人教版九年级上数学课件 24.1.2 垂直于弦的直径课件（31张）

(共31张PPT)
24.1.2　垂直于弦的直径
新人教版九年级数学上册
24
圆
理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明；
掌握垂径定理的推论,明确理解“知二得三”的意义,利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题。
学习目标
问题
：你知道赵州桥吗?
它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,
拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题情境
　由此你能得到圆的什么特性？
可以发现：圆是轴对称图形。任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　
活动一
不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗?
?
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
?
思
考
·
O
A
B
C
D
E
活
动
二
（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴
（2）
线段：
AE=BE
弧：
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，
点A与点B重合，AE与BE重合，
，
分别与
、
重合．
探索发现
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
即：如果CD过圆心，且垂直于AB，则AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC
注意:过圆心和垂直于弦两个条件缺一不可。
O
E
D
C
B
A
The
exploration
discovered
下列图形是否具备垂径定理的条件？
是
不是
是
火眼金睛
不是
O
E
D
C
A
B
（湖州·中考）如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下
列结论中一定正确的是（
）
A．AE＝OE
B．CE＝DE
CE
C．OE＝
D．∠AOC＝60°
B
借你慧眼
垂径定理的几个基本图形。
CD过圆心
CD⊥AB于E
AE=BE
AC=
BC
AD=
BD
1．如图，在⊙O中，弦
AB的长为8cm，圆心O
到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。
·
O
A
B
E
2.若⊙O的半径为10cm,
OE=6cm,则AB=
cm。
轻松过关
5cm
16
夯实基础
我思考，我快乐
例
如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。
若OA=10cm,OE=6cm,求弦AB的长。
若圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长用a表示，这三者之间有怎样的关系？
若下面的弓形高为h，则r、d、h之间有怎样的关系?
r=d+h
即右图中的OE叫弦心距.
Ramming
foundation
夯实基础
学会作辅助线
关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。
圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。
Ramming
foundation
已知：如图，在以O为圆
心的两个同心圆中，大圆的弦AB
交小圆于C，D两点.
求证：AC＝BD.
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE.
AE－CE＝BE－DE.
所以，AC＝BD
E
.
A
C
D
B
O
变式1：AC、BD有什么关系？
变式2：AC＝BD依然成立吗？
变式3：EA＝____,
EC=_____.
FD
FB
变式4：______AC=BD.
OA=OB
变式5：______AC=BD.
归纳：
OC=OD
你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗?
大显身手
37.4m
7.2m
A
B
O
C
E
解得：R≈27．9（m）
O
D
A
B
C
R
解决求赵州桥拱半径的问题？
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
即
R2=18.72+（R－7.2）2
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
OA2=AD2+OD2
AB=37.4，CD=7.2，
OD=OC－CD=R－7.2
在图中
如图，用
表示主桥拱，设
所在圆的圆心为O，半径为R．
经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点C，根据前面的结论，D是
AB的中点，C是
的中点，CD就是拱高．
（1）如何证明？
探究：
·
O
A
B
C
D
E
已知：如图，CD是⊙O的直径，AB为弦，且AE=BE.
证明：连接OA，OB，则OA=OB
∵
AE=BE
∴
CD⊥AB
∴
AD=BD,
⌒
⌒
求证：CD⊥AB，且AD=BD,
⌒
⌒
⌒
⌒
AC
=BC
⌒
⌒
AC
=BC
（2）“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例。
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
·
O
A
B
C
D
垂径定理推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
∴
CD⊥AB,
∵
CD是直径，
AE=BE
⌒
⌒
AC
=BC,
⌒
⌒
AD
=BD.
·
O
A
B
C
D
E
①
CD是直径,
②
CD⊥AB,
③
AM=BM
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
如果具备上面五个条件中的任何两个，那么一定可以得到其他三个结论吗？
一条直线满足:(1)过圆心;(2)垂直于弦;(3)平分弦（不是直径）;
(4)平分弦所对优弧;(5)平分弦所对的劣弧.
●O
A
B
C
D
└
M
推广：
课堂讨论
根据已知条件进行推导：
①过圆心
②垂直于弦
③平分弦
④平分弦所对优弧
⑤平分弦所对劣弧
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所
对的两条弧。
①
⑤
③④②
①
④
③②⑤
①③
②④⑤
①
④
⑤
②
③
（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分
弦所对的另一条弧。
①②
③④⑤
只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个.
(4)若
，CD是直径,
则
、
、
.
(1)若CD⊥AB,
CD是直径,
则
、
、
.
(2)若AM=MB,
CD是直径,
则
、
、
.
(3)若CD⊥AB,
AM=MB,
则
、
、
.
1.如图所示:
练习
●O
A
B
C
D
└
M
AM=BM
⌒
⌒
AC=BC
⌒
⌒
AD=BD
CD⊥AB
⌒
⌒
AC=BC
⌒
⌒
AD=BD
CD是直径
⌒
⌒
AC=BC
⌒
⌒
AD=BD
⌒
⌒
AC=BC
CD⊥AB
AM=BM
⌒
⌒
AD=BD
试一试
2.判断：
(
)(1)垂直于弦的直线平分这条弦,
并且平分
弦所对的两条弧.
(
)(2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分
这条弦所对的另一条弧.
(
)(3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.
(
)(4)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.
√
?
?
√
如图，已知AB是⊙O
的弦，P是AB上一点AB=10cm,PB=4cm,
PO=5
cm则⊙O的半径等于
cm
C
7
解：连AO，过O点作OC⊥AB于C
∴AC=BC=1/2AB=5cm
∵BP==4cm
∴CP=1
cm
在Rt△OPC中，PO=5
cm，
CP=1
cm
∴OC2=52-12=24
在Rt△OAC中，AO2=
AC2+
OC2
=25+24=49
∴AO=7
cm
5
1
5
2、如图，点P是半径为5
cm的⊙O内一点，
且OP=3cm,
则过P点的弦中，
（1）最长的弦=
cm
（2）最短的弦=
cm
A
B
C
D
10
8
5
4
3
如图，⊙O的直径AB=16cm，M是OB
的中点，弦CD经过点M，∠CMA=30°，
则CD=
cm
E
2
4
8
4
如图，点A、B是⊙O上两点，AB=8,点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合）,连接AP、BP,过点O分别作OE⊥AP于E,OF⊥BP于F,EF=
。
4
已知:⊙O中弦AB∥CD且AB=9cm,CD=12cm,
⊙O的直径为15cm,则弦AB,CD间的距离为(
)
A.1.5cm
B.10.5cm;
C.1.5cm或10.5cm
D.都不对;
C
A
B
C
D
O
⊙O的半径为5
cm，弦AB∥CD,
AB=6
cm,
CD=8
cm,
①请画出图形
②根据图形，求出AB与CD之间的距离
是
。
7cm或1cm
1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8㎝,那么⊙o的半径是
2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD,那么C到AB的距离等于
3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1㎝,那么⊙O的半径为
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,
N,且OM=2,0N=3,则AB=
,
AC=
,OA=
B
A
M
C
O
N
5㎝
1㎝或9㎝
6
4
Cm