17.2 第1课时 勾股定理的逆定理 课件（共39张PPT）

(共39张PPT)
第十七章
勾股定理
人教版
八年级数学下册
教学课件
17.2
勾股定理
第1课时
勾股定理的逆定理
1.
情景导学
1
2.
新课目标
2
3.
新课进行时
4.
知识小结
目录
Contents
5.
随堂演练
6.
课后作业
第一部分
情景导学
情景导学
古埃及人曾用下面的方法得到直角
情景导学
古埃及人曾用下面的方法得到直角：
用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。
情景导学
思考：从前面我们知道古埃及人认为一个三角形三边长分别为3,4,5,那么这个三角形为直角三角形.按照这种做法真能得到一个直角三角形吗?
大禹治水
相传，我国古代的大禹在治水时也用了类似的方法确定直角.
第二部分
新课目标
新课目标
1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定
理的概念、关系及勾股数.（重点）
2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆
定理判断一个三角形是直角三角形.（难点）
第三部分
新课进行时
新课进行时
核心知识点一
勾股定理的逆定理
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么
a2
+
b2
=
c2
勾股定理
如果三角形的三边长a、b、c满足
那么这个三角形是直角三角形。
a2
+
b2
=
c2
互逆命题
新课进行时
互逆命题的定义：如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫做互逆命题。　　
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
怎样得到一个命题的逆命题？
把一个命题的题设和结论交换一下，即可得到它的逆命题
新课进行时
△ABC≌
△
A′B′C′
　　
？
∠C是直角　　　
△ABC是直角三角形　　
A　
B　
C　
a
b
c
构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′
　已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
　求证：△ABC是直角三角形．
新课进行时
证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，
∴△ABC≌
△A′B′C′(SSS)，
∴∠C=
∠C′=90°
，
即△ABC是直角三角形.
则
A
C
a
B
b
c
新课进行时
勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a
、b
、c满足
a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形.
A
C
B
a
b
c
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形
，最长边所对应的角为直角.
特别说明：
新课进行时
例1
下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？
(1)
a=15
，
b=8
，c=17;
解：(1)∵152+82=289，172=289，∴152+82=172，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，
且∠C是直角.
(2)
a=13
，b=14
，c=15.
(2)∵132+142=365，152=225，
∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，
∴这个三角形不是直角三角形.
根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
归纳
新课进行时
【变式题1】若△ABC的三边a,b,c满足
a:b:
c=3:4:5，是判断△ABC的形状.
解：设a=3k,b=4k,c=5k(k＞0),
∵(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,
∴(3k)2+(4k)2=(5k)2,
∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角.
已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形.
归纳
新课进行时
【变式题2】(1)若△ABC的三边a,b,c，a+b=4,ab=1,
c=
，试说明△ABC是直角三角形.
解：∵a+b=4,ab=1,
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14.
又∵c2=14,
∴a2+b2=c2,
∴△ABC是直角三角形.
新课进行时
(2)
若△ABC的三边
a,b,c
满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c.
试判断△ABC的形状.
解：∵
a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，
∴
a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0.
即
(a－3)?+
(b－4)?+
(c－5)?=0.
∴
a=3,
b=4,
c=5，
即
a2+b2=c2.
∴△ABC是直角三角形.
新课进行时
例2
如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝
CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由．
解：AF⊥EF.理由如下：
设正方形的边长为4a,
则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.
在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2.
在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.
在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.
在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，
∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边．
∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.
新课进行时
1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4
B．3，4，6
C．5，12，13
D．4，6，7
C
2.一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是
（　　）
A．4
B．3
C．2.5
D．2.4
D
3.若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是_______________________.
等腰三角形或直角三角形
新课进行时
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形.
满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
核心知识点二
勾股数
新课进行时
常见勾股数：
3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
新课进行时
下列各组数是勾股数的是
(
)
A.6，8，10
B.7，8，9
C.0.3，0.4，0.5
D.52，122，132
A
方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.
新课进行时
命题1
如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.
命题2
如果三角形的三边长a
、b
、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
前面我们学习了两个命题，分别为：
核心知识点三
互逆命题与互逆定理
新课进行时
命题1：
直角三角形
a2+b2=c2
命题2：
直角三角形
a2+b2=c2
题设
结论
它们是题设和结论正好相反的两个命题.
问题1
两个命题的条件和结论分别是什么？
问题2
两个命题的条件和结论有何联系？
新课进行时
一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.
题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.
第四部分
知识小结
知识小结
1、勾股定理的逆定理
2、什么叫做互逆命题、原命题与逆命题、互逆定理.
4、勾股定理与勾股定理的逆定理的
区别与联系：区别：（1）二者的题设和结论正好相反；（2）前者是直角三角形的性质定理，后者是直角三角形的判定定理；（3）二者的作用不同。
联系：二者互为逆定理
3、已学过的直角三角形的判定方法：
（1）直角三角形的定义；（2）勾股定理的逆定理
知识小结
勾股定理
的逆定理
内容
作用
从三边数量关系判定一个三角形是
否是直角形三角形.
如果三角形的三边长a
、b
、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
注意
最长边不一定是c，
∠C也不一定是直角.
勾股数一定是正整数
第五部分
随堂演练
随堂演练
说出下列命题的逆命题,这些逆命题成立吗？
(1)两条直线平行，内错角相等；
(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
(3)全等三角形的对应角相等；
(4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
内错角相等，两条直线平行.
如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等.
对应角相等的三角形全等
.
在角平分线上的点到角的两边距离相等.
成立
不成立
不成立
成立
随堂演练
理由：在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°
∴AB2＝
AC2＋
BC2
＝32
+
42
=25(勾股定理）
又∵
AD2
＝122
＝144
∴
AD2＋
BA2
＝144＋25＝169
又BD2
＝132
＝169
∴
AB2＋
AD2＝BD2
∴∠BAD＝90°（勾股定理的逆定理）
∴AD⊥AB
1、如图：∠C=90°,AC=3,BC=4,BD=13，
问：AD与AB互相垂直吗？为什么？
3
4
12
13
答：AD⊥AB
随堂演练
2.已知：△ABC中，AB=6，BC=8，AC=10，则AC边上的高为
4.8
随堂演练
4.已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式
，则△ABC的形状是
________________．
等腰直角三角形
5.(1)一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm，则这个三角形最长边上的高是_______cm;
12
(2)“等腰三角形两底角相等”的逆定理为_______________________________________．
有两个角相等的三角形是等腰三角形
第六部分
课后作业
课后作业
1、完成教材本课时对应习题；
2、完成同步练习册本课时的习题。
谢谢欣赏
THANK
YOU
FOR
LISTENING
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