3.1.1 函数及其表示方法
第1课时
学习目标
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念;体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.提升数学抽象素养.
2.了解构成函数的要素及同一个函数的概念,能求简单函数的定义域和值域.训练数学运算与逻辑推理素养.
自主预习
情境与问题
情境一:国家统计局的课题组公布,如果将2005年中国创新指数记为100,近些年来中国创新指数的情况如下表所示.
年度
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
中国创
新指数
116.5
125.5
131.8
139.6
148.2
152.6
158.2
171.5
以y表示年度值,i表示中国创新指数的取值.
问题一:年度值y确定后,中国创新指数i能确定吗?能同时确定两个或以上吗?
问题二:中国创新指数i是年度值y的函数吗?
情境二:利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值,据此可以描绘出心电图,如下图所示.医生在看心电图时,会根据图形的整体形态来给出诊断结果(如根据两个峰值的间距来得出心率等).
如果用t表示测量的时间,v表示测量的指标值,
问题三:v是关于t的函数吗?如果是,自变量是什么?因变量是什么?
问题四:上述两种情境中的函数能用数学符号表示出来吗?
知识点 函数的概念
1.一般地,给定两个 A与B,以及对应关系f,如果对于集合A中的 ,在集合B中都有 的实数y与x对应,则称f为定义在集合A上的一个函数,记作y=f(x),x∈A,其中x称为自变量,y称为因变量,自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的 ,所有函数值组成的集合{y∈B|y=f(x),x∈A}称为函数的 .?
函数的这种定义强调的是“对应关系”,对应关系也可用其他小写英文字母如g,h等表示.
2.函数的三要素: 、 、 .?
3.同一个函数:如果两个函数表达式表示的函数 相同, 也相同(即对自变量的每一个值,两个函数表达式得到的函数值都相等),则称这两个函数表达式表示的是同一个函数.?
4.函数定义域约定及求定义域的依据
(1)在表示函数时,如果不会产生歧义,函数的定义域通常省略不写,此时就约定:函数的定义域就是使得这个函数 的所有实数组成的集合.?
(2)求函数定义域常用的依据:
①分式中分母不能为 ;?
②二次根式中的被开方数要 .?
课前自测
判断.
1.任何两个集合之间都可以建立函数关系.( )
2.已知定义域和对应关系就可以确定一个函数.( )
3.定义域中的每一个x可以对应着不同的y.( )
4.y=3x,x∈R与y=3t,t∈R是不同的函数.( )
课堂探究
一、函数关系的判断
例1 下列对应关系式中是A到B的函数的是( )
A.A?R,B?R,x2+y2=1
B.A={-1,0,1},B={1,2},y=|x|+1
C.A=R,B=R,y=
D.A=Z,B=Z,f:y=
反思感悟:
跟踪训练1 下列图像中,可作为函数图像的是 .(填序号)?
二、求函数的定义域、函数值
命题角度1 求函数的定义域
例2 求下列函数的定义域:
(1)f(x)=;(2)g(x)=+.
反思感悟:
跟踪训练2 函数y=+的定义域为 .?
命题角度2 求函数值
例3 已知f(x)=.
(1)求f(-1),f(0),f(2);
(2)求函数f(x)的值域.
反思感悟:
跟踪训练3 已知f(x)=-x2+1,则f(f(-1))= .?
三、同一个函数的判定
例4 下列选项中能表示同一个函数的是( )
A.y=x+1与y=
B.y=x2+1与s=t2+1
C.y=2x与y=2x(x≥0)
D.y=(x+1)2与y=x2
反思感悟:
跟踪训练4 下列各组式子是否表示同一个函数?为什么?
(1)f(x)=|x|,φ(t)=;
(2)y=·,y=;
(3)y=,y=x-3.
评价反馈
1.下列四种说法中,不正确的一个是( )
A.在函数值域中的每一个数,在定义域中都至少有一个数与之对应
B.函数的定义域和值域一定是无限集合
C.定义域和对应关系确定后,函数的值域也就确定了
D.若函数的定义域中只含有一个元素,则值域也只含有一个元素
2.若f(x)=,则f(3)等于( )
A.2
B.4
C.2
D.10
3.函数f(x)=的定义域为( )
A.(1,+∞)
B.[0,+∞)
C.(-∞,1)∪(1,+∞)
D.[0,1)∪(1,+∞)
4.下列各组函数是同一个函数的是 .(填序号)?
①f(x)=与g(x)=x;
②f(x)=x0与g(x)=;
③f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1.
核心素养专练
A组:
课本P93练习A第1,2,3,4,5题 练习B第1,2,3,4,5,6题
B组:
1.若函数y=f(x)的定义域M=[-2,2],值域为N=[0,2],则函数y=f(x)的图像可能是( )
2.若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=f(2x)的定义域是( )
A.[0,2]
B.[0,1]
C.[0,4]
D.(0,1)
3.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则这些函数为“合一函数”,那么函数解析式y=2x2-1,值域为{1,7}的合一函数共有( )
A.10个
B.9个
C.8个
D.4个
4.若f(x)=,且f(a)=2,则a= .?
5.函数y=的定义域用区间表示为 .?
6.求函数y=的定义域,并用区间表示.
参考答案
自主预习
略
课堂探究
例1 答案:B
解析:对于A,x2+y2=1可化为y=±,显然对任意x∈A(x=±1除外),y值不唯一,故不符合函数的定义;对于B,符合函数的定义;对于C,2∈A,在此时对应关系无意义,故不符合函数的定义;对于D,-1∈A,但在集合B中找不到与之相对应的数,故不符合函数的定义.
跟踪训练1 答案:①③④
解析:对于②⑤中存在一个x的值,y有两个值与之对应,所以不是函数图像,①③④符合函数定义.
例2 解:(1)因为函数有意义,所以
解得x>-1,
所以函数的定义域为(-1,+∞).
(2)因为函数有意义,所以
解得x≠0,且x≠-2,
因此函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,0)∪(0,+∞).
反思感悟:略
跟踪训练2
答案:∪[2,4)
解析:由得x≤-或2≤x<4,
所以定义域为∪[2,4).
例3 解:(1)由已知可得f(-1)=,f(0)=1,f(2)=.
(2)(方法一)因为x2≥0,
所以x2+1≥1恒成立,所以≤1,
又因为当x的绝对值逐渐变大时,函数值会逐渐接近于0,但不会等于0,因此所求函数的值域为(0,1].
(方法二)假设t是所求值域中的元素,则关于x的方程=t应该有解,
即x2=-1应该有解,
从而-1≥0即≥0解得0
因此所求值域为(0,1].
反思感悟:略
跟踪训练3 答案:1
例4 答案:B
解析:对于选项A,前者定义域为R,后者定义域为{x|x≠1},不是同一个函数;
对于选项B,虽然变量不同,但定义域和对应关系均相同,是同一个函数;
对于选项C,虽然对应关系相同,但定义域不同,不是同一个函数;
对于选项D,虽然定义域相同,但对应关系不同,不是同一个函数.
反思感悟 在两个函数中,只有当定义域、对应关系都相同时,两函数才是同一个函数.值域相等,只是前两个要素相等的必然结果.
跟踪训练4 解:(1)f(x)与φ(t)的定义域相同,
又φ(t)==|t|,即f(x)与φ(t)的对应关系也相同,
∴f(x)与φ(t)是同一个函数.
(2)y=·的定义域为{x|-1≤x≤1},
y=的定义域为{x|-1≤x≤1},
即两者定义域相同.
又∵y=·=,
∴两函数的对应关系也相同.
故y=·与y=是同一个函数.
(3)∵y==|x-3|与y=x-3的定义域相同,但对应关系不同,∴y=与y=x-3不是同一个函数.
评价反馈
1.答案:B
解析:由函数定义知A,C,D正确,B不正确.
2.答案:A
解析:f(3)==2.
3.答案:D
解析:由得
∴定义域为[0,1)∪(1,+∞).
4.答案:②③
解析:①f(x)=-x,g(x)=x,对应关系不同,故f(x)与g(x)不是同一个函数;②f(x)=x0=1(x≠0),g(x)==1(x≠0),对应关系与定义域均相同,故是同一个函数;③f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1,对应关系和定义域均相同,故是同一个函数.
核心素养专练
A组
略
B组
1.答案:B
解析:A中定义域是[-2,0],不是M=[-2,2],C中图像不表示函数关系,D中值域不是[0,2].
2.答案:B
解析:∵y=f(x)的定义域是[0,2],∴要使g(x)=f(2x)有意义,需0≤2x≤2,即0≤x≤1.
3.答案:B
解析:函数y=2x2-1,值域为{1,7},它的定义域可以是{1,2},{1,-2},{-1,-2},{-1,2},{-1,1,2},{-1,1,-2},{-1,-2,2},{1,-2,2},{-1,1,-2,2},共有9种情况,故选B.
4.答案:或2
解析:f(a)==2,
所以2a2-5a+2=0,解得a=或a=2.
5.答案:(-∞,-4)∪(-4,4)∪(4,6]
解析:要使函数有意义,需满足即
∴定义域为(-∞,-4)∪(-4,4)∪(4,6].
6.解:要使函数有意义,需满足
即所以-1≤x≤3且x≠,
所以函数的定义域为,
用区间表示为∪.
学习目标
1.理解函数概念,会用集合语言来刻画函数.
2.理解定义域、值域、同一函数的概念.
3.会求一些简单函数的定义域和值域.
自主预习
1.函数的定义:
2.定义域:
3.值域:
4.同一函数:
课堂探究
问题探究 阅读课本第85页到第87页例1上面的内容,回答下列问题.
(1)回答“情境与问题”中的问题.
(2)用自己的话说出函数的定义.
(3)什么是函数的定义域?值域?同一函数?
典型例题
例1 求下列函数的定义域:
(1)f(x)=;(2)g(x)=+.
例2 已知f(x)=:
(1)求f(-1),f(0)和f(2);
(2)求函数f(x)的值域.
例3 下列各组中的两个函数是否表示同一个函数?
(1)f(x)=,g(x)=x+3;
(2)f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1;
(3)f(x)=·,g(x)=;
(4)f(x)=x0,g(x)=.
评价反馈
1.设函数g(x)=的值域为S,分别判断-和3是否是S中的元素.
2.求下列函数的值域:
(1)f(x)=,1≤x≤2;(2)f(x)=-,x∈[0,+∞).
3.判断下列各组函数是否为同一个函数:
(1)f(x)=,g(x)=x;
(2)f(x)=,g(x)=x2-1;
(3)f(x)=,g(x)=x.
课堂小结
通过本节课的学习,绘制一张思维导图.
要求:你认为的重点、难点、需要注意的地方、规律方法都要画出来.
课后作业
作业1:课本第93页 练习A第1~6题
作业2:课本第93页 练习B第1,2题
核心素养专练
若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,例如解析式为y=2x2+1,值域为{9}的“孪生函数”有三个:
①y=2x2+1,x∈{-2} ②y=2x2+1,x∈{2} ③y=2x2+1,x∈{-2,2}
那么函数解析式为y=2x2+1,值域为{1,5}的“孪生函数”共有( )
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
参考答案
自主预习
略
课堂探究
问题探究
略
典型例题
例1 (1)(-1,+∞) (2)(-∞,-2)∪(-2,0)∪(0,+∞)
例2 (1)f(-1)=,f(0)=1,f(2)= (2)(0,1]
例3 (1)定义域不同,所以不是同一个函数.
(2)虽然自变量用不同的字母表示,但两函数的定义域和对应关系都相同,所以是同一个函数.
(3)f(x)的定义域为{x|x≥1},g(x)的定义域为{x|x≤-1或x≥1},两个函数定义域不同,所以不是同一个函数.
(4)定义域都是{x|x≠0},所以是同一个函数.
评价反馈
1.-?S;3∈S
2.(1)[2,8] (2)(-∞,0]
3.(1)定义域不同,所以不是同一个函数.
(2)定义域和对应关系都相同,所以是同一个函数.
(3)对应关系不同,所以不是同一个函数.
课堂小结
略
课后作业
略
核心素养专练
C3.1.1 函数及其表示方法
第2课时
学习目标
1.掌握函数的三种表示法:解析法、列表法、图像法以及其各自的优缺点.培养数学抽象素养.
2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.
3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.提升逻辑推理、数学运算素养.
自主预习
情境与问题
情境一:(1)已建成的京沪高速铁路总长约1
318千米,设计速度目标值为380千米/时.若京沪高速铁路时速按300千米/时计算,火车行驶x小时后,路程为y千米,则y是x的函数,可以用y=300x来表示,其中y=300x叫做该函数的解析式.
(2)如图是我国人口出生率变化曲线:
(3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表
污染源距离
50
100
200
300
500
氰化物浓度
0.678
0.398
0.121
0.05
0.01
问题 根据初中学过的知识,说出(1)(2)(3)分别是用什么法表示函数的?
知识点一 函数的三种表示方法、函数的定义中,对应关系有哪三种表达形式
1.解析法:在函数y=f(x)中,如果f(x)是用 来表示的,这种表示函数的方法称为解析法.?
2.列表法:用 的形式给出了函数的对应关系,这种表示函数的方法称为列表法.?
3.图像法
(1)函数图像:一般地,将函数y=f(x),x∈A中的自变量x和对应的函数值y,分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标,则满足条件的点(x,y)组成的集合F称为函数的图像,即F={(x,y)|y=f(x),x∈A}.
(2)图像上点的坐标与函数的关系:如果F是函数y=f(x)的图像,则图像上任意一点的坐标(x,y)都满足函数关系y=f(x);反之,满足函数关系y=f(x)的点(x,y)都在函数图像F上.
(3)图像法:用函数的 表示函数的方法称为图像法.?
(4)作函数图像的方法是 ,其步骤是 、 、 .?
情境二:
北京市自2014年5月1日起,居民用水实行阶梯水价:年用水量不超过180
m3的部分,水价为5元/m3;超过180
m3但不超过260
m3的部分,水价为7元/m3.如果北京市一居民年用水量为x
m3,其要缴纳的水费为f(x)元.假设0≤x≤260,试写出函数f(x)的解析式,并作出函数f(x)的图像.
知识点二 分段函数与常数函数
1.分段函数:如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的 方式,则称其为分段函数.?
2.常数函数:值域只有 元素的函数,这类函数通常称为常数函数.也就是说,常数函数中所有自变量对应的函数值都相等.?
课前自测
判断.
1.任何一个函数都可以用解析法表示.( )
2.任何一个函数都可以用图像法表示.( )
3.函数f(x)=2x+1不能用列表法表示.( )
4.分段函数是由若干个函数构成的.( )
课堂探究
一、函数的表示方法
例1 某商场新进了10台彩电,每台售价3
000元,试求售出台数x(x为正整数)与收款金额y之间的函数关系,分别用列表法、图像法、解析法表示出来.
反思感悟:
跟踪训练1 由下表给出函数y=f(x),则f(f(1))等于( )
x
1
2
3
4
5
y
4
5
3
2
1
A.1
B.2
C.4
D.5
二、求函数解析式
例2 求下列函数的解析式:
(1)已知二次函数的图像过点(-1,4),(0,1),(1,2),求这个二次函数的解析式;
(2)已知f(x)=x2,求f(x-1).
反思感悟:
跟踪训练2 (1)已知f(x2+2)=x4+4x2,则f(x)的解析式为 .?
(2)已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=4x-1,则f(x)= .?
三、分段函数求值
例3 已知函数f(x)=
试求f(-5),f(-),f的值.
反思感悟:
跟踪训练3 已知f(x)=
(1)求f(2),f;
(2)若f(x)=,求x的值;
(3)若f(x)≥,求x的取值范围.
课堂练习
1.已知函数f(x)与x的对应值由下表给出,则f(f(3))等于( )
x
1
2
3
4
f(x)
3
2
4
1
A.1
B.2
C.3
D.4
2.设函数f(x)=若f(a)=4,则实数a等于( )
A.-4或-2
B.-4或2
C.-2或4
D.-2或2
3.已知f(x-1)=x2+4x-5,则f(x)的表达式是( )
A.f(x)=x2+6x
B.f(x)=x2+8x+7
C.f(x)=x2+2x-3
D.f(x)=x2+6x-10
4.已知二次函数f(x)的图像经过点(-3,2),顶点是(-2,3),则函数f(x)的解析式为 .?
核心素养专练
A组:
课本P93练习A第6,7,8题 练习B第7,8,9,10题
B组:
1.已知函数f(x-1)=x2-3,则f(2)的值为( )
A.-2
B.6
C.1
D.0
2.函数f(x)=|x-1|的图像是( )
3.如果f=,则当x≠0,1时,f(x)等于( )
A.
B.
C.
D.-1
4.函数f(x)=的定义域是 .?
5.已知f(x)+3f(-x)=2x+1,求f(x)的解析式.
6.如图所示,有一块边长为a的正方形铁皮,将其四角各截去一个边长为x的小正方形,然后折成一个无盖的盒子,写出此盒子的体积V以x为自变量的函数式,并指明这个函数的定义域.
参考答案
自主预习
略
课堂探究
例1 解:(1)列表法:
x/台
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y/元
3
000
6
000
9
000
12
000
15
000
18
000
21
000
24
000
27
000
30
000
(2)图像法:
如图所示.
(3)解析法:y=3
000x,x∈{1,2,3,…,10}.
反思感悟:略
跟踪训练1 答案:B
解析:由题中表格可知f(1)=4,
所以f(f(1))=f(4)=2.
例2 解:(1)设函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),
则
由此可解得a=2,b=-1,c=1,因此所求函数解析式为y=2x2-x+1.
(2)由已知可得f(x-1)=(x-1)2=x2-2x+1.
反思感悟:略
跟踪训练2 (1)答案:f(x)=x2-4(x≥2)
解析:因为f(x2+2)=x4+4x2=-4,
令t=x2+2(t≥2),则f(t)=t2-4(t≥2),
所以f(x)=x2-4(x≥2).
(2)答案:2x-或-2x+1
解析:因为f(x)是一次函数,设f(x)=ax+b(a≠0),
则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b.
又因为f(f(x))=4x-1,所以a2x+ab+b=4x-1.
所以解得或
所以f(x)=2x-或f(x)=-2x+1.
例3 解:由-5∈(-∞,-2],-∈(-2,2),-∈(-∞,-2],
所以f(-5)=-5+1=-4,f(-)=+2(-)=3-2.
f=-+1=-∈(-2,2),
所以f=f=+2×=-.
反思感悟:略
跟踪训练3 解:(1)f(2)=1,f==,
f=f==.
(2)f(x)=等价于①
或②
解①得x=±,②的解集为?.∴当f(x)=时,x=±.
(3)∵f(x)≥,
∴或
解得x≥或x≤-,
∴x的取值范围是∪.
课堂练习
1.答案:A
2.答案:B
3.答案:A
解析:法一 设t=x-1,则x=t+1.
∵f(x-1)=x2+4x-5,
∴f(t)=(t+1)2+4(t+1)-5=t2+6t,
∴f(x)的表达式是f(x)=x2+6x.
法二 ∵f(x-1)=x2+4x-5=(x-1)2+6(x-1),
∴f(x)=x2+6x,∴f(x)的表达式是f(x)=x2+6x.
故选A.
4.答案:f(x)=-x2-4x-1
解析:∵f(x)的图像顶点是(-2,3),
∴可设f(x)=a(x+2)2+3(a≠0),
由y=f(x)过点(-3,2),得a=-1,
∴f(x)=-(x+2)2+3=-x2-4x-1.
核心素养专练
A组
略
B组
1.答案:B
解析:令t=x-1,则x=t+1,
∴f(t)=(t+1)2-3=t2+2t-2,
∴f(2)=22+2×2-2=6.
2.答案:B
解析:方法一 函数的解析式可化为y=
画出此分段函数的图像(略),故选B.
方法二 由f(-1)=2,知图像过点(-1,2),排除A,C,D,故选B.
3.答案:B
解析:令=t,则x=,代入f=,则有f(t)==,
故f(x)=.故选B.
4.答案:[0,+∞)
解析:定义域为[0,1]∪(1,2)∪[2,+∞)=[0,+∞).
5.解:因为f(x)+3f(-x)=2x+1,①
所以把①中的x换成-x,得f(-x)+3f(x)=-2x+1.②
由①②解得f(x)=-x+.
6.解:由题意可知该盒子的底面是边长为(a-2x)的正方形,高为x,
所以此盒子的体积V=(a-2x)2·x=x(a-2x)2,
其中自变量x应满足
即0所以此盒子的体积V以x为自变量的函数式为V=x(a-2x)2,定义域为.
学习目标
1.会求抽象函数的解析式.
2.会求分段函数解析式,并能作出分段函数的图像.
3.会求分段函数的定义域和值域.
自主预习
1.函数的表示方法:
2.分段函数:
3.常数函数:
4.待定系数法:
课堂探究
问题探究
在生活中,我们会经常遇到不同的盛水容器,有台体、柱体、锥体等.对不同的容器,在等速注水时,水的深度h与注水的时间t之间具有不同的函数关系.我们能否根据容器形状判断出函数的大致图像?下面我们一起来进行如下探究:如图所示A,B,C,D四个盛水容器体积相同,高度相同,向四个容器同时以等速注水,注满为止.回答下列问题.
1.向容器C匀速注水时,水的深度h与注水的时间t之间具有什么函数关系?
2.记A,B,C,D四个容器注水容量达到容积的一半时所用的时间分别为t1,t2,t3,t4比较t1,t2,t3,t4的大小关系.
3.当A,B,C,D四个容器注水的深度h达到容器高度的一半时,用时最短的是哪个容器?最长的又是哪个?
4.向容器B均速注水,则水深h与注水时间t的函数图像是( )
典型例题
例1 1.已知f(x)=x2.
(1)求f(0),f(1),f(2)的值;
(2)求f(a),f(a-1)的值.
2.已知f(x-1)=x2,求f(x)的解析式.
跟踪练习 课本第94页练习B第7,8题
例2 北京市自2014年5月1日起,居民用水实行阶梯水价.其中年用水量不超过180
m3的部分,综合用水单价为5元/m3;超过180
m3但不超过260
m3的部分,综合用水单价为7m3.如果北京市一居民年用水量为x
m3,其中缴纳的水费为f(x)元.假设0≤x≤260,试写出f(x)的解析式,并作出f(x)的图像.
跟踪练习 课本第93页练习A第7,8题
例3 设x为任意一个实数,y是不超过x的最大整数.
(1)
x
6.89
5
π
-1.5
-2
y
6
(2)判断这种对应关系是否是函数?如果是,作出这个函数的图像;如果不是,请说明理由.
评价反馈
1.已知f(-1)=x+2,则函数f(x)的解析式为 .?
2.求狄里克莱函数D(x)=的定义域、值域.能作出这个函数的图像么?
课堂小结
通过本节课的学习,绘制一张思维导图.
要求:你认为的重点、难点、需要注意的地方、规律方法都要画出来.
课后作业
作业1:自学课本第91页 例6、例7
作业2:课本93页 练习B第3,6,9,10题
核心素养专练
(2019河南周口高一联考)设函数f:R→R,满足f(0)=1,且对任意x,y∈R,都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,则f(2
019)=( )
A.0
B.1
C.2
019
D.2
020
参考答案
课堂探究
问题探究
1.因为容器C是圆柱,所以水的深度h随着注水时间t的增加而均匀上升,属于一次函数关系.
2.因为四个容器的容积相等,它们的一半也相等,注水的速度一样,所以时间一样,即t1=t2=t3=t4.
3.由图知,注水的深度h到达容器高度的一半时,容器A的注水量最小,所以用时最短,容器B的注水量最多,所以用时最长.
4.因为B容器下面宽上面窄,水深的增长先慢后快,故选B.
典型例题
例1 1.(1)f(0)=0;f(1)=1;f(2)=4.
(2)f(a)=a2;f(a-1)=a2-2a+1.
2.f(x)=x2+2x+1.
跟踪练习
7.f(-x)=-2x2-x;f(x+1)=-2x2-3x-1
8.f(4)=3;f(x)=2x-5
例2 f(x)=图像略.
跟踪练习
7.定义域R;值域{-1};图像略.
8.(1)f(x)=定义域R,值域[1,2],图像略;
(2)f(x)=定义域R,值域{-1,0,1},图像略.
例3 (1)5 3 -2 -2 (2)是
图像如下:
评价反馈
1.x2+4x+3(x≥-1)
2.定义域R;值域{0,1};不能作出图像
课堂小结
略
课后作业
略
核心素养专练
D3.1.2 函数的单调性
第1课时
学习目标
1.理解函数的单调性及其几何意义.
2.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性.
3.理解函数的最大值和最小值的概念,会求一些简单函数的最值.
自主预习
阅读课本第95页~第97页“1.单调性的定义与证明”并完成下列问题.
(1)完成课本这一部分的填空题目.
(2)函数单调性的定义.
(3)思考课本第96页想一想,并完成尝试与发现.
(4)最大值、最小值.
课堂探究
问题探究
任务一:阅读课本第95页~第97页并完成下列问题
1.“情境与问题”中的问题.
2.单调性的定义.
3.单调性定义中“任意”二字能不能去掉.
4.能否说y=在定义域内是减函数?为什么?
5.最大值、最小值.
6.最值点是不是点?
任务二:函数单调性的简单应用
一、利用图像求函数的单调区间
例1 如图是定义在区间[-2,2]的函数y=f(x),则f(x)的单调递减区间是 .?
【拓展练习】
函数f(x)=x|x|-2x的单调递增区间为 .?
要点归纳
图像法求函数单调区间的步骤:
二、利用定义证明函数的单调性
例2 下列函数中,在R上是增函数的是( )
A.y=|x|
B.y=x
C.y=x2
D.y=
【拓展练习】证明函数f(x)=x-在(0,+∞)上是增函数.
【小结】
利用定义证明函数单调性的步骤:
三、单调性与最值
例3 判断函数f(x)=3x+5,x∈[-1,6]的单调性,并求这个函数的最值.
评价反馈
1.(多选题)下列函数中,在(0,2)上是减函数的是( )
A.y=
B.y=2x-1
C.y=1-2x
D.y=(2x-1)2
2.如图是函数y=f(x)的图像,则函数f(x)的单调递减区间是( )
A.(-1,0)
B.(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞)
D.(-1,0),(1,+∞)
课后作业
课本第102页第1,4,5题
核心素养专练
1.给定函数①y=;②y=(x+1);③y=|x-1|;④y=2x.其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( )
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
2.(多选题)下图中是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图像,则下列关于函数f(x)的说法正确的是( )
A.f(x)在区间[-5,-3]上单调递增
B.f(x)在区间[1,4]上单调递增
C.f(x)在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减
D.f(x)在区间[-5,5]上没有单调性
参考答案
自主预习
略
课堂探究
问题探究
任务一:略
任务二:一、利用图像求函数的单调区间
例1 解析:由图像可以看出f(x)的单调递减区间是[-1,1].
答案:[-1,1]
【拓展练习】
解析:当x≥0时,f(x)=x2-2x,对称轴为x=1,开口向上,在(1,+∞)单调递增;
当x<0时,f(x)=-x2-2x,对称轴为x=-1,开口向下,在(-∞,-1)单调递增,
所以函数的单调递增区间是(-∞,-1)和(1,+∞).
答案:(-∞,-1)和(1,+∞)
要点归纳
1.作图:作出函数的图像;
2.结论:上升图像对应单调递增区间,下降图像对应单调递减区间.
二、利用定义证明函数的单调性
例2 B 解析:根据题意,依次分析选项:
对于A选项,y=|x|=在R上不是增函数,不符合题意;
对于B选项,y=x,为正比例函数,在R上是增函数,符合题意;
对于C选项,y=x2,为二次函数,在R上不是增函数,不符合题意;
对于D选项,y=,为反比例函数,在R上不是增函数,不符合题意.
【拓展练习】
证明:任取x1,x2∈(0,+∞)且x1那么f(x1)-f(x2)=(x1-x2).
因为x1,x2∈(0,+∞),所以x1x2>0,所以1+>0,
又x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
【小结】
三、单调性与最值
例3 在[-1,6]上为增函数
这个函数的最小值为f(-1)=2,最大值为f(6)=23.
评价反馈
1.AC 2.D
课后作业
略
核心素养专练
1.B 2.ABD
学习目标
1.结合实例,经历从具体的直观描述到形式的符号表达的抽象过程.
2.在理解函数单调性定义的基础上,会用单调性的定义证明简单函数的单调性,能利用单调性求简单函数的最值,提升逻辑推理和数学运算素养.
自主预习
知识点一 增函数与减函数的定义
一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,且I?D.
(1)如果对 x1,x2∈I,当x1(2)如果对 x1,x2∈I,当x1知识点二 函数的单调区间
如果函数y=f(x)在I上是增函数(或减函数),则称函数在I上具有单调性,当I为区间时,称I为函数的单调区间,也可分别称为单调递增区间或单调递减区间.
知识点三 函数的最大值与最小值
一般地,设函数f(x)的定义域为D,且x0∈D:如果对 x∈D,都有f(x) f(x0),则称f(x)的最大值为f(x0),而x0称为f(x)的最大值点;如果对 x∈D,都有f(x) f(x0),则称f(x)的最小值为f(x0),而x0称为f(x)的最小值点.最大值和最小值统称为 ,最大值点和最小值点统称为 .?
课前自测
判断.
1.函数f(x)的定义域为I,如果定义域内某个区间D上存在两个自变量x1,x2,当x12.若f(x)在区间D上为减函数,则在此区间上函数值随自变量的增大而减小.( )
3.函数f(x)=在(1,2]上无最大值,最小值为,值域为.( )
4.如果f(x)在区间[a,b]和(b,c]上都是增函数,则f(x)在区间[a,c]上是增函数.( )
课堂探究
阅读课本第95~96页回答以下几个问题(可小组讨论).
问题 (1)当时间间隔t逐渐增大你能看出对应的函数值y有什么变化趋势?通过这个试验,你打算以后如何对待刚学过的知识?
(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的,对此,我们如何用数学观点进行解释?
探究
问题1:观察下列函数图像,请你说说这些函数有什么变化趋势?
问题2:怎样用不等式符号表示“y随着x的增大而增大”“y随着x的增大而减小”?
问题3:如何用数学语言准确刻画函数y=f(x)在区间D上单调递增呢?
问题4:请你试着用数学语言定义函数y=f(x)在区间D上是单调递减的.
题型一 利用图像判断函数的单调性
例1 如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),根据图像说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?
跟踪训练1
如图,已知函数y=f(x),y=g(x)的图像(包括端点),根据图像写出函数的单调区间,以及在每一个区间上,函数是增函数还是减函数.
题型二 利用定义证明函数的单调性
例2 求证:函数f(x)=-2x在R上是减函数.
跟踪训练2 求证:函数f(x)=x+在区间(2,+∞)内为增函数.
题型三 利用函数的单调性求最值
例3 判断函数f(x)=3x+5,x∈[-1,6]的单调性,并求出这个函数的最值.
引申 判断函数f(x)=3x+5,x∈(-1,6]的单调性,并求出这个函数的最值.
课堂练习
1.函数y=f(x)的图像如图所示,其增区间是( )
A.[-4,4]
B.[-4,-3],[1,4]
C.[-3,1]
D.[-3,4]
2.下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递减的是( )
A.y=-
B.y=x
C.y=x2
D.y=1-x
3.判断函数f(x)=5x+1,x∈[-2,7]的单调性,并求出这个函数的最值.
核心素养专练
A组
1.函数y=(2k-1)x+b在(-∞,+∞)上是减函数,则( )
A.k<
B.k>
C.k>-
D.k<-
2.下列函数中,在(-∞,0)上为减函数的是( )
A.y=-x2+2
B.y=4x-1
C.y=x2+4x
D.y=
3.f(x)对任意两个不相等的实数a,b,总有>0,则必有( )
A.函数f(x)先增后减
B.函数f(x)先减后增
C.函数f(x)是R上的增函数
D.函数f(x)是R上的减函数
4.(多项选择)如图所示的是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图像,则下列关于函数f(x)的说法正确的( )
A.函数在区间[-5,-3]上单调递增
B.函数在区间[2,3]上单调递增
C.函数在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减
D.函数在区间[-3,3]上不单调
5.已知函数y=f(x)是定义在[-2,2]上的增函数,且f(1-m)6.已知函数f(x)=,且f(2)=,f(3)=.
(1)求f(x)的函数解析式;
(2)求证:f(x)在[3,5]上为增函数;
(3)求函数f(x)的值域.
B组
1.已知函数f(x)=x2-kx-6在[2,8]上是单调函数,则k的取值范围是( )
A.(4,16)
B.[4,16]
C.[16,+∞)
D.(-∞,4]∪[16,+∞)
2.已知函数f(x)=若f(x)在R上是减函数,则实数k的取值范围为 .?
3.已知函数f(x)=x2-4|x|+3,x∈R.
(1)将函数写成分段函数的形式;
(2)画出函数的图像;
(3)根据图像写出它的单调区间.
参考答案
自主预习
略
课堂探究
问题:略
探究:略
题型一 利用图像判断函数的单调性
例1 解:y=f(x)的单调区间有[-5,-2],[-2,1],[1,3],[3,5],其中y=f(x)在区间[-5,-2],[1,3]上是减函数,在区间[-2,1],[3,5]上是增函数.
跟踪训练1
解:y=f(x)的单调区间有[-2,-1],[-1,0],[0,1],[1,2].其中y=f(x)在区间[-2,-1],[0,1]上是减函数,在区间[-1,0],[1,2]上是增函数.y=g(x)的单调区间有[-3,-1.5],[-1.5,1.5],[1.5,3],
其中y=g(x)在区间[-3,-1.5],[1.5,3]上是减函数,在区间[-1.5,1.5]上是增函数.
题型二 利用定义证明函数的单调性
例2 证明:任取x1,x2∈R且x1那么f(x1)-f(x2)=(-2x1)-(-2x2)=2(x2-x1)>0,
从而f(x1)>f(x2).
因此函数f(x)=-2x在R上是减函数.
跟踪训练2 证明:任取x1,x2∈(2,+∞),且x1那么f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)+=.
由x1,x2∈(2,+∞),得x1>2,x2>2.
所以x1x2>4,x1x2-4>0,
又由x1于是<0,即f(x1)所以函数f(x)=x+在(2,+∞)上是增函数.
题型三 利用函数的单调性求最值
例3 解:任取x1,x2∈[-1,6]且x1那么f(x1)-f(x2)=(3x1+5)-(3x2+5)=3(x1-x2)<0,所以这个函数是增函数.
因此,当-1≤x≤6时,有f(-1)≤f(x)≤f(6).
从而这个函数的最小值为f(-1)=2,最大值为f(6)=23.
引申 f(x)无最小值,最大值为f(6)=23.
课堂练习
1.C 2.D
3.解:任取x1,x2∈[-2,7],且x1那么f(x1)-f(x2)=5x1+1-(5x2+1)=5(x1-x2)<0.
所以这个函数是增函数.因此当-2≤x≤7时,有f(-2)≤f(x)≤f(7),从而这个函数的最小值为f(-2)=-9,最大值为f(7)=36.
核心素养专练
1.A 2.D 3.C 4.ABD 5.6.解:(1)函数f(x)=,
由f(2)=,得a+4b=6,①
由f(3)=,得2a+5b=9,②
联立①②解得则函数解析式为f(x)=.
(2)任取x1,x2∈[3,5]且x1∴f(x1)-f(x2)=-=.
∵3≤x1∵(x1+2)(x2+2)>0,∴f(x1)-f(x2)<0,
∴f(x1)(3)由(2)知f(x)在[3,5]上为增函数,
则f(x)max=f(5)=,f(x)min=f(3)=.
∴函数的值域为.
B组
1.D 2.
3.(1)f(x)=x2-4|x|+3=
(2)图像如图所示.
(3)单调增区间为[-2,0),[2,+∞),
单调减区间为(-∞,-2],[0,2].3.1.2 函数的单调性
第2课时
学习目标
1.理解斜率的含义及平均变化率的概念.
2.掌握判断函数单调性的充要条件.
自主预习
阅读课本第97页~101页”2.函数的平均变化率”,并完成下列问题
(1)完成课本这一部分的填空题目.
(2)思考课本第98页“尝试与发现”.
(3)直线斜率.
(4)平均变化率.
(5)平均变化率与函数单调性.
课堂探究
问题探究
任务一 阅读课本第97页~101页完成下列问题.
1.直线的斜率定义.
2.函数平均变化率.
3.函数单调性的充要条件.
4.平均变化率的物理意义.
任务二 简单应用
例1 利用平均变化率证明函数f(x)=在(-∞,0)和(0,+∞)上都是减函数.
例2 判断直线y=kx+b(k≠0)的单调性.
要点归纳
一次函数单调性与k的关系:
例3 证明函数f(x)=x2+2x在(-∞,-1]上是减函数,在[-1,+∞)上是增函数.
要点归纳
二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的单调性.
评价反馈
1.(多选题)若函数f(x)在R上是减函数,则下列关系式不恒成立的是( )
A.f(a)>f(2a)
B.f(a2)C.f(a2+a)D.f(a2+1)2.一高为H、满缸水量为V的鱼缸截面如图所示,其底部破了一个小洞,满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为h时的水的体积为v,则函数v=f(h)的大致图像可能是图中的( )
课后作业 课本第102页第6题,第103页B组第1,2题
核心素养专练
函数f(x)=3x2-6x+1,x∈[0,3]的最大值是 ,最小值是 .?
参考答案
自主预习
略
课堂探究
任务一 略
任务二 简单应用
例1 解:设x1≠x2,那么=-,
如果x1,x2∈(-∞,0),则x1x2>0,此时<0,所以函数在(-∞,0)上是减函数,同理函数在(0,+∞)上是增函数.
例2 解:设x1≠x2,那么==k.
因此一次函数的单调性取决于k的符号.当k>0时一次函数在R上是增函数;当k<0时一次函数在R上是减函数.
要点归纳 略
例3 证明:设x1≠x2,则==x2+x1+2,
因此当x1,x2∈(-∞,-1]时,x2+x1+2<0,
从而<0,因此函数在(-∞,-1]上是减函数.
因此当x1,x2∈[-1,+∞)时,x2+x1+2>0,
从而>0,因此函数在[-1,+∞)上是增函数.
要点归纳 略
评价反馈
1.ABC
2.B
核心素养专练
10 -2
学习目标
1.了解函数的平均变化率,理解函数单调性与平均变化率的关系.
2.会用函数单调性的充要条件证明简单函数的单调性.在运用函数单调性充要条件过程中,提升数学运算和逻辑推理素养.
3.会根据函数的单调性解决一些实际问题,提升学生数学建模、数据分析的核心素养.
自主预习
1.函数的平均变化率
一般地,当x1≠x2时,称=为函数y=f(x)在区间[x1,x2](x1x2时)上的平均变化率.
2.函数单调递增、递减的充要条件
一般地,若I是函数y=f(x)的定义域的子集,对任意x1,x2∈I且x1≠x2,记y1=f(x1),y2=f(x2),=,则:
(1)y=f(x)在I上是增函数的充要条件是 在I上恒成立;?
(2)y=f(x)在I上是减函数的充要条件是 在I上恒成立.?
课前检测
判断.
1.一次函数y=kx+b(k≠0)满足Δy=kΔx.( )
2.函数y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率=.( )
3.已知函数f(x)=-x2+x的图像上一点(-1,-2)及邻近一点(-1+Δx,-2+Δy),则=( )
A.3
B.3Δx-(Δx)2
C.3-(Δx)2
D.3-Δx
新课导入 科考队对“早穿棉袄午穿纱,围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考察,如图是某天气温随时间的变化曲线.请根据曲线图思考下列问题:
问题1 在区间[6,17]对应的曲线上任取不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),=一定大于零吗?
问题2 如果在区间[2,10]对应的曲线上任取不同两点C(x3,y3),D(x4,y4),=一定大于零吗?
合作 如下图所示,观察函数图像上任意两点连线的斜率的符号与函数单调性之间的关系,并总结出一般规律.
(1)
(2)
函数单调递增的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都大于0,函数单调递减的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都小于0.
课堂探究
题型一 函数单调递增、递减充要条件的应用
例1 证明函数f(x)=x2+2x在(-∞,-1]上是减函数,在[-1,+∞)上是增函数,并求出这个函数的最值.
引申 判断二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的单调性,并求出相应的最值.
跟踪训练1 证明f(x)=是定义域上的增函数.
题型二 利用单调性解求参数范围
例2 (1)已知函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,试比较f(a2-a+1)与f的大小;
(2)已知函数f(x)=若f(x)在R上是减函数,求实数k的取值范围.
跟踪训练2 (1)函数f(x)=满足:对任意的实数x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0成立,则实数a的取值范围是( )
A.
B.
C.[1,2]
D.[1,+∞)
(2)已知g(x)是定义在[-2,1]上的减函数,且g(t-1)>g(1-3t),求t的取值范围.
题型三 实际应用
例3 某产品生产厂家根据以往的销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生产产品x(百台),其总成本为G(x)(万元),其中固定成本为2.8万元,并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本=固定成本+生产成本).销售收入R(x)(万元)满足:R(x)=假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉),根据上述统计规律,请完成下列问题:
(1)写出利润函数y=f(x)的解析式(利润=销售收入-总成本).
(2)工厂生产多少台产品时,可使盈利最多?
课堂练习
1.
向一个圆台形的容器(如图所示)中倒水,且任意相等的时间间隔内所倒的水体积相等,记容器内水面的高度y随时间t变化的函数为y=f(t),则以下函数图像中,可能是y=f(t)的图像的是( )
2.已知函数f(x)=4x2-kx-8在[5,+∞)上单调递增,则实数k的取值范围是( )
A.(-∞,40)
B.(-∞,40]
C.(40,+∞)
D.[40,+∞)
3.已知函数f(x)=.
(1)证明函数f(x)在(-1,+∞)上是减函数;
(2)求x∈[0,3]时,函数f(x)的值域.
核心素养专练
A组
1.f(x)对任意两个不相等的实数a,b,总有>0,则必有( )
A.函数f(x)先增后减
B.函数f(x)先减后增
C.函数f(x)是R上的增函数
D.函数f(x)是R上的减函数
2.一物体的运动方程是s=3+t2,则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( )
A.0.41
B.3
C.4
D.4.1
3.已知函数f(x)=2x-3,当x≥1时,恒有f(x)≥m成立,则实数m的取值范围是( )
A.R
B.(-∞,-1]
C.[-1,+∞)
D.?
4.已知函数f(x)=则f(x)的最大值、最小值分别为( )
A.10,6
B.10,8
C.8,6
D.以上都不对
5.已知函数f(x)=4x2-mx+1,在(-∞,-2]上单调递减,在[-2,+∞)上单调递增,则f(x)在[1,2]上的值域为 .?
6.f(x)是定义在[0,+∞)上的减函数,则不等式f(x)
7.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示,试指出哪一个厂治污效果较好?
B组
设函数f(x)=,其中a∈R.
(1)若a=1,函数f(x)的定义域为[0,3],求f(x)的最大值和最小值;
(2)若函数f(x)的定义域为(0,+∞),求使函数f(x)在定义域内是减函数的a的取值范围.
参考答案
自主预习
略
课堂探究
题型一 函数单调递增、递减充要条件的应用
例1 证明:设x1≠x2,则
===x1+x2+2.
因此:当x1,x2∈(-∞,-1]时,有x1+x2<-2,从而<0,因此f(x)在(-∞,-1]上是减函数;
当x1,x2∈[-1,+∞)时,有x1+x2>-2,从而>0,因此f(x)在[-1,+∞)上是增函数.
由函数的单调性可知,函数没有最大值;而且,当x∈(-∞,-1]时,有f(x)≥f(-1),当x∈[-1,+∞)时,不等式也成立,因此f(-1)=-1是函数的最小值.
引申
用类似的方法可以证明,二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的单调性为:
(1)当a>0时,f(x)在上单调递减,在上单调递增,函数没有最大值,但有最小值f=;
(2)当a<0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减,函数没有最小值,但有最大值f=.
跟踪训练1 证明:函数f(x)=的定义域为[0,+∞),设?x1,x2∈[0,+∞)且x1≠x2,则====>0,∴函数f(x)=在定义域[0,+∞)上是增函数.
题型二 利用单调性求参数范围
例2 解:(1)由a2-a+1=+≥,而函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,
所以f(a2-a+1)≤f.
(2)若f(x)=在R上是减函数,
则解得k∈.
跟踪训练2 (1)C
(2)解:因为g(x)是定义在[-2,1]上的减函数,且g(t-1)>g(1-3t).
所以所以则0≤t<.
故t的取值范围为0≤t<.
题型三 实际应用
例3 解:(1)由题意得G(x)=2.8+x,
所以f(x)=R(x)-G(x)
=
(2)当x>5时,因为函数f(x)单调递减,
所以f(x)当0≤x≤5时,函数f(x)=-0.4(x-4)2+3.6,
当x=4时,f(x)有最大值为3.6万元,
所以当工厂生产4百台产品时,可使盈利最大为3.6万元.
课堂练习
1.D 2.B
3.(1)证明:设任意x1,x2∈(-1,+∞)且x1≠x2,
则===,
∵x1>-1,x2>-1,∴x1+1>0,x2+1>0,
∴<0,∴<0,
∴函数f(x)在(-1,+∞)上是减函数.
(2)解:由(1)的证明知,函数f(x)在(-1,+∞)上是减函数.
∵[0,3]?(-1,+∞),∴函数f(x)在[0,3]上是减函数.
∴函数f(x)在[0,3]上的最大值是f(0)=2,最小值是f(3)=.∴函数f(x)在[0,3]上的值域是.
核心素养专练
A组
1.C 2.D 3.B 4.A 5.[21,49] 6.
7.解:在t0处,虽然W1(t0)=W2(t0),
但>,
即<,
所以,在相同时间Δt内,甲厂比乙厂的平均治污率小.
所以乙厂治污效果较好.
B组
解:f(x)===a-.
(1)当a=1时,f(x)=1-,
设任意x1,x2∈[0,3],且x1≠x2,
则==.
又∵x1+1>0,x2+1>0,∴>0,
∴函数f(x)在[0,3]上是增函数.
∴f(x)max=f(3)=1-=,
f(x)min=f(0)=1-=-1.
(2)设任意x3,x4∈(0,+∞),且x3≠x4,
则x3+1>0,x4+1>0.
若使f(x)在(0,+∞)上是减函数,
则只要=<0,
又=,
∴当a+1<0,即a<-1时,有<0.
∴a的取值范围为(-∞,-1).3.1.3 函数的奇偶性
第1课时
学习目标
1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.
2.会运用函数的图像理解和研究函数的奇偶性.
3.学会判断函数的奇偶性.
自主预习
初中时我们学习过有关轴对称和中心对称的知识,而且已经知道,在平面直角坐标系中,点(x,y)关于y轴的对称点为(-x,y),关于原点的对称点为(-x,-y).例如,(-2,3)关于y轴的对称点为 ,关于原点的对称点为 .?
课堂探究
【尝试与发现1】
填写下表,观察指定函数的自变量x互为相反数时,函数值之间具有什么关系,并分别说出函数图像应具有的特征并画出两个函数的简图.
x
-3
-2
-1
1
2
3
f(x)=x2
g(x)=
【尝试与发现2】填写下表,观察指定函数的自变量x互为相反数时,函数值之间具有什么关系,并分别说出函数图像应具有的特征并画出两个函数的简图.
x
-3
-2
-1
1
2
3
f(x)=x3
g(x)=
完成下列填空:
1.一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有 ,且 ,则称y=f(x)为奇函数.?
2.奇函数的图像关于 对称.?
3.奇函数的定义域关于 对称.?
4.点P(x,f(x))与Q(-x,f(-x))都是函数y=f(x)图像上的点,如果y=f(x)是奇函数,则点Q又可以写成Q(-x,-f(x)),因此点P和点Q关于原点对称,所以奇函数的图像关于 对称;反之,结论也成立,即图像关于原点对称的函数一定是 .?
典型例题
例题 判断下列函数是否具有奇偶性:
(1)f(x)=x+x3+x5;(2)f(x)=x2+1;
(3)f(x)=x+1;(4)f(x)=x2,x∈[-1,3].
核心素养专练
一、选择题
1.给定四个函数:①f(x)=x3+,②f(x)=,③f(x)=x4+1,④f(x)=,其中是奇函数的有( )
A.①③
B.①④
C.③④
D.②④
2.下面四个结论:
①偶函数的图像一定与y轴相交;
②奇函数的图像一定通过坐标原点;
③偶函数的图像关于y轴对称;
④既是奇函数也是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R).
其中正确结论的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
3.若函数f(x)(f(x)≠0)为奇函数,则必有( )
A.f(x)f(-x)>0
B.f(x)f(-x)<0
C.f(x)D.f(x)>f(-x)
4.若函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,则g(x)=ax3+bx2+cx是( )
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既奇又偶函数
5.已知定义在R上的偶函数f(x)满足:当x∈[0,+∞)时,f(x)=则f[f(-2)]的值为( )
A.1
B.3
C.-2
D.-3
二、填空题
6.函数f(x)=-x的图像关于 对称.?
7.若函数f(x)为奇函数,函数g(x)为偶函数,且f(x)-g(x)=x2+3x+2,则f(x)+g(x)= .?
8.设函数y=f(x)是奇函数,若f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3,则f(1)+f(2)= .?
三、解答题
9.判断函数f(x)=的奇偶性.
10.已知函数f(x)=x2-4|x|+3.
(1)试证明函数f(x)是偶函数;
(2)画出f(x)的图像;
(3)请根据图像指出函数f(x)的单调递增区间与单调递减区间.(不必证明)
参考答案
自主预习
略
课堂探究
【尝试与发现1】
略
【尝试与发现2】
略
1.-x∈D f(-x)=-f(x)
2.原点
3.x=0
4.原点 奇函数
典例例题
例题 解:(1)x∈R,∵f(-x)=(-x)+(-x)3+(-x)5=-x-x3-x5=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
(2)x∈R,∵f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x),
∴f(x)是偶函数.
(3)x∈R,∵f(-x)=-x+1≠f(x)且f(-x)=-x+1≠-f(x),
∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(4)x∈[-1,3],定义域不关于x=0对称,
∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
核心素养专练
1.B 2.A 3.B 4.A 5.A
6.原点 7.-x2+3x-2 8.-3
9.解:∵x∈[-1,0)∪(0,1],∴-x∈[-1,0)∪(0,1].
∵f(x)+f(-x)=-=0,
∴f(x)=是奇函数.
10.解:(1)由于函数f(x)=x2-4|x|+3的定义域为R,且满足f(-x)=f(x),故函数f(x)是偶函数.
(2)f(x)的图像如图所示.
(3)根据图像可知函数f(x)的单调递增区间为[-2,0],[2,+∞);单调递减区间为(-∞,-2],[0,2].
学习目标
课标要求
1.结合具体函数,了解函数奇偶性的概念和几何意义.
2.能判断函数的奇偶性,能运用奇偶函数的图像特征解决一些简单问题.
素养要求
通过本节内容的学习,会结合实例,利用图像抽象出函数性质,提升直观想象和逻辑推理素养.
自主预习
情境引入
在我们的日常生活中,可以观察到许多对称现象,如图,六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影……
问题1 上述材料中提到的图形对称指的是“整个图形对称”还是“图形的部分”对称?
问题2 哪个图形是轴对称图形?哪个图形是中心对称图形?
新知梳理
1.偶函数的定义及图像特征
(1)偶函数的定义:
一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有 ,且 ,则称y=f(x)为偶函数.?
(3)偶函数的图像特征:偶函数的图像关于 对称.反之,图像关于y轴对称的函数一定是 函数.?
2.奇函数的定义及图像特征
(1)奇函数的定义:
一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有 ,且 ,则称y=f(x)为奇函数.?
(2)奇函数的图像特征:奇函数的图像关于 对称.反之,图像关于原点对称的函数一定是 函数.?
[自主判断]
1.对于函数y=f(x),若存在x,使f(-x)=-f(x),则函数y=f(x)一定是奇函数.( )
2.不存在既是奇函数,又是偶函数的函数.( )
3.奇函数f(x)的定义域为R,且f(-2)=5,则f(2)=-5.( )
[自主训练]
1.f(x)=x3+的图像关于 对称.?
2.函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-x+1,则f(-2)= .?
[思考]
1.如果函数f(x)具有奇偶性,那么函数f(x)的定义域一定关于原点对称吗?
2.若奇函数f(x)在x=0处有意义,则f(0)的值是多少?
课堂探究
题型一 函数奇偶性的判定
关键:首先判断定义域是否关于原点对称,若对称再判断f(-x)与f(x)的关系.
例1 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=2-|x|;
(2)f(x)=+;
(3)f(x)=.
【训练1】判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x3+x5;
(2)f(x)=|x+1|+|x-1|;
(3)f(x)=.
题型二 分段函数奇偶性的判定
例2 判断函数f(x)=的奇偶性.
【训练2】判断函数f(x)=的奇偶性.
题型三 奇、偶函数的图像特征
例3 已知函数f(x)=,令g(x)=f.
(1)已知f(x)在区间[0,+∞)上的图像如图,请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图像,请说明你的作图依据;
(2)求证:f(x)+g(x)=1(x≠0).
【训练3】(1)如图给出了奇函数y=f(x)的局部图像,则f(-2)的值为( )
A.
B.-
C.
D.-
(2)设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],当x∈[0,5]时,函数y=f(x)的图像如图所示,则使函数值y<0的x的取值集合为( )
A.(2,5)
B.(-5,-2)∪(2,5)
C.(-2,0)
D.(-2,0)∪(2,5)
核心素养
一、素养落地
1.通过本节课的学习,重点提升学生的直观想象和逻辑推理素养.
2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据,为了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数进行化简,或应用定义的等价形式f(-x)=±f(x)?f(-x)?f(x)=0?=±1(f(x)≠0).
3.(1)若f(x)=0且f(x)的定义域关于原点对称,则f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)f(x)为奇函数?f(x)的图像关于原点对称,f(x)为偶函数?f(x)的图像关于y轴对称.
二、素养训练
1.下列图像表示的函数具有奇偶性的是( )
2.已知f(x)为偶函数,且当x≥0时,f(x)≥2,则当x≤0时( )
A.f(x)≤2
B.f(x)≥2
C.f(x)≤-2
D.f(x)∈R
3.已知函数f(x)是定义在区间[a-1,2a]上的奇函数,则实数a的值为 .?
课堂练习
1.下列函数中奇函数的个数为( )
①f(x)=x3;②f(x)=x5;③f(x)=x+;④f(x)=.
A.1
B.2
C.3
D.4
2.已知f(x)是定义在R上的奇函数,f(-3)=2,则下列各点中一定在函数f(x)的图像上的是( )
A.(3,-2)
B.(3,2)
C.(-3,-2)
D.(2,-3)
3.若f(x)=a-是定义在R上的奇函数,则a的值为( )
A.0
B.-1
C.1
D.2
4.如图,给出奇函数y=f(x)的局部图像,则f(-2)+f(-1)的值为( )
A.-2
B.2
C.1
D.0
5.已知y=f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=x2+ax,且f(3)=6,则a的值为 .?
核心素养专练
基础达标
一、选择题
1.已知f(x)是定义在R上的偶函数,则f(5)+f(-5)=( )
A.0
B.5
C.2f(5)
D.f(0)
2.若函数f(x)满足=1,则f(x)的图像的对称轴是( )
A.x轴
B.y轴
C.直线y=x
D.不能确定
3.f(x)是定义在R上的奇函数,下列结论中不一定正确的是( )
A.f(-x)+f(x)=0
B.f(-x)-f(x)=-2f(x)
C.f(x)·f(-x)≤0
D.=-1
二、填空题
4.下列函数为偶函数的是 (只填序号).?
①y=x2(x≥0);②y=(x-1);③y=2;④y=|x|(x≤0).
5.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2+1,则f(-2)+f(0)= .?
6.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)= .?
三、解答题
7.判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=x4-3x2;
(2)f(x)=.
8.已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,求证:g(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)为奇函数.
能力提升
9.定义在[-3,-1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数,其部分图像如图所示.
(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图像;
(2)比较f(1)与f(3)的大小.
10.已知函数f(x)是正比例函数,函数g(x)是反比例函数,且f(1)=1,g(1)=2.
(1)求函数f(x)和g(x)的解析式;
(2)判断f(x)+g(x)的奇偶性.
参考答案
自主预习
略
课堂探究
题型一 函数奇偶性的判定
例1 解:(1)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,
又f(-x)=2-|-x|=2-|x|=f(x),
∴f(x)为偶函数.
(2)函数f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,且f(x)=0,
又f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),
∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
(3)函数f(x)的定义域为{x|x≠1},不关于原点对称,
∴f(x)是非奇非偶函数.
规律方法 判断函数奇偶性的两种方法:
(1)定义法:
(2)图像法:
【训练1】解:(1)函数的定义域为R.
∵f(-x)=(-x)3+(-x)5=-(x3+x5)=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
(2)f(x)的定义域是R.
∵f(-x)=|-x+1|+|-x-1|=|x-1|+|x+1|=f(x),
∴f(x)是偶函数.
(3)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,
∴f(x)是非奇非偶函数.
题型二 分段函数奇偶性的判定
例2 解:f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
当x>0时,-x<0,
f(-x)=1-(-x)=1+x=f(x);
当x<0时,-x>0,
f(-x)=1+(-x)=1-x=f(x).
综上可知,对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数.
规律方法 分段函数奇偶性的判断应注意
(1)定义域是否关于原点对称;
(2)在各段求出f(-x)后与对应段上的f(x)比较.
【训练2】解:f(x)的定义域为R,
当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)3=-x3,
而f(x)=x2,
∴当x<0时不满足f(-x)=f(x),也不满足f(-x)=-f(x).
故此函数是非奇非偶函数.
题型三 奇、偶函数的图像特征
例3 (1)解:∵f(x)=,
∴f(x)的定义域为R.
又对任意x∈R,都有f(-x)===f(x),
∴f(x)为偶函数,故f(x)的图像关于y轴对称,其图像如图所示:
(2)证明:∵g(x)=f==(x≠0),
∴f(x)+g(x)=+==1,
即f(x)+g(x)=1(x≠0).
规律方法 (1)先判断函数的奇偶性;
(2)利用函数的奇偶性作图,其依据是奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称.
【训练3】解析:(1)奇函数的图像关于原点对称,因此,f(-2)=-f(2)=-.
(2)因为原函数是奇函数,所以y=f(x)在[-5,5]上的图像关于坐标原点对称,由y=f(x)在[0,5]上的图像,知它在[-5,0]上的图像,如图所示,由图像知,使函数值y<0的x的取值集合为(-2,0)∪(2,5).
答案:(1)B (2)D
核心素养
素养训练
1.B 解析:选项A中的图像关于原点或y轴均不对称,故排除;选项C,D中的图像所示的函数的定义域不关于原点对称,不具有奇偶性,故排除;选项B中的图像关于y轴对称,其表示的函数是偶函数,故选B.
2.B 解析:根据偶函数的图像关于y轴对称,易知当x≤0时,有f(x)≥2.故选B.
3. 解析:由题意知a-1+2a=0,得a=.
课堂练习
1.C
2.A 解析:f(-3)=2,即点(-3,2)在奇函数的图像上,
∴(-3,2)关于原点的对称点(3,-2)必在f(x)的图像上.
3.C 解析:∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(0)=0,即f(0)=a-=0,
∴a=1.
4.A 解析:f(-2)+f(-1)=-f(2)-f(1)=--=-2.
5.5 解析:因为f(x)是奇函数,
所以f(-3)=-f(3)=-6,
所以(-3)2+a(-3)=-6,
解得a=5.
核心素养专练
基础达标
一、选择题
1.C 解析:因为f(x)是偶函数,所以f(-5)=f(5),故f(5)+f(-5)=2f(5).
2.B 解析:=1?f(-x)=f(x),f(x)为偶函数,∴其图像的对称轴为y轴.
3.D 解析:f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x),所以A,B,C均正确.只有f(x)≠0时,才有=-1,D不正确.
二、填空题
4.③ 解析:对于①④,其定义域显然不关于原点对称,故其为非奇非偶函数;又②中,由得定义域为[-1,1),不关于原点对称,故②也是非奇非偶函数;对于③,其定义域为R,且对?x∈R都满足f(-x)=f(x)=2,故③是偶函数.
5.-5 解析:∵f(x)为奇函数,且x>0时,f(x)=x2+1,
∴f(-2)=-f(2)=-(4+1)=-5.
又f(0)=0,
∴f(-2)+f(0)=-5+0=-5.
6.1 解析:在f(x)-g(x)=x3+x2+1中,
令x=-1,得f(-1)-g(-1)=1,
又f(-1)=f(1),g(-1)=-g(1),
∴f(1)+g(1)=1.
三、解答题
7.解:(1)f(x)=x4-3x2的定义域是R,关于原点对称.
又f(-x)=(-x)4-3(-x)2=x4-3x2=f(x),
∴f(x)=x4-3x2是偶函数.
(2)由得-1≤x<0或0∴f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1],关于原点对称,
∴f(x)==.
又f(-x)==-f(x),
故f(x)为奇函数.
8.证明:∵f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,
∴f(-x)=f(x),
即a(-x)2-bx+c=ax2+bx+c,
∴b=0,
∴g(x)=ax3+cx,其定义域为R,
又g(-x)=a(-x)3+c(-x)=-(ax3+cx)=-g(x).
∴g(x)为奇函数.
9.解:(1)因为f(x)是奇函数,其图像关于原点对称,可作出f(x)图像如图所示.
(2)由(1)中的图像可知f(x)在[1,3]上单调递减,
∴f(1)>f(3).
10.解:(1)设f(x)=k1x,g(x)=(k1,k2≠0),
则1=f(1)=k1,2=g(1)=k2,
∴f(x)=x,g(x)=.
(2)令h(x)=f(x)+g(x)=x+,
则其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
又h(-x)=-x+=-=-h(x),
∴f(x)+g(x)为奇函数.3.1.3 函数的奇偶性
第2课时
学习目标
1.掌握函数奇偶性的简单应用.
2.了解函数图像的对称轴、对称中心满足的条件.
自主预习
1.函数的奇偶性与单调性的性质
(1)若f(x)为奇函数且在区间[a,b](a(2)若f(x)为偶函数且在区间[a,b](a2.奇偶函数的运算性质
在公共定义域内:
(1)两个奇函数的和函数是 函数,积函数是 函数;?
(2)两个偶函数的和函数、积函数都是 函数;?
(3)一个奇函数、一个偶函数的积函数是 函数.?
3.函数的对称轴与对称中心
(1)若函数f(x)的定义域为D,对?x∈D都有f(T+x)=f(T-x)(T为常数),则x= 是f(x)的对称轴.?
(2)若函数f(x)的定义域为D,对?x∈D都有f(a+x)+f(a-x)=2b(a,b为常数),则 是f(x)的对称中心.?
课堂探究
题型一 利用奇偶性求函数解析式
例1 (1)函数f(x)是R上的偶函数,且当x<0时,f(x)=x(x-1),则当x>0时,f(x)= .?
(2)函数f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1,则f(x)= .?
【训练1】(1)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=-x2-x,求函数f(x)的解析式;
(2)已知f(x)是R上的偶函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=x2+x-1,当x∈(-∞,0)时,求f(x)的解析式.
题型二 利用奇偶性研究函数的性质
例2 研究函数f(x)=x2-2|x|+1的单调性,并求出f(x)的最值.
【训练2】研究函数f(x)=x+的单调性,并写出函数的值域.
题型三 证明函数图像的对称性
例3 求证:二次函数f(x)=-x2-2x+1的图像关于x=-1对称.
【训练3】证明函数f(x)=的图像关于点(-1,1)对称.
课堂练习
1.已知函数y=f(x)在R上为奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2-2x,则当x<0时,f(x)的解析式是( )
A.f(x)=-x(x+2)
B.f(x)=x(x-2)
C.f(x)=-x(x-2)
D.f(x)=x(x+2)
2.若函数f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)为偶函数,则m的值是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
3.设函数y=f(x)是偶函数,若f(-3)+f(-1)-5=f(3)+f(1)+a,则a= .?
4.若f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上为奇函数,且在(0,+∞)上为增函数,f(-2)=0,则不等式xf(x)<0的解集为 .?
5.证明函数f(x)=的图像关于(-1,0)对称.
核心素养专练
1.如果函数F(x)=是奇函数,则f(x)= .?
2.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0)上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是 .?
3.若函数f(x)=x2-2ax+3图像的对称轴为x=1,则当x∈[-1,2]时,f(x)的值域为 .?
4.已知函数f(x)=x+(a>0).
(1)判断函数f(x)的奇偶性并证明.
(2)若a=4,证明:函数f(x)在区间(2,+∞)上是增函数.
5.设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)=x5+x3+b.
(1)求b值;
(2)若f(x)在[0,2]上单调递增,且f(m)+f(m-1)>0,求实数m的取值范围.
参考答案
自主预习
略
课堂探究
题型一 利用奇偶性求函数解析式
例1 解析:(1)设x>0,则-x<0,所以f(-x)=-x(-x-1)=x(x+1).因为函数f(x)为R上的偶函数,故当x>0时,f(x)=f(-x)=x(x+1),即x>0时,f(x)=x(x+1).
(2)设x<0,则-x>0,
所以f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.
由于f(x)是R上的奇函数,故f(x)=-f(-x),
所以f(x)=2x2+3x-1,即当x<0时,f(x)=2x2+3x-1.
因为f(x)为R上的奇函数,故f(0)=0.
综上,f(x)的解析式为f(x)=
答案:(1)x(x+1) (2)
【训练1】解:(1)设x>0,则-x<0,
∴f(-x)=-(-x)2-(-x)=-x2+x.
又f(x)是R上的奇函数,∴f(x)=-f(-x)=x2-x.
又∵函数定义域为R,∴f(0)=0,
综上可知f(x)=
(2)设x<0,则-x>0,
∴f(-x)=(-x)2+(-x)-1=x2-x-1,
又f(x)在R上为偶函数,∴当x<0时,f(x)=f(-x)=x2-x-1,即x∈(-∞,0)时,f(x)=x2-x-1.
题型二 利用奇偶性研究函数的性质
例2 解:f(x)的定义域为R,
f(-x)=(-x)2-2|-x|+1=x2-2|x|+1=f(x),
∴f(x)为偶函数,且f(x)=
当x≥0时,f(x)=(x-1)2,由二次函数的性质易得,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
∵f(x)为偶函数,∴f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增,
f(x)min=f(-1)=f(1)=0,f(x)max不存在.
【训练2】解:f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=-x-=-=-f(x),故f(x)为奇函数.
当x∈(0,+∞)时,由均值不等式可知
f(x)=x+≥2=2,
当且仅当x=1时等号成立,即f(x)∈[2,+∞),
同理可知当x∈(-∞,0)时,f(x)∈(-∞,-2].
下面证明当x∈(0,1]时,f(x)单调递减.
任取x1,x2∈(0,1]且x1≠x2,
则==
==1-.
∵x1,x2∈(0,1]且x1≠x2,
∴01,1-<0,即<0,
∴f(x)在(0,1]上单调递减.
类似地,可以证明f(x)在[1,+∞)上单调递增.
∵f(x)为奇函数,∴f(x)在(-∞,-1]上单调递增,在(-1,0)上单调递减.
综上,f(x)在(-∞,-1]∪[1,+∞)上单调递增,在[-1,0)∪(0,1]上单调递减,f(x)的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).
题型三 证明函数图像的对称性
例3 证明:任取x∈R,
∵f(-1+x)=-(-1+x)2-2(-1+x)+1=-x2+2,
f(-1-x)=-(-1-x)2-2(-1-x)+1=-x2+2,
∴f(-1+x)=f(-1-x),
∴f(x)的图像关于x=-1对称.
【训练3】证明:函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞).
任取x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞),
∵f(-1+x)+f(-1-x)
=+
=+=-+1++1=2,
即f(-1+x)+f(-1-x)=2,
∴f(x)的图像关于点(-1,1)对称.
课堂练习
1.解析:设x<0,则-x>0,所以f(-x)=x2+2x,
又f(x)为R上的奇函数,
所以f(x)=-f(-x)=-x(x+2),故选A.
答案:A
2.解析:f(-x)=(m-1)x2-(m-2)x+(m2-7m+12),f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12),由f(-x)=f(x),得m-2=0,即m=2.
答案:B
3.解析:∵f(x)是偶函数,
∴f(-3)=f(3),f(-1)=f(1),
故由题意知a=-5.
答案:-5
4.解析:根据题意画出f(x)的大致图像:
由图像可知-2答案:(-2,0)∪(0,2)
5.证明:要证f(x)的图像关于(-1,0)对称,只需证明f(x)对任意的x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞),满足f(-1+x)=-f(-1-x).
∵f(-1+x)==,f(-1-x)==-,
∴f(-1+x)=-f(-1-x),
故y=的图像关于(-1,0)对称.
核心素养专练
1.2x+3 2.(-2,2) 3.[2,6]
4.(1)解:函数f(x)为奇函数.
证明:函数f(x)=x+(a>0)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)且关于原点对称.
又因为f(-x)=-x+=-=-f(x),
所以函数f(x)为奇函数.
(2)证明:f(x)=x+(a>0),
设x1,x2是区间(2,+∞)上的任意两个实数且x1f(x1)-f(x2)=x1+-=x1-x2+-=(x1-x2)=,
因为x1又因为x1,x2∈(2,+∞),
所以x1x2>4,∴x1x2-4>0,∴f(x1)-f(x2)<0,
∴函数f(x)在(2,+∞)上为增函数.
5.解:(1)因为函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,
所以f(0)=0,解得b=0.
(2)因为函数f(x)在[0,2]上是增函数,
又因为f(x)是奇函数,所以f(x)在[-2,2]上是单调递增的,
因为f(m)+f(m-1)>0,
所以f(m-1)>-f(m)=f(-m),
所以m-1>-m,①
又需要不等式f(m)+f(m-1)>0,
在函数f(x)定义域范围内有意义.
所以②,解①②,得所以m的取值范围为.
学习目标
课标要求
1.掌握函数奇偶性的简单应用.
2.了解函数图像的对称轴、对称中心满足的条件.
素养要求
1.通过函数奇偶性的应用,使学生熟悉转化、对称等思考方法,提升逻辑推理素养.
2.通过函数图像的对称轴、对称中心等条件,提升学生的直观想象能力,培养数学抽象素养.
自主预习
情境引入
问题1 图(1)和图(2)分别是偶函数和奇函数的一部分图像,你能结合奇偶函数图像的特征画出相应图像的另一部分吗?
(1)
(2)
问题2 就图(1)而言,函数在区间(-∞,-2]与[2,+∞)上的单调性是否相同?就图(2)而言,函数在区间与上的单调性是否相同?
新知梳理
1.函数的奇偶性与单调性的性质
(1)若f(x)为奇函数且在区间[a,b](a(2)若f(x)为偶函数且在区间[a,b](a2.奇偶函数的运算性质
在公共定义域内:
(1)两个奇函数的和函数是奇函数,积函数是偶函数;
(2)两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数;
(3)一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数.
3.函数的对称轴与对称中心
(1)若函数f(x)的定义域为D,对?x∈D都有f(T+x)=f(T-x)(T为常数),则 是f(x)的对称轴.?
(2)若函数f(x)的定义域为D,对?x∈D都有f(a+x)+f(a-x)=2b(a,b为常数),则 是f(x)的对称中心.?
[自主判断]
1.若f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=f(|x|).( )
2.若对f(x)定义域内任意的x都有f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图像关于x=对称.( )
[自主训练]
已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=x-x2,则当x>0时,f(x)= .?
[思考]
1.若函数y=f(x)与y=g(x)的图像关于y轴对称,则f(x),g(x)是偶函数吗?
2.函数y=的图像有对称中心吗?若有,指出对称中心.
课堂探究
题型一 利用奇偶性求函数解析式
例1 (1)函数f(x)是R上的偶函数,且当x<0时,f(x)=x(x-1),则当x>0时,f(x)= .?
(2)函数f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1,则f(x)= .?
【训练1】(1)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=-x2-x,求函数f(x)的解析式;
(2)已知f(x)是R上的偶函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=x2+x-1,当x∈(-∞,0)时,求f(x)的解析式.
题型二 证明函数图像的对称性
例2 求证:二次函数f(x)=-x2-2x+1的图像关于x=-1对称.
【训练2】证明函数f(x)=的图像关于点(-1,1)对称.
核心素养
一、素养落地
1.通过本节课的学习,提升直观想象和逻辑推理素养.
2.奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.
3.如果一个奇函数f(x)在x=0处有定义,那么一定有f(0)=0;如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).
二、素养训练
1.已知函数y=f(x)在R上为奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2-2x,则当x<0时,f(x)的解析式是( )
A.f(x)=-x(x+2)
B.f(x)=x(x-2)
C.f(x)=-x(x-2)
D.f(x)=x(x+2)
2.若函数f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)为偶函数,则m的值是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
3.证明函数f(x)=的图像关于(-1,0)对称.
课堂练习
1.设函数f(x)=且f(x)为偶函数,则g(-2)等于( )
A.6
B.-6
C.2
D.-2
2.已知函数y=f(x)是偶函数,其图像与x轴有4个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和是( )
A.4
B.2
C.1
D.0
3.已知函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,则f(x)在区间(-5,-2)上是( )
A.增函数
B.减函数
C.非单调函数
D.可能是增函数,也可能是减函数
4.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2+1,则f(-2)+f(0)= .?
5.已知函数y=f(x)的图像关于原点对称,且当x>0时,f(x)=x2-2x+3.
(1)试求f(x)在R上的解析式;
(2)画出函数的图像,根据图像写出它的单调区间.
核心素养专练
基础达标
一、选择题
1.f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,则f(x)在区间(2,5)上是( )
A.增函数
B.减函数
C.有增有减
D.增减性不确定
2.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,f(-2)=10,则f(2)等于( )
A.-26
B.-18
C.-10
D.10
3.设奇函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,且f(1)=0,则不等式<0的解集为( )
A.(-1,0)∪(1,+∞)
B.(-∞,-1)∪(0,1)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞)
D.(-1,0)∪(0,1)
二、填空题
4.已知y=f(x)+x2是奇函数且f(1)=1,若g(x)=f(x)+2,则g(-1)= .?
三、解答题
5.已知函数f(x)=x3+bx2+ax是定义在[-3,a+1]上的奇函数,求:
(1)实数a,b的值;
(2)求f(x)的值域.
参考答案
自主预习
略
课堂探究
题型一 利用奇偶性求函数解析式
例1 解析:(1)设x>0,则-x<0,
所以f(-x)=-x(-x-1)=x(x+1).
因为函数f(x)为R上的偶函数,
故当x>0时,f(x)=f(-x)=x(x+1),
即x>0时,f(x)=x(x+1).
(2)设x<0,则-x>0,
所以f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.
由于f(x)是R上的奇函数,
故f(x)=-f(-x),
所以f(x)=2x2+3x-1,
即当x<0时,f(x)=2x2+3x-1.
因为f(x)为R上的奇函数,
故f(0)=0.
综上,f(x)的解析式为f(x)=
答案:(1)x(x+1) (2)
【训练1】解:(1)设x>0,则-x<0,
∴f(-x)=-(-x)2-(-x)=-x2+x.
又f(x)是R上的奇函数,
∴f(x)=-f(-x)=x2-x.
又∵函数定义域为R,
∴f(0)=0,
综上可知f(x)=
(2)设x<0,则-x>0,
∴f(-x)=(-x)2+(-x)-1=x2-x-1.
又f(x)在R上为偶函数,
∴当x<0时,f(x)=f(-x)=x2-x-1,
即x∈(-∞,0)时,f(x)=x2-x-1.
题型二 证明函数图像的对称性
例2 证明:任取x∈R,
∵f(-1+x)=-(-1+x)2-2(-1+x)+1=-x2+2,
f(-1-x)=-(-1-x)2-2(-1-x)+1=-x2+2,
∴f(-1+x)=f(-1-x),
∴f(x)的图像关于x=-1对称.
【训练2】证明:函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞).
任取x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞),
∵f(-1+x)+f(-1-x)
=+
=+=-+1++1=2,
即f(-1+x)+f(-1-x)=2,
∴f(x)的图像关于点(-1,1)对称.
核心素养
素养训练
1.解析:设x<0,则-x>0,
所以f(-x)=x2+2x,
又f(x)为R上的奇函数,
所以f(x)=-f(-x)=-x(x+2).
答案:A
2.解析:f(-x)=(m-1)x2-(m-2)x+(m2-7m+12),f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12),
由f(-x)=f(x),得m-2=0,即m=2.
答案:B
3.证明:要证f(x)的图像关于(-1,0)对称,只需证明f(x)对任意的x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞),满足f(-1+x)=-f(-1-x).
∵f(-1+x)==,
f(-1-x)==-,
∴f(-1+x)=-f(-1-x),
故y=的图像关于(-1,0)对称.
课堂练习
1.解析:g(-2)=f(-2)=f(2)=22+2=6.
答案:A
2.解析:y=f(x)是偶函数,
所以y=f(x)的图像关于y轴对称,
所以f(x)=0的所有实根之和为0.
答案:D
3.解析:∵f(x)为偶函数,
∴m=0,f(x)=-x2+3,
∴f(x)的对称轴为y轴,
故f(x)在区间(-5,-2)上是增函数.
答案:A
4.解析:由题意知f(-2)=-f(2)=-(22+1)=-5,f(0)=0,
∴f(-2)+f(0)=-5.
答案:-5
5.解:(1)因为函数f(x)的图像关于原点对称,
所以f(x)为奇函数,则f(0)=0.
设x<0,则-x>0,
因为当x>0时,f(x)=x2-2x+3.
所以当x<0时,f(x)=-f(-x)=-(x2+2x+3)=-x2-2x-3.
于是有f(x)=
(2)先画出函数在y轴右侧的图像,再根据对称性画出y轴左侧的图像,如图.
由图像可知函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-1],[1,+∞),单调递减区间是[-1,0),(0,1].
核心素养专练
基础达标
一、选择题
1.解析:由f(x)是偶函数,即f(-x)=f(x),得m=0,所以f(x)=-x2+3,画出函数f(x)=-x2+3的图像(略)知,在区间(2,5)上为减函数.
答案:B
2.解析:设g(x)=x5+ax3+bx,函数定义域为R.
∵g(-x)=(-x)5+a(-x)3+b(-x)=-x5-ax3-bx=-g(x),
∴g(x)为奇函数.
∵f(-2)=g(-2)-8=10,
∴g(-2)=18,
∴g(2)=-g(-2)=-18,
∴f(2)=g(2)-8=-18-8=-26.
答案:A
3.解析:∵f(x)为奇函数,<0,
即<0,
∵f(x)在(0,+∞)上为减函数且f(1)=0,
∴当x>1时,f(x)<0.
∵奇函数图像关于原点对称,
∴在(-∞,0)上f(x)为减函数且f(-1)=0,
即x<-1时,f(x)>0.
综上使<0的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).
答案:C
二、填空题
4.解析:∵y=f(x)+x2是奇函数,
∴f(-x)+(-x)2=-[f(x)+x2],
∴f(x)+f(-x)+2x2=0,
∴f(1)+f(-1)+2=0.
∵f(1)=1,∴f(-1)=-3.
∵g(x)=f(x)+2,
∴g(-1)=f(-1)+2=-3+2=-1.
答案:-1
三、解答题
5.解:(1)因为函数f(x)=x3+bx2+ax是定义在[-3,a+1]上的奇函数,
所以-3+a+1=0,得a=2,
又f(-x)=-f(x)对任意x∈[-3,3]恒成立,
即(-x)3+b(-x)2+2(-x)=-x3-bx2-2x,
得2bx2=0对任意x∈[-3,3]恒成立,所以b=0.
综上所述,a=2,b=0.
(2)由(1)知f(x)=x3+2x,x∈[-3,3],
易得函数为增函数,所以f(x)min=f(-3)=-33,
f(x)max=f(3)=-f(-3)=33,
所以f(x)的值域为[-33,33].3.1.3 函数的奇偶性
第3课时
学习目标
1.掌握函数奇偶性的简单应用.
2.了解函数图像的对称轴、对称中心满足的条件.
课堂探究
题型 函数奇偶性的应用
方向1 利用函数的单调性与奇偶性比较大小
例1 若对于任意实数x总有f(-x)=f(x),且f(x)在区间(-∞,-1]上是增函数,则( )
A.fB.f(2)C.f(2)D.f(-1)【训练1】定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0,则当n∈N
时,有( )
A.f(-n)B.f(n+1)C.f(n-1)D.f(n+1)方向2 利用奇偶性、单调性解不等式
自变量需在定义域内,若f(x)为偶函数,可利用f(x)=f(|x|),避免讨论.
例2 (1)设定义在[-3,3]上的奇函数f(x)在区间[0,3]上是减函数,若f(1-m)(2)定义在[-2,2]上的偶函数g(x),当x≥0时,g(x)为减函数,若g(1-m)【训练2】已知奇函数y=f(x),x∈(-1,1),且f(x)在(-1,1)上是减函数,解不等式f(1-x)+f(1-3x)<0.
方向3 利用函数奇偶性求参数(值)
例3 (1)若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a= .?
(2)已知函数f(x)=为奇函数,则a+b= .?
【训练3】(1)函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是( )
A.[-2,2]
B.[-1,1]
C.[0,4]
D.[1,3]
(2)已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(-4,4),且在(-4,0]上的图像如图所示,则关于x的不等式f(x)g(x)<0的解集是 .?
核心素养专练
1.若函数f(x)=为奇函数,则a等于
( )
A.
B.
C.
D.1
2.若函数f(x)=ax2+(2+a)x+1是偶函数,则函数f(x)的单调递增区间为( )
A.(-∞,0]
B.[0,+∞)
C.(-∞,+∞)
D.[1,+∞)
3.设f(x)是R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,则f(-2),f(-π),f(3)的大小顺序是( )
A.f(-π)>f(3)>f(-2)
B.f(-π)>f(-2)>f(3)
C.f(3)>f(-2)>f(-π)
D.f(3)>f(-π)>f(-2)
4.奇函数f(x)在区间[3,6]上是增函数,在区间[3,6]上的最大值是4,最小值是-1,则2f(-6)+f(-3)= .?
5.已知函数f(x)=x2+4x+3.
(1)若g(x)=f(x)+bx为偶函数,求b的值;
(2)求函数f(x)在[-3,3]上的最大值.
参考答案
课堂探究
题型 函数奇偶性的应用
方向1 利用函数的单调性与奇偶性比较大小
例1 解析:∵对任意实数x总有f(-x)=f(x),
∴f(x)为偶函数,
∴f(2)=f(-2).
又f(x)在区间(-∞,-1]上是增函数,-2<-<-1.
∴f(2)答案:B
【训练1】解析:∵对任意的x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0,
∴若x2-x1>0,则f(x2)-f(x1)>0,
即x2>x1,则f(x2)>f(x1),
若x2-x1<0,则f(x2)-f(x1)<0,
即x2则函数在(-∞,0]上为单调递增函数.
∵f(x)在R上是偶函数,
∴函数f(x)在[0,+∞)上为单调递减函数,
则f(n+1)即f(n+1)方向2 利用奇偶性、单调性解不等式
例2 解:(1)因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,3]上是减函数,所以f(x)在[-3,3]上是减函数.
所以不等式f(1-m)解得-2≤m<,
即m的取值范围为.
(2)因为g(x)在[-2,2]上为偶函数,且x≥0时为减函数,
所以g(1-m)≤g(m)?g(|1-m|)即m的取值范围为.
【训练2】解析:因为y=f(x),x∈(-1,1)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),
所以f(1-x)+f(1-3x)<0?f(1-x)<-f(1-3x)?f(1-x)又因为y=f(x)在(-1,1)上是减函数,
所以f(1-x)所以不等式的解集为.
方向3 利用函数奇偶性求参数(值)
例3 解析:(1)∵f(x)为偶函数,
∴f(x)=f(-x),
即(x+a)(x-4)=(-x+a)(-x-4),
整理,得2a=8,∴a=4.
(2)由题意知
则所以
当a=-1,b=1时,经检验知f(x)为奇函数,
故a+b=0.
答案:(1)4 (2)0
【训练3】解析:(1)∵f(x)为奇函数,f(1)=-1,
∴f(-1)=1.
∵-1≤f(x-2)≤1,
∴f(1)≤f(x-2)≤f(-1).
又∵f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,
∴-1≤x-2≤1,
∴1≤x≤3.故选D.
(2)设h(x)=f(x)g(x),
则h(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-h(x),
∴h(x)是奇函数,
补全f(x),g(x)的图像(图略),由图像可知:
当-40,g(x)<0,此时h(x)<0;
当00,此时h(x)<0,
∴h(x)<0的解集为(-4,-2)∪(0,2).
故答案为(-4,-2)∪(0,2).
答案:(1)D (2)(-4,-2)∪(0,2)
核心素养专练
1.A 2.A 3.A 4.-15
5.解:(1)∵g(x)=f(x)+bx=x2+(b+4)x+3为偶函数,且它的图像的对称轴为x=-,
故有=0,解得b=-4.
(2)函数f(x)=x2+4x+3=(x+2)2-1的对称轴为x=-2,
在[-3,3]上,当x=-2时,函数取得最小值为-1,
当x=3时,函数取得最大值为24.
学习目标
课标要求
素养要求
1.掌握函数奇偶性的简单应用.
2.利用奇偶性求函数最值、解析式、比较函数值大小、解不等式等核心问题.
1.通过函数奇偶性的应用,熟悉转化、对称等思考方法,提升逻辑推理素养.
2.通过函数单调性和奇偶性的综合应用求解相关最值、比较大小等问题提升逻辑推理,数学运算素养.
自主预习
1.函数的奇偶性与单调性的性质
(1)若f(x)为奇函数且在区间[a,b](a(2)若f(x)为偶函数且在区间[a,b](a2.奇偶函数的运算性质
在公共定义域内:
(1)两个奇函数的和函数是奇函数,两个奇函数的积函数是偶函数;
(2)两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数;
(3)一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数.
[自主判断]
若奇函数f(x)在[a,b]上有最大值M,则f(x)在[-b,-a]上有最小值-M.( )
[自主训练]
定义在R上的偶函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,则
( )
A.f(3)B.f(-π)C.f(3)D.f(4)课堂探究
题型一 利用奇偶性研究函数的性质
例1 研究函数f(x)=x2-2|x|+1的单调性,并求出f(x)的最值.
【训练1】研究函数f(x)=x+的单调性,并写出函数的值域.
题型三 函数奇偶性的应用
方向1 利用函数的单调性与奇偶性比较大小
例2—1 若对于任意实数x总有f(-x)=f(x),且f(x)在区间(-∞,-1]上是增函数,则( )
A.fB.f(2)C.f(2)D.f(-1)方向2 利用奇偶性、单调性解不等式
自变量需在定义域内,若f(x)为偶函数,可利用f(x)=f(|x|),避免讨论
例2—2 (1)设定义在[-3,3]上的奇函数f(x)在区间[0,3]上是减函数,若f(1-m)(2)定义在[-2,2]上的偶函数g(x),当x≥0时,g(x)为减函数,若g(1-m)方向3 利用函数奇偶性求参数(值)
求值时也可以利用特殊值
例2—3 (1)若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a= .?
(2)已知函数f(x)=为奇函数,则a+b= .?
【训练2】(1)函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是( )
A.[-2,2]
B.[-1,1]
C.[0,4]
D.[1,3]
(2)已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(-4,4),且在(-4,0]上的图像如图所示,则关于x的不等式f(x)g(x)<0的解集是 .?
核心素养
一、素养落地
1.通过本节课的学习,提升数学运算和逻辑推理素养.
2.利用奇偶性可以简化研究函数性质的过程,利用奇偶性求函数值、解析式、比较大小、解不等式等的核心问题是转化.
3.对于抽象函数(未给出解析表达式的函数)可画出满足条件的示意图来帮助分析解决问题.
二、素养训练
1.设函数y=f(x)是偶函数,若f(-3)+f(-1)-5=f(3)+f(1)+a,则a= .?
2.若f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上为奇函数,且在(0,+∞)上为增函数,f(-2)=0,则不等式xf(x)<0的解集为 .?
课堂练习
1.如果奇函数f(x)在区间[-3,-1]上是增函数且有最大值5,那么函数f(x)在区间[1,3]上是( )
A.增函数且最小值为-5
B.增函数且最大值为-5
C.减函数且最小值为-5
D.减函数且最大值为-5
2.已知函数y=f(x)是R上的偶函数,且f(x)在[0,+∞)上是减函数,若f(a)≥f(-2),则a的取值范围是( )
A.(-∞,-2]
B.[2,+∞)
C.(-∞,-2]∪[-2,+∞)
D.[-2,2]
3.设定义在(-1,1)上的奇函数f(x)是减函数,且f(2-a)+f(1-a)<0,则a的取值范围是 .?
4.若f(x)=(m-1)x2+6mx+2是偶函数,则f(0),f(1),f(-2)从小到大的排列是 .?
核心素养专练
基础达标
一、选择题
1.若偶函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,则a=f(-),b=f,c=f的大小关系是( )
A.bB.bC.aD.c2.奇函数f(x)在(-∞,0)上的解析式为f(x)=x(1+x),则f(x)在(0,+∞)上有( )
A.最大值-
B.最大值
C.最小值-
D.最小值
二、填空题
3.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0)上是增函数,且f(2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是 .?
三、解答题
4.设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)=x5+x3+b.
(1)求b值;
(2)若f(x)在[0,2]上单调递增,且f(m)+f(m-1)>0,求实数m的取值范围.
能力提升
5.已知函数f(x)=是定义在(-1,1)上的奇函数,且f=.
(1)确定函数f(x)的解析式;
(2)证明f(x)在(-1,1)上是增函数;
(3)解不等式:f(t-1)+f(t)<0.
参考答案
自主预习
略
课堂探究
例1 解:f(x)的定义域为R,
f(-x)=(-x)2-2|-x|+1=x2-2|x|+1=f(x),
∴f(x)为偶函数,且f(x)=
当x≥0时,f(x)=(x-1)2,由二次函数的性质易得,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
∵f(x)为偶函数,∴f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增,
f(x)min=f(-1)=f(1)=0,f(x)max不存在.
【训练1】解:f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=-x-=-=-f(x),f(x)为奇函数.
当x∈(0,+∞)时,由均值不等式可知f(x)=x+≥2=2,当且仅当x=1时等号成立,即f(x)∈[2,+∞),
同理可知当x∈(-∞,0)时,f(x)∈(-∞,-2].
下面证明当x∈(0,1]时,f(x)单调递减.
任取x1,x2∈(0,1]且x1≠x2,
则==
==1-.
∵x1,x2∈(0,1]且x1≠x2,
∴01,1-<0,即<0,
∴f(x)在(0,1]上单调递减.
类似地,可以证明f(x)在[1,+∞)上单调递增.
∵f(x)为奇函数,∴f(x)在(-∞,-1]上单调递增,在(-1,0)上单调递减.
综上,f(x)在(-∞,-1],[1,+∞)上单调递增,在[-1,0),(0,1]上单调递减,f(x)的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).
【例2-1】解析:∵对任意实数x总有f(-x)=f(x),
∴f(x)为偶函数,∴f(2)=f(-2).
又f(x)在区间(-∞,-1]上是增函数,-2<-<-1.
∴f(2)答案:B
【例2-2】解:(1)因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,3]上是减函数,
所以f(x)在[-3,3]上是减函数.
所以不等式f(1-m)解得-2≤m<,即m的取值范围为.
(2)因为g(x)在[-2,2]上为偶函数,且x≥0时为减函数,
所以g(1-m)≤g(m)?g(|1-m|)即m的取值范围为.
【例2—3】解析:(1)∵f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x),
即(x+a)(x-4)=(-x+a)(-x-4),
整理,得2a=8,∴a=4.
(2)由题意知则
所以
当a=-1,b=1时,经检验知f(x)为奇函数,
故a+b=0.
答案:(1)4 (2)0
【训练2】解析:(1)∵f(x)为奇函数,f(1)=-1,
∴f(-1)=1.
∵-1≤f(x-2)≤1,∴f(1)≤f(x-2)≤f(-1).
又∵f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,
∴-1≤x-2≤1,∴1≤x≤3.故选D.
(2)设h(x)=f(x)g(x),
则h(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-h(x),
∴h(x)是奇函数,
补全f(x),g(x)的图像(图略),由图像可知:
当-40,g(x)<0,此时h(x)<0;
当00,此时h(x)<0,
∴h(x)<0的解集为(-4,-2)∪(0,2).
故答案为(-4,-2)∪(0,2).
答案:(1)D (2)(-4,-2)∪(0,2)
核心素养
素养训练
1.解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-3)=f(3),f(-1)=f(1),故由题意知a=-5.
答案:-5
2.解析:根据题意画出f(x)的大致图像:
由图像可知-2答案:(-2,0)∪(0,2)
课堂练习
1.答案:A
解析:f(x)为奇函数,∴f(x)在[1,3]上的单调性与[-3,-1]上一致且f(1)为最小值,
又已知f(-1)=5,∴f(-1)=-f(1)=5,
∴f(1)=-5,故选A.
2.答案:D
解析:由f(a)≥f(-2)得f(|a|)≥f(2),
∴|a|≤2,∴-2≤a≤2.
3.答案:
解析:∵f(2-a)+f(1-a)<0,
∴f(2-a)<-f(1-a)=f(a-1),
又f(x)在(-1,1)上单调递减,
∴解得1故a的取值范围是.
4.答案:f(-2)解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x)恒成立,
即(m-1)x2-6mx+2=(m-1)x2+6mx+2恒成立,
∴m=0,即f(x)=-x2+2.
∵f(x)的图像开口向下,对称轴为y轴,在[0,+∞)上单调递减,
∴f(2)核心素养专练
基础达标
一、选择题
1.解析:由f(x)为偶函数,得a=f(-)=f().
又∵<<,f(x)在(0,+∞)上是增函数,
∴f()答案:C
2.解析:法一 当x<0时,f(x)=x2+x=-,
所以f(x)有最小值-.
因为f(x)是奇函数,所以当x>0时,f(x)有最大值.
法二 当x>0时,-x<0,所以f(-x)=-x(1-x).
又f(-x)=-f(x),
所以f(x)=x(1-x)=-x2+x=-+,
所以当x>0时,f(x)有最大值.故选B.
答案:B
二、填空题
3.解析:因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0)上是增函数,所以f(x)在(0,+∞)上是减函数.又因为f(2)=0,所以f(x)<0?f(|x|)<0=f(2),即|x|>2,所以x>2或x<-2.
答案:(-∞,-2)∪(2,+∞)
三、解答题
4.解:(1)因为函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,
所以f(0)=0,解得b=0(经检验符合题意).
(2)因为函数f(x)在[0,2]上是增函数,又f(x)是奇函数,所以f(x)在[-2,2]上是增函数.
因为f(m)+f(m-1)>0,
所以f(m-1)>-f(m)=f(-m),所以m-1>-m.①
又需要不等式f(m)+f(m-1)>0在函数f(x)定义域内有意义,所以②
解①②得所以m的取值范围为.
能力提升
5.解:(1)由题意,得∴
故f(x)=(经检验符合题意).
(2)任取x1,x2∈(-1,1)且x1≠x2,
则==
=.
∵x1,x2∈(-1,1),
∴-1∴1-x1x2>0,又1+>0,1+>0,
∴>0,∴f(x)在(-1,1)上是增函数.
(3)由f(x)为奇函数及f(t-1)+f(t)<0
得f(t-1)<-f(t)=f(-t).
∵f(x)在(-1,1)上是增函数,
∴
解得0∴不等式的解集为.3.2 函数与方程、不等式之间的关系
第1课时
学习目标
1.帮助学生逐渐养成借助直观概念、进行逻辑推理的思维习惯,引导学生感悟高中阶段数学课程的特征,逐步适应高中阶段的数学学习.(逻辑推理)
2.通过本节课的学习,帮助学生学习运用函数性质求方程近似解的方法,逐步帮助学生树立数学建模的思想.(数学建模)
自主预习
知识点一 函数的零点
一般地,如果函数y=f(x)在实数α处的 ,即 ,则称 .?
α是函数f(x)零点的充分必要条件是, 是函数图像与x轴的公共点.?
思考:函数的零点是一个点吗?
知识点二:二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
y=ax2+bx+c
(a>0)的图像
ax2+bx+c=0
(a>0)的根
有两个不相等的实根x1,x2,且x1有两个相等的实根x1,x2,且x1=x2
没有实数根
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集
课堂探究
一、问题探究
1.已知函数f(x)=x-1,我们知道,这个函数的定义域为 ,而且可以求出,方程f(x)=0的解集为 ,不等式f(x)>0的解集为 ,不等式f(x)<0的解集为 .?
2.在图中作出函数f(x)=x-1的图像,总结上述方程、不等式的解集与函数定义域、函数图像之间的关系.
要点归纳
(1)函数的零点是一个 ,是使函数值为0的自变量的值.函数的零点不是一个二维有序数组,而是一维数轴上的点的坐标.函数的零点可以与函数的最值点进行类比,两者都是一个数.?
(2)函数y=f(x)有零点?函数y=f(x)的图像与x轴有交点?方程f(x)=0有实数根.
(3)不是所有函数都有零点,例如f(x)=就没有零点.
(4)从函数的图像上能方便地看出函数的零点,但是得到函数的图像并不是一件容易的事.
(5)知道函数的零点之后,如果可以进一步得到函数在非零点处的符号信息,就能作出这个函数图像的示意图.
二、典型例题
题型一:求函数的零点
例1 (1)函数y=1+的零点是( )
A.(-1,0)
B.-1
C.1
D.0
(2)若3是函数f(x)=x2-mx的一个零点,则m= .?
要点归纳
函数零点的两种求法:
(1)代数法: .?
(2)几何法: .?
(3)交点法:如果函数f(x)能够拆成两个函数差的形式,即f(x)=g(x)-h(x),那么函数f(x)的零点可以利用函数 的图像的交点得到.?
变式训练:函数f(x)=ax+b有一个零点是2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是 .?
题型二:一元二次不等式的解法
例2 利用函数求下列不等式的解集:
(1)x2-x-6<0;(2)-x2-2x-3≥0;(3)x2-4x+6≤0.
要点归纳
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤都有哪些?
(1)化标准: ;?
(2)判别式: ;?
(3)求实根: ;?
(4)画草图: ;?
(5)写解集: .?
变式训练:(选自课本习题3—2A)利用函数求下列不等式的解集:
(1)x2-2x-3>0;(2)x2-8x+16≥0;(3)x2+4x+5>0.
题型三:“三个二次”之间的关系
例3 若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-3要点归纳
“三个二次”之间都有什么关系?
变式训练:已知方程ax2+bx2+2=0的两根为-和2.
(1)求a,b的值;
(2)解不等式ax2+bx-1>0.
核心素养专练
1.例3中把{x|-34},其他条件不变,则不等式的解集又如何?
2.已知x=-1是函数f(x)=+b(a≠0)的一个零点,则函数g(x)=ax2-bx的零点是( )
A.-1,1
B.0,-1
C.1,0
D.2,1
3.若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实根1,2,则函数f(x)=cx2+bx+a的零点为( )
A.1,2
B.-1,-2
C.1,
D.-1,-
4.若函数f(x)在定义域{x|x∈R且x≠0}上是偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,f(2)=0,则函数f(x)的零点有( )
A.一个
B.两个
C.至少两个
D.无法判断
5.已知函数f(x)=x2+2x+a,f(bx)=9x2-6x+2,其中x∈R,a,b为常数,求方程f(ax+b)=0的解集.
第2课时
学习目标
1.逐渐养成借助直观概念、进行逻辑推理的思维习惯,感悟高中阶段数学课程的特征,逐步适应高中阶段的数学学习.(逻辑推理)
2.通过本节课的学习,掌握运用函数性质求方程近似解的方法,逐步树立数学建模的思想.(数学建模)
自主预习
知识点一:零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且有 ,那么,函数y=f(x)在这个区间上 ,即存在一点x0∈[a,b],使得 ,这个x0也就是方程f(x)=0的根.?
思考:函数y=f(x)在区间[a,b]上有零点,则f(a)f(b)<0,对吗?
知识点二:二分法
1.二分法的定义
对于在区间[a,b]上图像 且 的函数y=f(x),通过不断地把它的零点区 ,使得所在区间的两个端点逐步逼近 ,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.?
思考:用二分法求函数零点的近似值的条件是什么?
2.二分法求零点的一般步骤
在函数零点存在定理的条件满足时(即f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的,且f(a)f(b)<0),给定近似的精度ε,用二分法求零点x0的近似值x1,使得|x1-x0<ε|的一般步骤如下:
第一步 检查 是否成立,如果成立,取x1=,计算结束;如果不成立,转到第二步.?
第二步 计算区间[a,b]的中点对应的函数值,若f=0,取x1= ,计算结束;若f≠0,转到第三步.?
第三步 若f(a)f<0,将的值赋给 ,,回到第一步;若ff(b)<0,将的值赋给 ,回到第一步.?
这些步骤可用如图所示的框图表示.
课堂探究
一、问题探究
1.关于x的一元一次方程kx+b=0(k≠0)的求根公式为 .?
2.如图所示,已知A,B都是函数y=f(x)图像上的点,而且函数图像是连接A,B两点的连续不断的线,作出3种y=f(x)的可能的图像.
判断f(x)是否一定存在零点,总结出一般规律.
二、典型例题
题型一:函数零点存在定理
例1 已知函数f(x)的图像是连续的,x,f(x)的对应值如下:
x
3
4
5
6
7
8
f(x)
123.56
21.45
-7.82
-11.57
53.76
126.69
则函数f(x)在区间[3,8]内( )
A.一定有零点
B.一定没有零点
C.可能有两个零点
D.至多有一个零点
要点归纳
在函数图像连续的前提下,f(a)f(b)<0,能判断出在区间(a,b)内有零点,但不一定只有一个;而f(a)f(b)>0,却不能判断在区间(a,b)内无零点.
变式训练:函数y=-x2+8x-16在区间[3,5]上( )
A.没有零点
B.有一个零点
C.有两个零点
D.有无数个零点
题型二:二分法的概念
例2 (1)下列函数中不能用二分法求零点近似值的是( )
A.f(x)=3x-1
B.f(x)=x3
C.f(x)=|x|
D.f(x)=x2-2x
(2)用二分法求函数f(x)=-4x2+8x-1的零点时,第一次计算得f(0)<0,f(0.5)>0,f(1)>0.可得其中一个零点x0∈ ,第二次应计算 .?
要点归纳
运用二分法求函数的零点应具备的条件:
(1)函数图像在零点附近连续不断;
(2)在该零点左右的函数值异号.
变式训练:用二分法求方程2x+3x-7=0在区间(1,3)内的根,取区间的中点为x0=2,那么下一个有根的区间是 .?
题型三:用二分法求函数零点
例3 用二分法求函数f(x)=x3-x-2的一个正实数零点(精确度小于0.1).
要点归纳
用二分法求函数零点的近似值的步骤往往比较烦琐,一般借助表格,利用表格可以清晰地表示逐步缩小到零点所在区间的过程;有时也利用数轴来表示这一过程.
变式训练:用二分法求函数f(x)=2x2-3x-1的一个正实数零点(精确度小于0.1).
核心素养专练
1.已知函数f(x)=x3-2x+2,若在区间(-2,0)中任取一个数作为x0的近似值,那么误差小于 ;?
若取区间(-2,0)的中点作为x0的近似值,那么误差小于 .?
2.已知函数f(x)=x2+ax+1有两个零点,在区间(-1,1)上是单调的,且在该区间中有且只有一个零点,求实数a的取值范围.
3.求下列函数的零点,并作出函数图像的示意图,写出不等式f(x)≥0和f(x)<0的解集:
(1)f(x)=(x-1)(x-2)(x+3);(2)f(x)=(x+2)x2.
4.若方程x2-2ax+4=0的两个不相等实数根均大于1,求实数a的取值范围.
参考答案
第1课时
自主预习
略
课堂探究
例1 (1)B (2)3
要点归纳 略
变式训练:0和-
例2 (1)(-2,3) (2)? (3)?
要点归纳 略
变式训练:(1){x|x>3或x<-1} (2)R (3)R
例3 {x|-3要点归纳 略
变式训练:(1)a=-2,b=3;(2)核心素养专练
1.{x|x<-3或x>5} 2.C 3.C 4.B 5.?
第2课时
自主预习
略
课堂探究
一、问题探究
略
二、典型例题
例1 C
变式训练:B
例2 (1)C (2)x0∈(0,0.5),f(0.25)
变式训练:(1,2)
例3 1.562
5
变式训练:1.812
5
核心素养专练
1.小于2,小于1
2.(-∞,-1)∪(1,+∞)
3.(1)f(x)≥0的解集是[-3,1]∪[2,+∞);f(x)<0的解集是(1,2).
(2)f(x)≥0的解集是[-2,+∞);f(x)<0的解集是(-∞,-2).
4.2≤a<
第1课时
学习目标
1.体会函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系.
2.通过一元二次函数的零点问题解一元二次不等式.
3.了解高次不等式的解法.
自主预习
完成课本第112页“尝试与发现”中的任务,并阅读第112~113页的内容,完成下列问题:
填写下列表格
函数
y=x2-2x-3
y=x2-2x+1
y=x2-2x+3
函数的
图像
方程的
实数根
?
x1=x2=1
?
不等式
的解集
y>0的解集 ?
y>0的解集 ?
y>0的解集 ?
y<0的解集 ?
?
课堂探究
(一)【问题导入】
已知二次函数y=x2-x-6,试问:
(1)x为何值时y等于0?
(2)画出这个函数的图像,并求图像与x轴交点的坐标.
(3)图像与x轴交点的坐标,与方程的解有什么关系?
思考:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像有什么关系?
(二)【理性认识,概括性质】
1.函数零点的概念:
2.函数的零点是“点”吗?
3.函数的零点与方程的根及函数图像有何关系?
(三)【巩固练习,学以致用】
例1 判断下列函数是否存在零点,若存在,则求出零点.
(1)f(x)=x2-x-6;(2)f(x)=x3-x.
跟踪训练1 若函数f(x)=x2+x-a的一个零点是-3,求实数a的值和f(x)其余的零点.
例2 解下列不等式:
(1)-x2+5x-6>0;
(2)3x2+5x-2≥0.
跟踪训练2 解下列不等式:
(1)4x2-4x+1>0;(2)-x2+6x-10>0.
例3 求函数f(x)=(2x+1)(x-1)(x-3)的零点,并作出函数图像的示意图,写出不等式f(x)>0和f(x)≤0的解集.
跟踪训练3 求函数f(x)=(x+1)(x+2)(2x-3)的零点,并作出函数图像的示意图,写出不等式f(x)≤0的解集.
(四)【课堂小结,总结升华】
通过本节课的学习,你有什么收获?(知识层面,思想方法层面)
课堂练习
1.函数f(x)=2x2-3x+1的零点是( )
A.-,-1
B.,1
C.,-1
D.-,1
2.不等式x2-4x+3<0的解集为( )
A.(1,3)
B.(-∞,1]∪[3,+∞)
C.(-3,-1)
D.(-∞,-3]∪[-1,+∞)
3.不等式(x+1)(x-2)(x-3)<0的解集为 .?
课后巩固
阅读课本,结合学案,进行知识整理,形成系统.必做题A组,选做题B组.
课本119页习题3—2A1,2,3,5,6,7,B1,2,3
第2课时
学习目标
1.理解函数零点存在定理.
2.会用二分法求函数变号零点的近似值,并能对二分法的过程作出程式化的步骤.
自主预习
1.函数y=f(x)的零点的定义: .?
2.可以从以下三个方面来理解函数y=f(x)的零点:
(1)函数的零点指的是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,其对应的函数值为 .?
(2)函数的零点可以理解为函数的图像与x轴的交点的 .?
(3)确定函数y=f(x)的零点,就是求方程 的 .?
3.函数的零点、方程的根、函数的图像与x轴的交点三者关是?
.?
4.函数零点存在定理:?
.?
5.根据函数零点存在定理,函数y=f(x)满足条件:(1)函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是 ,(2)f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在区间 内有零点.?
课堂探究
(一)【问题导入】
1.哪组镜头说明小孩的行程一定曾渡过小河?
2.当A,B与x轴是怎样的位置关系时,AB间一段连续不断的函数图像与x轴一定有交点?
y=f(x)
x∈[a,b]
3.A,B与x轴的位置关系如何用数学符号(式子)表示?
(二)【理性认识,概括性质】
1.函数零点存在定理
思考 所有函数的图像都是连续不断的吗?试举例说明.
2.二分法
(1)定义:
(2)用二分法求函数零点的一般步骤
(三)【巩固练习,学以致用】
例1 分别求出下列函数的零点,并指出是变号零点还是不变号零点.
(1)f(x)=3x-6;
(2)f(x)=x2-x-12;
(3)f(x)=x2-2x+1;
(4)f(x)=(x-2)2(x+1)x.
跟踪训练1 判断下列函数是否有变号零点:
(1)f(x)=x2-5x-14;
(2)f(x)=x2+x+1;
(3)f(x)=x4-18x2+81.
例2 求函数f(x)=x5-x3-3x2+3最右边的一个零点.(精确度0.01)
跟踪训练2 已知函数f(x)=x3-x-2用二分法求它的一个正实数零点.(精确到0.01)
(四)【课堂小结,总结升华】
通过本节课的学习,你有什么收获?(知识层面,思想方法层面)
课堂练习
1.函数f(x)=x3+5的可能存在区间是( )
A.[-2,-1]
B.[-1,0]
C.[0,1]
D.[1,2]
2.在用二分法求方程f(x)=0在(1,3)内近似解的过程中,得到f(1)<0,f(2)>0,f(1.5)<0,则方程的根所在区间为( )
A.(1.5,2)
B.(1,1.5)
C.(2,3)
D.不能确定
3.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,参考数据如下:
f(1)=-2
f(1.5)=0.625
f(1.25)=-0.984
f(1.375)=-0.260
f(1.437
5)=0.162
f(1.406
25)=-0.054
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确度0.1)为 .?
课后巩固
阅读课本,结合学案,进行知识整理,形成系统.必做题A组,选做题B组.
课本119页习题3—2A1,2,3,5,6,7,B1,2,3.
参考答案
第1课
自主预习
略
课堂探究
略
课堂探究
(一)【问题导入】
答案:(1)x=-2,x=3;(2)(-2,0),(3,0);(3)交点的横坐标是方程的解.
(二)【理性认识,概括性质】
1.函数零点的概念:
一般地,如果函数y=f(x)在实数α处的函数值等于零,即f(α)=0,则称α为函数y=f(x)的零点.
2.函数的零点是“点”吗?
函数的零点不是点,而是函数y=f(x)与x轴的交点的横坐标,即零点是一个实数.当函数的自变量取这一实数时,其函数值为零.
3.函数的零点与方程的根及函数图像有何关系?
函数f(x)的零点,即对应方程f(x)=0的根,也是函数图像与x轴的交点横坐标.
(三)【巩固练习,学以致用】
例1 解:(1)方法一 由x2-x-6=(x-3)(x+2)=0,得x1=-2,x2=3,
所以函数f(x)的零点是x1=-2,x2=3.
方法二 作出函数f(x)=x2-x-6的图像,如图.
因为函数的图像是一条开口向上的抛物线,且f(0)=-6<0,
所以函数f(x)的图像与x轴有两个交点A(-2,0),B(3,0).
故f(x)的零点是x1=-2,x2=3.
(2)因为x3-x=x(x2-1)=x(x-1)(x+1).
令f(x)=0,即x(x-1)(x+1)=0,
所以f(x)的零点有x1=0,x2=1,x3=-1.
跟踪训练1 解:由题意知f(-3)=0,即(-3)2-3-a=0,a=6,∴f(x)=x2+x-6.
解方程x2+x-6=0,得x=-3或2.
∴函数f(x)其余的零点是2.
例2 解:(1)方法一 由x2-x-6=(x-3)(x+2)=0,得x1=-2,x2=3,
所以函数f(x)的零点是x1=-2,x2=3.
方法二 作出函数f(x)=x2-x-6的图像,如图.
因为函数的图像是一条开口向上的抛物线,且f(0)=-6<0,
所以函数f(x)的图像与x轴有两个交点A(-2,0),B(3,0).
故f(x)的零点是x1=-2,x2=3.
(2)设g(x)=3x2+5x-2,
令g(x)=0,得3x2+5x-2=0,
即(x+2)=0.从而x=-2或x=,
因此-2和都是函数g(x)的零点,从而g(x)的图像与x轴相交于(-2,0)和,
又因为函数的图像是开口向上的抛物线,
所以可以作出函数图像示意图,如图所示.
由图可知,不等式的解集为(-∞,-2]∪.
跟踪训练2
解:(1)∵方程4x2-4x+1=0有两个相等的实根x1=x2=.
作出函数y=4x2-4x+1的图像如图.
由图可得原不等式的解集为∪.
(2)原不等式可化为x2-6x+10<0,
∵Δ=36-40=-4<0,∴方程x2-6x+10=0无实根,
∴原不等式的解集为?.
例3 解:函数零点依次为-,1,3.
函数的定义域被这三个点分成了四部分,每一部分函数值的符号如下表所示.
x
(1,3)
(3,+∞)
f(x)
-
+
-
+
由此可以画出函数图像的示意图,如图所示.
由图可知f(x)>0的解集为∪(3,+∞);
f(x)≤0的解集为∪[1,3].
跟踪训练3 解:函数零点依次为-2,-1,.
函数的定义域被这三个点分成了四部分,每一部分函数值的符号如下表所示.
x
(-∞,-2)
(-2,-1)
f(x)
-
+
-
+
由此可以画出函数图像的示意图如图所示.
所以f(x)≤0的解集为(-∞,-2]∪.
(四)【课堂小结,总结升华】
略
课堂练习
1.B 2.A 3.(-∞,-1)∪(2,3)
课后拓展
略
第2课时
自主预习
略
课堂探究
(一)【问题导入】
略
(二)【理性认识,概括性质】
1.函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续的,并且f(a)f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号),则函数y=f(x)在区间[a,b]中至少有一个零点,即?x0∈[a,b],f(x0)=0.
思考 所有函数的图像都是连续不断的吗?试举例说明.
答案:不是,如反比例函数y=.
2.二分法
(1)定义:对于在区间[a,b]上的图像连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到函数零点的方法叫做二分法.
(2)用二分法求函数零点的一般步骤
答案:已知函数y=f(x)是定义在区间[a,b]上的连续函数,且f(a)f(b)<0,给定近似的精度ε,用二分法求零点x0的近似值x1,使得|x1-x0|<ε的一般步骤如下:
第一步:检查|b-a|<2ε是否成立,如果成立,取x1=,计算结束;如果不成立,转到第二步.
第二步:计算区间[a,b]的中点对应的函数值,若f=0,取x1=,计算结束;若f≠0,转到第三步.
第三步:若f(a)f<0,将的值赋b,回到第一步;若ff(b)<0,将的值赋给a,回到第一步.
(三)【巩固练习,学以致用】
例1 解:(1)零点是2,是变号零点.
(2)零点是-3和4,都是变号零点.
(3)零点是1,是不变号零点.
(4)零点是-1,0和2,其中变号零点是0和-1,不变号零点是2.
跟踪训练1 解:(1)零点是-2,7,是变号零点.函数有变号零点.
(2)无零点.函数无变号零点.
(3)零点是-3,3,都不是变号零点.函数无变号零点.
例2 解:∵f(x)=x5-x3-3x2+3
=x3(x2-1)-3(x2-1)=(x+1)(x-1)(x3-3),
∴f(x)最右边的一个零点的横坐标就是方程x3-3=0的根.
令g(x)=x3-3,以下用二分法求函数g(x)的零点.
由于g(1)=1-3=-2<0,g(2)=23-3=5>0,
故可取[1,2]作为计算的初始区间,列表如下:
零点所在区间
区间中点
中点函数近似值
[1,2]
1.5
g(1.5)=0.375>0
[1,1.5]
1.25
g(1.25)≈-1.046
9<0
[1.25,1.5]
1.375
g(1.375)≈-0.400
4<0
[1.375,1.5]
1.437
5
g(1.437
5)≈-0.029
5<0
[1.437
5,1.5]
1.468
75
g(1.468
75)≈0.168
4>0
[1.437
5,1.468
75]
1.453
125
g(1.453
125)≈0.068
4>0
[1.437
5,1.453
125]
1.445
312
5
∵|1.453
125-1.437
5|=0.015
625<2×0.01,
∴方程x3=3的根的近似值可取为1.445
312
5.
故函数f(x)最右边的一个零点的近似值为1.445
312
5.
跟踪训练2 解:由f(1)=-2<0,f(2)=4>0,可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间,用二分法逐步计算,具体如表.
零点所在区间
区间中点
中点的函数值
[1,2]
x0==1.5
f(x0)=-0.125<0
[1.5,2]
x1==1.75
f(x1)≈1.609
4>0
[1.5,1.75]
x2==1.625
f(x2)≈0.666
0>0
[1.5,1.625]
x3==1.562
5
f(x3)≈0.252
2>0
[1.5,1.562
5]
x4==1.531
25
由表中数据可知,|1.562
5-1.5|=0.062
5<2×0.06,
所以所求函数的一个正实数零点近似值为1.531
25.
(四)【课堂小结,总结升华】
略
课堂练习
1.A 2.A 3.1.437
5
课后巩固
略3.3 函数的应用(一)
学习目标
1.了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
2.能够对简单的实际问题,选择适当的函数构建数学模型,解决问题.
自主预习
1.我们之前都学习过哪些函数?它们的解析式分别是什么,都有哪些性质?
(1)一次函数解析式: .?
性质:
(2)二次函数解析式: .?
性质:
(3)反比例函数解析式: .?
性质:
(4)分段函数解析式: .?
性质:
2.均值不等式(一正、二定、三相等):
3.思考一下二次函数以及用均值定理求最值的方法.
课堂探究
一、提出问题,激发兴趣
在我们的现实生活中经常会碰到一些这样的问题:
国家为了鼓励节约用水、节约用电,会实行阶梯水价、阶梯电价,那么如何根据用水量求出需要交纳的水费呢?酒店为了获取最大利润应该如何制定房间的价格?在材料一定的前提下如何使围出的矩形场地面积最大?还有经济学中的问题,如何求最大利润或者最小成本等等问题.诸如此类的问题我们经常碰到,那么如何解决呢?
请同学们思考并回答下面两个问题:
(1)阶梯电价、阶梯水价问题中水费与用水量是什么函数关系呢?
(2)在材料一定的前提下围出的矩形场地面积如何表示?如何求出面积的最大值?
二、分析问题,明确思路,解决问题,提升数学运算素养
(一)分段函数模型
例1 为鼓励大家节约用水,自2013年以后,上海市实行了阶梯水价制度,其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示:
分档
户年用水量/m3
综合用水单价/(元/m3)
第一阶梯
0~220(含)
3.45
第二阶梯
220~300(含)
4.83
第三阶梯
300以上
5.83
记户年用水量为x
m3时应缴纳的水费为f(x)元.
(1)写出f(x)的解析式;
(2)假设居住在上海的张明一家2015年共用水260
m3,则张明一家2015年应缴纳水费多少元?
(二)一次函数模型 思考问题,分析问题,建立模型
例2 城镇化是国家现代化的重要指标,根据资料显示,1978~2013年,我国城镇常住人口从1.7亿增加到7.3亿.假设每年城镇常住人口增加量相等,记1978年后第t(限定t<40)年的城镇常住人口为f(t)亿.写出f(t)的解析式,并由此估算出我国2017年城镇常住人口数.
问题:
(1)一次函数的平均变化率是什么?
(2)这个题目是根据什么信息得出f(t)的函数类型的?
(3)根据题目中“记1978年后第t(限定t<40)年的城镇常住人口为f(t)亿”这句话的理解,可以得出1978年跟2013年对应的t是多少?
(三)二次函数模型
例3 某农家旅游公司有客房160间,每间客房单价为200元时,每天都客满.已知每间客房每提高20元,则客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素,旅游公司把每间房单价提到多少时,每天客房的租金总收入最高?
分析:可通过试算来理解题意,如下表所示.
提价/元
每间房单价/元
客房出租数
租金总收入/元
0
20
40
60
80
问题:(1)思考一下本题如何设未知量x?
(2)列出函数关系式后如何求最值?(二次函数求最值的方法有哪些)
跟踪训练:某单位计划用围墙围出一块矩形场地,现有材料可筑墙的总长度为l,如果要使围墙围出的场地面积最大,则矩形的长、宽各等于多少?
思考:本题还有没有其他方法来求最大值?
(四)f(x)=x+(a>0)函数模型
例4 已知某产品的总成本C与年产量Q之间的关系为C=aQ2+3
000,且当年产量是100时,总成本6
000.设该产品年产量为Q时平均成本为f(Q).
(1)求f(Q)的解析式;
(2)求年产量为多少时,平均成本最少,并求最小值.
评价反馈
1.某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元,经预测可知,市场对这种产品的年需求量为500件,当出售的这种产品的数量为t(单位:百件)时,销售所得的收入约为5t-t2(万元).
(1)若该公司的年产量为x(单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数;
(2)当这种产品的年产量为多少时,当年所得利润最大?
2.小王大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业,经过市场调查,生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元,每生产x万件,需另投入流动成本为W(x)万元,在年产量不足8万件时,W(x)=x2+x(万元).在年产量不小于8万件时,W(x)=6x+-38(万元).每件产品售价为5元.通过市场分析,小王生产的商品能当年全部售完.
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式;(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)
(2)年产量为多少万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润是多少?
课堂小结
通过本节课的学习,你有什么收获?(知识层面,思想方法层面)
作业布置
阅读课本,结合学案,进行知识整理,形成系统.
必做题:课本第124页A组第1,2,3题 B组第1,2题
选做题:核心素养专练
核心素养专练
1.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取试单的降价措施,经调查发现每件衬衫降价1元,商场平均每天可多售出2件.
(1)若商场平均每天要盈利1
200元,则每件衬衫应当降价多少元?
(2)每件衬衫降价多少时,商场平均每天盈利最多?
2.首届世界低碳经济大会在南昌召开,本届大会以“节能减排·绿色生态”为主题,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可以利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=x2-200x+80
000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?
(2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则需要国建至少补贴多少元才能使该单位不亏?
参考答案
自主预习
略
课堂探究
一、(1)分段函数
(2)设出未知量,用未知量表示出面积,二次函数求最值求出面积最值.
例1 解:(1)不难看出f(x)是一个分段函数,
当0当220当x>300时,有f(x)=220×3.45+(300-220)×4.83+(x-300)×5.83=5.83x-603.6.
因此f(x)=
(2)f(260)=4.83×260-303.6=952.2,
因此张明一家2015年应缴纳水费952.2元.
例2 问题:(1)函数的平均变化率是一个常数时,函数是一次函数;
(2)每一年城镇常住人口的增加量相等;
(3)1978年对应t=0,2013年对应的t=35.
解:因为每一年城镇常住人口的增加量相等,所以f(t)是一次函数.
设f(t)=kt+b,其中k,b是常数.
注意到2013年是1978年后的第2013-1978=35年,
因此即解得
因此f(t)=0.16t+1.7,t∈N且t<40.
又因为2017年是1978年后的第2017-1978=39年,而且f(39)=0.16×39+1.7=7.94,
所以由此可估算出我国2017年的城镇常住人口为7.94亿.
例3 (分析略)问题:(1):设每间房单价提高x个20元.
(2)二次函数求最值方法:找对称轴利用单调性;配方.
解:设每间房单价提高x个20元时,每天客房的租金总收入为y元.
因为此时每间房单价为200+20x元,而客房出租数将减少10x间,即为160-10x间,
因此y=(200+20x)(160-10x)
=200(10+x)(16-x)
=200(-x2+6x+160)
=200[-(x-3)2+169]
=-200(x-3)2+33
800.
从而可知,当x=3时,y的最大值为33
800.
因此每间房单价提到200+20×3=260元时,每天客房的租金总收入最高.
跟踪训练 解:设矩形的长为x时,场地的面积为S.
因为矩形的周长为l,所以矩形的宽为(l-2x),
由得0又因为S=(l-2x)x=-x2+x=-+,
所以当x=时,S的最大值为.此时矩形宽为.
即矩形是长、宽都是的正方形时,场地面积最大.
思考:本题还有没有其他方法来求最大值?
还可以用均值不等式来解决:
设矩形的长为x,宽为y,则x>0,y>0,x+y=,故有=x+y≥2,即S=xy≤,当且仅当x=y=时,S取得最大值为.
例4 解:(1)将Q=100,C=6
000代入C=aQ2+3
000,
可得1002a+3
000=6
000,从而a=,于是C=+3
000,
因此f(Q)==Q+,Q>0.
(2)因为f(Q)=Q+≥2=60,
当且仅当Q=,即Q=100时,等号成立.
因此,当年产量为100时,平均成本最小,且最小值为60.
评价反馈 1.解:(1)当05时,产品只能售出500件.
所以f(x)=
即f(x)=
(2)当0f(x)max=10.781
25(万元).
当x>5时,f(x)<12-0.25×5=10.75(万元).
故当年产量为475件时,当年所得利润最大.
2.解:(1)因为每件商品售价为5元,则x万件商品销售收入为5x万元,
依题意得:当0L(x)=5x--3=-x2+4x-3;
当x≥8时,L(x)=5x--3=35-.
所以L(x)=
(2)当0此时,当x=6时,L(x)取得最大值L(6)=9万元,
当x≥8时,L(x)=35-≤35-2=35-20=15,
当且仅当x=时等号成立,
即x=10时,L(x)取得最大值15万元.
因为9<15,
所以当年产量为10万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大,最大利润为15万元.
课堂小结
通过本节课的学习,你有什么收获?(知识层面,思想方法层面)
1.解有关函数的应用题,首先应考虑选择哪一种函数作为模型,然后建立其解析式.求解析式时,一般利用待定系数法,要充分挖掘题目的隐含条件,充分利用函数图形的直观性.
2.数学建模的过程图示如下:
作业布置
略
核心素养专练
1.解:(1)设每件衬衫应当降价x元,根据题意,得
(40-x)(20+2x)=1
200,解得x=10或x=20,
因为商场要尽快减少库存,所以x=20,
所以商场平均每天要盈利1
200元,则每件衬衫应当降价20元.
(2)设每件衬衫降价x元,商场平均每天盈利y元,则
y=(40-x)(20+2x)=-2x2+60x+800=-2(x-15)2+1
250,
当x=15时,y有最大值为1
250元,所以每件衬衫降价15元时,商场平均每天盈利最多.
2.解:(1)由题意可知,二氧化碳的每吨平均处理成本为
=x+-200≥2-200=200,当且仅当x=,
即x=400时等号成立,故该单位每月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,为200元.
(2)不获利.设该单位每月获利为S,则
S=100x-y=100x-=-x2+300x-80
000=-(x-300)2-35
000<0.
故该单位每月不获利,需要国家每月至少补贴40
000元才能使该单位不亏损.
学习目标
1.了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
2.能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题.培养数学建模素养.
3.借助实际问题中的最值问题,提升数学运算素养.
自主预习
1.随着经济和社会的发展,汽车已逐步成为人们外出的代步工具.下面是某地一汽车销售公司对近三年的汽车销售量的统计表:
年份
2015
2016
2017
销量/万辆
8
18
30
结合以上三年的销量及人们生活的需要,2018年初,该汽车销售公司的经理提出全年预售43万辆汽车的远大目标,经过全体员工的共同努力,2018年实际销售44万辆,圆满完成销售目标.
问题1 在实际生产生活中,对已收集到的样本数据常采用什么方式获取直观信息?
问题2 如果我们分别将2015,2016,2017,2018年定义为第一、二、三、四年,现在有两个函数模型:二次函数型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),一次函数模型g(x)=ax+b(a≠0),哪个模型能更好地反映该公司年销量y与第x年的关系?
问题3 依照目前的形势分析,你能预测一下2019年,该公司预销售多少辆汽车吗?
提示 1.建立函数模型.2.通过计算二次函数能更好地反映该公司的年销量.3.2019年,该公司预销售60万辆汽车.
常见
函数
模型
一次函数模型
二次函数模型
分段函数模型
2.解决函数应用问题的步骤
利用函数知识和函数观点解决实际问题时,一般按以下几个步骤进行:
(一) ;(二) ;(三) ;(四) .?
初试身手
1.一个矩形的周长是40,则矩形的长y关于宽x的函数解析式为( )
A.y=20-x,0B.y=20-2x,0C.y=40-x,0D.y=40-2x,02.甲、乙、丙、丁四辆玩具赛车同时从起点出发并做匀速直线运动,丙车最先到达终点.丁车最后到达终点.若甲、乙两车的图像如图所示,则对于丙、丁两车的图像所在区域,判断正确的是( )
A.丙在Ⅲ区域,丁在Ⅰ区域
B.丙在Ⅰ区城,丁在Ⅲ区域
C.丙在Ⅱ区域,丁在Ⅰ区域
D.丙在Ⅲ区域,丁在Ⅱ区域
3.某商店进货单价为45元,若按50元一个销售,能卖出50个;若销售单价每涨1元,其销售量就减少2个,为了获得最大利润,此商品的最佳售价应为每个 元.?
课堂探究
类型1 一次函数模型的应用
例1 某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y=6x+30
000.而出厂价格为每套12元,要使该厂不亏本,至少日生产文具盒( )
A.2
000套
B.3
000套
C.4
000套
D.5
000套
跟踪训练:
1.如图所示,这是某通信公司规定的打某国际长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图像.根据图像填空:
(1)通话2分钟,需要付电话费 元;?
(2)通话5分钟,需要付电话费 元;?
(3)如果t≥3,则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为 .?
类型2 二次函数模型的应用
例2 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱,价格每提高1元,平均每天少销售3箱.
(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;
(3)当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?
跟踪训练:
2.A,B两城相距100
km,在两地之间距A城x
km处D地建一核电站给A,B两城供电,为保证城市安全,核电站距城市距离不得少于10
km,已知每个城市的供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比,比例系数λ=0.25.若A城供电量为20亿度/月,B城为10亿度/月.
(1)把A,B两城月供电总费用y(万元)表示成x(km)的函数,并求定义域;
(2)核电站建在距A城多远,才能使供电总费用最小.
类型3 分段函数模型的应用
例3 某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元,经预测可知,市场对这种产品的年需求量为500件,当出售的这种产品的数量为t(单位:百件)时,销售所得的收入约为5t-t2(万元).
(1)若该公司的年产量为x(单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数;
(2)当这种产品的年产量为多少时,当年所得利润最大?
跟踪训练:
3.某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过4吨时,每吨为1.80元,当用水超过4吨时,超过部分每吨3.00元.某月甲、乙两户共交水费y元,已知甲、乙两户该月用水量分别为5x吨,3x吨.
(1)求y关于x的函数;
(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.
评价反馈
1.思考辨析
甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,判断下列说法的对错.
(1)甲比乙先出发.( )
(2)乙比甲跑的路程多.( )
(3)甲、乙两人的速度相同.( )
(4)甲先到达终点.( )
2.向高为H的水瓶中注水,注满为止.如果注水量V与水深h的函数关系的图像如图所示,那么水瓶的形状是( )
3.某人从A地出发,开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地,在B地停留2小时,则汽车离开A地的距离y(单位:千米)是时间t(单位:小时)的函数,该函数的解析式是 .?
4.某游乐场每天的盈利额y元与售出的门票张数x之间的函数关系如图所示,试由图像解决下列问题:
(1)求y与x的函数解析式;
(2)要使该游乐场每天的盈利额超过1
000元,每天至少卖出多少张门票?
核心素养专练
[合格基础练]
一、选择题
1.某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系为y=5x+40
000.而手套出厂价格为每双10元,要使该厂不亏本至少日产手套( )
A.2
000双
B.4
000双
C.6
000双
D.8
000双
2.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系,其图像如图所示,由图中给出的信息可知,营销人员没有销售量时的收入是( )
A.310元
B.300元
C.290元
D.280元
3.某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为y=
其中,x代表拟录用人数,y代表面试人数.若应聘的面试人数为60,则该公司拟录用人数为( )
A.15
B.40
C.25
D.130
4.商店某种货物的进价下降了8%,但销售价不变,于是这种货物的销售利润率由原来的r%增加到(r+10)%,则r的值等于( )
A.12
B.15
C.25
D.50
5.一个人以6
m/s的速度去追停在交通灯前的汽车,当他离汽车25
m时,交通灯由红变绿,汽车以1
m/s2的加速度匀加速开走,那么( )
A.此人可在7
s内追上汽车
B.此人可在10
s内追上汽车
C.此人追不上汽车,其间距最少为5
m
D.此人追不上汽车,其间距最少为7
m
二、填空题
6.经市场调查,某商品的日销售量(单位:件)和价格(单位:元/件)均为时间t(单位:天)的函数.日销售量为f(t)=2t+100,价格为g(t)=t+4,则该种商品的日销售额S(单位:元)与时间t的函数解析式为 .?
7.把长为12
cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面积之和的最小值是
cm2.?
8.国家规定个人稿费纳税办法为:不超过800元的不纳税;超过800元而不超过4
000元的按超出800元部分的14%纳税;超过4
000元的按全稿酬的11.2%纳税.某人出版了一本书共纳税420元,这个人的稿费为 元.?
三、解答题
9.某校校长暑假将带领该校市级三好学生去北京旅游.甲旅行社说:“如果校长买全票一张,则其余学生可享受半价优惠”.乙旅行社说:“包括校长在内,全部按票价的6折(即按全票价的60%收费)优惠”.若全票价为240元.
(1)设学生数为x人,甲旅行社收费为y甲元,乙旅行社收费为y乙元,分别写出两家旅行社的收费y甲,y乙与学生数x之间的解析式;
(2)当学生数是多少时,两家旅行社的收费一样?
(3)就学生人数讨论哪家旅行社更优惠?
10.一块形状为直角三角形的铁皮,直角边长分别是40
cm与60
cm,现在将它剪成一个矩形,并以此三角形的直角为矩形的一个角,问怎样剪才能使剩下的残料最少?并求出此时残料的面积.
[等级过关练]
1.在股票买卖过程中,经常用两种曲线来描述价格变化情况:一种是即时价格曲线y=f(x),另一种是平均价格曲线y=g(x),如f(2)=3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元;g(2)=3表示2小时内的平均价格为3元.下面给出了四个图像,实线表示y=f(x),虚线表示y=g(x),其中可能正确的是( )
2.一个体户有一批货,如果月初售出可获利100元,再将本利都存入银行,已知银行月息为2.4%.如果月末售出,可获利120元,但要付保管费5元.这位个体户为获利最大,则这批货( )
A.月初售出好
B.月末售出好
C.月初或月末售出一样
D.由成本费的大小确定
3.已知直角梯形ABCD,如图(1)所示,动点P从点B出发,由B→C→D→A沿边运动,设点P运动的路程为x,△ABP的面积为f(x).如果函数y=f(x)的图像如图(2)所示,则△ABC的面积为 .?
(1)
(2)
4.如图所示,在矩形ABCD中,已知AB=13,BC=3,在AB,AD,CD,CB上分别截取AE,AH,CG,CF,且AE=AH=CG=CF=x,则x= 时,四边形EFGH的面积最大,最大面积为 .?
5.通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间.讲座开始时,学生兴趣激增;中间有一段不太长的时间,学生的兴趣保持较理想的状态;随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明,用f(x)表示学生接受概念的能力(f(x)的值愈大,表示接受的能力愈强),x表示提出和讲授概念的时间(单位:分),可有以下的公式
f(x)=
(1)开讲后多少分钟,学生的接受能力最强?能维持多长时间?
(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较,学生的接受能力何时强一些?
参考答案
自主预习
略
初试身手
1.A 2.A 3.60
课堂探究
例1 D
跟踪训练
1.(1)3.6 (2)6 (3)y=1.2t(t≥3)
例2 解:(1)根据题意,得y=90-3(x-50),
化简,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).
(2)因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润.
所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9
600(50≤x≤55,x∈N).
(3)因为w=-3x2+360x-9
600=-3(x-60)2+1
200,
所以当x<60时,w随x的增大而增大.又50≤x≤55,x∈N,
所以当x=55时,w有最大值,最大值为1
125.
所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1
125元.
跟踪训练
2.解:(1)由题意设甲城的月供电费用为y1,则y1=λ×20x2.
设乙城的月供电费用为y2,则y2=λ×10×(100-x)2,
∴甲、乙两城月供电总费用y=λ×20x2+λ×10×(100-x)2.
∵λ=0.25,∴y=5x2+(100-x)2(10≤x≤90).
(2)由y=5x2+(100-x)2=x2-500x+25
000=+,则当x=时,y最小.
故当核电站建在距A城
km时,才能使供电总费用最小.
例3 解:(1)当05时,产品只能售出500件.
所以f(x)=
即f(x)=
(2)当0f(x)max=10.781
25(万元).
当x>5时,f(x)<12-0.25×5=10.75(万元).
故当年产量为475件时,当年所得利润最大.
跟踪训练
3.解:(1)当甲的用水量不超过4吨时,即5x≤4,乙的用水量也不超过4吨,y=1.8(5x+3x)=14.4x;
当甲的用水量超过4吨,乙的用水量不超过4吨时,
即3x≤4,且5x>4时,
y=4×1.8+3x×1.8+3(5x-4)=20.4x-4.8.
当乙的用水量超过4吨,即3x>4时,
y=2×4×1.8+3×[(3x-4)+(5x-4)]=24x-9.6.
所以y=
(2)由于y=f(x)在各段区间上均单调递增;
当x∈时,y≤f<26.4;
当x∈时,y≤f<26.4;
当x∈时,令24x-9.6=26.4,
解得x=1.5.
所以甲户用水量为5x=5×1.5=7.5(吨),
付费S1=4×1.8+3.5×3=17.70(元);
乙户用水量为3x=4.5(吨),
付费S2=4×1.8+0.5×3=8.70(元).
评价反馈
1.(1)× (2)× (3)× (4)√
2.B 3.y=
4.解:(1)由图像知,可设y=kx+b(k≠0),
x∈[0,200]时,过点(0,-1
000)和(200,1
000),解得k=10,b=-1
000,从而y=10x-1
000;
x∈(200,300]时,过点(200,500)和(300,2
000),解得k=15,b=-2
500,从而y=15x-2
500,
所以y=
(2)每天的盈利额超过1
000元,则x∈(200,300],由15x-2
500>1
000,得x>,故每天至少需要卖出234张门票.
核心素养专练
[合格基础练]
一、选择题
1.D 2.B 3.C 4.B 5.D
二、填空题
6.S(t)=2t2+108t+400,t∈N
7.2 8.3
800
三、解答题
9.解:(1)y甲=120x+240(x∈N
),
y乙=(x+1)×240×60%=144(x+1)(x∈N
).
(2)由120x+240=144x+144,解得x=4,即当学生数为4人时,两家旅行社的收费一样.
(3)当x<4时,乙旅行社更优惠;当x>4时,甲旅行社更优惠.
10.解:设直角三角形为△ABC,AC=40,BC=60,矩形为CDEF,如图,设CD=x,CF=y,
则由Rt△AFE∽Rt△EDB得=,即=,解得y=40-x,
记剩下的残料面积为S,则
S=×60×40-xy=x2-40x+1
200=(x-30)2+600(0故当x=30时,Smin=600,此时y=20,
所以当x=30,y=20时,剩下的残料面积最少为600
cm2.
[等级过关练]
1.C 2.D 3.16 4.3 30
5.解:(1)当0由f(x)的图像(图略)可知,当x=10时,f(x)max=f(10)=59;
当10当16因此,开讲后10分钟,学生的接受能力最强,并能持续6分钟.
(2)∵f(5)=-0.1×(5-13)2+59.9=53.5,
f(20)=-3×20+107=47<53.5,
∴开讲后5分钟学生的接受能力比开讲后20分钟强.3.4 数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点
学习目标
从实际问题建立数学模型、运算求解、验证模型、改进模型的全过程,掌握建模方法,培养数学建模、数学抽象等核心素养.
自主预习
阅读课本第125~127页的内容,完成下列问题:
1.一次函数
2.二次函数
课堂探究
(一)【问题导入】
例:陕西省目前已经是全球最大的连片种植苹果区域,苹果产量占全世界六分之一,种植面积高达1
000多万亩.2019年11月,小明家所在的村镇苹果丰收,可是当地农民却发愁:是现在就把苹果出售还是储存起来,等冬季苹果数量少价格高了再出售.
利用数学建模方法解决:决定苹果的最佳出售时间点
1.一般情况下,影响商品价格的因素有哪些?
2.如何用数学符号语言来描述上述讨论的结果?
3.如何建立苹果收益的数学模型(函数)?
4.如何确定函数模型f(x)=k1x+l1,g(t)=k2t+l2,h(t)=at2+bt+c,其中k1<0,k2>0,a≠0中的参数?
(二)【理性认识,概括性质】
1.数学建模的概念:
2.数学建模过程主要包括:
(三)【巩固练习,学以致用】
通过调查,收集实际数据,来确定参数.例如,收集了如下数据:
x/万吨
8.4
7.6
y/元
0.8
1.2
t/天
1
2
g(t)/元
0.11
0.12
t/天
1
2
3
x/万吨
9.462
9.328
9.198
运用待定系数法,求得函数模型.
(四)【课堂小结,总结升华】
通过本节课的学习,你有什么收获?(知识层面,思想方法层面)
核心素养专练
课本130页,3.(2)查阅数据或者自行设计试验收集数据,建立有关停车距离的数学模型.
参考答案
自主预习
略
课堂探究
(一)【问题导入】
1.当市面上的苹果比较多时,苹果的价格就会降低.这时,如果将苹果利用一定的技术手段进行保鲜存储,等到市面上的苹果变少、价格上升之后再出售,则同样多的苹果就可以获得比较高的销售收入.不过,需要注意的是,保鲜存储是有成本的,而且成本会随着时间的延长而增大.
2.市面上苹果的量为x万吨,苹果的单价为y元,保鲜存储的时间为t天,单位数量的保鲜存储成本为C元,且C是t的函数并记作C=g(t),单位数量的苹果所获得的收益z元.
3.假设f(x)和g(t)都是一次函数,且f(x)=k1x+l1,g(t)=k2t+l2.
并假设h(t)是一个二次函数,且h(t)=at2+bt+c.
则有z=f(h(t))-g(t)=k1at2+(k1b-k2)t+k1c+l1-l2,其中k1<0,k2>0,a≠0.
4.待定系数法.
(二)【理性认识,概括性质】
1.对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题就是数学建模.
2.数学建模过程主要包括:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、建立模型,确定参数、计算求解,验证结果、改进模型,最终解决实际问题.
(三)【巩固练习,学以致用】
y=f(x)=-0.5x+5,
C=g(t)=0.01t+0.1,
x=h(t)=0.002t2-0.14t+9.6,
因此z=-0.001t2+0.06t+0.1.
(四)【课堂小结,总结升华】
数学建模活动的基本过程
学习目标
能够对简单的实际问题,选择适当的函数构建数学模型,解决问题.
自主预习
1.常用的函数模型
名称
解析式
条件
一次函
数模型
y= ?
?
反比例
函数模型
y= ?
?
二次函
数模型
一般式:y= ?
a≠0
顶点式:y= ?
2.数学建模: .?
3.数学建模过程主要包括: .?
课堂探究
数学建模是连接数学和现实世界的桥梁.下面我们用实例来介绍,怎样从现实世界中发现问题,如何通过数学建模来求解特定的问题,并探讨怎样整理数学建模的结果.
一、建模过程描述与介绍
俗话说,“物以稀为贵”.一般来说,当市面上某种商品的出售量比较多时,这种商品的价格就会比较低;而出售量比较少时,价格就会比较高.例如,当市面上的苹果比较多时,苹果的价格就会降低.这时,如果将苹果利用一定的技术手段进行保鲜存储,等到市面上的苹果变少、价格上升之后再出售,则同样多的苹果就可以获得比较高的销售收入.不过,需要注意的是,保鲜存储是有成本的,而且成本会随着时间的延长而增大.针对上述这种日常生活中的现象,我们可以提出一些什么问题呢?
当然,我们可以探讨的问题很多.例如,为什么会发生这些现象?什么情况下不会发生这样的现象?能够利用哪些技术手段进行保鲜存储?哪种保鲜存储的成本最低?等等.类似的这些问题,因为不仅仅涉及量的关系,所以如果只用数学手段研究,将是十分困难的.
不过,上述现象中,涉及量的增大与减少的问题,这可以用数学符号和语言进行描述.
仍以苹果为例,设市面上苹果的量为x万吨,苹果的单价为y元,上述现象说明,y会随着x的增大而减小,且y也会随着x的减小而增大,也就是说,如果y是x的函数并记作y=f(x)的话,f(x)是减函数.
同样地,如果设保鲜存储的时间为t天,单位数量的保鲜存储成本为C元,且C是t的函数并记作C=g(t)的话,g(t)是一个增函数.
由于市面上苹果的量x会随着时间t的变化而变化,因此可以认为x是t的函数,并记作x=h(t).
从上面这些描述不难看出,在第t天出售苹果时,单位数量的苹果所获得的收益z元可以用t表示出来,即
z=y-C=f(x)-g(t)=f(h(t))-g(t).
此时,如果f(x),g(t),h(t)都是已知的,则能得到z与t的具体关系式.有了关系式之后,就能解决如下问题:z是否有最大值?如果z有最大值,那么t为多少时z取最大值?
怎样才能确定上述f(x),g(t),h(t)呢?这可以通过合理假设以及收集数据、确定参数来完成.
例如,为了简单起见,我们可以假设f(x)和g(t)都是一次函数,且
f(x)=k1x+L1,g(t)=k2t+L2;
并假设h(t)是一个二次函数,且h(t)=at2+bt+c.
则有
z=f(h(t))-g(t)=k1at2+(k1b-k2)t+k1c+L1-L2,其中k1<0,k2>0,a≠0.
上述各参数可以通过收集实际数据来确定.例如,如果我们收集到了如下实际数据.
x/万吨
8.4
7.6
y/元
0.8
1.2
t/天
1
2
C/元
0.11
0.12
t/天
1
2
3
x/万吨
9.462
9.328
9.198
利用待定系数法,根据前面的假设就可以确定出
y=f(x)=-0.5x+5,
C=g(t)=0.01t+0.1,
x=h(t)=0.002t2-0.14t+9.6,
因此z=-0.001t2+0.06t+0.1.
注意到上式可以改写成z=-0.001(t-30)2+1,所以此时在t=30时,z取最大值1.也就是说,在上述情况下,保鲜存储30天时,单位商品所获得的利润最大,为1元.
这样一来,我们就建立了一个决定苹果的最佳出售时间点的模型,并通过有关数据进行了说明.
当然,实际情况与上面的建模结果可能会出现偏差.因为我们假设f(x)和g(t)都是一次函数等就已经把问题进行了简化,如果条件允许的话,可以先不假设函数的具体形式,在收集尽量多的数据的基础上,通过对数据的分析来最终得出函数的具体形式,这样也就能优化我们最终建立的模型.
以上我们用叙述的方式,让大家经历了一个简单的数学建模全过程.由此可以看出,对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题就是数学建模.数学建模过程主要包括:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、建立模型,确定参数、计算求解,验证结果、改进模型,最终解决实际问题.
在实际的数学建模过程中,为了向别人介绍数学建模的成果,给别人提供参考,我们还需要将建模结果整理成论文的形式.
一般来说,数学建模论文的结构可以按照建模过程来确定例如,如图所示都可以是数学建模论文的主题结构.
论文标题
?
一、发现问题、提出问题
?
二、分析问题、建立模型
?
三、确定参数、计算求解
?
四、验证结果、改进模型
论文标题
?
一、问题的提出与分析
?
二、模型的建立与计算
?
三、问题的解决与反思
论文标题
?
一、背景介绍
?
二、问题提出与分析
?
三、模型假设与符号说明
?
四、模型的建立
?
五、模型的求解
?
六、模型的检验
?
七、模型的评价
当然,数学建模论文中还可以根据需要增加作者、摘要、参考文献、附录等信息.
需要提醒的是,对于一些综合性比较大的问题而言,数学建模的过程中需要做的事情比较多,比如数据收集与整理、模型试算、对比不同的模型、将结果以可视化方式显示、资料整理与论文撰写等,因此数学建模的过程中,往往采用分工合作的方式进行.一般来说,一个数学建模小组由3~5人组成.理想的小组中,既要有数学基础扎实的同学,也要有能熟练使用计算机的同学,还要有写作表达能力强的同学.
二、数学建模论文示例
国民收入、消费与投资的关系
1.发现问题、提出问题
在政府文件中,我们经常可以看到有关经济增长与投资、消费的内容.
例如,《国务院关于促进创业投资持续健康发展的若干意见》(国发〔2016〕53号)指出:“近年来,我国创业投资快速发展,不仅拓宽了创业企业投融资渠道、促进了经济结构调整和产业转型升级,增强了经济发展新动能,也提高了直接融资比重、拉动了民间投资服务实体经济,激发了创业创新、促进了就业增长.”
2016年11月,《国务院办公厅关于进一步扩大旅游文化体育健康养老教育培训等领域消费的意见》(国办发〔2016〕85号)指出:“当前,我国国内消费持续稳定增长,为经济运行总体平稳、稳中有进发挥了基础性作用.顺应群众期盼,以改革创新增加消费领域特别是服务消费领域有效供给、补上短板,有利于改善民生、促进服务业发展和经济转型升级、培育经济发展新动能.”
习惯上,人们总是用收入来衡量经济状况,因此所谓经济增长或者经济发展,通常指的是收入增加.
那么,怎样描述投资与经济增长之间的关系呢?为什么说消费增长有利于经济发展呢?这些现象能用数学语言来描述吗?
2.分析问题、建立模型
要用数学语言描述经济增长、投资、消费之间的关系,实际上是要研究国民收入(简称为收入,用Y表示)、国民投资(简称为投资,用I表示)、国民消费(简称为消费,用C表示)之间的关系.
为了简单起见,可以做出以下假设:
(1)收入、投资、消费都用同一单位来衡量,为了方便,以下均省略单位;
(2)收入只用于投资和消费;
(3)消费可以分为两部分,一部分为基本消费(用C0表示),另一部分与收入成正比,比例系数为a.
值得注意的是,以上假设都是合理的.例如一个家庭的收入,一般而言,不是用于投资(比如储蓄、购买理财产品等),就是用于消费(比如家庭成员的生活支出等);一个家庭的消费,一部分用于满足基本生活需求(比如购买食品等),而另一部分则依赖于收入的多少(比如家庭成员的旅游支出等).
由假设可知,收入、投资、消费之间的关系可描述为
Y=C+I,C=C0+aY.
在经济学中,这通常称为凯恩斯静态模型,因为这是英国经济学家凯恩斯最先得出的.
一些经济现象,可以通过凯恩斯静态模型中量之间的关系来体现.例如,如果不存在透支消费,那就意味着消费不大于收入,即C≤Y,因此aY另外,如果将消费看成收入的函数,则这个函数在任意区间[Y1,Y2]内的平均变化率均为
==a,
这表示收入每增加一个单位,消费将增加a个单位.因此,a通常称为边际消费倾向.
3.确定参数、计算求解
(1)收入与消费的关系
为了探讨经济增长(即收入)与消费的关系,可以将收入看成消费的函数,即=,其中C0与a均为参数.可以算出,这个函数在任意区间内的平均变化率均为Y=C-,这表示消费每增加一个单位,收入将增加个单位.
例如,当C0=10,a=时,有Y=C-,因此,
如果消费C=30,那么Y=×30-=25;
如果消费C=35,那么Y=×35-=31.25.
可以看到,消费增长5个单位时,收入增加了6.25个单位.
(2)收入与投资的关系
为了探讨经济增长(即收入)与投资的关系,可以将收入看成投资的函数,通过消去C求解Y可得Y=I+,此时,C0与a均为参数可以算出,这个函数在任意区间内的平均变化率均为=.
这表示投资每增加1个单位,收入将增加个单位.
例如,当C0=10,a=时,有Y=5I+50,因此,
如果投资I=10,那么Y=5×10+50=100;
如果投资I=15,那么Y=5×15+50=125.
可以看到,投资增长5个单位时,收入增加了25个单位.
4.验证结果、改进模型
从上述计算结果可以看出,当消费增长或者投资增长时,都将导致收入增加(这样一来,我们也就完成了本章导语中投资与经济增长之间关系问题的解答).而且,一般情况下,收入增加比消费增长或投资增长快.事实上,当01且>1.
这就是说,平均变化率和都大于1.经济学上将这种现象称为乘数效应.
可以看出,凯恩斯静态模型能够较好地描述收入、投资与消费的关系.
这个模型中,为了简单起见,假设了基本消费以外的消费与收入成正比,但实际的情况可能会更加复杂,模型的改进可以从这方面入手.
三、活动要求与提示
1.与其他同学一起讨论如下问题:
(1)从现实世界中发现问题并进行建模时,所发现的问题要具有什么特征时才方便使用数学知识加以解决?
(2)对同一个现象甚至同一组数据进行数学建模时,能否使用不同的数学对象进行描述?
2.参考数学建模论文示例,以“决定苹果的最佳出售时间点”为题,将“建模过程描述与介绍”中的有关内容整理成一篇数学建模论文.(提示:论文的主体结构可以不同于示例.)
3.按照优势互补的原则,跟其他同学组成一个数学建模小组,在以下两个题目中,任选一个进行数学建模实践.
(1)经济生活中,商品的需求量与供给量都与商品的价格有关.一般来说,商品的价格越低,想购买这种商品的人就越多,因此需求量越大,但此时因为销售的利润低,因此卖的人就会越少,从而供给量越小、与其他同学一起分工合作,查阅有关资料,按照数学建模的步骤与方法,给出商品的需求量与供给量模型,并探讨它们之间的关系.
(2)不管是驾驶汽车还是骑自行车,当发现路况有变化需要紧急停车时,停车距离会与很多因素有关.例如,人的反应时间、车的速度、车与人的质量等都会影响停车距离.与其他同学一起分工合作,查阅有关数据或者自行设计试验收集数据,建立有关停车距离的数学模型.
核心素养专练
1.如图是本地区一种产品30天的销售图像,图①是产品日销售量y(单位:件)与时间t(单位;天)之间的函数关系,图②是一件产品的销售利润z(单位:元)与时间t(单位:天)之间的函数关系,已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润,下列结论错误的是( )
图①
图②
A.第24天的销售量为200件
B.第10天销售一件产品的利润是15元
C.第12天与第30天这两天的日销售利润相等
D.第30天的日销售利润是750元
2.用一段长为8
cm的铁丝围成一个矩形模型,则这个模型的最大面积为( )
A.9
cm2
B.16
cm2
C.4
cm2
D.5
cm2
3.某建材商场国庆期间搞促销活动,规定:顾客购物总金额不超过800元,不享受任何折扣;如果顾客购物总金额超过800元,则超过800元部分享受一定的折扣优惠,并按下表折扣分别累计计算:
可以享受折扣优惠金额
折扣率
不超过500元的部分
5%
超过500元的部分
10%
若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元,则此人购物实际所付金额为( )
A.1
500元
B.1
550元
C.1
750元
D.1
800元
参考答案
自主预习
略
课堂探究
略
核心素养专练
1.C 解析:由函数图像获得相关数据,两幅图的横轴表示的都是时间t,由题图①中横坐标为24的点的纵坐标是200,即可判断A中结论正确.由题图①中横坐标为30的点的纵坐标是150与题图②中横坐标为30的点的纵坐标是5,得第30天的日销售利润为150×5=750(元),选项D中结论正确.求出y与t之间的函数关系式为y=求出z与t之间的函数关系式为z=当t=10时,z=15,选项B中结论正确.当t=12时,y=150,z=13,yz=1
950;当t=30时,y=150,z=5,yz=750,1
950≠750,选项C中结论不正确,故选C.
2.C
3.A 解析:设此商场购物总金额为x元,可以获得的折扣金额为y元,
由题可知:y=
∵y=50>25,∴x>1
300,∴0.1(x-1
300)+25=50,
解得x=1
550,1
550-50=1
500,
故此人购物实际所付金额为1
500元,故选A.