（1）根据题意，由售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个，可得销售量y个与降价x元之间的函数关系式；
（2）根据题意结合每周获得的利润W=销量×每个的利润，进而利用二次函数增减性求出答案；
（3）根据题意，由利润不低于5200元列出不等式，进一步得到销售量的取值范围，从而求出答案．
解：（1）依题意有：y=10x+160；
（2）依题意有：
W=（80﹣50﹣x）（10x+160）=﹣10（x﹣7）2+5290，
因为x为偶数，
所以当销售单价定为80﹣6=74元或80﹣8=72时，每周销售利润最大，最大利润是5280元；
（3）依题意有：
﹣10（x﹣7）2+5290≥5200，
解得4≤x≤10，
则200≤y≤260，
200×50=10000（元）．
答：他至少要准备10000元进货成本．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用等知识，正确利用销量×每个的利润=W得出函数关系式是解题关键．
【考点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【分析】（1）证明AD为△BCE的中位线得到CE=2AD=6；
（2）通过证明AC=AE得到AB=AC；
（3）如图，连接BP、BQ、CQ，先利用勾股定理计算出AB=5，设⊙P的半径为R，⊙Q的半径为r，在Rt△PBD中利用勾股定理得到（R﹣3）2+42=R2，解得R=，则PD=，再利用面积法求出r=，即QD=，然后计算PD+QD即可．
（1）解：∵AD是边BC上的中线，
∴BD=CD，
∵CE∥AD，
∴AD为△BCE的中位线，
∴CE=2AD=6；
（2）证明：∵CE∥AD，
∴∠BAD=∠E，∠CAD=∠ACE，
而∠BAD=∠CAD，
∴∠ACE=∠E，
∴AE=AC，
而AB=AE，
∴AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形．
（3）如图，连接BP、BQ、CQ，
在Rt△ABD中，AB==5，
设⊙P的半径为R，⊙Q的半径为r，
在Rt△PBD中，（R﹣3）2+42=R2，解得R=，
∴PD=PA﹣AD=﹣3=，
∵S△ABQ+S△BCQ+S△ACQ=S△ABC，
∴?r?5+?r?8+?r?5=?3?8，解得r=，
即QD=，
∴PQ=PD+QD=+=．
答：△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离为．
【点评】本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等腰三角形的判定与性质和三角形的外接圆．
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题
【分析】（1）过点作的垂线交于点，则AD为所求，根据已知条件得到∠BAD=45°即可解答；
（2）根据特殊角的锐角三角函数值得到∠C=30°，∠DBC=60°，从而求出BC的长度，再求出∠DBE的度数，即可得到∠EBC的度数．
解：（1）过点作的垂线交于点，
∵垂线段最短，上的点距离点最近，即为所求，
由题意可知：∠BAF=30°，∠CAF=15°，
∴，
∴渔船航行时，距离小岛最近．
（2）在中，，
∠DBC=60°，
∵∠ABD=45°，∠ABE=90°-30°=60°，
∴，
.
答：从处沿南偏东出发，最短行程.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
【考点】平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定，三角形的有关概念，分类讨论
【分析】（1）易证DE∥BC，由平行线分线段成比例定理列比例式即可求解；
（2）分三种情况讨论：①若∠CFG=∠ECD，此时线段CP是△CFG的FG边上的中线；②若∠CFG=∠EDC，此时线段CP为△CFG的FG边上的高线；③当CD为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线．
解：（1）∵∠ACB=Rt∠，DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∴.
∵，AE=2，
∴，解得EC=6.
（2）①若∠CFG1=∠ECD.此时线段CP1为Rt△CFG1边上的中线.
证明：∵∠CFG1=∠ECD，
∴∠CFG1=∠FCP1，
又∵∠CFG1+∠CG1F=90°，∠FCP1+∠P1CG1=90°，
∴∠CG1F=∠P1CG1，
∴CP1=G1P1，
又∵∠CFG1=∠FCP1，
∴CP1=FP1，
∴CP1=FP1=G1P1，
∴线段CP1为Rt△CFG1的FG1边上的中线.
②若∠CFG2=∠EDC.此时线段CP2为Rt△CFG2的FG2边上的高线.
证明：∵∠CFG2=∠EDC，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∴∠EDC+∠ECD=90°，
∴∠ECD+∠CFG2=∠ECD+∠EDC=90°，
∴CP2⊥FG2，即CP2为Rt△CFG2的FG2边上的高线.
③当CD为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线.
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定、三角形的有关概念，分类讨论，能全面的思考问题是解决问题的关键．
【考点】反比例函数综合题．
【分析】（1）由∠ONP=∠M，∠NOP=∠MON，得出△NOP∽△MON，证出点P是△MON的自相似点；过P作PD⊥x轴于D，则tan∠POD=，求出∠AON=60°，由点M和N的坐标得出∠MNO=90°，由相似三角形的性质得出∠NPO=∠MNO=90°，在Rt△OPN中，由三角函数求出OP=，OD=，PD=，即可得出答案；
（2）作MH⊥x轴于H，由勾股定理求出OM=2，直线OM的解析式为y=x，ON=2，∠MOH=30°，分两种情况：①作PQ⊥x轴于Q，由相似点的性质得出PO=PN，OQ=ON=1，求出P的纵坐标即可；
②求出MN==2，由相似三角形的性质得出，求出PN=，在求出P的横坐标即可；
（3）证出OM=2=ON，∠MON=60°，得出△MON是等边三角形，由点P在△MON的内部，得出∠PON≠∠OMN，∠PNO≠∠MON，即可得出结论．
解：（1）∵∠ONP=∠M，∠NOP=∠MON，
∴△NOP∽△MON，
∴点P是△MON的自相似点；
过P作PD⊥x轴于D，则tan∠POD=，
∴∠AON=60°，
∵当点M的坐标是（，3），点N的坐标是（，0），
∴∠MNO=90°，
∵△NOP∽△MON，
∴∠NPO=∠MNO=90°，
在Rt△OPN中，OP=ONcos60°=，
∴OD=OPcos60°=×=，PD=OP?sin60°=×=，
∴P（，）；
（2）作MH⊥x轴于H，如图3所示：
∵点M的坐标是（3，），点N的坐标是（2，0），
∴OM==2，直线OM的解析式为y=x，ON=2，∠MOH=30°，
分两种情况：
①如图3所示：∵P是△MON的相似点，
∴△PON∽△NOM，作PQ⊥x轴于Q，
∴PO=PN，OQ=ON=1，
∵P的横坐标为1，
∴y=×1=，
∴P（1，）；
②如图4所示：
由勾股定理得：MN==2，
∵P是△MON的相似点，
∴△PNM∽△NOM，
∴，即，
解得：PN=，
即P的纵坐标为，代入y=得：=x，
解得：x=2，
∴P（2，）；
综上所述：△MON的自相似点的坐标为（1，）或（2，）；
（3）存在点M和点N，使△MON无自相似点，M（，3），N（2，0）；理由如下：
∵M（，3），N（2，0），
∴OM=2=ON，∠MON=60°，
∴△MON是等边三角形，
∵点P在△MON的内部，
∴∠PON≠∠OMN，∠PNO≠∠MON，
∴存在点M和点N，使△MON无自相似点．
【点评】本题是反比例函数综合题目，考查了相似三角形的性质、相似点的判定与性质、三角函数、坐标与图形性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、直线解析式的确定等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握相似点的判定与性质是解决问题的关键．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）根据顶点式可求得抛物线的表达式；
（2）根据轴对称的最短路径问题，作E关于对称轴的对称点E'，连接E'F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小，先求E'F的解析式，它与对称轴的交点就是所求的点G；
（3）如图2，先利用待定系数法求AB的解析式为：y=﹣2x+6，设N（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣2m+6），（0≤m≤3），表示NQ=﹣m2+4m﹣3，证明△QMN∽△ADB，列比例式可得MN的表达式，根据配方法可得当m=2时，MN有最大值，证明△NGP∽△ADB，同理得PG的长，从而得OP的长，根据三角形的面积公式可得结论，并将m=2代入计算即可．
解：（1）设抛物线的表达式为：y=a（x﹣1）2+4，
把（0，3）代入得：3=a（0﹣1）2+4，
a=﹣1，
∴抛物线的表达式为：y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3；
（2）存在，
如图1，作E关于对称轴的对称点E'，连接E'F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小，
∵E（0，3），
∴E'（2，3），
易得E'F的解析式为：y=3x﹣3，
当x=1时，y=3×1﹣3=0，
∴G（1，0）
（3）如图2，∵A（1，4），B（3，0），
易得AB的解析式为：y=﹣2x+6，
过N作NH⊥x轴于H，交AB于Q，
设N（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣2m+6），（1＜m＜3），
∴NQ=（﹣m2+2m+3）﹣（﹣2m+6）=﹣m2+4m﹣3，
∵AD∥NH，
∴∠DAB=∠NQM，
∵∠ADB=∠QMN=90°，
∴△QMN∽△ADB，
∴，
∴，
∴MN=﹣（m﹣2）2+，
∵﹣＜0，
∴当m=2时，MN有最大值；
过N作NG⊥y轴于G，
∵∠GPN=∠ABD，∠NGP=∠ADB=90°，
∴△NGP∽△ADB，
∴==，
∴PG=NG=m，
∴OP=OG﹣PG=﹣m2+2m+3﹣m=﹣m2+m+3，
∴S△PON=OP?GN=（﹣m2+m+3）?m，
当m=2时，S△PON=×2（﹣4+3+3）=2．
（方法2：根据m的值计算N的坐标为（2，3），与E是对称点，连接EN，同理得：EP=EN=1，则OP=2，根据面积公式可得结论）．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、三角形的面积、轴对称的最短路径问题，根据比例式列出关于m的方程是解题答问题（3）的关键．
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