2-第二章 一元二次函数、方程和不等式章末总结

章末总结
1.(2018课标全国Ⅰ,2,5分)已知集合A={x|x2-x-2>0},则?RA=(　　)
A.{x|-1C.{x|x<-1}∪{x|x>2} D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}
答案　B　解不等式x2-x-2>0得x<-1或x>2,所以A={x|x<-1或x>2},
所以可以求得?RA={x|-1≤x≤2},故选B.
2.(2017上海,3,5分)不等式x-1x>1的解集为　　　　.?
答案　{x|x<0}
解析　由x-1x>1,得1-1x>1?1x<0?x<0,所以不等式的解集为{x|x<0}.
3.(2017北京,13,5分)能够说明“设a,b,c是任意实数.若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为　　　　　　.?
答案　-1,-2,-3(答案不唯一)
解析　答案不唯一,如:a=-1,b=-2,c=-3,满足a>b>c,但不满足a+b>c.
4.(2017天津,13,5分)若a,b∈R,ab>0,则a4+4b4+1ab的最小值为　　　　.?
答案　4
解析　∵a4+4b4≥2a2·2b2=4a2b2(当且仅当a2=2b2时“=”成立),∴a4+4b4+1ab≥4a2b2+1ab=4ab+1ab,
由于ab>0,∴4ab+1ab≥24ab·1ab=4当且仅当4ab=1ab时“=”成立,
故当且仅当a2=2b2,4ab=1ab时,a4+4b4+1ab的最小值为4.
5.(2017山东,12,5分)若直线xa+yb=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为　　　　.?
答案　8
解析　由直线xa+yb=1(a>0,b>0)过点(1,2)可得1a+2b=1,
所以2a+b=(2a+b)1a+2b=4+ba+4ab≥4+2ba·4ab=8.当且仅当ba=4ab,即b=4,a=2时等号成立.
6.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是　　　.?
答案　30
解析　总费用为4x+600x×6=4x+900x≥4×2900=240,当且仅当x=900x,即x=30时等号成立.
7.(2019天津,13,5分)设x>0,y>0,x+2y=4,则(x+1)(2y+1)xy的最小值为　　　　.?
答案　92
解析　(x+1)(2y+1)xy=2xy+x+2y+1xy=2xy+5xy=2+5xy.
∵x>0,y>0,∴4=x+2y≥2x·2y,解得0一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设M=2a(a-2)+7,N=(a-2)(a-3),则(　　)
A.M>N B.M≥N
C.M1.答案　A　∵M-N=(2a2-4a+7)-(a2-5a+6)=a2+a+1=a+122+34>0,∴M>N.
2.不等式1x<12的解集是(　　)
A.{x|x<2} B.{x|x>2}
C.{x|02}
2.答案　D　1x<12可转化为x-22x>0,∴x>2或x<0.
3.若0A.2 B.32 C.1 D.12
3.答案　C　因为00,x(2-x)≤x+2-x22=1,当且仅当x=2-x,即x=1时,取“=”,故选C.
4.若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-2A.{x|x<-3或x>3} B.{x|-3C.{x|-11}
4.答案　D　由题意知a<0,且-2,1是方程ax2+bx+c=0的两个根,∴-ba=-1,ca=-2,∴a=b,c=
-2a.
∴ax2+(a+b)x+c-a<0等价于ax2+2ax-3a<0,
∵a<0,∴x2+2x-3>0,∴x<-3或x>1.
5.已知2x+2y=1(x>0,y>0),则x+y的最小值为(　　)
A.1 B.2 C.4 D.8
5.答案　D　∵x>0,y>0,∴x+y=(x+y)·2x+2y=4+2xy+yx≥4+4xy·yx=8,
当且仅当xy=yx,即x=y=4时取等号.
6.已知a,b,c∈R,且a+b+c=0,abc>0,若T=1a+1b+1c,则(　　)
A.T>0 B.T<0
C.T=0 D.T≥0
6.答案　B　由a+b+c=0,abc>0,知a、b、c三个数中一正两负,
不妨设a>0,b<0,c<0,则T=1a+1b+1c=ab+bc+caabc=ab+c(b+a)abc=ab-c2abc.
∵ab<0,-c2<0,abc>0,∴T<0.
7.当x>4时,不等式x+4x-4≥m恒成立,则m的取值范围是(　　)
A.m≤8 B.m<8
C.m≥8 D.m>8
7.答案　A　∵x>4,∴x-4>0,
∴x+4x-4=x-4+4x-4+4≥2(x-4)·4x-4+4=8当且仅当x-4=4x-4,即x=6时取“=”,
∴m≤8.
8.若不等式x2+ax+1≥0对一切x>0恒成立,则a的最小值为(　　)
A.0 B.-2
C.-52 D.-3
8.答案　B　∵不等式x2+ax+1≥0对一切x>0恒成立,
∴对一切x>0,ax≥-x2-1,即a≥-x2+1x成立.
令y=-x2+1x=-x+1x,
∵x+1x≥2当且仅当x=1x,即x=1时取“=”,
∴-x+1x≤-2,
∴a≥-2,即a的最小值是-2.
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.对于任意实数a,b,c,d,下列说法中正确的是(　　)
A.若a>b,c≠0,则ac>bc B.若a>b,则ac2>bc2
C.若ac2>bc2,则a>b D.若a>b>0,c>d>0,则ac>bd
9.答案　CD
10.下列不等式中解集是?的是(　　)
A.x2+x+1<0 B.x2-x-1≥0
C.x2-5x+6>0 D.2x-3x2-x+1>1
10.答案　AD
11.若a、b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是(　　)
A.a2+b2≥2ab B.a+b≥2ab
C.1a+1b>2ab D.ba+ab≥2
11.答案　AD　∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴A正确;
对于B、C,当a<0,b<0时,明显错误;
对于D,∵ab>0,∴ba+ab≥2ba·ab=2当且仅当ba=ab时,取等号,∴D正确.
12.若关于x的不等式(1+k2)x≤k4+4的解集为M,则对任意实数k,总有(　　)
A.0∈M B.2∈M
C.0?M D.2?M
12.答案　AB　由题意,得M=xx≤k4+4k2+1,
∵k4+4k2+1=k4-1+5k2+1=k2-1+5k2+1=k2+1+5k2+1-2≥25-2>2当且仅当k2+1=5k2+1时,取等号,
∴2∈M,0∈M.
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知a,b∈R,则a13.答案　a<0解析　若ab<0,由a1a,则1a<1b;若ab>0,则1a>1b.
所以a14.已知全集U=R,集合A={x|3≤x<7},B={x|x2-7x+10<0},则?R(A∩B)=　　　　.?
14.答案　{x|x<3或x≥5}
解析　由题意知,集合B={x|2∴A∩B={x|3≤x<5},∴?R(A∩B)={x|x<3或x≥5}.
15.已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立,则实数a的取值范围是　　　　.?
15.答案　016.某公司租仓库,每月租房费用与仓库到车站的距离成反比,而每月货物的运输费用与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站10 km处租仓库,那么租房费用和运输费用分别为2万元和8万元.当仓库租在离车站　　　　km处时,两项费用之和最小,最小值为　　　　万元.?
16.答案　5;8
解析　设车站到仓库的距离为x km,租房费用为y1万元,运输费用为y2万元,由题意得y1=k1x,y2=k2x,∵x=10时,y1=2,y2=8,∴k1=20,k2=45,∴费用之和y=y1+y2=20x+4x5≥220x×4x5=8,当且仅当20x=4x5,即x=5时取等号.即当仓库租在离车站5 km处时,两项费用之和最小,最小为8万元.
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)解下列不等式(组):
(1)x(x+2)>0,x2<1;(2)6-2x≤x2-3x<18.
17.解析　(1)原不等式组可化为x<-2,-10,-1解得0所以原不等式组的解集为{x|0(2)原不等式等价于6-2x≤x2-3x,x2-3x<18,
即x2-x-6≥0,x2-3x-18<0,
因式分解得(x-3)(x+2)≥0,(x-6)(x+3)<0,
所以x≤-2或x≥3,-3所以-3所以原不等式的解集为{x|-318.(本小题满分12分)已知a,b,c都为正实数,且a+b+c=1.求证:a+1a+b+1b+c+1c≥10.
18.证明　a+1a+b+1b+c+1c
=a+a+b+ca+b+a+b+cb+c+a+b+cc
=4+ba+ab+ca+ac+cb+bc≥4+2+2+2=10,
当且仅当a=b=c=13时取等号,
∴a+1a+b+1b+c+1c≥10.
19.(本小题满分12分)已知“?x∈{x|-1(1)求实数m的取值集合M;
(2)设不等式(x-a)(x+a-2)<0的解集为N,若x∈N是x∈M的必要条件,求实数a的取值范围.
19.解析　 (1)由题意,知m=x2-x=x-122-14.
由-1故M=m-14≤m<2.
(2)由x∈N是x∈M的必要条件,知M?N.易知方程(x-a)(x+a-2)=0的根为a,2-a.
①当a>2-a,即a>1时,N={x|2-a1,2-a<-14,a≥2,解得a>94.
②当a<2-a,即a<1时,N={x|a解得a<-14.
③当a=2-a,即a=1时,N=?,不满足M?N.
综上可得,实数a的取值范围是aa<-14或a>94.
20.(本小题满分12分)已知ax2+2ax+1≥0恒成立.
(1)求a的取值范围;
(2)解关于x的不等式x2-x-a2+a<0.
20.解析　(1)当a=0时,1≥0恒成立;
当a≠0时,则a>0,Δ=4a2-4a≤0,解得0综上,a的取值范围是0≤a≤1.
(2)由x2-x-a2+a<0得,(x-a)[x-(1-a)]<0.
方程(x-a)[x-(1-a)]=0的根为a,1-a.
因为0≤a≤1,
所以当1-a>a,即0≤a<12时,a当1-a=a,即a=12时,不等式可化为x-122<0,此时不等式无解;
当1-a综上所述,当0≤a<12时,不等式的解集为{x|a当a=12时,不等式的解集为?;
当1221.(本小题满分12分)已知函数y=x2+3x-a(x≠a,a为非零常数).
(1)解不等式x2+3x-a(2)设当x>a时,y=x2+3x-a的最小值为6,求a的值.
21.解析　(1)不等式x2+3x-a当a>0时,不等式可化为x+3a(x-a)<0,∴不等式的解集为x-3a当a<0时,不等式可化为x+3a(x-a)>0,∴不等式的解集为xx>-3a或x(2)设t=x-a,则x=t+a(t>0),
y=t2+2at+a2+3t=t+a2+3t+2a≥2t·a2+3t+2a=2a2+3+2a,
当且仅当t=a2+3t,即t=a2+3时,等号成立,
即y的最小值为2a2+3+2a.
且2a2+3+2a=6,解得a=1.
22.(本小题满分12分)某投资公司计划投资A、B两种金融产品,根据市场调查与预测,A产品的利润y1与投资金额x的函数关系为y1=18-180x+10,B产品的利润y2与投资金额x的函数关系为y2=x5.(利润与投资金额单位:万元)
(1)该公司有100万元资金,并已全部投入A、B两种产品中,其中x万元资金投入A产品,试把A、B两种产品利润总和y表示为x的函数,并写出x的取值范围;
(2)怎样分配这100万元资金,才能使公司获得最大利润?最大利润为多少万元?
22.解析　(1)由题意得,x万元资金投入A产品,则(100-x)万元资金投入B产品,
利润总和y=18-180x+10+100-x5=38-x5-180x+10(x∈[0,100]).
(2)∵y=40-x+105+180x+10,x∈[0,100],
∴由基本不等式得y≤40-236=28,当且仅当x+105=180x+10,即x=20时取等号.
故分别用20万元和80万元资金投资A、B两种金融产品,可以使公司获得最大利润,最大利润为28万元.