2020-2021学年沪科版数学九上期末模拟试题5（含解析）

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2020-2021学年沪科版数学九上期末模拟试题5
姓名：__________班级：__________考号：__________总分_________
、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
若，则正比例函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（ ）
A．B．C．D．
如图，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A．B的对应点分别为A′、B′点A．B、A′、B′均在图中在格点上．若线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为（　　）
A．（，n） B．（m，n） C．（m，） D．（）
已知如图，、切于、，切于，交于；若，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
在一幅长60cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是ycm2，设金色纸边的宽度为xcm2，那么y关于x的函数是（）
A．y=（60+2x）（40+2x） B．y=（60+x）（40+x）
C．y=（60+2x）（40+x） D．y=（60+x）（40+2x）
已知x：y=3：2，则下列各式中不正确的是（　　）
A． B． C． D．
如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，顶点落在轴的正半轴上，对角线、交于点，点、恰好都在反比例函数的图象上，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．
如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A．B的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论正确的是（　　）
A．2a﹣b=0 B．a+b+c＞0 C．3a﹣c=0 D．当a=时，△ABD是等腰直角三角形
如图，为了测量某建筑物BC的高度，小明先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了10m到达D处，此时遇到一斜坡，坡度i=1：，沿着斜坡前进10米到达E处测得建筑物顶部的仰角是45°，请求出该建筑物BC的高度为（　　）（结果可带根号）
A． 5+5 B． 5+5 C． 5+10 D． 5+10
如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=900，OB=2OA，点A在反比例函数y= 的图象上．若点B在反比例函数y=的图象上，则k的值为（ ）
A．-4 B．4 C．-2 D．2
已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
x ﹣1 0 2 3 4
y 5 0 ﹣4 ﹣3 0
下列结论：①抛物线的开口向上，②抛物线的对称轴为直线x＝2，③当0＜x＜4时，y＞0，④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4，⑤若A（x1，2），B（x2，3）是抛物线上两点，则x1＜x2，其中正确的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
如图，正方形OABC，ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在AB上，点B，E在函数y=（x＞0）的图象上，则点E的坐标是（　　）
A． （+1，﹣1） B． （3+，3﹣）
C． （﹣1，+1） D． （3﹣，3+）
已知锐角△ABC中，AB＝AC，边BC长为6，高AD长为4，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，则正方形PQMN的边长为（　　）
A． B．或
C．或 D．或
、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
如图，四边形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，以点B为圆心，BA为半径的圆弧与BC交于点E，四边形AECD是平行四边形，AB=6，则扇形（图中阴影部分）的面积是　 　．
，分别为矩形的边，的中点，若矩形矩形，，则矩形的面积为________．
如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在轴正半轴上，反比例函数的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F. 若点D的坐标为（6，8），则点F的坐标是
如图，在一笔直的沿湖道路l上有A．B两个游船码头，观光岛屿C在码头 A北偏东60°的方向，在码头 B北偏西45°的方向，AC=4km．游客小张准备从观光岛屿C乘船沿CA回到码头A或沿CB回到码头B，设开往码头A．B的游船速度分别为v1、v2，若回到A．B所用时间相等，则=　 　（结果保留根号）．
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=kx（k＞0）分别交反比例函数y=和y=在第一象限的图象于点A，B，过点B作 BD⊥x轴于点D，交y=的图象于点C，连结AC．若△ABC是等腰三角形，则k的值是　 　．
抛物线C1：y=x2﹣1（﹣1≤x≤1）与x轴交于A．B两点，抛物线C2与抛物线C1关于点A中心对称，抛物线C3与抛物线C1关于点B中心对称．若直线y=﹣x+b与由C1、C2、C3组成的图形恰好有2个公共点，则b的取值或取值范围是　　．
、解答题（本大题共8小题，共78分）
先化简，再求值：，其中．
某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D到A修建电动扶梯，经测量，山高AC＝154米，步行道BD＝168米，∠DBC＝30°，在D处测得山顶A的仰角为45°．求电动扶梯DA的长（结果保留根号）．
已知：如图，在中， 是上一点， ， 的周长是cm.
（1）求的周长；
（2）求与的面积比.
已知关于x的二次函数y=mx2﹣（m+2）x+2（m≠0）．
（1）求证：此抛物线与x轴总有两个交点；
（2）若此抛物线与x轴总有两个交点的横坐标都是整数，求正整数m的值．
如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=60°，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，过点C的切线CD交PQ于D，连接OC．
（1）求证：△CDQ是等腰三角形；
（2）如果△CDQ≌△COB，求BP：PO的值．
如图1，?OABC的边OC在y轴的正半轴上，OC=3，A（2，1），反比例函数y=（x＞0）的图象经过的B．
（1）求点B的坐标和反比例函数的关系式；
（2）如图2，直线MN分别与x轴、y轴的正半轴交于M，N两点，若点O和点B关于直线MN成轴对称，求线段ON的长；
（3）如图3，将线段OA延长交y=（x＞0）的图象于点D，过B，D的直线分别交x轴、y轴于E，F两点，请探究线段ED与BF的数量关系，并说明理由．
如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a＞0），经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=2，∠AOB=120°．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）连接OM，求∠AOM的大小；
（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．
如图1，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．
（1）求证：△ABF≌△BCE，
（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG，
（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CM⊥DG于点H，分别交AD，BF于点M，N，求的值．
答案解析
、选择题
【考点】正比例函数的图象,反比例函数的图象
【分析】由，得异号，若图象中得到的异号则成立，否则不成立．
解：A． 由图象可知：，故A错误；
B. 由图象可知：，故B正确；
C. 由图象可知：，但正比例函数图象未过原点，故C错误；
D. 由图象可知：，故D错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了根据已知参数的取值范围确定函数的大致图象的问题，熟知参数对于函数图象的影响是解题的关键．
【考点】坐标与图形性质，位似变换
【分析】根据A，B两点坐标以及对应点A′，B′点的坐标得出坐标变化规律，进而得出P′的坐标．
解：∵△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A．B的对应点分别为A′、B′点A．B、A′、B′均在图中在格点上，
即A点坐标为：（4，6），B点坐标为：（6，2），A′点坐标为：（2，3），B′点坐标为：（3，1），
∴线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为：（）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了位似图形的性质，根据已知得出对应点坐标的变化是解题关键．
【考点】切线长定理
【分析】已知MN、PA．PB是⊙O的三条切线，于是可得MA=MC、NC=NB、PA=PB；
从而可得△PMN的周长用AP、BP来表示，代入数值即可求解.
解：∵直线PA．PA．MN分别于圆相切于点A．B、C，
∴MA=MC，NC=NB，PA=PB，
∴△PMN的周长=PM+PN+MN=PM+AM+PN+BN=PA+PB=7.5+7.5=15.
故选：C.
【点睛】考查圆的切线的性质定理，关键是掌握切线长定理；
【考点】根据实际问题列二次函数关系式．
【分析】挂图的面积=长×宽=（60+2x）（40+2x）．
解：长是：60+2x，宽是：40+2x，
由矩形的面积公式得
则y=（60+2x）（40+2x）．
故选A．
【点评】根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．本题需注意长和宽的求法．
【考点】比例的性质
【分析】根据比例，可设x=3k、y=2k，代入分式求值后作出判断．
解：设x=3k，y=2k．
A．==，正确，不符合题意；
B、==，正确，不符合题意；
C、==，正确，不符合题意；
D、==﹣3，不正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了比例的性质．用一个常数表示x、y是解答本题的关键．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征，正切定义
【分析】利用菱形的性质, 根据正切定义即可得到答案.
解：设，，
∵点为菱形对角线的交点，
∴，，，
∴，
把代入得，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，解得，
∴，
在中，，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键在于运用菱形的性质．
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】由于抛物线与x轴的交点A．B的横坐标分别为﹣1，3，得到对称轴为直线x=1，则﹣=1，即2a+b=0，得出，选项A错误；
当x=1时，y＜0，得出a+b+c＜0，得出选项B错误；
当x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，而b=﹣2a，可得到a与c的关系，得出选项C错误；
由a=，则b=﹣1，c=﹣，对称轴x=1与x轴的交点为E，先求出顶点D的坐标，由三角形边的关系得出△ADE和△BDE都为等腰直角三角形，得出选项D正确；即可得出结论．
解：∵抛物线与x轴的交点A．B的横坐标分别为﹣1，3，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，则﹣=1，
∴2a+b=0，
∴选项A错误；
∴当自变量取1时，对应的函数图象在x轴下方，
∴x=1时，y＜0，则a+b+c＜0，
∴选项B错误；
∵A点坐标为（﹣1，0），
∴a﹣b+c=0，而b=﹣2a，
∴a+2a+c=0，
∴3a+c=0，
∴选项C错误；
当a=，则b=﹣1，c=﹣，对称轴x=1与x轴的交点为E，如图，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣，
把x=1代入得y=﹣1﹣=﹣2，
∴D点坐标为（1，﹣2），
∴AE=2，BE=2，DE=2，
∴△ADE和△BDE都为等腰直角三角形，
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴选项D正确．
故选D．
【点评】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系：当a＞0，抛物线开口向上；抛物线的对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为(0，c)．　
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【分析】过E作EF⊥AB于F，EG⊥BC与G，根据矩形的性质得到四边形EG=FB，EF=BG，设CG=x，根据已知条件得到∠EDF=30°及直角三角形得到DF=10cos30°=5，BG=EF=10sin30°=5，AB=10+5+x，BC=x+5．在Rt△ABC中，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．
解：过E作EF⊥AB于F，EG⊥BC与G．
∵CB⊥AB，
∴四边形EFBG是矩形，
∴EG=FB，EF=BG，设CG=x米．
∵∠CEG=45°，
∴FB=EG=CG=x．
∵DE的坡度i=1：，
∴∠EDF=30°．
∵DE=10，
∴DF=10cos30°=5，BG=EF=10sin30°=5，
∴AB=10+5+x，BC=x+5．在Rt△ABC中，
∵∠A=30°，
∴BC=AB?tan∠A，即x+5=（10+5+x），解得：x=5+5，
∴BC=5+5+5=（5+10）米．
故选D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角与俯角，坡度坡角问题等知识．解题的关键是能借助仰角与俯角构造直角三角形并解直角三角形，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，求函数的解析式
【分析】要求函数的解析式只要求出B点的坐标就可以，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．根据条件得到△ACO∽△ODB，得到：===2，然后用待定系数法即可．
解：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D，
设点A的坐标是（m，n），则AC=n，OC=m，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∵∠DBO+∠BOD=90°，
∴∠DBO=∠AOC，
∵∠BDO=∠ACO=90°，
∴△BDO∽△OCA，
∴==，
∵OB=2OA，
∴BD=2m，OD=2n，
因为点A在反比例函数y=的图象上，则mn=1，
∵点B在反比例函数y=的图象上，B点的坐标是（-2n，2m），
∴k=-2n?2m=-4mn=-4．
故选A．
【点评?】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，求函数的解析式的问题，一般要转化为求点的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式．
【考点】二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点
【分析】先利用交点式求出抛物线解析式，则可对①进行判断，利用抛物线的对称性可对②进行判断，利用抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0）可对③④进行判断，根据二次函数的增减性可对⑤进行判断．
解：设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），
把（﹣1，5）代入得5＝a×（﹣1）×（﹣1﹣4），解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x，所以①正确，
抛物线的对称性为直线x＝2，所以②正确，
∵抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0），
∴当0＜x＜4时，y＜0，所以③错误，
抛物线与x轴的两个交点间的距离是4，所以④正确，
若A（x1，2），B（x2，3）是抛物线上两点，则x2＜x1＜2或2＜x1＜x2，所以⑤错误．
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
【考点】坐标与图形性质；反比例函数图象上点的坐标特征；正方形的性质．
【分析】因为正方形OABC，点B在反比例函数y=（x＞0）上，故可设点B的坐标为（a，a），得a=2．又因为ADEF是正方形，所以E点横坐标和纵坐标相隔2，由四个选项可知，横坐标比纵坐标大的只有选项A．
解：∵正方形OABC，点B在反比例函数y=（x＞0）上，设点B的坐标为（a，a）
∴a×a=4，a=2（负值舍去）．
设点E的横坐标为b，则纵坐标为b﹣2，
代入反比例函数中y=，
即：b﹣2=．
解之，得b=+1（负值舍去），
即E点坐标为：（+1，﹣1）
（亦可如此，点E的横坐标和纵坐标相隔2，∴比较四个选项可知A正确，选择题推荐这种方法，简洁，较为灵巧，避免过多复杂的计算）
故选：A．
【点评】解决本题的关键是根据正方形的性质和反比例函数的特点得到所求坐标的特点．
【考点】相似三角形综合题
【分析】分两种情形：如图1中，当正方形的边QM在BC上时，设AD交PN于K，设正方形的边长为x，如图2中，当正方形的边QM在AB边上时，作CH⊥AB于H交PN于K，设正方形的边长为x，分别利用相似三角形的性质构建方程解决问题即可．
解：如图1中，当正方形的边QM在BC上时，设AD交PN于K，设正方形的边长为x，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
解得x＝；
如图2中，当正方形的边QM在AB边上时，作CH⊥AB于H交PN于K．设正方形的边长为x，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝3，
∵AD＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵?BC?AD＝?AB?CH，
∴CH＝，
∵PN∥AB，
∴△CPN∽△CAB，
∴＝，
∴＝，
解得x＝，
综上所述，正方形的边长为或；
故选：B．
【点睛】本题是对相似三角形的综合考查，熟练掌握相似三角形的性质及分类讨论是解决本题的关键，难度较大.
、填空题
【考点】扇形面积的计算；平行四边形的性质．
【分析】证明△ABE是等边三角形，∠B=60°，根据扇形的面积公式计算即可．
解：∵四边形AECD是平行四边形，
∴AE=CD，
∵AB=BE=CD=6，
∴AB=BE=AE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴S扇形BAE==6π，
故答案为：6π．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、扇形的面积公式，熟练掌握扇形的面积公式是本题的关键，扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形或S扇形=lR（其中l为扇形的弧长）．　
【考点】相似多边形的性质
【分析】要求矩形的面积只要求出BC的长就可以，可以依据相似多边形的对应边的比相等，可以求出.
解：∵由矩形ABCD∽矩形EABF，
∴AE：AB=AB：BC，
设AE=x，则AD=BC=2x，又AB=1，
∴x：1=1：2x，
∴x＝，
∴BC=2x=2×=，
∴S矩形ABCD=BC×AB=×1=，
故答案为：.
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键.
【考点】菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】法一：首先过点D作DM⊥x轴于点M，过点F作FE⊥x于点E，由点D的坐标为（6，8），可求得菱形OBCD的边长，又由点A是BD的中点，求得点A的坐标，利用待定系数法即可求得反比例函数（x＞0）的解析式，然后由tan∠FBE=tan∠DOM=，可设EF=4a，BE=3a，则点F的坐标为：（10+3a，4a），即可得方程4a（10+3a）=32，继而求得a的值，则可求得答案．
解：过点D作DM⊥x轴于点M，过点F作FE⊥x于点E，
∵点D的坐标为（6，8），
∴OD==10，
∵四边形OBCD是菱形，
∴OB=OD=10，
∴点B的坐标为：（10，0），
∵AB=AD，即A是BD的中点，
∴点A的坐标为：（8，4），
∵点A在反比例函数上，
∴k=xy=8×4=32，
∵OD∥BC，
∴∠DOM=∠FBE，
∴tan∠FBE=tan∠DOM=，
设EF=4a，BE=3a，
则点F的坐标为：（10+3a，4a），
∵点F在反比例函数y=上，
∴4a（10+3a）=32，
即3a2+10a-8=0，
解得：a1=，a2=-4（舍去），
∴点F的坐标为：（12，）．
法二：∵菱形OBCD的边OB在轴正半轴上，点D的坐标为（6，8），
∴.
∴点B的坐标为（10，0），点C的坐标为（16，8）.
∵菱形的对角线的交点为点A，∴点A的坐标为（8，4）.
∵反比例函数的图象经过点A，∴.
∴反比例函数为.
设直线的解析式为，∴.
∴直线的解析式为.
联立.
∴点F的坐标是.
【点评】本题考查了点的坐标的计算，考查了一次函数和反比例函数交点的计算，本题中用a表示点F坐标是解题的关键．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．
【分析】作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中利用三角函数求得CD的长，然后在Rt△BCD中求得BC的长，然后根据=求解．
解：作CD⊥AB于点B．
∵在Rt△ACD中，∠CAD=90°﹣60°=30°，
∴CD=AC?sin∠CAD=4×=2（km），
∵Rt△BCD中，∠CBD=90°，
∴BC=CD=2（km），
∴===．
故答案是：．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线，转化为直角三角形的计算，求得BC的长是关键．
【考点】 反比例函数与一次函数的交点问题；等腰三角形的性质．
【分析】根据一次函数和反比例函数的解析式，即可求得点A．B、C的坐标（用k表示），再讨论①AB=BC，②AC=BC，即可解题．
解：∵点B是y=kx和y=的交点，y=kx=，
解得：x=，y=3，
∴点B坐标为（，3），
点A是y=kx和y=的交点，y=kx=，
解得：x=，y=，
∴点A坐标为（，），
∵BD⊥x轴，
∴点C横坐标为，纵坐标为=，
∴点A坐标为（，），
∴BA≠AC，
若△ABC是等腰三角形，
①AB=BC，则=3﹣，
解得：k=；
②AC=BC，则=3﹣，
解得：k=；
故答案为 k=或．
【点评】本题考查了点的坐标的计算，考查了一次函数和反比例函数交点的计算，本题中用a表示点F坐标是解题的关键．
．【考点】抛物线与x轴的交点；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换．
【分析】根据对称性先求抛物线C2与抛物线C3的解析式，再分两种情况：
①在y轴右侧时，从直线y=﹣x+b与C3相切时到直线过点D时，这些b值符合条件，计算出来即可；
②在y轴的左侧，当y=﹣x+b与C1相切时和y=﹣x+b与C2相切时，都与C2有C1、C2、C3组成的图形恰好有2个公共点，分别计算出b的值．
【解答】解：抛物线C1：y=x2﹣1（﹣1≤x≤1），顶点E（0，﹣1），
当y=0时，x=±1，
∴A（﹣1，0），B（1，0），
当抛物线C2与抛物线C1关于点A中心对称，
∴顶点E关于点A的对称点E′（﹣2，1），
∴抛物线C2的解析式为：y=﹣（x+2）2+1=﹣x2﹣4x﹣3，
当抛物线C3与抛物线C1关于点B中心对称，
∴顶点E关于点B的对称点E′′（2，1），
∴抛物线C3的解析式为：y=﹣（x﹣2）2+1=﹣x2+4x﹣3，
①当y=﹣x+b过D（3，0）时，b=3，
当y=﹣x+b与C3相切时，即与C3有一个公共点，
则，
﹣x2+4x﹣3=﹣x+b，
x2﹣5x+b+3=0，
△=25﹣4（b+3）=0，
b=，
∴当3≤b＜时，直线y=﹣x+b与由C1、C2、C3组成的图形恰好有2个公共点，
②当y=﹣x+b与C1相切时，即与C1有一个公共点，
则，
x2﹣1=﹣x+b，
x2+x﹣1﹣b=0，
△=1﹣4（﹣1﹣b）=0，
b=﹣，
当y=﹣x+b与C2相切时，即与C2有一个公共点，
则，
﹣x2﹣4x﹣3=﹣x+b，
﹣x2﹣3x﹣3﹣b=0，
△=9﹣4×（﹣1）×（﹣3﹣b）=0，
b=﹣，
∴当b=﹣或﹣时，直线y=﹣x+b与由C1、C2、C3组成的图形恰好有2个公共点，
综上所述：当b=﹣或﹣或3≤b＜时，直线y=﹣x+b与由C1、C2、C3组成的图形恰好有2个公共点．
【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点和抛物线关于某点中心对称的问题，有难度，容易漏解，要采用数形结合的思想解决此问题，在计算抛物线C2与抛物线C3的解析式时，利用顶点坐标的对称关系和开口大小来解决．
、解答题
【考点】分式的化简求值,特殊角的三角函数值
【分析】括号内先通分进行分式的减法运算，然后进行分式的除法运算，将特殊角的三角函数值代入求出x的值，然后代入化简后的结果进行计算即可．
解：原式=
=
=
=，
当时，
原式．
【点睛】本题考查了分式的混合运算——化简求值，涉及了分式的减法、乘除法运算，特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题
【分析】作DE⊥BC于E，根据矩形的性质得到FC=DE，DF=EC，根据直角三角形的性质求出FC，得到AF的长，根据正弦的定义计算即可．
解：作DE⊥BC于E，
则四边形DECF为矩形，
∴FC＝DE，DF＝EC，
在Rt△DBE中，∠DBC＝30°，
∴DEBD＝84，
∴FC＝DE＝84，
∴AF＝AC﹣FC＝154﹣84＝70，
在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，
∴ADAF＝70（米），
答：电动扶梯DA的长为70米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】（1）根据相似三角形的周长的比等于相似比进行计算即可；
（2）根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方进行计算即可．
解：（1） ∵，
∴∽
∴
∵的周长是cm
∴的周长是
（2） ∵∽
∴
∴
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的运用,解题时注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形;或依据基本图形对图形进行分解、组合;或作辅助线构造相似三角形。
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】（1）只需证明△=（m+2）2﹣4m×2≥0即可；
（2）利用因式分解法求得抛物线与x轴交点的横坐标，然后根据x的值来求正整数m的值．
（1）证明：∵m≠0，
∴△=（m+2）2﹣4m×2
=m2+4m+4﹣8m
=（m﹣2）2．
∵（m﹣2）2≥0，
∴△≥0，
∴此抛物线与x轴总有两个交点；
（2）解：令y=0，则（x﹣1）（mx﹣2）=0，
所以 x﹣1=0或mx﹣2=0，
解得 x1=1，x2=，
当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x轴总有两个交点的横坐标都是整数，
所以 正整数m的值为1或2．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．解答本题的关键是根据根的判别式△≥0证明抛物线与x轴有两个交点．
【考点】切线的性质；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；圆周角定理．
【分析】（1）在Rt△ABC中，∠BAC=60°，所以∠ABC=30°，而OB=OC，则有∠OCB=30°，再结合CD时切线，可求∠BCD=60°，那么∠DCQ可求，即可得出△CDQ是等腰三角形；
（2）可以假设AB=2，则OB=OA=OC=1，利用勾股定理可得BC=；由于△CDQ≌△COB，那么有CB=CQ，即可求出AQ的长；在直角三角形APQ中，利用30°所对的边等于斜边的一半，又可求AP，而OP=AP﹣OA，即可求OP，BP也就可求，从而得出BP：PO的值．
（1）证明：由已知得∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠Q=30°，∠BCO=∠ABC=30°；
∵CD是⊙O的切线，CO是半径，
∴CD⊥CO，
∴∠DCQ=∠BCO=30°，
∴∠DCQ=∠Q，
故△CDQ是等腰三角形．
（2）解：设⊙O的半径为1，则AB=2，OC=1，BC=．
∵等腰三角形CDQ与等腰三角形COB全等，
∴CQ=BC=．
∴AQ=AC+CQ=1+，
∴AP=AQ=，
∴BP=AB﹣AP=，
∴PO=AP﹣AO=，
∴BP：PO=．
【点评】此题综合考查了等腰三角形的判定和圆周角的性质．
【考点】反比例函数综合题
【分析】（1）利用平行四边形的性质求出点B的坐标即可解决问题；
（2）根据两直线垂直的条件，求出直线MN的解析式即可解决问题；
（3）结论：BF=DE．如图3中，延长BA交x轴于N，作DM⊥x轴于M，作NK∥EF交y轴于K．设ON=n，OM=m，ME=a．则BN=，DM=．由△EDM∽△EBN，推出=，即=，可得a=n，由△KNO≌△DEM，推出DE=KN，再证明四边形NKFB是平行四边形，即可解决问题；
解：（1）如图1中，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB=OC=3，
∵A（2，1），
∴B（2，4），
把B（2，4）代入y=中，得到k=8，
∴反比例函数的解析式为y=．
（2）如图2中，设K是OB的中点，则K（1，2）．
∵直线OB的解析式为y=2x，
∴直线MN的解析式为y=﹣x+，
∴N（0，），
∴ON=．
（3）结论：BF=DE．理由如下：
如图3中，延长BA交x轴于N，作DM⊥x轴于M，作NK∥EF交y轴于K．设ON=n，OM=m，ME=a．则BN=，DM=．
∵△EDM∽△EBN，
∴=，
∴=，可得a=n，
∵NK∥EF，
∴∠KNO=∠DEM，∠KON=∠DME=90°，ON=EM，
∴△KNO≌△DEM，
∴DE=KN，
∵FK∥BN，NK∥FB，
∴四边形NKFB是平行四边形，
∴NK=BF，
∴BF=DE．
【点评】本题考查一次函数，反比例函数、平行四边形，全等三角形，相似三角形等几何知识结合在一起，综合性比较强，要求学生有较强的分析问题好解决问题的能力．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据AO=OB=2，∠AOB=120°，求出A点坐标，以及B点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式；
（2）根据（1）中解析式求出M点坐标，再利用锐角三角函数关系求出∠FOM=30°，进而得出答案；
（3）分别根据当△ABC1∽△AOM以及当△C2BA∽△AOM时，利用相似三角形的性质求出C点坐标即可．
解：（1）过点A作AE⊥y轴于点E，
∵AO=OB=2，∠AOB=120°，
∴∠AOE=30°，
∴OE=，AE=1，
∴A点坐标为：（﹣1，），B点坐标为：（2，0），
将两点代入y=ax2+bx得：
，
解得：，
∴抛物线的表达式为：y=x2﹣x；
（2）过点M作MF⊥OB于点F，
∵y=x2﹣x=（x2﹣2x）=（x2﹣2x+1﹣1）=（x﹣1）2﹣，
∴M点坐标为：（1，﹣），
∴tan∠FOM==，
∴∠FOM=30°，
∴∠AOM=30°+120°=150°；
（3）当点C在x轴负半轴上时，则∠BAC=150°，而∠ABC=30°，此时∠C=0°，故此种情况不存在；
当点C在x轴正半轴上时，
∵AO=OB=2，∠AOB=120°，
∴∠ABO=∠OAB=30°，
∴AB=2EO=2，
当△ABC1∽△AOM，
∴=，
∵MO==，
∴=，
解得：BC1=2，∴OC1=4，
∴C1的坐标为：（4，0）；
当△C2BA∽△AOM，
∴=，
∴=，
解得：BC2=6，∴OC2=8，
∴C2的坐标为：（8，0）．
综上所述，△ABC与△AOM相似时，点C的坐标为：（4，0）或（8，0）．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数的应用以及待定系数法求二次函数解析式和相似三角形的性质等知识，利用分类讨论思想以及数形结合得出是解题关键．
【考点】相似形综合题
【分析】（1）先判断出∠GCB+∠CBG＝90，再由四边形ABCD是正方形，得出∠CBE＝90°＝∠A，BC＝AB，即可得出结论，
（2）设AB＝CD＝BC＝2a，先求出EA＝EB＝AB＝a，进而得出CE＝a，再求出BG＝a，CG═a，再判断出△CQD≌△BGC（AAS），进而判断出GQ＝CQ，即可得出结论，
（3）先求出CH＝a，再求出DH＝a，再判断出△CHD∽△DHM，求出HM＝a，再用勾股定理求出GH＝a，最后判断出△QGH∽△GCH，得出HN＝＝a，即可得出结论．
（1）证明：∵BF⊥CE，
∴∠CGB＝90°，
∴∠GCB+∠CBG＝90，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CBE＝90°＝∠A，BC＝AB，
∴∠FBA+∠CBG＝90，
∴∠GCB＝∠FBA，
∴△ABF≌△BCE（ASA），
（2）证明：如图2，过点D作DH⊥CE于H，
设AB＝CD＝BC＝2a，
∵点E是AB的中点，
∴EA＝EB＝AB＝a，
∴CE＝a，
在Rt△CEB中，根据面积相等，得BG?CE＝CB?EB，
∴BG＝a，
∴CG＝＝a，
∵∠DCE+∠BCE＝90°，∠CBF+∠BCE＝90°，
∴∠DCE＝∠CBF，
∵CD＝BC，∠CQD＝∠CGB＝90°，
∴△CQD≌△BGC（AAS），
∴CQ＝BG＝a，
∴GQ＝CG﹣CQ＝a＝CQ，
∵DQ＝DQ，∠CQD＝∠GQD＝90°，
∴△DGQ≌△CDQ（SAS），
∴CD＝GD，
（3）解：如图3，过点D作DQ⊥CE于Q，
S△CDG＝?DQ?CH＝CH?DG，
∴CH＝＝a，
在Rt△CHD中，CD＝2a，
∴DH＝＝a，
∵∠MDH+∠HDC＝90°，∠HCD+∠HDC＝90°，
∴∠MDH＝∠HCD，
∴△CHD∽△DHM，
∴，
∴HM＝a，
在Rt△CHG中，CG＝a，CH＝a，
∴GH＝＝a，
∵∠MGH+∠CGH＝90°，∠HCG+∠CGH＝90°，
∴∠QGH＝∠HCG，
∴△QGH∽△GCH，
∴，
∴HN＝＝a，
∴MN＝HM﹣HN＝a，
∴＝
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△DGQ≌△CDQ是解本题的关键．
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