集合及其表示方法
第1课时
学习目标
1.借助生活和数学实例了解集合的含义,并理解集合中元素的三个特性.
2.理解元素与集合的关系,掌握特殊数集的符号表示,培养数学抽象素养.
3.理解集合相等的概念.
自主预习
1.集合(深刻理解集合的有关概念是我们正确运用集合知识的基础)
(1)集合与元素的概念
集合与元素概念及数学符号表示.
思考1:集合的元素特点有哪些?
思考2:怎样判断两个集合相等?
(2)元素与集合的关系
集合与元素之间的关系只能用“∈”或“?”表示,对一个确定的对象和一个给定的集合,这两种关系有且只有一个成立.
知识点
关系
概念
记法
读法
元素与集
合的关系
属于
a是集合A的元素
不属于
a不是集合A的元素
2.几种常见的数集及表示符号(务必记忆数学符号,学会用数学语言去表达)
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法
课堂探究
一、情境问题
在生活与学习中,我们经常要对事物进行分类.最典型的是图书馆中的书籍就是按照一定规律分类摆放储藏的.在数学知识中,同样也存在着许多分类,例如整数可以分为正整数、负整数和零,三角形可以分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形等.
思考1:你能说出数学中其他的分类实例吗?
思考2:是否可以借助袋子、抽屉等来直观地理解集合?
思考3:方程x+1=x+2的所有解组成的集合是什么?
思考4:①我们班所有的“追梦人”能否构成一个集合?
②我们班身高不低于175
cm的同学能否构成一个集合?
③我们班的高个子同学能否构成一个集合?
④不等式x-2>1的所有解能否构成一个集合?
【小试牛刀】
例1 (1)(多选)下列每组对象,能构成集合的是( )
A.中国各地的美丽乡村
B.直角坐标系中横、纵坐标相等的点
C.不小于3的自然数
D.截止到2019年1月1日,参加“一带一路”的国家
(2)下列说法中,正确的有 .(填序号)?
①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个;
②集合M中有3个元素a,b,c,如果a,b,c是△ABC的三边长,则△ABC不可能是等腰三角形;
③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合.
跟踪训练
(1)下列各组对象可以构成集合的是( )
A.数学必修第一册课本中所有的难题
B.小于8的所有素数
C.直角坐标平面内第一象限的一些点
D.所有小的正数
(2)下列每组对象能否构成一个集合?
①不超过20的非负数;
②方程x2-9=0在实数范围内的解;
③某校2020年在校的所有矮个子同学;
④的近似值的全体.
二、特殊数集
思考5:若a∈N,b∈N,则a+b,ab,a-b,是否属于N呢?
思考6:若a∈Z,b∈Z,则a+b,ab,a-b,是否属于Z呢?
思考7:若a∈Q,b∈Q,则a+b,ab,a-b,是否属于Q呢?
拓展:①无限循环小数可以表示成分数吗?举例解释.
②任何一个无限循环小数都是Q中的元素吗?
思考8:若a∈R,b∈R,则a+b,ab,a-b,是否属于R呢?
【学以致用】
例2 (1)(多选)下列关系中正确的有( )
A.∈Q
B.-1?N
C.π?R
D.|-4|∈Z
(2)下列说法中正确的有 .?
①集合N与集合N+是同一个集合;
②集合N中的元素都是集合Z中的元素;
③集合Q中的元素都是集合Z中的元素;
④集合Q中的元素都是集合R中的元素.
跟踪训练
(多选)给出下列关系,其中不正确的有( )
A.∈R
B.|-3|?N
C.|-|∈Q
D.0?N
例3 已知集合A是由a-2,2a2+5a,12三个元素组成的,且-3∈A,求实数a.
跟踪训练
已知集合A含有两个元素a-3和2a-1,若-3∈A,试求实数a的值.
延伸探究:
若将“-3∈A”换成“a∈A”,求实数a的值.
课堂练习
1.(多选)下列给出的对象中,能组成集合的是( )
A.方程x2-4=0在实数范围内的解
B.不超过30的所有非负整数
C.平面直角坐标系中第一象限内的点
D.方程x2=-1的实数根
2.下列结论不正确的是( )
A.|-1|∈N
B.?Q
C.0?Q
D.π∈R
3.若以集合A的四个元素a,b,c,d为边长构成一个四边形,则这个四边形可能是( )
A.梯形
B.平行四边形
C.菱形
D.矩形
4.一个小书架上有十个不同品种的书各3本,那么由这个书架上的书组成的集合中含有 个元素.?
5.已知集合A中的元素x满足x≥2,若a?A,则实数a的取值范围是 .?
课后巩固
1.以下各组对象不能组成集合的是( )
A.中国古代四大发明
B.地球上的小河流
C.方程x2-7=0的实数解
D.周长为10
cm的三角形
2.若a是R中的元素,但不是Q中的元素,则a可以是
( )
A.3.14
B.-5
C.
D.
3.(多选)下列说法中,不正确的是( )
A.集合N中最小的数为1
B.若-a∈N,则a∈N
C.若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2
D.所有小的正数组成一个集合
4.(多选)下列关系中正确的有( )
A.∈R
B.∈Q
C.-3?Z
D.-?N
5.集合A中含有三个元素2,4,6,若a∈A,且6-a∈A,那么a为( )
A.2
B.2或4
C.4
D.0
6.(多选)已知x,y为非零实数,代数式++的值所组成的集合是M,则下列判断正确的是( )
A.-1∈M
B.1∈M
C.2∈M
D.3∈M
7.(多选)由a2,2-a,4组成一个集合A,且集合A中含有3个元素,则实数a的取值可以是( )
A.1
B.-2
C.-1
D.3
8.已知集合A是由0,m,m2-3m+2三个元素构成的集合,且2∈A,则实数m= .?
9.由实数x,-x,|x|,,-所组成的集合,最多含 个元素.?
10.设A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合,若a∈A且3a∈A,求a的值.
11.设x∈R,集合A中含有三个元素3,x,x2-2x.
(1)求元素x应满足的条件;
(2)若-2∈A,求实数x的值.
核心素养专练
1.已知集合M有两个元素x,2-x,若-1?M,则下列说法一定错误的是 .?
①2∈M;②1∈M;③x≠3.
2.设集合A中的元素均为实数,且满足条件:若a∈A,则∈A(a≠1).
求证:(1)若2∈A,则A中必还有另外两个元素;
(2)集合A不可能是单元素集.
参考答案
自主预习
略
课堂探究
思考:略
例1 (1)BCD (2)②
跟踪训练 (1)B
(2)①对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”,所以能构成集合;②能构成集合;③“矮个子”无明确的标准,对于某个人算不算矮个子无法客观地判断,因此不能构成一个集合;④“的近似值”不明确精确到什么程度,因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值,所以不能构成集合.
规律方法 判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准,使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定无疑”的,就可以构成集合;如果是“模棱两可”的,就不能构成集合.
思考:略
例2 (1)BD (2)②④
跟踪训练 BCD
例3 解:由-3∈A,可得-3=a-2或-3=2a2+5a,
∴a=-1或a=-.
当a=-1时,a-2=-3,2a2+5a=-3,不符合集合中元素的互异性,故a=-1应舍去.
当a=-时,a-2=-,2a2+5a=-3,符合集合中元素的互异性.∴a=-.
【总结归纳】利用集合中元素的互异性求参数的策略及注意点:
(1)策略:根据集合中元素的确定性,可以解出字母的所有可能值,再根据集合中的元素的互异性对求得的参数值进行检验.
(2)注意点:利用集合中元素的互异性解题时,要注意分类讨论思想的应用.
跟踪训练 解:∵-3∈A,∴-3=a-3或-3=2a-1,
若-3=a-3,则a=0,此时集合A中含有两个元素-3,-1,符合题意;
若-3=2a-1,则a=-1,此时集合A中含有两个元素-4,-3,符合题意;
综上所述,a=0或a=-1.
延伸探究
解:∵a∈A,∴a=a-3或a=2a-1,解得a=1,此时集合A中有两个元素-2,1,符合题意.
故所求a的值为1.
课堂练习
1.ABCD 2.C 3.A 4.10 5.a<2
课后巩固
1.B 2.D 3.ABCD 4.AD
5.B
解析:若a=2,则6-2=4∈A;
若a=4,则6-4=2∈A;
若a=6,则6-6=0?A,故选B.
6.AD
解析:①当x,y均为正数时,代数式++的值为3;②当x,y为一正一负时,代数式++的值为-1;③当x,y均为负数时,代数式++的值为-1,所以集合M的元素有-1,3,故选AD.
7.CD
解析:由题意知a2≠4,2-a≠4,a2≠2-a,解得a≠±2,且a≠1,故选CD.
8.3
解析:由题意知,m=2或m2-3m+2=2,
解得m=2或m=0或m=3.经验证,
当m=0或m=2时,不满足集合中元素的互异性,
当m=3时,满足题意,故m=3.
9.2
解析:由于|x|=±x,=|x|,-=-x,并且x,-x,|x|之中至少有两个相等,所以最多含2个元素.
10.解:∵a∈A且3a∈A,∴解得a<2.又a∈N,∴a=0或1.
11.解:(1)由集合元素的互异性可得x≠3,x2-2x≠x,且x2-2x≠3,
解得x≠-1,x≠0,且x≠3.
(2)若-2∈A,则x=-2或x2-2x=-2.
由于方程x2-2x+2=0无实数解,所以x=-2.
经检验,知x=-2时三个元素满足互异性.
故x=-2.
核心素养专练
1.②
解析:依题意解得x≠-1,x≠1且x≠3,
当x=2或2-x=2,即x=2或x=0时,M中的元素为0,2,故①可能正确;
当x=1或2-x=1,即x=1时,M中两元素为1,1,不满足互异性,故②不正确,③显然正确.
2.证明:(1)若a∈A,则∈A.
又因为2∈A,所以=-1∈A.因为-1∈A,所以=∈A.
因为∈A,所以=2∈A.所以A中另外两个元素为-1,.
(2)若A为单元素集,则a=,即a2-a+1=0,方程无实数解.
所以a≠,所以集合A不可能是单元素集.
学习目标
1.了解集合的含义,理解元素与集合的“属于”关系;
2.理解集合的元素特点,体会数学符号语言的抽象性、简洁性和逻辑性.
自主预习
1.集合
(1)元素与集合的概念
①把一些能够 、 对象汇集在一起,就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集),组成集合的每个对象都是这个集合的元素.?
集合通常用英文大写字母 …表示,集合的元素通常用英文小写字母 …表示.?
一般地,我们把 任何元素的集合称为空集,记作 .?
(2)元素与集合的关系
①属于:如果a是集合A的元素,就记作 ,读作“a A”.?
②不属于:如果a不是集合A中的元素,就记作 ,读作“a A”.?
(3)集合中元素的特点
① :集合的元素必须是确定的.?
②互异性:对于一个给定的集合,集合中的元素一定是 的.?
③ :集合中的元素可以任意排列,与次序无关.?
(4)集合相等:给定两个集合A和B,如果组成它们的元素 ,就称这两个集合相等,记作 .?
(5)集合的分类
根据集合含有的元素个数分为两类:
①有限集:含有 元素的集合(空集可以看成包含0个元素的集合,所以空集是有限集).?
② :含有无限个元素的集合.?
2.几种常见的数集及表示符号
名称
自然数集
正整数集
有理数集
记法
Z
R
课堂探究
一 集合概念的理解
例1 下列每组对象能否构成一个集合:
(1)不超过20的非负数;
(2)方程x2-9=0在实数范围内的解;
(3)某校2020年在校的所有矮个子同学;
(4)的近似值的全体.
规律方法:
训练1 (1)下列给出的对象中能构成集合的是( )
A.著名物理家
B.很大的数
C.聪明的人
D.小于3的实数
(2)下列各组对象可以构成集合的是( )
A.数学必修第一册课本中所有的难题
B.小于8的所有素数
C.平面直角坐标系内第一象限的一些点
D.所有小的正数
二 元素与集合的关系、集合的元素特点及应用
例2 (1)给出下列关系:①∈R;②|-3|?N;③|-|∈Q;④0?N.其中正确的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
(2)已知集合A是由a-2,2a2+5a,12三个元素组成的,且-3∈A,求实数a.
规律方法:
训练2 (1)设集合M是由不小于2的数组成的集合,若a=,则下列关系中正确的是( )
A.a∈M
B.a?M
C.a=M
D.a≠M
(2)已知集合A含有两个元素a-3和2a-1,若-3是集合A中的元素,试求实数a的值.
核心素养专练
1.用符号“∈”或“?”填空.
(1)- Q; (2)0 N.?
(2) Q;
(4) R;?
(5)sin
45° Z;
(6)cos
30° Q.?
2.下列条件所指对象能构成集合的是( )
A.与0非常接近的数
B.我班喜欢唱歌的同学
C.我校学生中的团员
D.我班的高个子学生
3.已知由数x,-x,|x|,,-所组成的集合中元素的个数最多可以是( )
A.2
B.3
C.4
D.5
4.已知2∈A且A中元素有1,x,x2+x,求实数x的值.
5.设集合A中的元素x满足6+
(1)A是有限集还是无限集?
(2)5是不是A中的元素?
参考答案
自主预习
略
课堂探究
例1 解:(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”,所以能构成集合;
(2)能构成集合;
(3)“矮个子”无明确的标准,对于某个人算不算矮个子无法客观地判断,因此不能构成一个集合;
(4)“的近似值”没有明确精确到什么程度,因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值,所以不能构成集合.
规律方法 判断一组对象能否构成集合的关键在于是否有明确的判断标准,使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定无疑”的,就可以构成集合;如果是“模棱两可”的,就不能构成集合.
训练1 解析:(1)只有选项D有明确的标准,能构成一个集合.
(2)A中“难题”的标准不确定,不能构成集合;B能构成集合;C中“一些点”无明确的标准,对于某个点是否在“一些点”中无法确定,因此“平面直角坐标系内第一象限的一些点”不能构成集合;D中没有明确的标准,所以不能构成集合.
答案:(1)D (2)B
例2 (1)解析:①正确;②③④不正确.
答案:A
(2)解:由-3∈A,可得-3=a-2或-3=2a2+5a,
∴a=-1或a=-.
当a=-1时,a-2=-3,2a2+5a=-3,不符合集合中元素的互异性,故a=-1应舍去.
当a=-时,a-2=-,2a2+5a=-3,符合集合中元素的互异性.∴a=-.
规律方法 利用集合中元素的互异性求参数的策略及注意点
(1)策略:根据集合中元素的确定性,可以解出字母的所有可能值,再根据集合中的元素的互异性对求得的参数值进行检验.
(2)注意点:利用集合中元素的互异性解题时,要注意分类讨论思想的应用.
训练2 (1)解析:判断一个元素是否属于某个集合,关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征,若具有就是,否则不是.∵<2,∴a?M.
答案:B
(2)解:因为-3是集合A中的元素,
所以-3=a-3或-3=2a-1.若-3=a-3,则a=0,
此时集合A含有两个元素-3,-1,符合要求;
若-3=2a-1,则a=-1,
此时集合A含有两个元素-4,-3,符合要求.
综上所述,满足题意的实数a的值为0或-1.
核心素养专练
1.(1)∈ (2)∈ (3)? (4)∈ (5)? (6)?
2.C 3.A
4.解:(1)当x=2时,集合A中的元素有1,2,6,所以2∈A符合题意.
(2)当x2+x=2时,x=-2或者x=1,
当x=-2时,集合A中的元素为1,-2,2,所以2∈A符合题意;
当x=1时,集合A中的元素为1,1,2,不满足集合中元素的互异性,所以舍去.
综上所述,x=2或x=-2.
5.解:(1)集合A是无限集.
(2)5是A中的元素.集合及其表示方法
第2课时
学习目标
1.理解并掌握集合的两种表示方法,并针对具体问题,能在自然语言和图形语言的基础上,用数学的符号语言来刻画集合,发展数学抽象素养;
2.理解并掌握区间及其表示,为后续不等式解集的学习打好基础.
自主预习
1.什么是列举法?
2.什么是特征性质描述法?
思考:如何选择合适的方法去表示集合?
3.区间及其表示
(1)若a∈R,b∈R,且a集合
简写
名称
数轴表示
闭区间
开区间
半闭半开区间
半开半闭区间
(2)如果用“+∞”表示“正无穷大”,用“-∞”表示“负无穷大”,则实数集R可表示为区间(-∞,+∞).
符号
(a,+∞)
(-∞,a)
集合
{x|x≥a}
{x|x≤a}
课堂探究
1.列举法
【发现问题】
(1)不大于10的非负偶数组成的集合;
(2)方程x2=2x的所有实数解组成的集合;
(3)直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合;
(4)由所有正整数构成的集合.
思考1:以上集合均是用自然语言描述的,能否用数学语言去简洁表示呢?
【探究新知】
①由两个元素0,1组成的集合可用列举法表示为 ;?
②24的所有正因数1,2,3,4,6,8,12,24组成的集合可用列举法表示为 ;?
③中国古典长篇小说四大名著组成的集合可以表示为 ;?
④不大于100的自然数组成的集合可以表示为 ;?
⑤自然数集N可用列举法表示为 .?
思考2:{2,1}和{1,2}是同一个集合吗?
思考3:只含一个元素的集合{a}也是一个集合,{a}与a该如何理解?
例1 用列举法表示下列集合:
(1)不大于10的非负偶数组成的集合;
(2)方程x2=2x的所有实数解组成的集合;
(3)直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合;
(4)由所有正整数组成的集合.
跟踪训练1
用列举法表示下列给定的集合:
(1)大于1且小于6的整数组成的集合A;
(2)方程x2-9=0的实数根组成的集合B;
(3)一次函数y=x+2与y=-2x+5的图像的交点组成的集合D.
2.描述法
思考4:以下集合用列举法表示方便吗?如果不方便,该如何表示呢?
①满足x>3的所有数组成的集合A;
②所有的两个整数的商组成的集合B.
例2 用描述法表示下列集合:
(1)正偶数集;
(2)被3除余2的正整数集合;
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.
跟踪训练2
下列三个集合:①A={x|y=x2+1};②B={y|y=x2+1};③C={(x,y)|y=x2+1}.
(1)它们是不是相同的集合?
(2)它们各自的含义分别是什么?
例3 用适当的方法表示下列集合:
(1)方程x(x-1)=0的所有解组成的集合A;
(2)平面直角坐标系中,第一象限内所有点组成的集合B.
思考5:如何选用合适的方法来表示集合呢?
跟踪训练3
用适当的方法表示下列集合:
(1)英语单词mathematics(数学)中的所有英文字母组成的集合;
(2)方程x+2y=7的所有解组成的集合;
(3)绝对值小于0的所有实数组成的集合.
例4 用区间表示不等式2x->x的所有解组成的集合A.
跟踪训练4
用区间表示下列集合:
(1){x|-1≤x≤3};(2){x|0(4){x|0例5 已知集合A={x|kx2-8x+16=0},若集合A中只有一个元素,求实数k的值组成的集合.
延伸探究:
1.若将“只有一个元素”改为“有两个元素”,其他条件不变,求实数k的值组成的集合.
2.若将“只有一个元素”改为“至少有一个元素”,其他条件不变,求实数k的取值范围.
课堂练习
1.用列举法表示集合{x|x2-2x-3=0}为( )
A.{-1,3}
B.{(-1,3)}
C.{x=1}
D.{x2-2x-3=0}
2.一次函数y=x-3与y=-2x的图像的交点组成的集合是( )
A.{1,-2}
B.{x=1,y=-2}
C.{(-2,1)}
D.{(1,-2)}
3.设A={x∈N|1≤x<6},则下列正确的是( )
A.6∈A
B.0∈A
C.3?A
D.3.5?A
4.设区间A=(-2,3),B=[2,+∞),使得x∈A且x∈B的一个实数为 .?
5.已知集合A={x-2,x+5,12},且-3∈A,求x的值.
课后巩固
1.用列举法表示集合{x|x2-2x+1=0}为( )
A.{1,1}
B.{1}
C.{x=1}
D.{x2-2x+1=0}
2.如果A={x|x>-1},那么( )
A.-2∈A
B.{0}∈A
C.-3∈A
D.0∈A
3.下列集合中,不同于另外三个集合的是( )
A.{x|x=1}
B.{x|x2=1}
C.{1}
D.{y|(y-1)2=0}
4.下列命题中正确的是( )
A.集合{x∈R|x2=1}中有两个元素
B.集合{0}中没有元素
C.∈{x|x<2}
D.{1,2}与{2,1}是不同的集合
5.设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中元素的个数为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
6.已知A={1,2,3},B={2,4},定义集合A,B间的运算A
B={x|x∈A且x?B},则集合A
B等于( )
A.{1,2,3}
B.{2,4}
C.{1,3}
D.{2}
7.能被2整除的正整数的集合,用描述法可表示为 .?
8.已知集合A={x|2x+a>0},且1?A,则实数a的取值范围是 .?
9.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中,则称该数集为可倒数集,则集合A={-1,1,2} (填“是”或“不是”)可倒数集.试写出一个含三个元素的可倒数集 .(答案不唯一)?
10.用适当的方法表示下列集合:
(1)一年中有31天的月份的全体;
(2)大于-3.5小于12.8的整数的全体;
(3)梯形的全体构成的集合;
(4)所有能被3整除的数的集合;
(5)方程(x-1)(x-2)=0的解集;
(6)不等式2x-1>5的解集.
核心素养专练
1.设集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是 .?
2.设集合B=.
(1)试判断元素1和2与集合B的关系;
(2)用列举法表示集合B.
参考答案
自主预习
略
课堂探究
思考及探究新知:略
例1 解:(1)因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思,所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}.
(2)方程x2=2x的解是x=0或x=2,所以方程的解组成的集合为{0,2}.
(3)将x=0代入y=2x+1,得y=1,即所求交点是(0,1),故交点组成的集合是{(0,1)}.
(4)正整数有1,2,3,…,所求集合为{1,2,3,…}.
跟踪训练1 解:(1)因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5,所以A={2,3,4,5}.
(2)方程x2-9=0的实数根为-3,3,
所以B={-3,3}.
(3)由得
所以一次函数y=x+2与y=-2x+5的交点为(1,3),所以D={(1,3)}.
例2 解:(1)偶数可用式子x=2n,n∈Z表示,但此题要求为正偶数,故限定n∈N+,所以正偶数集可表示为{x|x=2n,n∈N+}.
(2)设被3除余2的数为x,则x=3n+2,n∈Z,但元素为正整数,故n∈N,所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x=3n+2,n∈N}.
(3)坐标轴上的点(x,y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0,即xy=0,故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为{(x,y)|xy=0}.
跟踪训练2 解:(1)不是.
(2)集合A={x|y=x2+1}的代表元素是x,且x∈R,所以{x|y=x2+1}=R,即A=R,可以认为集合A表示函数y=x2+1中自变量的取值范围.
集合B={y|y=x2+1}的代表元素是y,满足条件y=x2+1的y的取值范围是y≥1,所以{y|y=x2+1}={y|y≥1},可以认为集合B表示函数y=x2+1中因变量的取值范围.
集合C={(x,y)|y=x2+1}的代表元素是(x,y),是满足y=x2+1的数对.可以认为集合C是由坐标平面内满足y=x2+1的点(x,y)构成的.
例3 (1)A={0,1} (2)B={(x,y)|x>0,y>0}
跟踪训练3 (1){m,a,t,h,e,i,c,s} (2){(x,y)|x+2y=7} (3)?
例4 A=
跟踪训练 (1)[-1,3] (2)(0,1] (3)[2,5)
(4)(0,2) (5)(-∞,3) (6)[2,+∞)
例5 解:①当k=0时,方程kx2-8x+16=0变为-8x+16=0,解得x=2,满足题意;
②当k≠0时,要使集合A={x|kx2-8x+16=0}中只有一个元素,则方程kx2-8x+16=0有两个相等的实数根,所以Δ=64-64k=0,解得k=1,此时集合A={4},满足题意.
综上所述,k=0或k=1,故实数k的值组成的集合为{0,1}.
延伸探究
1.解:由题意可知,方程kx2-8x+16=0有两个不相等的实数根,
故k≠0,且Δ=64-64k>0,即k<1,且k≠0.
所以实数k组成的集合为{k|k<1,且k≠0}.
2.解:由题意可知,方程kx2-8x+16=0至少有一个实数根.
①当k=0时,由-8x+16=0得x=2,符合题意;
②当k≠0时,要使方程kx2-8x+16=0至少有一个实数根,则Δ=64-64k≥0,即k≤1,且k≠0.
综合①②可知,实数k的取值集合为{k|k≤1}.
课堂练习
1.A 2.D 3.D
4.2(答案不唯一)
5.-1或-8
课后巩固
1.B 2.D 3.B 4.A 5.B 6.C
7.{x|x=2n,n∈N+}
8.(-∞,-2]
9.不是
10.解:(1){1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月}.
(2){-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}.
(3){a|a是梯形}或{梯形}.
(4){x|x=3n,n∈Z}.
(5){1,2}.
(6){x|x>3}.
核心素养专练
1.答案:5
解析:因为A={0,1,2},又集合B中元素为x-y且x∈A,y∈A,
所以x的可能取值为0,1,2,y的可能取值为0,1,2.
当x=0,y=0或1或2时,对应的x-y的值为0,-1,-2.
当x=1,y=0或1或2时,对应的x-y的值为1,0,-1.
当x=2,y=0或1或2时,对应的x-y的值为2,1,0.
综上可知,集合B={-2,-1,0,1,2},所以集合B中的元素的个数为5.
2.解:(1)当x=1时,=2∈N;当x=2时,=?N,所以1∈B,2?B.
(2)因为∈N,x∈N,所以2+x只能取2,3,6,所以x只能相应取0,1,4,所以B={0,1,4}.
学习目标
1.掌握集合的三种表示方法,并能进行转化;
2.会选择合适的方法表示集合;
3.能正确表述和理解集合语言.
自主预习
一、列举法
列举法:把集合中的元素 出来(相邻元素之间用逗号分隔),并写在 内,这种表示集合的方法称为列举法.?
二、描述法
1.特征性质:一般地,如果属于集合A的 元素x都具有性质p(x),而不属于集合A的元素都 这个性质,则性质p(x)称为集合A的一个特征性质.?
2.描述法:用特征性质p(x)表示为 的形式.这种表示集合的方法,称为特征性质描述法,简称描述法.?
思考:不等式x-2<3的解集中的元素有什么共同特征?
三、区间及其表示
1.设a,b是两个实数,且a集合
简写
名称
数轴表示
{x|a≤x≤b}
?
闭区间
{x|a(a,b)
开区间
?
[a,b)
半闭半开区间
{x|a(a,b]
?
2.实数集R可以用区间表示为 ,“∞”读作“无穷大”.如:?
符号
?
(a,+∞)
?
(-∞,a)
集合
{x|x≥a}
?
{x|x≤a}
课堂探究
一、列举法表示集合
例1 用列举法表示下列集合:
(1)不大于10的非负偶数组成的集合;
(2)方程x2=2x的所有实数解组成的集合;
(3)直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合;
(4)由所有正整数构成的集合.
跟踪训练1 用列举法表示下列给定的集合:
(1)大于1且小于6的整数组成的集合A;
(2)方程x2-9=0的实数根组成的集合B;
(3)一次函数y=x+2与y=-2x+5的图像的交点组成的集合D.
二、描述法表示集合
例2 用描述法表示下列集合:
(1)正偶数集;
(2)被3除余2的正整数集合;
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.
跟踪训练2 下列三个集合:
①A={x|y=x2+1};
②B={y|y=x2+1};
③C={(x,y)|y=x2+1}.
(1)它们是不是相同的集合?
(2)它们各自的含义分别是什么?
三、集合的表示方法
例3 用适当的方法表示下列集合(能用区间表示的用区间表示):
(1)方程x(x2+2x+1)=0的解集;
(2)在自然数集内,小于1
000的奇数构成的集合;
(3)不等式x-2>6的解的集合;
(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合.
跟踪训练3 下列集合中,不同于另外三个集合的是
( )
A.{x|x=1}
B.{y|(y-1)2=0}
C.{x=1}
D.{1}
核心素养专练
1.集合{x∈N+|x-3<2}的另一种表示方法是( )
A.{0,1,2,3,4}
B.{1,2,3,4}
C.{0,1,2,3,4,5}
D.{1,2,3,4,5}
2.坐标轴上的点的集合可表示为( )
A.{(x,y)|x=0,y≠0或x≠0,y=0}
B.{(x,y)|x2+y2=0}
C.{(x,y)|xy=0}
D.{(x,y)|x2+y2≠0}
3.方程组的解集为( )
A.(1,0,2)
B.{1,0,2}
C.{(1,0,2)}
D.{(x,y,z)|1,2,3}
4.集合{y|y=x+1}与集合{y|y=x2+1}的公共元素是( )
A.{(1,2),(0,1)}
B.{y|y=x2+1}
C.?
D.{y|y≥1}
5.如果集合A={x|ax2+2x+1=0}中只有一个元素,则a的值是( )
A.0
B.0或1
C.1
D.不能确定
6.若集合M={1,2},满足集合P={x|x∈M}的P有 .?
参考答案
自主预习
略
课堂探究
一、列举法表示集合
例1 解:(1)因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思,所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}.
(2)方程x2=2x的解是x=0或x=2,所以方程的解组成的集合为{0,2}.
(3)将x=0代入y=2x+1,得y=1,即所求交点是(0,1),故交点组成的集合是{(0,1)}.
(4)正整数有1,2,3,…,所求集合为{1,2,3,…}.
跟踪训练1 解:(1)因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5,所以A={2,3,4,5}.
(2)方程x2-9=0的实数根为-3,3,
所以B={-3,3}.
(3)由得
所以一次函数y=x+2与y=-2x+5的交点为(1,3),所以D={(1,3)}.
例2 解:(1)偶数可用式子x=2n,n∈Z表示,但此题要求为正偶数,故限定n∈N+,所以正偶数集可表示为{x|x=2n,n∈N+}.
(2)设被3除余2的数为x,则x=3n+2,n∈Z,但元素为正整数,故n∈N,所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x=3n+2,n∈N}.
(3)坐标轴上的点(x,y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0,即xy=0,故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为{(x,y)|xy=0}.
跟踪训练2 解:(1)不是.
(2)集合A={x|y=x2+1}的代表元素是x,且x∈R,所以{x|y=x2+1}=R,即A=R,可以认为集合A表示函数y=x2+1中自变量的取值范围;集合B={y|y=x2+1}的代表元素是y,满足条件y=x2+1的y的取值范围是y≥1,所以{y|y=x2+1}={y|y≥1},可以认为集合B表示函数y=x2+1中因变量的取值范围;集合C={(x,y)|y=x2+1}的代表元素是(x,y),是满足y=x2+1的数对,可以认为集合C是由坐标平面内满足y=x2+1的点(x,y)构成的.
三、集合的表示方法
例3 解:(1){0,-1};
(2){x|x=2n+1,且x<1
000,n∈N};
(3)(8,+∞);
(4){1,2,3,4,5,6}.
跟踪训练3 答案:C
核心素养专练
1.B 2.C 3.C 4.D 5.B
6.{1},{2},{1,2}1.1.2 集合的基本关系
学习目标
1.理解集合之间包含与相等的含义.
2.能识别给定集合的子集.
3.体会维恩图对理解集合关系的作用.
自主预习
1.一般地,如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素,
那么集合A称为集合B的 ,记作 .?
2.任何一个集合都是它本身的子集,即 .?
3.对于集合A,B,C,如果 且 ,则A?C.?
4.规定:空集是任何集合A的子集,即 .?
课堂探究
一、集合间关系的理解
问题1 观察下列各组中A,B两个集合,看看它们之间有什么关系,这个关系你认为怎样表示较为恰当?
(1)A={1,2,3},B={1,2,3,4,5};
(2)A={x|x是两条边相等的三角形},B={x|x是等腰三角形};
(3)A={x|x2+1=0},B={x|x2-1=0}.
针对练习:将下列集合用最恰当的符号联结起来:
(1)集合{1,2,3}与{0,1,2,3};
(2)集合{x|x2-1=0}与{-1,1}.
二、真子集
例1 写出集合{a,b,c}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集.
例2 已知区间A=(-∞,2]和B=(-∞,a),且B?A,求实数a的取值范围.
对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素,同时集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素,这时就说集合A与集合B相等,记作A=B.
例3 写出下列每对集合之间的关系:
(1)A={1,2,3,4,5};B={1,3,5};
(2)C={x|x2=1},D={x||x|=1};
(3)E=(-∞,3),F=(-1,2];
(4)G={x|x是对角线相等且互相平分的四边形},H={x|x是有一个内角为直角的平行四边形}.
评价反馈
用恰当的符号填空:
(1)0 {x|x=0};?
(2)? {x∈R|x2+1=0};?
(3){0,1} N;?
(4){0} {x|x2=x};?
(5){2,1} {x|x2-3x+2=0}.?
参考答案
自主预习
略
课堂探究
问题1 (1)A?B (2)A=B (3)A?B
针对练习:(1){1,2,3}?{0,1,2,3};
(2){x|x2-1=0}={-1,1}.
例1 解:?;{a};{b};{c};{a,b};{a,c};{b,c};{a,b,c}
除了{a,b,c}外其余7个集合都是它的真子集.
例2 解:因为集合B的元素都是集合A的元素,所以可用数轴表示它们的取值范围
故a≤2.
例3 解:(1)因为B的每个元素都属于A,而4∈A且4?B,所以B?A.
(2)不难看出,C和D包含的元素都是1和-1,所以C=D.
(3)在数轴上表示出区间E和F,如图所示.
由图可知F?E.
(4)如果x∈G,则x是对角线相等且互相平分的四边形,所以x是矩形,从而可知x是有一个内角为直角的平行四边形,所以x∈H,因此G?H;
反之,如果x∈H,所以x是矩形,从而可知x是对角线相等且互相平分的四边形,所以x∈G,因此H?G.
综上可知,G=H.
评价反馈
用恰当的符号填空:
(1)∈ (2)= (3)? (4)? (5)=
学习目标
1.理解子集、真子集与集合相等的含义;通过对概念的理解,培养数学抽象的核心素养.
2.能判定给定集合之间的关系;借助子集和真子集的求解,培养数学运算及逻辑推理的核心素养.
3.了解维恩图的含义,会用维恩图表示两个集合间的关系.利用维恩图,培养直观想象的核心素养.
自主预习
观察集合A={1,3},B={1,3,5,6},C={7,8},回答以下问题.
问题1:集合A中的元素与集合B中的元素之间有什么关系?集合C中的元素与集合B中的元素之间有什么关系?
子集定义:
思考:符号“∈”与符号“?”表达的含义相同吗?
问题2:(1)如果A={1,3},那么A?A吗?如果A是任意一个集合,上述结论也成立吗?
(2)可以规定?是任意一个集合的子集吗?为什么?
结论1: ,即 ?
结论2: ,即 ?
问题3:集合B中的元素是否都在集合A中?联系子集的定义,你能自己描述真子集的定义并说明子集与真子集的关系吗?
真子集定义:
问题4:“问题2”和“问题3”得到的两个结论对于真子集是否同样适用?为什么?
结论3:?
问题5:阅读课本第10页维恩图的定义,利用维恩图表示出集合A与集合B之间的关系.
问题6:包含和真包含关系是否都具备传递性?
结论4:已知集合A,B,C,如果A?B,B?C,则 ;如果A?B,B?C,则 .?
问题7:若集合D={x|(x-1)(x-3)=0},A={1,3},则集合D与集合A的元素有什么关系?D?A吗?A?D吗?你能由此总结出集合的相等与子集的关系吗?
集合相等与子集关系:如果A?B且B?A,则 ;如果A=B,则 .?
课堂探究
典型例题
例1 写出集合A={6,7,8}的所有子集和真子集.
问题探究 完成课本第13页右下角“探索与研究”,总结相应规律.
总结:如果一个集合中有n个元素,则这个集合的子集有 个,真子集有 个,非空子集有 个,非空真子集有 个.?
典型例题
例2 已知区间A=(-∞,2]和B=(-∞,a),且B?A,求实数a的取值范围.
变式训练1 将例2中的“B?A”,改为“A?B”,求实数a的取值范围.
变式训练2 将例2中的区间A和B,改为“A=(-∞,2),B=(-∞,a)”,求实数a的取值范围.
典型例题
例3 写出下列每对集合之间的关系:
(1)A={1,2,3,4,5},B={1,3,5};
(2)C={x|x2=1},D={x||x|=1};
(3)E=(-∞,3),F=(-1,2];
(4)G={x|x是对角线相等且互相平分的四边形},H={x|x是有一个内角为直角的平行四边形}.
核心素养专练
A组
一、单项选择题
1.下列命题:①空集没有子集;②任何集合至少有两个子集;③空集是任何集合的真子集;④若??A,则A≠?.其中正确的有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
2.集合{a,b,c,d}的真子集有( )
A.12个
B.14个
C.15个
D.16个
3.集合M={x|x2-1=0},T={-1,0,1},则M与T的关系是( )
A.M?T
B.T?M
C.M=T
D.M?T
4.已知集合A满足{0,1}?A?{0,1,2,3,4},则集合A的个数为( )
A.10
B.8
C.6
D.3
5.已知集合A={x|-1≤x≤1},B={x|x-a≤0},若A?B,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,1]
B.[-1,+∞)
C.(-∞,-1]
D.[1,+∞)
二、多项选择题
1.已知集合A={x|x2-2x=0},则有( )
A.??A
B.-2∈A
C.{0,2}?A
D.A?{y|y<3}
2.若集合A={x|x≥1},则满足B?A的集合B可以是( )
A.{2,3}
B.{x|x≥2}
C.{0,1,2}
D.{x|x≥0}
三、填空题
1.已知A?B,A?C,B={2,0,1,8},C={1,9,3,8},则A可以是 .?
2.用“?”“?”填空:
(1)Z N;(2)Z Q;(3)Q N;(4)R Q.?
3.已知集合A={-2,1,2},B={1,a},且B?A,则实数a的值为 .?
4.集合P={x|y=x2},Q={y|y=x2},则P,Q之间的关系为P Q(填“?”“?”或“=”).?
四、解答题
设集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0},
(1)用列举法表示集合A;
(2)若B?A,求实数m的值.
B组
1.(单项选择题)已知集合M={(x,y)|x+y<0,xy>0,x,y∈R},N={(x,y)|x<0,y<0,x,y∈R},那么( )
A.M?N
B.M?N
C.M=N
D.M?N
2.(单项选择题)定义集合运算:A?B={z|z=(x+y)×(x-y),x∈A,y∈B},设A={,},B={1,},则
( )
A.当x=,y=时,z=1
B.A?B中有4个元素
C.A?B的真子集有7个
D.A?B中所有元素之和为4
3.若集合A满足{1,3}?A?,则集合A的个数为 .?
4.用列举法表示集合A={x|x=3m-1,m∈N}和B={x|x=3m+2,m∈N},并说明它们之间的关系.
参考答案
自主预习
略
课堂探究
略
核心素养专练
A组
一、单项选择题
1.A 2.C 3.D 4.B 5.D
二、多项选择题
1.ACD
2.AB
三、填空题
1.A={1,8}(答案不唯一)
2.(1)? (2)? (3)? (4)?
3.-2或2
4.?
四、解答题
(1)A={-1,-2} (2)m=1或m=2
B组
1.C 2.C
3.15
4.B?A 列举法表示略1.1.3 集合的基本运算
第1课时
学习目标
1.通过实例理解两个集合交集与并集的含义,会求两个集合的交集与并集,以提升学生的数学抽象素养和数学运算素养.
2.会使用维恩图表示集合的交、并运算,体会图形对理解抽象概念的作用,以渗透数形结合思想.
3.通过集合运算的学习,感受集合作为一种语言,在表示数学内容时的简洁和准确,进一步提高学生的类比能力.
自主预习
【旧知回顾】
1.举例说明集合有哪些表示方法?
2.集合间的关系有哪些,分别怎么用维恩图表示?
【自主学习】
一、交集
1.定义:
2.记作:
3.读作:
4.维恩图表示:
5.数学符号:
6.性质:
二、并集
1.定义:
2.记作:
3.读作:
4.维恩图表示:
5.数学符号:
6.性质:
课堂探究
探究一、交集
问题与情境
我们知道实数有加减运算,那集合是否也有类似的运算呢?下面我们看这样一个情境.
问题:学校高一年级准备成立一个科学兴趣小组,招募成员时要求:
(1)中考的物理成绩不低于80分;
(2)中考的数学成绩不低于70分.
如果满足条件(1)的同学组成的集合记为P,满足条件(2)的同学组成的集合记为M,而能成为科学兴趣小组成员的同学组成的集合记为S,那么这三个集合之间有什么联系呢?
通过上述的情境结合课本及小组讨论回答下列几个问题:
(1)用文字语言来叙述上述问题中集合P,M中元素与S中元素的关系;
(2)试用维恩图表示上述问题中集合P,M与S间的关系;
(3)用数学符号来叙述上述问题中集合P,M与S间的关系;
(4)请给集合的交集下定义.
探究二、并集
活动3、将招募科学兴趣小组成员的条件改为满足条件(1)或条件(2)中的一种即可,那么这三个集合之间的关系又是怎样的呢?请结合该情境回答下列问题:
(1)用文字语言来叙述上述问题中集合P,M中元素与S中元素的关系;
(2)试用维恩图表示上述问题中集合P,M与S间的关系;
(3)用数学符号来叙述上述问题中集合P,M与S间的关系;
(4)请给集合的交集下定义;
(5)试类比交集的运算性质思考并集有哪些运算性质,并给予理由.
【精讲点拨】
例1 求下列每对集合的交集:
(1)A={1,-3},B={-1,-3};
(2)C={1,3,5,7},D={2,4,6,8};
(3)E=(1,3],F=[-2,2).
变式 已知A={x|x是菱形},B={x|x是矩形},求A∩B.
例2 求下列每对集合的并集:
(1)A={1,-3},B={-1,-3};
(2)C={1,3,5,7},D={2,4,6,8};
(3)E=(1,3],F=[-2,2).
变式 已知A={x|x是菱形},B={x|x是矩形},求A∪B.
例3 已知集合B={1,3,m},A={m2,1},且A?B,求m的值.
变式1 将例3题干中的“A?B”改为“A∪B=B”,求m的值.
变式2 将例3题干中的“A?B”改为“A∩B=A”,求m的值.
课堂练习
1.设集合M={-1,0,1},N={x|x2=x},则M∩N=
( )
A.{-1,0,1}
B.{0,1}
C.{1}
D.{0}
2.设集合A={x∈Z|-10≤x≤-1},B={x∈Z||x|≤5},则A∪B= .?
3.设集合A={-2},B={x|ax+1=0,a∈R},若A∩B=B,求a的值.
核心素养专练
1.设集合A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},则(A∩B)∪C等于( )
A.{1,2,3}
B.{1,2,4}
C.{2,3,4}
D.{1,2,3,4}
2.(多选)下列关系式中,正确的选项为( )
A.(M∩N)?N
B.(M∩N)?(M∪N)
C.(M∪N)?N
D.若M?N,则M∩N=M
3.集合A={x|x≥1},B={x|x≤1},则A∩B=( )
A.{x|x≥1}
B.{x|x≤1}
C.{x|x=1}
D.?
4.已知集合M={y|y=-x2+2},N={y|y=-x+2},则M∩N=( )
A.(0,2),(1,1)
B.{(0,2),(1,1)}
C.{1,2}
D.{y|y≤2}
5.满足条件{1,3}∪A={1,3,5}的所有集合A的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
6.已知A={x|x≤-1或x≥3},B={x|aA.3≤a<4
B.-1C.a≤-1
D.a<-1
7.若集合A={-1,1},B={x|ax=1},且A∪B=A,则a的值为 .?
8.已知集合A={x|-3≤x≤7},B={x|2m-1≤x≤2m+1},若A∪B=A,求实数m的取值范围.
第2课时
学习目标
1.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集,以提升数学运算素养.
2.能进行简单的集合的交、并、补综合运算,能使用维恩图、数轴表达集合的运算,以提升学生的数学抽象素养.
自主预习
【旧知回顾】
1.交、并集的定义及运算?
2.用维恩图怎么表示?
【自主学习】
一、补集
1.定义全集、补集:
2.记作:
3.读作:
4.维恩图表示:
5.数学符号:
6.性质:
课堂探究
探究一、补集
1.问题与情境
如果学校里所有同学组成的集合记为S,所有男同学组成的集合记为M,所有女同学组成的集合记为F,那么:
(1)这三个集合之间有什么联系?
(2)如果x∈S且x?M,你能得到什么结论?
(3)你能否将集合M,S,P用维恩图表示?
探究二、基本运算的综合应用
课本17页探索与研究.
【精讲点拨】
例1 已知U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5}.
求?UA,A∩(?UA),A∪(?UA).
思考:观察例1,从中你能得出什么结论?
例2 已知U={x∈N|x≤7},A={x∈U|x2≤7},B={x∈U|0<2x≤7},
求?UA,?UB,(?UA)∪(?UB),?U(A∩B).
思考:观察例2第三个集合计算结果与第四个集合计算结果你能得出什么结论,你能否用维恩图给出证明.
例3 已知A=(-1,∞),B=(-∞,2],求?RA,?RB.
例4 学校先举行了一次田径运动会,某班有8名同学参赛,又举办了一次球类运动会,这个班有12名同学参赛.两次运动会都参赛的有3人.在两次运动会中,这个班共有多少名同学参赛?
课堂练习
1.已知全集U={1,2,3,4,5},A={2,3,4},B={1,2},则A∩(?UB)=( )
A.{1,3,5}
B.{2}
C.{4}
D.{3,4}
2.集合A={x|-1≤x≤2},B={x|x<1},则A∩(?RB)=( )
A.{x|x>1}
B.{x|x≥1}
C.{x|1D.{x|1≤x≤2}
3.已知全集U=Z,A={x|x=2k,k∈Z},B={x|x=2k+1,k∈Z},则?UA= ,?UB= .?
核心素养专练
1.已知U={x|-1≤x≤3},A={x|-1A.?UA=B
B.?UB=C
C.(?UA)?C
D.A?C
2.如图,阴影部分可用集合M,P表示为( )
A.M∩P
B.M∪P
C.(?UM)∩(?UP)
D.(?UM)∪(?UP)
3.(多选)给出下列命题(其中A,B是全集S的任意两个子集),其中正确的选项有( )
A.A∩(?SA)=?
B.若A∪B=S,则(?SA)∩(?SB)=?
C.若A∩B=?,A∪B=S,则B=?SA
D.若A∪B=?,则A=B
4.已知集合A={x|xA.a≤2
B.a<1
C.a≥2
D.a>2
5.设全集U=R,集合A={x|-3求A∩B,(?UA)∪B,(?UA)∩(?UB).
6.设全集U={2,3,a2+2a-3},子集A={|2a-1|,2},?UA={5},求实数a的值.
7.设全集U={x|x≤20的质数},A∩(?UB)={3,5},(?UA)∩B={7,19},(?UA)∩(?UB)={2,17},求集合A,B.
8.已知全集U=R,A={x|-4≤x<2},B={x|-1参考答案
第1课时
自主预习
略
课堂探究
略
课堂练习
1.B
2.{x∈Z|-10≤x≤5}
3.解:由题意,得B?A.
当B=?时,a=0;
当B≠?时,B=?A={-2};
∴-=-2,得a=.
综上,a=0或a=.
核心素养专练
1.D 2.ABD 3.C 4.C 5.D 6.C
7.0或1或-1
8.解:由题意,得B?A,易知B≠?.
∴
∴-1≤m≤3.
第2课时
课堂练习
1.D 2.D 3.B A
核心素养专练
1.A 2.C 3.ABCD 4.C
5.解:A∩B={x|-2≤x<5},
∵?UA={x|x≤-3或x≥5}.
∴(?UA)∪B={x|x≤-3或x≥-2}.
∴A∪B={x|-3∴(?UA)∩(?UB)=?U(A∪B)={x|x≤-3或x≥10}.
6.解:∵U={2,3,a2+2a-3},A={|2a-1|,2},?UA={5},
∴a2+2a-3=5,解得a=2或-4,
当a=2时,A={2,3},符合题意;
当a=-4时,A={2,9}?U,舍去.
综上,a=2.
7.解:∵U={2,3,5,7,11,13,17,19},
∴(?UA)∩(?UB)=?U(A∪B)={2,17}.
∴A∪B={3,5,7,11,13,19}.
∵A∩(?UB)={3,5},B∩(?UA)={7,19},
∴A={3,5,11,13},B={7,11,13,19}.
8.解:∵A∩B={-1∴?UB={x|x≤-1或x>3}.
∴(?UB)∪P=.
∴?UP=.
∴(A∩B)∩(?UP)={x|0学习目标
1.理解两个集合的并集与交集的含义,能求两个集合的并集与交集.
2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集.
3.能使用维恩图表达集合的基本关系与基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用.
自主预习
阅读教材第14~18页,用数学语言概括什么是两个集合的交集、并集,怎样理解补集?
交集:
并集:
补集:
课堂探究
一、交集
[问题情境] 两个实数除了可以比较大小外,还可以进行加减法运算,如果把集合与实数相类比,我们会想两个集合是否也可以进行“加减”运算呢?本节就来研究这个问题.
情境:学校高一年级准备成立一个科学兴趣小组,招募成员时要求:
(1)中考的物理成绩不低于80分;
(2)中考的数学成绩不低于70分.
如果满足条件(1)的同学组成的集合为P,满足条件(2)的同学组成的集合记为M,而能成为科学兴趣小组成员的同学组成的集合记为S,那么这三个集合之间有什么联系呢?
(一)交集的概念.
自主思考
两个集合的交集如何用图形形象地表示?
谈谈你对交集的理解与认识.
例1 求下列每对集合的交集:
(1)A={x|x2+2x-3=0},B={x|x2+4x+3=0};
(2)C={1,3,5,7},D={2,4,6,8}.
例2 已知A={(x,y)|4x+y=6},B={(x,y)|3x+2y=7},求A∩B.
二、并集
问题1 请同学们观察下列两组集合,你能说出集合C与集合A,B之间的关系吗?
(1)A={1,3,5},B={2,4,6},C={1,2,3,4,5,6};
(2)A={x|x是有理数},B={x|x是无理数},C={x|x是实数}.
问题2 在问题1中,我们称集合C为集合A,B的并集,那么如何定义两个集合的并集?
(二)并集的概念
问题3 如何用维恩图表示集合A与B的并集?
问题4 集合的并集有什么性质?
例3 (1)设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求A∪B.
(2)设集合A={x|-1小结 谈谈你对并集的理解(有哪些需要注意的地方?).
三、补集
问题5 已知U={全班同学},A={全班参加足球队的同学},B={全班没有参加足球队的同学},则U,A,B有何关系?
问题6 在问题5中,相对集合A,B,集合U是全集,集合B是集合A的补集,同时集合A是集合B的补集,那么如何定义全集和补集的概念?
(三)补集的概念
问题7 全集与它的任意一个真子集之间的关系如何用维恩图表示?
例4 已知U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},求?UA,A∩(?UA),A∪(?UA).
跟踪训练 已知U={x|x是实数},Q={x|x是有理数}.求?UQ.
探究点 全集、补集的性质
问题8 借助维恩图,分析?U(?UA)=?
?UU=?
?U?=?
问题9 借助维恩图,你能分析出集合A与?UA之间有什么关系吗?
例5 已知集合S={x|1小结:谈谈你对补集的理解,在进行补集运算时有哪些需要注意的地方?
评价反馈
1.已知集合A={1,2,4},B={2,4,6},则A∪B= .?
2.设集合A={y|y=x2,x∈R},B={(x,y)|y=x+2,x∈R},则A∩B= .?
3.设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则?UM等于( )
A.U
B.{1,3,5}
C.{3,5,6}
D.{2,4,6}
4.已知全集U=R,集合M={x|x2-4≤0},则?UM等于( )
A.{x|-2B.{x|-2≤x≤2}
C.{x|x<-2或x>2}
D.{x|x≤-2或x≥2}
5.设A={x|x>0},B={x|x≤1},求A∩B和A∪B.
课后作业
层次一:练习A、练习B
层次二:课后拓展
核心素养专练
1.(多选题)设全集U={0,1,2,3,4},集合A={0,1,4},B={0,1,3},则( )
A.A∩B={0,1}
B.?UA={3}
C.A∪B={0,1,3,4}
D.集合A的真子集个数为8
2.(一题双空)调查100名携带药品出国的旅游者,其中75人带有感冒药,80人带有胃药,那么既带感冒药又带胃药的人数的最大值为 ,最小值为 .?
3.已知全集U=R,集合A={x|x<-1},B={x|2a参考答案
自主预习
略
课堂探究
【自主思考】答:两个集合的交集可用如图所示的阴影部分形象地表示.
两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合A与B的公共元素组成的集合,当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,而不能说两个集合没有交集.
例1 解:(1)A∩B={1,-3}∩{-1,-3}={-3};
(2)C∩D=?.
例2 解:A∩B={(x,y)|4x+y=6}∩{(x,y)|3x+2y=7}=={(1,2)}.
问题1 答:通过观察,得出集合A和集合B的元素放在一起即为集合C的元素.
问题2 答:一般地,给定的两个集合A,B,由这两个集合的所有元素组成的集合,称为A与B的并集,记作A∪B,读作“A并B”.即A∪B={x|x∈A或x∈B}.
问题3 集合A∪B可用下图(1)或(2)阴影表示.
问题4 答:(1)A∪B=B∪A;(2)A∪A=A;(3)A∪?=?∪A=A;(4)如果A?B,那么A∪B=B.
例3 解:(1)A∪B={4,5,6,8}∪{3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}.
(2)A∪B={x|-1小结 两个集合的并集仍是一个集合,是由集合A与B的所有元素组成的,它们的公共元素在并集中只能出现一次.对于表示不等式解集的集合的运算,可借助数轴解题.
问题5 答:U=A∪B.
问题6 答:在研究集合与集合之间的关系时,如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集,那么称这个给定的集合为全集,通常用U表示.
如果集合A是全集U的一个子集,由U中不属于集合A的所有元素组成的集合,叫做A在U中的补集,记作?UA,读作“A在U中的补集”,即?UA={x|x∈U,且x?A}.
问题7 答:全集通常用矩形区域表示,全集与它的任意一个真子集之间的关系用维恩图表示如下(阴影部分即为A在全集U中的补集):
例4 解:?UA={2,4,6},A∩(?UA)=?,A∪(?UA)=U.
跟踪训练 解:?UQ={x|x是无理数}.
探究点 全集、补集的性质
问题8 答:?U(?UA)=A,?UU=?,?U?=U.
问题9 答:A∩(?UA)=?,A∪(?UA)=U.
例5 解:如图所示,可得
A∩B={x|3≤x<5},A∪B={x|2≤x<7},?SA={x|1由此可得:(1)(?SA)∩(?SB)={x|1(2)?S(A∪B)={x|1(3)(?SA)∪(?SB)={x|1(4)?S(A∩B)={x|1小结 研究补集必须是在全集的条件下研究,而全集因研究问题不同而异.
根据补集定义,借助维恩图,可直观地求出补集,此类问题,当集合元素个数较少时,可借助维恩图;当集合中元素无限个时,可借助数轴,利用数轴分析法求解.
评价反馈
1.{1,2,4,6}
2.?
3.C 4.C
5.解:A∩B={x|x>0}∩{x|x≤1}={x|0A∪B={x|x>0}∪{x|x≤1}=R.
课后作业
略
核心素养专练
1.AC
2.75 55
3.解:由题意,得?RA={x|x≥-1}.
(1)若B=?,则a+3≤2a,即a≥3,满足B?(?RA).
(2)若B≠?,则由B?(?RA),得2a≥-1且2a综上可得a≥-.1.2.1 命题与量词
学习目标
1.通过创设情境,抽象出命题的概念,学会判断命题的真假,体会数学抽象的核心素养;
2.理解全称量词与存在量词的意义,掌握用量词符号表示全称量词命题和存在量词命题,并会判断全称量词命题和存在量词命题的真假;
3.认识两种命题在刻画现实问题和数学问题中的作用,培养逻辑推理的核心素养和严谨的学习态度.
自主预习
阅读课本P22~25,填空.
1. 叫做命题, 称为真命题, 称为假命题.命题可以用 表示.?
2. 称为全称量词,用符号 表示. 称为全称量词命题.?
全称量词命题的符号表示: .?
3. 称为存在量词,用符号 表示. 称为存在量词命题.?
存在量词命题的符号表示: .?
课堂探究
例1 下列命题中, 是真命题, 是假命题.?
(1)102=100;
(2)所有无理数都大于零;
(3)平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行;
(4)一次函数y=2x+1的图像经过点(0,1);
(5)设a,b,c是任意实数,如果a>b,则ac>bc;
(6)Z?Q.
变式练习1 判断下列命题的真假:
(1)2+2是有理数;
(2)1+1>0;
(3)奇数的平方仍是奇数;
(4)两个集合的交集还是一个集合;
(5)每一个素数都是奇数;
(6)方程2x2+1=0有实数根;
(7)sin
45°=;
(8)如果x>2,那么x>3.
例2 将下列命题用量词等符号表示:
(1)所有实数的平方都是正数;
(2)任何一个实数除以1,仍等于这个实数.
探究一:如何判定全称量词命题和存在量词命题的真假?
例3 判断下列命题的真假:
(1)?x∈R,x2+1>0;
(2)?x∈N,≥1;
(3)?x∈Z,x3<1;
(4)?x∈Q,x2=3.
变式练习2 判断下列命题的真假:
(1)?x∈R,x2-3x-2=0;
(2)?x∈R,x2+1=0;
(3)?x∈Q,|x|+x≥0;
(4)?x∈R,4x2>2x-1+3x2;
(5)?x∈(-7,3),x∈[-7,3);
(6)?x∈(-∞,2],x2=1.
探究二:全称量词命题和存在量词命题是不是只能包含一个变量?
核心素养专练
1.下列语句中命题的个数为( )
①平行四边形不是梯形;②是无理数;③方程9x2-1=0的解是x=±;④请进;⑤2008年8月8日是北京奥运会开幕的日子
A.2
B.3
C.4
D.5
2.下列三个命题:①方程x2-x+2=0的判别式小于零;②矩形的对角线互相垂直且平分;③2是质数.其中是真命题的是( )
A.①②
B.②③
C.①③
D.①
3.既是存在量词命题,又是真命题的是( )
A.斜三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个x∈R,使x2≤0
C.两个无理数的和是无理数
D.存在一个负数x,使>2
4.已知命题p:?x>3,x>m为真命题,则实数m的取值范围是( )
A.m≤3
B.m≥3
C.m<3
D.m>3
5.(多选题)下列命题是真命题的是( )
A.mx2+2x-1=0是一元二次方程
B.抛物线y=ax2+2x-1与x轴至少有一个交点
C.互相包含的两个集合相等
D.空集是任何非空集合的真子集
6.(
)?x∈R,λx2-λx+1>0恒成立,则λ的取值范围为 .?
7.下列命题中,是全称量词命题的是 ;是存在量词命题的是 .?
①正方形的四条边相等;②有两个角相等的三角形是等腰三角形;③正数的平方根不等于0;④至少有一个正整数是偶数.
8.用量词符号“?”“?”表述下列命题并判断真假.
(1)所有的实数x都能使x2+x+1>0成立;
(2)所有的有理数x都使得x2+x+1是有理数;
(3)一定有整数x,y,使得3x-2y=10;
(4)所有的实数a,b,方程ax+b=0恰有一个解.
9.完成课本P26练习B.
参考答案
自主预习
1.可供真假判断的陈述语句;判断为真的语句;判断为假的语句;小写英文字母.
2.一般地,“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体;?;含有全称量词的命题;?x∈M,r(x).
3.“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分;?;含有存在量词的命题;?x∈M,s(x).
课堂探究
例1 (1)(3)(4)(6)是真命题;(2)(5)是假命题.
变式练习1 (1)假;(2)真;(3)真;(4)真;(5)假;(6)假;(7)真;(8)假.
例2 (1)?x∈R,x2>0;(2)?x∈R,=x.
探究一.要判定全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素去验证条件成立,但要判定其是假命题,只需要举出集合M中的一个元素使条件不成立即可.
要判定存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中找到一个元素满足条件即可,但要判定其是假命题,却需要说明集合M中每一个元素都不满足条件.
例3 (1)真;(2)假;(3)真;(4)假.
变式练习2 (1)假;(2)假;(3)真;(4)假;(5)真;(6)真.
探究二.全称量词命题和存在量词命题,都可以包含多个变量.
例如:平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b),这个公式对所有实数a,b都成立,
所以可以改写成全称量词命题:?a,b∈R,a2-b2=(a+b)(a-b).
核心素养专练
1.C 2.C 3.B 4.A 5.CD
6.[0,4)
7.①②③ ④
8.(1)?x∈R,x2+x+1>0;真命题.
(2)?x∈Q,x2+x+1是有理数;真命题.
(3)?x,y∈Z,3x-2y=10;真命题.
(4)?a,b∈R,ax+b=0恰有一个解;假命题.
学习目标
1.通过实例,了解数学命题的概念,了解数学命题和数学推理之间的关系,能够判断一个语句是不是命题,会判断命题的真假,提高逻辑推理素养;
2.理解全称量词、存在量词的意义,并能正确判断全称量词命题、存在量词命题的真假,提升数学抽象和逻辑推理素养;
3.会用自然语言、符号语言表示全称量词命题和存在量词命题,加强数学抽象素养的培养.
自主预习
1.回顾初中所学知识,并对下列数学命题的真假进行判断,错误的指出理由:
(1)2+2是有理数;( )
(2)1+1>0;( )
(3)奇数的平方仍是奇数;( )
(4)两个集合的交集还是一个集合;( )
(5)每一个素数都是奇数;( )
(6)方程2x2+1=0有实数根;( )
(7)sin
45°=;( )
(8)如果x>2,那么x>3.( )
2.仔细阅读教材P22—P25,将疑难问题认真思考,将不能解决的问题标注出来,等待课堂解决.
课堂探究
问题探究一:
1.命题
定义: 就是命题.?
即时训练1 下列命题中, 是真命题, 是假命题.?
(1)102=100;
(2)所有无理数都大于零;
(3)平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行;
(4)一次函数y=2x+1的图像经过点(0,1);
(5)设a,b,c是任意实数,如果a>b,则ac>bc;
(6)Z?Q.
2.命题的表示
为了方便叙述,命题可以用小写英文字母表示,如若记p:A?(A∪B),则可知p是一个真命题.
问题探究二:
在数学中,有很多命题都是针对特定集合而言的,例如:
(1)任意给定实数x,x2≥0;
(2)存在有理数x,使得3x-2=0;
(3)每一个有理数都能写成分数的形式;
(4)所有的自然数都大于或等于零;
(5)实数范围内,至少有一个x使得有意义;
(6)方程x2=2在实数范围内有两个解;
(7)每一个直角三角形的三条边长都满足勾股定理.
思考:根据指定集合中的某些元素具有的性质进行分类,可以分为几类?每类中的元素的性质具有什么特点?
1.全称量词与全称量词命题
要点归纳
(1)常用的全称量词有 .?
(2)对于这个全称量词,用符号 表示,含有全称量词的命题称为 .因此,全称量词命题就是形如“对集合M中的所有元素x,r(x)”的命题,可简记为 .?
即时训练2 请用数学符号语言表示全称量词命题“任意给定实数x,x2≥0”.
数学符号语言: .?
2.存在量词与存在量词命题
小组合作探究
借助实例(2)(5)(6),类比问题5中的思路,探究存在量词(用符号“?”表示)与存在量词命题的相关问题,并试着回答下面的问题.
(1)哪些词可以称为存在量词?试着总结提炼存在量词的概念;
(2)类比得到存在量词命题的定义及符号表示.
要点归纳
(1)常用的存在量词有 .?
(2)对于这个存在量词,用符号 表示,含有存在量词的命题称为 .因此,存在量词命题就是形如“存在集合M中的所有元素x,s(x)”的命题,可简记为 .?
即时训练3 请用数学符号语言表示存在量词命题“存在有理数x,使得3x-2=0”.
数学符号语言: .?
典型例题
如果记p(x):x2-1=0,q(x):5x-1是整数,则通过指定x所在的集合和添加量词,就可以构成命题.例如:
p1:?x∈Z,p(x);
q1:?x∈Z,q(x);
p2:?x∈Z,p(x);
q2:?x∈Z,q(x).
(1)上述4个命题p1,q1,p2,q2中,真命题是 ;?
(2)总结出判断全称量词命题和存在量词命题真假的办法.
变式训练:
判断下列命题的真假:
(1)?x∈R,x2+1>0; (2)?x∈N,≥1;
(3)?x∈Z,x3<1;
(4)?x∈Q,x2=3.
名师解惑 试着用数学符号来表示下列命题:
(1)a2-b2=(a+b)(a-b)对所有的实数a,b都成立;
(2)对于函数y=x+1来说,任意给定一个x值,都有唯一的y值与它对应.
核心素养专练
1.(单选题)下列陈述,不能判定为命题的是( )
A.已知a,b,c,d∈R,若a≠c,或b≠d,则a+b≠c+d
B.?x∈N,x3>x2
C.若m>1,则方程x2-2x+m=0无实数根
D.今天的天气真好啊
2.(多选题)下列命题是真命题的是( )
A.存在两个无理数,它们的乘积是有理数
B.如果一个四边形的对角线相等,则这个四边形是矩形
C.集合A是集合A∪B的子集
D.集合A∩B是集合A的子集
3.(一题双空题)对于命题:任意实数x,2x2-3x+m>0,请用数学符号语言表示为 ,若该命题为真命题,则m的取值范围为 .?
4.(创新题)选择合适的量词(?或?),加在p(x)的前面,使其成为一个真命题:
(1)x>2;
(2)x2≥0;
(3)x是偶数;
(4)若x是无理数,则x2是无理数;
(5)a2+b2=c2.(这是含有三个变量的语句,用p(a,b,c)表示)
参考答案
自主预习
略
课堂探究
略
核心素养专练
1.D 2.ACD
3.?x∈R,2x2-3x+m>0,m>.
4.解:(1)?x∈R,x>2.
(2)?x∈R,x2≥0;?x∈R,x2≥0都是真命题.
(3)?x∈Z,x是偶数.
(4)?x∈R,若x是无理数,则x2是无理数;例如.
(5)?a,b,c∈R,有a2+b2=c2.1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
学习目标
1.通过生活和数学中的实例理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全称量词和存在量词,并能用数学符号表示含有量词的命题.
2.根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律,正确地对含有一个量词的命题进行否定,并判断所得命题的真假.
自主预习
问题1:你能说出这两个命题之间的关系吗?它们的真假性如何?
命题s:3的相反数是-3.
命题t:3的相反数不是-3.
总结:一般地,对命题p加以 ,就得到一个新的命题,记作“ ”,读作“ ”或“ ”.如果一个命题是真命题,那么这个命题的否定就是一个 ;反之亦然.?
问题2:如何对全称量词命题与存在量词命题进行否定?
若记s:“存在整数是自然数”,这个命题的否定是s: ;这里的命题s实际上是一个 ,而且可以用符号表示为s: .?
而命题s可以表述为“
”,因此s是一个 ,可以用符号表示为
.?
显然,这里的s是一个 命题,而s是一个 命题.?
一般地,存在量词命题“?x∈M,p(x)”的否定是全称量词命题“ ”.?
若记s:“每一个有理数都是实数”,这个命题的否定是: ,这里的命题s实际上是一个 ,而且可以用符号表示为s: .?
而命题s可以表述为“ ”,因此s是一个 ,可以用符号表示为 .?
显然,这里的s是一个 命题,而s是一个 命题.?
一般地,全称量词命题“?x∈M,q(x)”的否定是存在量词命题 .?
课堂探究
例1 写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假:
(1)p:?x∈R,x2≥-1;
(2)q:?x∈{1,2,3,4,5},(3)s:至少有一个直角三角形不是等腰三角形.
例2 写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假:
(1)p:?a∈R,一次函数y=x+a的图像经过原点;
(2)q:?x∈(-3,+∞),x2>9.
变式训练:
q:?x∈[-2,3),x2<9,写出q,并判断q的真假.
评价反馈
写出下列命题的否定,并判断真假:
(1)p:?x∈R,x2-x+≥0;
(2)q:所有正方形都是矩形;
(3)r:?x∈R,x2+2x+2≤0;
(4)s:至少有一个实数x,使x2-2=0.
核心素养专练
1.下列命题为真命题的是( )
A.横坐标为0的点在x轴上
B.点M(-3,-5)到x轴的距离为-5
C.在平面直角坐标系内,点A(1,-4)和点B(-4,1)表示同一个点
D.若a=0,则点P(2,a)在x轴上
2.(多选题)下列命题正确的是( )
A.存在x∈R,使x3<1
B.存在x∈Q,使x2=2
C.任意x∈N,有x3>x2
D.任意x∈R,有x2+1>0
3.命题“?x>0,x2>0”的否定是( )
A.?x>0,x2≤0
B.?x>0,x2≤0
C.?x≤0,x2≤0
D.?x≤0,x2≤0
4.若命题p:?x∈R,x2+x+1<0,则p为( )
A.?x∈R,x2+x+1<0
B.?x∈R,x2+x+1>0
C.?x∈R,x2+x+1≥0
D.?x∈R,x2+x+1≥0
5.(多选题)写出下列命题的否定,正确的是( )
A.p:能被3整除的整数是奇数;p:存在一个能被3整除的整数不是奇数
B.p:每一个四边形的四个顶点共圆;p:存在一个四边形的四个顶点不共圆
C.p:有的三角形为正三角形;p:所有的三角形都不是正三角形
D.p:存在x∈R,x2+2x+2≤0;p:当x2+2x+2≤0时,x∈R
6.命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是( )
A.任意一个有理数,它的平方是有理数
B.任意一个无理数,它的平方不是有理数
C.存在一个有理数,它的平方是有理数
D.存在一个无理数,它的平方不是无理数
7.命题“?x∈R,x2+2x+1=0”的否定是 命题.(选填“真”“假”)?
8.若“?x∈R,x2+2x-a<0”是真命题,则实数a的取值范围是 .?
9.命题“?x∈R,x2-2ax+1>0”是假命题,则实数a的取值范围是 .?
10.用“?”“?”写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假.
(1)p:二次函数的图像是抛物线;
(2)p:直角坐标系中,直线是一次函数的图像;
(3)p:?a,b∈R,方程ax+b=0恰有一解.
参考答案
自主预习
略
课堂探究
例1 (1)p:?x∈R,x2<-1,假命题;
(2)q:?x∈{1,2,3,4,5},≥x,真命题;
(3)s:所有的直角三角形都是等腰三角形,假命题.
例2 (1)p:?a∈R,一次函数y=x+a的图像不经过原点,假命题;
(2)q:?x∈(-3,+∞),x2≤9,真命题.
变式训练:
q:?x∈[-2,3),x2≥9,假命题.
核心素养专练
1.D 2.AD 3.B 4.C 5.ABC 6.B
7.假 8.a>-1 9.(-∞,-1]∪[1,+∞)
10.(1)p:?x∈{二次函数},x的图像不是抛物线,假命题;
(2)p:在直角坐标系中,?x∈{直线},x不是一次函数的图像,真命题;
(3)p:?a,b∈R,方程ax+b=0无解或至少有两解,真命题.
学习目标
1.理解命题的否定的含义,会写给定命题的否定并判断命题的真假;
2.正确掌握全称量词命题与存在量词命题的否定;
3.明确全称命题的否定是存在命题,存在命题的否定是全称命题,会判断其真假.
自主预习
一、命题的否定
1.命题的否定:一般地,对命题p加以否定,就得到一个新的命题,记作 ,读作 或 .?
2.如果一个命题是真命题,那么这个命题的否定就应该是 .?
3.如果一个命题是假命题,那么这个命题的否定就应该是 .?
二、全称量词命题与存在量词命题的否定
1.一般地,存在量词命题“?x∈M,p(x)”的否定是 .?
2.一般地,全称量词命题“?x∈M,q(x)”的否定是 .?
课堂探究
问题1:你能说出命题s:“3的相反数是-3”和t:“3的相反数不是-3”这两个命题之间的关系吗?它们的真假性如何?
例如,=3是一个真命题,那么≠3就是一个 命题.?
问题2:命题p与p的真假有什么关系?
命题p
命题p
归纳小结
真
假
完成教材29页练习A第一题.
问题3:请同学们认真完成下面的表格:
(1)
命题
s
s
自然语言
存在整数是自然数
符号语言
命题形式
真假判断
(2)
命题
r
r
自然语言
每一个实数的平方都不
小于0
符号语言
命题形式
真假判断
(3)
命题
q
q
自然语言
每一个有理数都是
实数
符号语言
命题形式
真假判断
(4)用A表示所有素数组成的集合,用B表示所有奇数组成的集合.
命题
r
r
自然语言
存在一个素数不是奇数
符号语言
命题形式
真假判断
归纳小结:全称量词命题?x∈M,p(x)的否定: .?
存在量词命题?x∈M,p(x)的否定: .?
典型例题
例1 写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假:
(1)p:?x∈R,x2≥-1;
(2)q:?x∈{1,2,3,4,5},(3)s:至少有一个直角三角形不是等腰三角形.
例2 写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假:
(1)p:?a∈R,一次函数y=x+a的图像经过原点;
(2)q;?x∈(-3,+∞),x2>9.
变式训练
1.写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假:
(1)一切分数都是有理数;
(2)有些三角形是锐角三角形.
2.已知q:?x∈[-2,3),x2<9,写出q,并判断q的真假.
课堂练习
1.写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假:
(1)二次函数y=(x-1)2-1的图像的顶点坐标是(1,-1);
(2)正数的立方根都是正数;
(3)存在一个最大的内角小于60°的三角形;
(4)对任意实数t,点(t,t)都在一次函数y=x的图像上.
2.写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假:
(1)?x∈R,|x|+x=0;
(2)?x∈R,|x|+1-x≠0.
3.已知区间M=[a,a+1],且“?x∈M,x+1>0”是真命题,求实数a的取值范围.
课堂小结
本节课你学到了什么?
课后作业
教材35页习题1-2A
第2,3,5题;教材39页第10题.
预习1.2.3充分条件、必要条件.
核心素养专练
1.(2015·全国Ⅰ)设命题p:?n∈N,n2>2n,则p为( )
A.?n∈N,n2>2n
B.?n∈N,n2≤2n
C.?n∈N,n2≤2n
D.?n∈N,n2=2n
2.(2016·浙江)命题“?x∈R,?n∈N
,使得n≥x2”的否定形式是( )
A.?x∈R,?n∈N
,使得nB.?x∈R,?n∈N
,使得nC.?x∈R,?n∈N
,使得nD.?x∈R,?n∈N
,使得n参考答案
自主预习
一、1.p 非p p的否定
2.假命题
3.真命题
二、1.?x∈M,p(x)
2.?x∈M,q(x)
课堂探究
问题1:假
问题2:
命题p
命题p
归纳小结
真
假
p与p的真
假性相反
假
真
问题3:
(1)
命题
s
s
自然语言
存在整数是自然数
每一个整数都不是自然数
符号语言
s:?x∈Z,x∈N
s:?x∈Z,x?N
命题形式
存在量词命题
全称量词命题
真假判断
真命题
假命题
(2)
命题
r
r
自然语言
存在实数的平方
小于0
每一个实数的平方都不
小于0
符号语言
r:?x∈R,x2<0
r:?x∈R,x2≥0
命题形式
存在量词命题
全称量词命题
真假判断
假命题
真命题
(3)
命题
q
q
自然语言
每一个有理数都是
实数
存在一个有理数不是
实数
符号语言
?x∈Q,x∈R
?x∈Q,x?R
命题形式
全称量词命题
存在量词命题
真假判断
真命题
假命题
(4)
命题
r
r
自然语言
每一个素数都是奇数
存在一个素数不是奇数
符号语言
?x∈A,x∈B
?x∈A,x?B
命题形式
全称量词命题
存在量词命题
真假判断
假命题
真命题
归纳小结:?x∈M,p(x);?x∈M,p(x)
典型例题
例1 解:(1)p:?x∈R,x2<-1;假命题.
(2)q:?x∈{1,2,3,4,5},≥x;真命题.
(3)s:所有直角三角形都是等腰三角形;假命题.
例2 解:(1)p:?a∈R,一次函数y=x+a的图像不经过原点,假命题.
(2)q:?x∈(-3,+∞),x2≤9,真命题.
变式训练
1.解:(1)有的分数不是有理数,真命题.
(2)所有三角形都不是锐角三角形,假命题.
2.解:q:?x∈[-2,3),x2≥9,假命题.
课堂练习
1.解:(1)二次函数y=(x-1)2-1的图像的顶点坐标不是(1,-1);假命题.
(2)有的正数的立方根不是正数;假命题.
(3)所有的三角形的最大的内角大于等于60°;真命题.
(4)存在实数t,点(t,t)不在一次函数y=x的图像上;假命题.
2.解:(1)?x∈R,|x|+x≠0;假命题.
(2)?x∈R,|x|+1-x=0;假命题.
3.a>-1
核心素养专练
1.C 2.D1.2.3 充分条件、必要条件
学习目标
1.通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件、必要条件的含义,理解集合、性质、定理与它们的关系;
2.通过对典型数学命题的梳理,理解充要条件的含义,理解数学定义与充要条件的关系;
3.通过充分条件、必要条件的判断,提升逻辑推理素养;(重点)
4.通过充分条件、必要条件的应用,培养数学运算素养.(难点)
第1课时 充分条件、必要条件
自主预习
预习课本P30~32,思考并回答下列问题.
1.两个定义:
(1)充分条件
(2)必要条件
2.充分条件、必要条件与集合之间的关系.
3.充分条件、必要条件与判定定理与性质定理之间的关系.
课堂探究
探究一 给出下列命题:
(1)如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;
(2)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么这个锐角所对的直角边等于斜边的一半;
(3)如果x>2,那么x>3;
(4)如果a>b且c>0,那么ac>bc.
思考:(1)这四个命题都是怎样的形式?判断这四个命题的真假.
(2)这种形式的命题如果是真命题,p与q的关系用符号怎样表示?p,q分别为对方的什么条件?
(3)这种形式的命题如果是假命题,p与q的关系用符号怎样表示?
(4)如何用符号表示上例中的(2)(4)?
(5)这种形式的命题如果是真命题,写出它的四种不同的表达形式.并写出命题(4)的四种表达形式.
例1 判断下列命题中,p是否是q的充分条件,q是否是p的必要条件?
(1)p:x∈Z,q:x∈R;
(2)p:x是矩形,q:x是正方形.
变式1 下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的什么条件?
(1)若x=1,则x2-4x+3=0;
(2)若x2=y2,则x=y;
(3)若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相等;
(4)若a>b,则ac>bc.
小结:
探究二
(1)已知集合A={x|x≥0},B={x|x>-1},判断两个集合之间的关系,并用数轴表示;
(2)判断命题“如果x≥0,那么x>-1”的真假;
(3)思考(1)(2)中集合关系与命题真假之间的联系;
(4)请你再举出一个例子来说明(可借助维恩图表示),能否将这一结论推广?
例2 已知p:-4探究三 给出以下两个命题:
(1)菱形的对角线互相垂直;
(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
思考:(6)判断这两个命题的真假;如果是真命题,说明它们分别是菱形的什么定理?
(7)如果是真命题,改写成四种不同的表达形式.
(8)你能发现充分条件、必要条件与定理之间的关系吗?请举例说明.
例3 说明下述命题是否可以看成判定定理或性质定理,如果可以,写出其中涉及的充分条件或必要条件.
(1)形如y=ax2(a是非零常数)的函数是二次函数;
(2)矩形的对角线相等.
核心素养专练
1.使x>3成立的一个充分条件是( )
A.x>4
B.x>0
C.x>2
D.x<2
2.(多选题)对任意实数a,b,c,给出下列命题,正确的是( )
A.“a=b”是“ac=bc”的充分条件
B.“a+5是无理数”是“a是无理数”的必要条件
C.“a>b”是“a2>b2”的充分条件
D.“a<5”是“a<3”的必要条件
3.有下列不等式:①x<1;②04.指出下列命题中p是q的什么条件?
(1)p:x2=2x+1,q:x=;
(2)p:a2+b2=0,q:a+b=0.
5.已知p:3x+m<0,q:x2-2x-3>0,若p是q的一个充分条件,求m的取值范围.
第2课时 充要条件
自主预习
预习课本P33~34,思考并回答下列问题.
1.三个定义:
(1)充分不必要条件
(2)必要不充分条件
(3)充要条件
2.充要条件与集合之间的关系.
3.充要条件与定义之间的关系.
课堂探究
探究一 1.已知p:x>3,q:x>2,
(1)判断p是否是q的充分条件,p是否是q的必要条件?
(2)判断q是否是p的充分条件,q是否是p的必要条件?
2.已知p:x≥0,q:有意义,判断p是否是q的充分条件,p是否是q的必要条件?
例1 在△ABC中,判断∠B=∠C是否是AC=AB的充要条件.
变式1 已知a+b≠0,证明a2+b2-a-b+2ab=0成立的充要条件是a+b=1.
例2 判断下列各题中,p是q的什么条件?
(1)p:x>1,q:x>0;
(2)p:|x|=1,q:x=1;
(3)p:|x|=1,q:x2=1;
(4)p:x>1,q:x<2.
小结:(1)怎样判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件?
(2)这种题目可能有几种结果?p与q之间有怎样的推出关系?
探究二 类比上节课中充分条件、必要条件与集合和判定定理、性质定理的关系:
(1)寻找充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件与集合的关系;
(2)以等边三角形为例,说明充要条件与定义之间的关系?一个数学对象可以有多个定义吗?
例3 已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的充分不必要条件,则实数m的取值范围为 .?
核心素养专练
1.设p:b2-4ac>0(a≠0),q:关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根,则p是q的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.“同位角相等”是“两直线平行”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.b2=ac是=成立的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.设命题甲:{x|0A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.p:x-2=0,q:(x-2)(x-3)=0,p是q的 条件.?
6.p:两个三角形相似;q:两个三角形全等,p是q的 条件?
7.填空:
(1)a=0是ab=0的 条件;?
(2)a≠0是ab≠0的 条件;?
(3)a>c是ab2>cb2的 条件;?
(4)ab2>cb2是a>c的 条件.?
参考答案
第1课时 充分条件、必要条件
自主预习
略
课堂探究
略
核心素养专练
1.A 2.ABD
3.②③④
4.(1)p是q的必要条件;(2)p是q的充分条件
5.解:p:x<-,q:x>3或x<-1,
∵p是q的充分条件,
∴-≤-1,解得m≥3.
第2课时 充要条件
自主预习
略
课堂探究
略
核心素养专练
1.A 2.C 3.B 4.A
5.充分不必要
6.必要不充分
7.(1)充分不必要;(2)必要不充分;(3)必要不充分;(4)充分不必要.
学习目标
1.通过实例,了解充分条件与必要条件的概念,了解数学命题和数学推理之间的关系,提高逻辑推理素养;
2.理解充分条件与必要条件,提升数学抽象和逻辑推理素养;
3.会用自然语言、符号语言表示充分条件与必要条件,加强数学抽象素养的培养.
自主预习
1.下列语句中是命题的是( )
①x2-3=0;②与一条直线相交的两条直线平行吗?③3+1=5;④对任意x∈R,5x-3>6
A.①③
B.②③
C.②④
D.③④
2.判断下列语句是否为命题,若是,请判断真假并改写成“若p,则q”的形式.
(1)垂直于同一条直线的两条直线平行吗?
(2)三角形中,大角所对的边大于小角所对的边;
(3)当x+y是有理数时,x,y都是有理数;
(4)1+2+3+…+2
014;
(5)这盆花长得太好了!
课堂探究
导入新课
1.充分条件与必要条件
命题真假
“若p,则q”是真命题
“若p,则q”是假命题
推出关系
p q?
p q?
条件关系
p是q的 条件?
q是p的 条件?
p不是q的 条件?
q不是p的 条件?
思考1:(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同?
(2)以下五种表述形式:①p?q;②p是q的充分条件;③q的充分条件是p;④q是p的必要条件;⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗?
问题探究一:
例1 下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的什么条件?(充分不必要条件,必要不充分条件,既是充分条件也是必要条件,既不充分也不必要条件)
(1)若x=1,则x2-4x+3=0;
(2)若函数y=x,则函数为递增的;
(3)若x为无理数,则x2为无理数;
(4)若x=y,则x2=y2.
即时训练1
下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的什么条件?(充分不必要条件,必要不充分条件,既是充分条件也是必要条件,既不充分也不必要条件)
(1)若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相等;
(2)若a>b,则ac>bc.
问题探究二:
例2 若“x2>1”是“x要点归纳
设集合A={x|x满足p},B={x|x满足q},则p?q可得 ;q?p可得 ;p?q可得 .若p是q的充分不必要条件,则A是B的 .?
即时训练2 例2中“xa”,其他条件不变,求a的最小值.
小组合作探究:
充分条件和必要条件的应用
例3 (1)“x2=4”是“x=m”的必要条件,则m的一个值可以是( )
A.0
B.2
C.4
D.16
(2)已知p:-4要点归纳
应用充分条件和必要条件的两个思路:
(1)条件与结论:确定p和q谁是条件,谁是结论.
(2)p?q和q?p的应用:充分条件确保p?q为真,必要条件确保q?p为真.
即时训练3
使x>3成立的一个充分条件是( )
A.x>4
B.x>0
C.x>2
D.x<2
评价反馈
1.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
2.“x2>2
017”是“x2>2
016”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
核心素养专练
1.“x>0”是“x≠0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若a∈R,则“a=1”是“|a|=1”的( )
A.充分条件
B.必要条件
C.既不是充分条件也不是必要条件
D.无法判断
3.a<0,b<0的一个必要条件为( )
A.a+b<0
B.a+b>0
C.>1
D.<-1
4.(多选)已知p:x2-2x+a=0有实根,则p的充分不必要条件为( )
A.a≤0
B.a≤1
C.a<2
D.a<1
5.有下列不等式:①x<1;②06.从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空:
(1)“ax2+bx+c=0(a≠0)有实根”是“ac<0”的 .?
(2)“△ABC≌△A'B'C'”是“△ABC∽△A'B'C'”的 .?
7.已知p:x<-2,q:x参考答案
自主预习
1.D
2.是命题的有(2)(3).(2)三角形中,若A>B,则a>b;(3)若x+y是有理数,则x,y都是有理数.
课堂探究
导入新课:略
例1 (1)充分不必要条件;(2)充分不必要条件;(3)必要不充分条件;(4)充分不必要条件
即时训练1 (1)充分不必要条件;(2)既不充分也不必要条件
例2 -1
要点归纳:略
即时训练2 1
例3 (1)B (2)[-1,6]
即时训练3 A
评价反馈 1.A 2.A
核心素养专练
1.A 2.A 3.A
4.AD
5.②③④
6.(1)必要条件 (2)充分条件
7.a≤-2第一章
集合与常用逻辑
本章小结
学习目标
1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;在具体情境中了解全集与空集的含义;
2.理解两个集合的并集与交集的含义,能求两个简单集合的并集与交集;理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集;能使用维恩图表达集合间的基本关系及集合的基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用;
3.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系;理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系;理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系;
4.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义;能正确使用存在量词对全称命题进行否定;能正确使用全称量词对存在性命题进行否定.
自主预习
1.(多选题)下列结论错误的是( )
A.{x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}
B.若{x2,1}={0,1},则x=0或x=1
C.对于任意两个集合A,B,关系(A∩B)?(A∪B)恒成立
D.含有n个元素的集合有2n个真子集
2.(多选题)下列结论错误的是( )
A.若已知p:x>1和q:x≥1,则p是q的充分不必要条件
B.“长方形的对角线相等”是存在性命题
C.当q是p的必要条件时,p是q的充分条件
D.p:?x∈R,x2≥-1;?p:?x∈R,x2≤-1.
3.已知区间A=(-3,1),B=[-2,3],则A∩B= ,A∪B= .?
4.若命题p:?a∈R,一次函数y=x+a的图像经过原点,则?p: ;是 命题.(填“真”或“假”)?
课堂探究
典例剖析,探究深化
例1 已知集合A={x|-3(1)求A∩(?RB);
(2)若(A∪B)?C,求实数m的取值范围.
变式训练 已知集合A={x|-3≤x≤5},B={x|m+1(1)当m=3时,用列举法表示出集合C;
(2)若A∩B=B,求实数m的取值范围.
归纳小结:
例2 已知P={x|-2≤x≤10},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,求m的取值范围.
【探究1】 本例条件不变,若x∈P是x∈S的必要不充分条件,求m的取值范围.
【探究2】 本例条件不变,若x∈P的必要条件是x∈S,求m的取值范围.
【探究3】 本例条件不变,问是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件?并说明理由.
归纳小结:
自主总结,形成网络
总结——交流——完善,得到本章的知识结构图:
核心素养专练
1.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩?UA=( )
A.{1,6}
B.{1,7}
C.{6,7}
D.{6}
2.已知集合A={x|0≤x≤2},B={x|x≤a},若A?B,则实数a的取值范围是( )
A.[2,+∞)
B.(2,+∞)
C.(-∞,0)
D.(-∞,0]
3.已知集合A={1,3,},B={1,m},A∪B=A,则m=( )
A.0或
B.0或3
C.1或
D.1或3
4.(多选题)下列有关命题的说法错误的是( )
A.?x0∈R,sin
x0+cos
x0=2
B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件
C.命题“?x∈R,使得x2+x-1<0”的否定是“?x∈R,有x2+x-1≥0”
D.命题“?x<0,(x-1)(x+2)<0”的否定是“?x0≥0,(x0-1)(x0+2)≥0”
参考答案
自主预习
1.ABD 2.BD
3.[-2,1) (-3,3]
4.?a∈R,一次函数y=x+a的图像不经过原点 假.
课堂探究
典例剖析,探究深化:
例1 解:(1)?RB={x|x<0或x≥5};
∴A∩?RB={x|-3(2)A∪B={x|-3∵(A∪B)?C,
∴m≥5.
∴实数m的取值范围为[5,+∞).
变式训练
解:(1)当m=3时,B={x|4∴C={x∈Z|-3≤x≤5或4(2)∵A∩B=B,∴B?A,
当B=?时,m+1≥2m-1,即m≤2;
当B≠?时,m+1<2m-1,即m>2,易得
解得2综上,得实数m的取值范围是(-∞,3].
例2 解:∵x∈P是x∈S的必要条件,则S?P.
∴解得m≤3.
∵S为非空集合,∴1-m≤1+m,解得m≥0.
综上,m的取值范围是[0,3].
【探究1】 解:由例知,S?P,
∴或
解得0≤m≤3或0≤m<3,∴0≤m≤3.故m的取值范围是[0,3].
【探究2】 解:由例知P={x|-2≤x≤10},
若x∈P的必要条件是x∈S,即x∈S是x∈P的必要条件,
∴P?S,∴解得m≥9.故m的取值范围是[9,+∞).
【探究3】 解:由例题知P={x|-2≤x≤10}.
若x∈P是x∈S的充要条件,则P=S,
∴∴这样的m不存在.
自主总结,形成网络:
核心素养专练
1.C 2.A 3.B 4.ABD
学习目标
通过构建第一章知识网络,体现数学抽象、数学运算、逻辑推理等数学素养,从而提高总结归纳、拓展提升的能力.
自主预习
请大家结合本章内容的学习,构建出本章的知识网络结构图.
课堂探究
素养一 数学抽象
例1 已知集合={a2,a+3b,0},则2|a|+b= .?
例2 已知A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},若1∈A,求实数a的值.
变式训练 已知集合A={2,4,x2-5x+9},B={3,x2+ax+a},2∈B,B?A,求实数a,x的值.
素养二 数学运算
例3 已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A∩B=( )
A.{0,1}
B.{-1,0,1}
C.{-2,0,1,2}
D.{-1,0,1,2}
例4 设全集I=R,已知集合M={-3},N={x|x2+x-6=0}.
(1)求N∩(?IM).
(2)记集合A=N∩(?IM),已知集合B=[a-1,a+5],a∈R,若A∩B=A,求实数a的取值范围.
素养三 逻辑推理
例5 集合M={x|x=3k-2,k∈Z},P={y|y=3n+1,n∈Z},S={z|z=6m+1,m∈Z}之间的关系是( )
A.S?P?M
B.S=P?M
C.S?P=M
D.P=M?S
例6 写出下列全称量词命题或存在量词命题的否定,并判断所得命题的真假:
(1)p:空集是任何一个非空集合的真子集;
(2)q:?x∈R,4x2>2x-1+3x2;
(3)r:?x∈{-2,-1,0,1,2},|x-2|<2;
(4)s:所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径.
核心素养专练
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列表示正确的是( )
A.{所有实数}=R
B.整数集={Z}
C.?={?}
D.1∈{有理数}
2.集合A={x|-1≤x≤2},B={x|x<1},则A∪(?RB)=( )
A.{x|x>1}
B.{x|x≥-1}
C.{x|1D.{x|1≤x≤2}
3.满足{1}?X?{1,2,3,4}的集合X有( )
A.4个
B.5个
C.6个
D.7个
4.命题“对任意x∈R,都有x2≥1”的否定是( )
A.对任意x∈R,都有x2<1
B.不存在x∈R,使得x2<1
C.存在x∈R,使得x2≥1
D.存在x∈R,使得x2<1
5.命题“?x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是( )
A.?x∈R,x3-x2+1<0
B.?x∈R,x3-x2+1≥0
C.?x∈R,x3-x2+1>0
D.?x∈R,x3-x2+1≤0
6.“a=-1”是“函数y=ax2+2x-1与x轴只有一个交点”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
7.a2>b2的一个充分条件是( )
A.a>b
B.aC.a=b
D.a=2,b=1
8.下列命题中,真命题是( )
A.若x,y∈R,且x+y>2,则x,y至少有一个大于1
B.?x∈R,2x>x2
C.a+b=0的充要条件是=-1
D.?x∈R,x2+2≤0
9.一元二次方程ax2+4x+3=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )
A.a<0
B.a>0
C.a<-1
D.a>1
10.已知集合A={x|x>2},B={x|x<2m},且A??RB,那么m的值可以是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
11.若集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|5≤x≤16},则能使A?B成立的所有a组成的集合为( )
A.{a|2≤a≤7}
B.{a|6≤a≤7}
C.{a|a≤7}
D.?
12.满足“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充要条件的电路图是( )
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.设全集U=R,集合A={x|x<0},B={x|x>1},则A∪(?UB)= .?
14.命题“?1≤x≤2,使x2-a≥0”是真命题,则a的取值范围是 .?
15.设集合A={x|016.定义集合运算:A☉B={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B}.设集合A={0,1},B={2,3},则集合A☉B的所有元素之和为 .?
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并写出它们的否定:
(1)p:对任意的x∈R,x2+x+1=0都成立;
(2)p:?x∈R,x2+2x+5>0.
18.(本小题满分12分)已知A={x|-219.(本小题满分12分)判断下列各题中的条件p是结论q的什么条件.
(1)条件p:a,b∈R,a+b>0,结论q:ab>0;
(2)条件p:A?B,结论q:A∪B=B.
20.(本小题满分12分)已知集合A={x|1(1)当m=-1时,求A∪B;
(2)若A?B,求实数m的取值范围.
21.(本小题满分12分)已知集合A={x|2(1)若x∈A是x∈B的充分条件,求a的取值范围;
(2)若A∩B=?,求a的取值范围.
22.(本小题满分12分)已知x,y都是非零实数,且x>y,求证:<的充要条件是xy>0.
参考答案
自主预习
略
课堂探究
例1 答案:4
解析:因为集合={a2,a+3b,0},所以b=0,a2=4,解得a=±2,当a=-2,b=0时,{-2,0,4}={4,-2,0}成立,此时2|a|+b=4;当a=2,b=0时,{2,0,4}={4,2,0},成立,此时,2|a|+b=4.
例2 解:由题设条件可知,1∈A,
若a+2=1,即a=-1时,(a+1)2=0,a2+3a+3=1=a+2,不满足集合中元素的互异性,舍去;
若(a+1)2=1,则a=0或a=-2.
当a=0时,a+2=2,(a+1)2=1,a2+3a+3=3,满足条件;
当a=-2时,a+2=0,(a+1)2=1,a2+3a+3=1,不满足集合中元素的互异性,舍去;
若a2+3a+3=1,即a=-1或a=-2,均不满足条件.
综上可知,实数a的值只能是a=0.
变式训练 解:因为a,x∈R,集合A={2,4,x2-5x+9},B={3,x2+ax+a},2∈B,B?A,
所以解得或经检验,都符合题意.
例3 答案:A
解析:集合A={x|-2例4 解:(1)因为M={-3},则?IM={x|x≠-3},又因为N={2,-3},从而有N∩(?IM)={2}.
(2)因为A∩B=A,所以A?B,又因为A={2},所以a-1≤2≤a+5,解得-3≤a≤3,
即实数a的取值范围是[-3,3].
例5 答案:C
解析:运用整数的性质求解,集合M,P表示的是被3整除余1的整数集,集合S表示的是被6整除余1的整数集.
例6 解:(1)?p:存在一个非空集合,空集不是该集合的真子集,假命题.
(2)?q:?x∈R,4x2≤2x-1+3x2,真命题.
(3)?r:?x∈{-2,-1,0,1,2},|x-2|≥2,假命题.
(4)?s:有的圆的圆心到其切线的距离不等于半径,假命题.
核心素养专练
一、1.D [选项A不正确,因为符号“{ }”已包含“所有”“全体”的含义,因此不用再加“所有”;选项B不正确,Z表示整数集,不能加花括号;显然选项C不正确;选项D正确.]
2.B [由B={x|x<1}可知?RB={x|x≥1},A∪(?RB)={x|x≥-1}.]
3.D [集合X可以是{1},{1,2},{1,3},{1,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},共7个.]
4.D [因为全称量词命题的否定是存在量词命题,所以命题“对任意x∈R,都有x2≥1”的否定是:存在x∈R,使得x2<1.故选D.]
5.C [由存在量词命题的否定可得,所给命题的否定为“?x∈R,x3-x2+1>0”.故选C.]
6.B [当a=-1时,函数y=ax2+2x-1=-x2+2x-1与x轴只有一个交点;但若函数y=ax2+2x-1与x轴只有一个交点,则a=-1或a=0,所以“a=-1”是“函数y=ax2+2x-1与x轴只有一个交点”的充分不必要条件.]
7.D [A中,当a=0,b=-2时,a2=0,b2=4,不能推出a2>b2;B中,当a=-1,b=1时,a2=b2,不能推出a2>b2;C中,当a=b时,a2=b2,不能推出a2>b2;D中,a2=4,b2=1,能推出a2>b2,故选D.]
8.A [当x=2时,2x=x2,故B错误;当a=b=0时,满足a+b=0,但=-1不成立,故C错误;?x∈R,x2+2>0,故?x∈R,x2+2≤0错误,故选A.]
9.C [方程有一个正根和一个负根时,根据根与系数的关系知<0,即a<0,a<-1可以推出a<0,但a<0不一定推出a<-1,故选C.]
10.A [根据补集的概念,?RB={x|x≥2m}.
∵A??RB,∴2m≤2.
解得m≤1,故m的值可以是1.]
11.C [当3a-5<2a+1,即a<6时,A=??B;
当3a-5≥2a+1,即a≥6时,A≠?,
要使A?B,需有解得2≤a≤7.
综上可知,a≤7.]
12.C [由题图A,闭合开关K1或者闭合开关K2都可以使灯泡R亮;反之,若要使灯泡R亮,不一定非要闭合开关K1,因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充分不必要条件.由题图B,闭合开关K1而不闭合开关K2,灯泡R不亮;反之,若要使灯泡R亮,则开关K1必须闭合.因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的必要不充分条件.由题图C,闭合开关K1可使灯泡R亮;反之,若要使灯泡R亮,开关K1一定是闭合的.因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充要条件.由题图D,闭合开关K1但不闭合开关K2,灯泡R不亮;反之,灯泡R亮也可不闭合开关K1,只要闭合开关K2即可.因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的既不充分也不必要条件.]
二、13.{x|x≤1} [∵B={x|x>1},∴?UB={x|x≤1},则A∪?UB={x|x≤1}.]
14.{a|a≤1} [命题p:a≤x2在1≤x≤2上恒成立,y=x2在1≤x≤2上的最小值为1,故a≤1.]
15.充分不必要 [由于A={x|016.18 [当x=0时,y=2,3,对应的z=0;
当x=1时,y=2,3,对应的z=6,12.
即A☉B={0,6,12}.
故集合A☉B的所有元素之和为18.]
三、17.解:(1)由于命题中含有全称量词“任意的”,因而是全称量词命题;
由于“任意”的否定为“存在一个”,
因此,￢p:存在一个x∈R,使x2+x+1≠0成立,
即“?x∈R,使x2+x+1≠0成立”.
(2)由于“?x∈R”表示存在一个实数x,即命题中含有存在量词,因而是存在量词命题;
又由于“?”的否定为“?”,
因此,?p:对任意一个x,都有x2+2x+5≤0,即“?x∈R,x2+2x+5≤0”.
18.解:结合数轴,由图可知?RA={x|x≤-2或x≥3},
∵A∩B={x|-2∴?R(A∩B)=?RA={x|x≤-2或x≥3},
∴(?RA)∩B={x|-319.解:(1)因为a,b∈R,a+b>0,
所以a,b至少有一个大于0,所以pq.
反之,若ab>0,可推出a,b同号.
但推不出a+b>0,即qp.
综上所述,p既不是q的充分条件,也不是必要条件.
(2)因为A?B?A∪B=B,所以p?q.
而当A∪B=B时,A?B,即qp,
所以p为q的充分不必要条件.
20.解:(1)当m=-1时,B={x|-2(2)由A?B,知解得m≤-2,
即实数m的取值范围为{m|m≤-2}.
21.解:(1)∵x∈A是x∈B的充分条件,
∴A?B.∴
解得a的取值范围为≤a≤2.
(2)由B={x|a∴a>0.
若A∩B=?,∴a≥4或3a≤2.∴a的取值范围为022.证明:法一(充分性)由xy>0及x>y,得>,
即<.
(必要性)由<,得-<0,即<0.
因为x>y,所以y-x<0,所以xy>0.
所以<的充要条件是xy>0.
法二:由条件x>y?y-x<0,故由<0?xy>0.
所以0,
即<的充要条件是xy>0.