(共37张PPT)
第十七章
勾股定理
17.2
勾股定理
第2课时
勾股定理的逆定理的应用
人教版
八年级数学下册
教学课件
1.
情景导学
1
2.
新课目标
2
3.
新课进行时
4.
知识小结
目录
Contents
5.
随堂演练
6.
课后作业
第一部分
情景导学
情景导学
问题
前面的学习让我们对勾股定理及其逆定理
的知识有了一定的认识,你能说出它们的内容吗?
a2+b2=c2
(a,b为直角边,c斜边)
Rt△ABC,∠C是直角
勾股定理
勾股定理的逆定理
a2+b2=c2
(a,b为较短边,c为最长边)
Rt△ABC,且∠C是直角.
情景导学
(2)等腰△
ABC中,AB=AC=10cm,BC=12cm,则BC边上的高是
cm.
8
(1)已知△
ABC中,BC=41,AC=40,AB=9,则此三角形
为
三角形,
是最大角.
直角
∠A
快速填一填:
思考
前面我们已经学会了用勾股定理解决生活中的很多问题,那么勾股定理的逆定理解决哪些实际问题呢?你能举举例吗?
情景导学
在军事和航海上经常要确定方向和位置,从而常需要使用一些数学知识和方法,其中勾股定理的逆定理经常会被用到,这节课让我们一起来学习吧.
第二部分
新课目标
新课目标
1.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.(重点)
2.将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问
题.(难点)
第三部分
新课进行时
新课进行时
核心知识点一
勾股定理的逆定理的应用
例1
如图,某港口P位于东西方向的海岸线上.
“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处,且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?
1
2
N
E
P
Q
R
新课进行时
问题1
认真审题,弄清已知是什么?要解决的
问题是什么?
1
2
N
E
P
Q
R
16×1.5=24
12×1.5=18
30
“远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离已知,如图.
问题2
由于我们现在所能得到的都是线段长,要求角,由此你联想到了什么?
实质是要求出两艘船航
向所成角.
勾股定理逆定理
新课进行时
解:根据题意得
PQ=16×1.5=24(海里),
PR=12×1.5=18(海里),
QR=30海里.
∵242+182=302,即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°.
由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°.
∴∠2=45°,即“海天”号沿西北方向航行.
N
E
P
Q
R
1
2
解决实际问题的步骤:?构建几何模型(从整体到局部);?标注有用信息,明确已知和所求;?应用数学知识求解.
归纳
新课进行时
【变式题】
如图,南北方向PQ以东为我国领海,以西为公海,晚上10时28分,我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近,便立即通知在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向,经检测,AC=10海里,BC=8海里,AB=6海里,若该船只的速度为12.8海里/时,则可疑船只最早何时进入我领海?
东
北
P
A
B
C
Q
D
分析:根据勾股定理的逆定可得△ABC是直角三角形,然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面积公式可求PD,然后再利用勾股定理便可求CD.
新课进行时
解:∵AC=10,AB=6,BC=8,
∴AC2=AB2+BC2,
即△ABC是直角三角形.
设PQ与AC相交于点D,根据三
角形面积公式有
BC·AB=
AC·BD,
即6×8=10BD,解得BD=
在Rt△BCD中,
又∵该船只的速度为12.8海里/时,
6.4÷12.8=0.5(小时)=30(分钟),
∴需要30分钟进入我领海,即最早晚上10时58分进入我领海.
东
北
P
A
B
C
Q
D
新课进行时
例2
一个零件的形状如图?所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图?所示,这个零件符合要求吗?
D
A
B
C
4
3
5
13
12
D
A
B
C
图?
图?
新课进行时
在△BCD中,
∴△BCD
是直角三角形,∠DBC是直角.
因此,这个零件符合要求.
解:在△ABD中,
∴△ABD
是直角三角形,∠A是直角.
D
A
B
C
4
3
5
13
12
图?
新课进行时
1.A、B、C三地的两两距离如图所示,A地在B地的正东方向,C在B地的什么方向?
A
B
C
5cm
12cm
13cm
解:∵
BC2+AB2=52+122=169,
AC2
=132=169,
∴BC2+AB2=AC2,
即△ABC是直角三角形,
∠B=90°.
答:C在B地的正北方向.
新课进行时
2.如图,是一农民建房时挖地基的平面图,按标准应为长方形,他在挖完后测量了一下,发现AB=DC=8m,AD=BC=6m,AC=9m,请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格?
解:∵AB=DC=8m,AD=BC=6m,
∴AB2+BC2=82+62=64+36=100.
又∵AC2=92=81,
∴AB2+BC2≠AC2,
∴∠ABC≠90°,
∴该农民挖的不合格.
新课进行时
例3
如图,四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积.
解析:连接AC,把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度,再利用勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形.
A
D
B
C
3
4
13
12
勾股定理及其逆定理的综合应用
核心知识点二
新课进行时
解:连接AC.
A
D
B
C
3
4
13
12
在Rt△ABC中,
在△ACD中,
AC2+CD2=52+122=169=AD2,
∴△ACD是直角三角形,
且∠ACD=90°.
∴S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36.
四边形问题对角线是常用的辅助线,它把四边形问题转化成两个三角形的问题.在使用勾股定理的逆定理解决问题时,它与勾股定理是“黄金搭挡”,经常配套使用.
归纳
新课进行时
【变式题1】
如图,四边形ABCD中,AB⊥AD,已知AD=3cm,AB=4cm,CD=12cm,BC=13cm,求四边形ABCD
的面积.
解:连接BD.
在Rt△ABD中,
由勾股定理得
BD2=AB2+AD2,
∴BD=5m.
又∵
CD=12cm,BC=13cm,
∴
BC2=CD2+BD2,∴△BDC是直角三角形.
∴S四边形ABCD=SRt△BCD-SRt△ABD=
BD?CD-
AB?AD
=
×(5×12-3×4)=24
(cm2).
C
B
A
D
新课进行时
【变式题2】
如图,在四边形ABCD中,AC⊥DC,△ADC的面积为30
cm2,DC=12
cm,AB=3cm,BC=4cm,求△ABC的面积.
解:
∵
S△ACD=30
cm2,DC=12
cm.
∴
AC=5
cm.
又∵
∴△ABC是直角三角形,
∠B是直角.
∴
D
C
B
A
新课进行时
例4
如图,△ABC中,AB=AC,D是AC边上的一点,CD=1,BC=
5
,BD=2.
(1)求证:△BCD是直角三角形;
(2)求△ABC的面积.
(1)证明:∵CD=1,BC=
5
,BD=2,
∴CD2+BD2=BC2,
∴△BDC是直角三角形;
(2)解:设腰长AB=AC=x,
在Rt△ADB中,∵AB2=AD2+BD2,
∴x2=(x-1)2+22,
解得
用到了方程的思想
第四部分
知识小结
知识小结
勾股定理的逆定理的应用
应用
航海问题
方法
认真审题,画出符合题意的图形,熟练运用勾股定理及其逆定理来解决问题
与勾股定理结合解决不规则图形等问题
第五部分
随堂演练
随堂演练
1.
医院、公园和超市的平面示意图如图所示,超市在医院的南偏东25°的方向,且到医院的距离为300m,公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m,则公园在医院的北偏东
的方向.
东
医院
公园
超市
北
65°
随堂演练
2.五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将他们摆成两个直角三角形,其中摆放方法正确的是
( )
A.
B.
C.
D.
D
随堂演练
3.如图,某探险队的A组由驻地O点出发,以12km/h的速度前进,同时,B组也由驻地O出发,以9km/h的速度向另一个方向前进,2h后同时停下来,这时A,B两组相距30km.此时,A,B两组行进的方向成直角吗?请说明理由.
解:∵出发2小时,A组行了12×2=24(km),B组行了9×2=18(km),
又∵A,B两组相距30km,
且有242+182=302,
∴A,B两组行进的方向成直角.
随堂演练
4.如图,在△ABC中,AB=17,BC=16,BC边上的中线AD=15,试说明:AB=AC.
解:∵BC=16,AD是BC边上的中线,
∴BD=CD=
BC=8.
∵在△ABD中,
AD2+BD2=152+82=172=AB2,
∴△ABD是直角三角形,即∠ADB=90°.
∴△ADC是直角三角形.
在Rt△ADC中,
∴AB=AC.
随堂演练
5.在寻找某坠毁飞机的过程中,两艘搜救艇接到消息,在海面上有疑似漂浮目标A、B.于是,一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O(如图)沿北偏东40°的方向向目标A的前进,同时,另一艘搜救艇也从港口O出发,以12海里/时的速度向着目标B出发,1.5小时后,他们同时分别到达目标A、B.此时,他们相距30海里,请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度?
随堂演练
解:根据题意得OA=16×1.5=24(海里),
OB=12×1.5=18(海里),
∵OB2+OA2=242+182=900,AB2=302=900,
∴OB2+OA2=AB2,
∴∠AOB=90°.
∵第一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O(如图)沿北偏东40°的方向向目标A的前进,
∴∠BOD=50°,
即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度.
随堂演练
解:设AB为3xcm,BC为4xcm,AC为5xcm,
∵周长为36cm,即AB+BC+AC=36cm,
∴3x+4x+5x=36,解得x=3.
∴AB=9cm,BC=12cm,AC=15cm.
∵AB2+BC2=AC2,
∴△ABC是直角三角形,
过3秒时,BP=9-3×2=3(cm),BQ=12-1×3=9(cm),
在Rt△PBQ中,由勾股定理得
6.如图,在△ABC中,AB:BC:CA=3:4:5且周长为36cm,点P从点A开始沿AB边向B点以每秒2cm的速度移动,点Q从点C沿CB边向点B以每秒1cm的速度移动,如果同时出发,则过3s时,求PQ的长.
第六部分
课后作业
课后作业
1、完成教材本课时对应习题;
2、完成同步练习册本课时的习题。
谢谢欣赏
THANK
YOU
FOR
LISTENING
谢谢大家!
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