1-第一章 集合与常用逻辑用语章末总结

章末总结
1.(2019课标全国Ⅰ,2,5分)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩?UA=(　　)
A.{1,6} B.{1,7}
C.{6,7} D.{1,6,7}
答案　C　由已知得?UA={1,6,7},又B={2,3,6,7},所以B∩ ?UA={6,7}.故选C.
2.(2019天津,3,5分)设x∈R,则“0A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　B　|x-1|<1?-1当0反之,不成立.
所以,“03.(2019浙江,5,4分)设a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　A　当a>0,b>0时,a+b≥2ab,则当a+b≤4时,有2ab≤a+b≤4,解得ab≤4,充分性成立;
当a=1,b=4时,满足ab≤4,但此时a+b=5>4,必要性不成立.
综上所述,“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件.故选A.
4.(2017江苏,1,5分)已知集合A={1,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},则实数a的值为　　　　.?
答案　1
解析　∵B={a,a2+3},A∩B={1},
∴a=1或a2+3=1,∵a∈R,∴a=1.
经检验,满足题意.
5.(2018北京,11,5分)能说明“若a>b,则1a<1b”为假命题的一组a,b的值依次为　　　　.?
答案　a=2,b=-1(答案不唯一,只需a>0,b<0即可)
解析　若a>b,则1a<1b 为真命题,
则1a-1b=b-aab<0,
∵a>b,∴ab>0.
故当a>0,b<0时,能说明“若a>b,则1a<1b”为假命题.
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.命题“对任意x∈R,都有x2≥1”的否定是(　　)
A.对任意x∈R,都有x2<1
B.不存在x∈R,使得x2<1
C.存在x∈R,使得x2≥1
D.存在x∈R,使得x2<1
1.答案　D　因为全称量词命题的否定是存在量词命题,所以命题“对任意x∈R,都有x2≥1”的否定是“存在x∈R,使得x2<1”.故选D.
2.下列说法正确的是(　　)
A.0∈? B.5∈Q
C.??? D.A∪?=?
2.答案　C　?中不含任何元素,A错误.5是无理数,B错误.A∪?=A,D错误.故选C.
3.“a=-1”是“函数y=ax2+2x-1的图象与x轴只有一个交点”的(　　)
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
3.答案　B　当a=-1时,函数y=ax2+2x-1=-x2+2x-1的图象与x轴只有一个交点;若函数y=ax2+2x-1的图象与x轴只有一个交点,则a=-1或a=0,所以“a=-1”是“函数y=ax2+2x-1的图象与x轴只有一个交点”的充分不必要条件.
4.满足“a∈A,且8-a∈A,a∈N”的有且只有2个元素的集合A的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
4.答案　D　由题意可知,满足题设条件的集合A有{0,8},{1,7},{2,6},{3,5},共4个.
5.设全集U=R,集合A={x|x≥2},B={x|0≤x<5},则集合(?UA)∩B=(　　)
A.{x|0C.{x|0≤x<2} D.{x|0≤x≤2}
5.答案　C　先求出?UA={x|x<2},再利用交集的定义求得(?UA)∩B={x|0≤x<2}.
6.设集合A={(x,y)|x+y=2},B={(x,y)|y=x2},则A∩B=(　　)
A.{(1,1)} B.{(-2,4)}
C.{(1,1),(-2,4)} D.?
6.答案　C　集合A与集合B均为点集,联立x+y=2,y=x2,解得x=1,y=1或x=-2,y=4,所以集合A∩B={(1,1),(-2,4)},故选C.
7.命题p:ax2+2x+1=0有实数根,若?p是假命题,则实数a的取值范围是(　　)
A.{a|a<1} B.{a|a≤1} C.{a|a>1} D.{a|a≥1}
7.答案　B　因为?p是假命题,所以p为真命题,即方程ax2+2x+1=0有实数根.
当a=0时,方程为2x+1=0,解得x=-12,满足条件.当a≠0时,若方程ax2+2x+1=0有实数根,则Δ=4-4a≥0,解得a≤1,且a≠0.综上,实数a的取值范围是{a|a≤1}.
8.设P={1,2,3,4},Q={4,5,6,7,8},定义P*Q={(a,b)|a∈P,b∈Q,a≠b},则P*Q中元素的个数为(　　)
A.4 B.5 C.19 D.20
8.答案　C　由题意知集合P*Q中的元素为点,当a=1时,集合P*Q中的元素为(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(1,8),共5个.同样当a=2或a=3时,集合P*Q中的元素个数都为5,当a=4时,集合P*Q中的元素为(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),共4个.因此P*Q中元素的个数为19,故选C.
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.下列命题中可以是命题“?x∈R,x2>3”的表述形式的是(　　)
A.存在x∈R,使得x2>3成立
B.对有些x∈R,使得x2>3成立
C.任选一个x∈R,都有x2>3成立
D.至少有一个x∈R,使得x2>3成立
9.答案　ABD　
10.下列命题中是真命题的是(　　)
A.若x,y∈R,且x+y>2,则x,y中至少有一个大于1
B.?x∈R,2x=x2
C.a+b=0的充要条件是ab=-1
D.?x∈R,x2+2≤0
10.答案　AB　若x,y都小于1,则x+y<2,与x+y>2矛盾,故A是真命题;当x=2时,2x=x2,故B是真命题;当a=b=0时,满足a+b=0,但ab=-1不成立,故C不是真命题;易知?x∈R,x2+2>0,故D不是真命题,故选AB.
11.设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|x≤a},若A∩B=?,则实数a的取值集合可以为(　　)
A.{a|a<2} B.{a|a≤-1} C.{a|a<-1} D.{a|a<-2}
11.答案　CD　如图所示,
若A∩B=?,则a<-1,所以满足题意的选项是{a|a<-1}的子集,故选CD.
12.a2>b2的充分条件可以是(　　)
A.a>b B.aC.a=b D.a=2,b=1
12.答案　BD　A中,当a=0,b=-2时,a2=0,b2=4,不能推出a2>b2;
B中,因为a-b>0,所以a2>b2;
C中,当a=b时,a2=b2,不能推出a2>b2;
D中,a2=4,b2=1,所以a2>b2,故选BD.
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知M={3,4,5,7},N={2,4,5,6},则M∪N=　.?
13.答案　{2,3,4,5,6,7}
14.已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},则M∩N=　,?
M∩N的子集的个数为　　　　.?
14.答案　{1,3};4
解析　易知M∩N={1,3},故M∩N的子集共有22=4个.
15.若命题“?x∈[1,2],使x2-a≥0”是真命题,则a的取值范围是　　　　.?
15.答案　{a|a≤1}
解析　由题意得,a≤x2在1≤x≤2上恒成立,∵y=x2在1≤x≤2上的最小值为1,∴a≤1.
16.已知p:-416.答案　-1≤a≤6
解析　因为p:-4即a-4所以?p:x≤a-4或x≥a+4,
因为?q:x≤2或x≥3,
且?p是?q的充分条件,所以a-4≤2,a+4≥3,解得-1≤a≤6.
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知全集U={x|x≤1或x≥2},集合A={x|x<1或x>3},B={x|x≤1或x>2},求(?UA)∩(?UB),(?UA)∪(?UB),?U(A∪B),?U(A∩B).
17.解析　由题意可得?UA={x|x=1或2≤x≤3},?UB={x|x=2}={2},
A∪B={x|x≤1或x>2}=B,A∩B={x|x<1或x>3}=A,
所以(?UA)∩(?UB)={2},(?UA)∪(?UB)={x|x=1或2≤x≤3},
?U(A∪B)={2},?U(A∩B)={x|x=1或2≤x≤3}.
18.(本小题满分12分)判断下列各题中的条件p是结论q的什么条件.
(1)条件p:a,b∈R,a+b>0,结论q:ab>0;
(2)条件p:A?B,结论q:A∪B=B.
18.解析　 (1)因为a,b∈R,a+b>0,
所以a,b至少有一个大于0,所以p?/ q.反之,若ab>0,可推出a,b同号,
但推不出a+b>0,即q?/ p.
综上所述,p是q的既不充分也不必要条件.
(2)因为A?B?A∪B=B,所以p?q.
当A∪B=B时,A?B,所以q?/ p,
所以p为q的充分不必要条件.
19.(本小题满分12分)设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-5=0}.
(1)若A∩B={2},求实数a的值;
(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.
19.解析　(1)由题意得,A={1,2}.∵A∩B={2},∴2∈B,∴a2+4a+3=0,
解得a=-1或a=-3.
当a=-1时,B={-2,2},满足条件;
当a=-3时,B={2},满足条件.
综上,实数a的值为-1或-3.
(2)∵A∪B=A,∴B?A.
①当Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3)<0,即a<-3时,B=?,满足要求;
②当Δ=0,即a=-3时,B={2},满足要求;
③当Δ>0,即a>-3时,不满足要求.
综上可知,a的取值范围是a≤-3.
20.(本小题满分12分)已知二次函数y=x2-4x+3,非空集合A={x|0≤x≤a}.
(1)当x∈A时,二次函数的最小值为-1,求实数a的取值范围;
(2)是否存在整数a,使得“x∈A”是“二次函数的最大值为3”的充分条件,如果存在,求出一个整数a的值,如果不存在,请说明理由.
20.解析　(1)画出二次函数y=x2-4x+3的图象,如图.
因为0≤x≤a,二次函数的最小值为-1,所以a的取值范围是a≥2.
(2)存在.因为“x∈A”是“二次函数的最大值为3”的充分条件,所以由图象可得0≤a≤4,又a为整数,所以a的值可以为0、1、2、3、4.(答案是0、1、2、3、4中的任意一个数均可)
21.(本小题满分12分)已知集合A={x|2(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求a的取值范围;
(2)若A∩B=?,求a的取值范围.
21.解析　 (1)∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件,∴A?B,∴a≤2,3a≥4,3a>a,
解得43≤a≤2,所以a的取值范围是43≤a≤2.
(2)∵B={x|a0.
若A∩B=?,则a≥4或3a≤2,所以a的取值范围是022.(本小题满分12分)已知x,y都是非零实数,且x>y,求证:1x<1y的充要条件是xy>0.
22.证明　由xy>0及x>y,得xxy>yxy,即1x<1y.
由1x<1y,得1x-1y<0,即y-xxy<0,
因为x>y,所以y-x<0,
所以xy>0.
所以1x<1y的充要条件是xy>0.