第十七章 勾股定理 小结与复习 课件（共34张PPT）
文档属性
| 名称 | 第十七章 勾股定理 小结与复习 课件（共34张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 3.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-06 19:06:02 | ||
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文档简介
(共34张PPT)
第十七章
勾股定理
小
结
与
复
习
人教版
八年级数学下册
教学课件
1.
情景导学
1
2.
新课目标
2
3.
新课进行时
4.
知识小结
目录
Contents
5.
随堂演练
6.
课后作业
第一部分
情景导学
情景导学
1.如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边
为c，那么
a2
+
b2
=
c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
在直角三角形中才可以运用
2.勾股定理的应用条件
一、勾股定理
3.勾股定理表达式的常见变形：
a2＝c2－b2,
b2＝c2－a2，
A
B
C
c
a
b
情景导学
二、勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c满足
a2
+b2=c2
，那么这个三角形是直角三角形.
满足a2
+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
2.勾股数
3.原命题与逆命题
如果两个命题的题设、结论正好相反，那么把其中
一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题.
A
B
C
c
a
b
第五部分
随堂演练
核心知识点一
勾股定理及其应用
例1
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=20，BC=15.
（1）求AB的长；
（2）求BD的长．
解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
（2）方法一：∵S△ABC=
AC?BC=
AB?CD，
∴20×15=25CD，
∴CD=12．
∴在Rt△BCD中，
随堂演练
方法二：设BD=x,则AD=25-x.
解得x=9.∴BD=9.
对于本题类似的模型，若已知两直角边求斜边上的高常需结合面积的两种表示法起来考查，若是同本题(2)中两直角三角形共一边的情况，还可利用勾股定理列方程求解.
随堂演练
A
3.一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么以x为边长的正方形的面积为___________.
2.如图，∠C=∠ABD=90°，AC=4，BC=3，BD=12，则AD的长为______．
13或5
13
1.Rt△ABC中，斜边BC=2，则AB2+AC2+BC2的值为
（ ）
A.8
B.4
C.6
D.无法计算
随堂演练
4．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a
+b=14cm，
c=10cm，求△ABC的面积.
解：∵a+b=14，
∴(a+b)2=196.
又∵a2+b2=c2=100，
∴2ab=196-(a2+b2)=96，
∴
ab=24．
随堂演练
例2
我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
随堂演练
解：如图，设水池的水深AC为x尺，
则这根芦苇长AD=AB=（x+1）尺，
在直角三角形ABC中，BC=5尺
由勾股定理得BC2+AC2=AB2,
即
52+
x2=
(x+1)2
25+
x2=
x2+2x+1，
2x=24，
∴
x=12，
x+1=13.
答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺.
D
B
C
A
随堂演练
例3
如图所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
解析：蚂蚁由A点沿长方体的表面爬行到C1点，有三种方式：
①沿ABB1A1和A1
B1C1D1面；②沿ABB1A1和BCC1B1面；③沿AA1D1D和A1B1C1D1面，把三种方式分别展成平面图形如下：
随堂演练
解：?在Rt△ABC1中，
?在Rt△ACC1中，
?在Rt△AB1C1中，
∴沿路径?走路径最短，最短路径长为5.
随堂演练
化折为直：长方体中求两点之间的最短距离，展开方法有多种，一般沿最长棱展开，距离最短.
5.现有一长5米的梯子架靠在建筑物的墙上，它们的底部在地面的水平距离是3米，则梯子可以到达建筑物的高度是______米．
4
随堂演练
在Rt△ABO中，OA＝2米，DC＝OB＝1.4米，
∴AB2＝22－1.42＝2.04.
∵4－2.6＝1.4，1.42＝1.96，
2.04＞1.96，
答：卡车可以通过，但要小心．
解：如图，过半圆直径的中点O，作直径的垂线交下底边于点D，取点C，使CD＝1.4米，过C作OD的平行线交半圆直径于B点，交半圆于A点.
6.如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽2.8米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？
随堂演练
7.在O处的某海防哨所发现在它的北偏东60°方向相距1000米的A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的B处.
（1）此时快艇航行了多少米(即AB
的长)？
北
东
O
A
B
60°
45°
C
解：根据题意得∠AOC=30°，
∠COB=45°，AO=1000米.
∴AC=500米，BC=OC.
在Rt△AOC中，由勾股定理得
∴BC=OC=
随堂演练
在O处的某海防哨所发现在它的北偏东60°方向相距1000米的A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的B处.
（2）距离哨所多少米（即OB的长）
？
北
东
O
A
B
60°
45°
C
解：在Rt△BOC中，由勾股定理得
随堂演练
例4
在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，
，2c-b=12，求△ABC的面积．
解：由题意可设a=3k，则b=4k，c=5k，
∵2c-b=12，
∴10k-4k=12，
∴k=2，
∴a=6，b=8，c=10，
∵62+82=102，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC为直角三角形，
∴△ABC的面积为
×6×8=24．
核心知识点二
勾股定理的逆定理及其应用
随堂演练
例5
B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8
n
mile的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15
n
mile的速度前进，2
h后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34
n
mile，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？
解：甲船航行的距离为BM=
16（n
mile）,
乙船航行的距离为BP=
30（n
mile）．
∵162+302=1156，342=1156,
∴BM2+BP2=MP2,
∴△MBP为直角三角形，∴∠MBP=90°
,
∴乙船是沿着南偏东30°方向航行的．
随堂演练
8.下列各组数中，是勾股数的为（ ）
A．1，2，3
B．4，5，6
C．3，4，5
D．7，8，9
9.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点上，可以判定三角形是直角三角形的有________．
(2)(4)
C
随堂演练
10.如图，在四边形ABCD中，AB=20cm，BC=15cm，CD=7cm，AD=24cm，∠ABC=90°．猜想∠A与∠C关系并加以证明．
解：猜想∠A+∠C=180°．
连接AC.
∵∠ABC=90°，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得
∵AD2+DC2=625=252=AC2，
∴△ADC是直角三角形，且∠D=90°，
∵∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=360°，
∴∠DAB+∠BCD=180°，
即∠A+∠C=180°．
随堂演练
例6
如图，在长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求△ABE的面积.
解：∵长方形折叠，使点B与点D重合，
∴ED=BE.
设AE=xcm，则ED=BE=(9-x)cm，
在Rt△ABE中，
AB2+AE2=BE2，
∴32+x2=(9-x)2，
解得x=4.
∴△ABE的面积为3×4×
=6(cm2).
核心知识点三
勾股定理与折叠问题
随堂演练
勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边的问题；如果只知一边和另两边的关系时，也可用勾股定理求出未知边，这时往往要列出方程求解．
针对训练
11.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6
cm，BC＝8
cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕是DE，则CD的长为
．
1.75cm
随堂演练
方程思想
例7
如图，在△ABC中，AB=17，BC=9，AC=10，AD⊥BC于D.试求△ABC的面积．
解：在Rt△ABD和Rt△ACD中，
AB2-BD2=AD2，AC2-CD2=AD2，
设DC=x，则BD=9+x，
故172-(9+x)2=102-x2，
解得x=6.
∴AD2=
AC2?CD2
=
64，∴AD=8.
∴S△ABC=
×9×8=36．
核心知识点四
本章解题思想方法
随堂演练
解：当高AD在△ABC内部时，如图①.
在Rt△ABD中，由勾股定理，
得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，
∴BD＝16.
在Rt△ACD中，由勾股定理，
得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，
∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25，
∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60.
例8
在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长．
随堂演练
题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形．
当高AD在△ABC外部时，如图②.
同理可得
BD＝16，CD＝9.
∴BC＝BD－CD＝7，
∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42.
综上所述，△ABC的周长为42或60.
随堂演练
例9
有一圆柱体高为8cm，底面圆的半径为2cm，如图.在AA1上的点Q处有一只蜘蛛，QA1=3cm，在BB1上的点P处有一只苍蝇，PB=2cm．求蜘蛛爬行的最短路径长(π取3).
解：如图,沿AA1剪开,过Q作QM⊥BB1于M,连接QP.
则PM=8-3-2=3(cm)，
QM=A1B1=
×2×π×2=6(cm)，
在Rt△QMP中，由勾股定理得
答：蜘蛛爬行的最短路径长是
cm．
转化思想
随堂演练
第四部分
知识小结
知识小结
勾股定理
直角三角形边
长的数量关系
勾股定理
的逆定理
直角三角
形的判定
互逆定理
第六部分
课后作业
课后作业
1、完成教材本课时对应习题；
2、完成同步练习册本课时的习题。
谢谢欣赏
THANK
YOU
FOR
LISTENING
谢谢大家!
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第十七章
勾股定理
小
结
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教学课件
1.
情景导学
1
2.
新课目标
2
3.
新课进行时
4.
知识小结
目录
Contents
5.
随堂演练
6.
课后作业
第一部分
情景导学
情景导学
1.如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边
为c，那么
a2
+
b2
=
c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
在直角三角形中才可以运用
2.勾股定理的应用条件
一、勾股定理
3.勾股定理表达式的常见变形：
a2＝c2－b2,
b2＝c2－a2，
A
B
C
c
a
b
情景导学
二、勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c满足
a2
+b2=c2
，那么这个三角形是直角三角形.
满足a2
+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
2.勾股数
3.原命题与逆命题
如果两个命题的题设、结论正好相反，那么把其中
一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题.
A
B
C
c
a
b
第五部分
随堂演练
核心知识点一
勾股定理及其应用
例1
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=20，BC=15.
（1）求AB的长；
（2）求BD的长．
解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
（2）方法一：∵S△ABC=
AC?BC=
AB?CD，
∴20×15=25CD，
∴CD=12．
∴在Rt△BCD中，
随堂演练
方法二：设BD=x,则AD=25-x.
解得x=9.∴BD=9.
对于本题类似的模型，若已知两直角边求斜边上的高常需结合面积的两种表示法起来考查，若是同本题(2)中两直角三角形共一边的情况，还可利用勾股定理列方程求解.
随堂演练
A
3.一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么以x为边长的正方形的面积为___________.
2.如图，∠C=∠ABD=90°，AC=4，BC=3，BD=12，则AD的长为______．
13或5
13
1.Rt△ABC中，斜边BC=2，则AB2+AC2+BC2的值为
（ ）
A.8
B.4
C.6
D.无法计算
随堂演练
4．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a
+b=14cm，
c=10cm，求△ABC的面积.
解：∵a+b=14，
∴(a+b)2=196.
又∵a2+b2=c2=100，
∴2ab=196-(a2+b2)=96，
∴
ab=24．
随堂演练
例2
我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
随堂演练
解：如图，设水池的水深AC为x尺，
则这根芦苇长AD=AB=（x+1）尺，
在直角三角形ABC中，BC=5尺
由勾股定理得BC2+AC2=AB2,
即
52+
x2=
(x+1)2
25+
x2=
x2+2x+1，
2x=24，
∴
x=12，
x+1=13.
答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺.
D
B
C
A
随堂演练
例3
如图所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
解析：蚂蚁由A点沿长方体的表面爬行到C1点，有三种方式：
①沿ABB1A1和A1
B1C1D1面；②沿ABB1A1和BCC1B1面；③沿AA1D1D和A1B1C1D1面，把三种方式分别展成平面图形如下：
随堂演练
解：?在Rt△ABC1中，
?在Rt△ACC1中，
?在Rt△AB1C1中，
∴沿路径?走路径最短，最短路径长为5.
随堂演练
化折为直：长方体中求两点之间的最短距离，展开方法有多种，一般沿最长棱展开，距离最短.
5.现有一长5米的梯子架靠在建筑物的墙上，它们的底部在地面的水平距离是3米，则梯子可以到达建筑物的高度是______米．
4
随堂演练
在Rt△ABO中，OA＝2米，DC＝OB＝1.4米，
∴AB2＝22－1.42＝2.04.
∵4－2.6＝1.4，1.42＝1.96，
2.04＞1.96，
答：卡车可以通过，但要小心．
解：如图，过半圆直径的中点O，作直径的垂线交下底边于点D，取点C，使CD＝1.4米，过C作OD的平行线交半圆直径于B点，交半圆于A点.
6.如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽2.8米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？
随堂演练
7.在O处的某海防哨所发现在它的北偏东60°方向相距1000米的A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的B处.
（1）此时快艇航行了多少米(即AB
的长)？
北
东
O
A
B
60°
45°
C
解：根据题意得∠AOC=30°，
∠COB=45°，AO=1000米.
∴AC=500米，BC=OC.
在Rt△AOC中，由勾股定理得
∴BC=OC=
随堂演练
在O处的某海防哨所发现在它的北偏东60°方向相距1000米的A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的B处.
（2）距离哨所多少米（即OB的长）
？
北
东
O
A
B
60°
45°
C
解：在Rt△BOC中，由勾股定理得
随堂演练
例4
在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，
，2c-b=12，求△ABC的面积．
解：由题意可设a=3k，则b=4k，c=5k，
∵2c-b=12，
∴10k-4k=12，
∴k=2，
∴a=6，b=8，c=10，
∵62+82=102，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC为直角三角形，
∴△ABC的面积为
×6×8=24．
核心知识点二
勾股定理的逆定理及其应用
随堂演练
例5
B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8
n
mile的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15
n
mile的速度前进，2
h后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34
n
mile，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？
解：甲船航行的距离为BM=
16（n
mile）,
乙船航行的距离为BP=
30（n
mile）．
∵162+302=1156，342=1156,
∴BM2+BP2=MP2,
∴△MBP为直角三角形，∴∠MBP=90°
,
∴乙船是沿着南偏东30°方向航行的．
随堂演练
8.下列各组数中，是勾股数的为（ ）
A．1，2，3
B．4，5，6
C．3，4，5
D．7，8，9
9.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点上，可以判定三角形是直角三角形的有________．
(2)(4)
C
随堂演练
10.如图，在四边形ABCD中，AB=20cm，BC=15cm，CD=7cm，AD=24cm，∠ABC=90°．猜想∠A与∠C关系并加以证明．
解：猜想∠A+∠C=180°．
连接AC.
∵∠ABC=90°，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得
∵AD2+DC2=625=252=AC2，
∴△ADC是直角三角形，且∠D=90°，
∵∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=360°，
∴∠DAB+∠BCD=180°，
即∠A+∠C=180°．
随堂演练
例6
如图，在长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求△ABE的面积.
解：∵长方形折叠，使点B与点D重合，
∴ED=BE.
设AE=xcm，则ED=BE=(9-x)cm，
在Rt△ABE中，
AB2+AE2=BE2，
∴32+x2=(9-x)2，
解得x=4.
∴△ABE的面积为3×4×
=6(cm2).
核心知识点三
勾股定理与折叠问题
随堂演练
勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边的问题；如果只知一边和另两边的关系时，也可用勾股定理求出未知边，这时往往要列出方程求解．
针对训练
11.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6
cm，BC＝8
cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕是DE，则CD的长为
．
1.75cm
随堂演练
方程思想
例7
如图，在△ABC中，AB=17，BC=9，AC=10，AD⊥BC于D.试求△ABC的面积．
解：在Rt△ABD和Rt△ACD中，
AB2-BD2=AD2，AC2-CD2=AD2，
设DC=x，则BD=9+x，
故172-(9+x)2=102-x2，
解得x=6.
∴AD2=
AC2?CD2
=
64，∴AD=8.
∴S△ABC=
×9×8=36．
核心知识点四
本章解题思想方法
随堂演练
解：当高AD在△ABC内部时，如图①.
在Rt△ABD中，由勾股定理，
得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，
∴BD＝16.
在Rt△ACD中，由勾股定理，
得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，
∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25，
∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60.
例8
在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长．
随堂演练
题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形．
当高AD在△ABC外部时，如图②.
同理可得
BD＝16，CD＝9.
∴BC＝BD－CD＝7，
∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42.
综上所述，△ABC的周长为42或60.
随堂演练
例9
有一圆柱体高为8cm，底面圆的半径为2cm，如图.在AA1上的点Q处有一只蜘蛛，QA1=3cm，在BB1上的点P处有一只苍蝇，PB=2cm．求蜘蛛爬行的最短路径长(π取3).
解：如图,沿AA1剪开,过Q作QM⊥BB1于M,连接QP.
则PM=8-3-2=3(cm)，
QM=A1B1=
×2×π×2=6(cm)，
在Rt△QMP中，由勾股定理得
答：蜘蛛爬行的最短路径长是
cm．
转化思想
随堂演练
第四部分
知识小结
知识小结
勾股定理
直角三角形边
长的数量关系
勾股定理
的逆定理
直角三角
形的判定
互逆定理
第六部分
课后作业
课后作业
1、完成教材本课时对应习题；
2、完成同步练习册本课时的习题。
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