沪教版（上海）数学七年级数学 下册-14.3 等腰三角形的性质 教案
文档属性
| 名称 | 沪教版（上海）数学七年级数学 下册-14.3 等腰三角形的性质 教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 213.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-06 21:38:52 | ||
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§14.5
等腰三角形的性质
教学目标：
1、理解等腰三角形有关概念
2、通过观察、操作、说理等活动，发现并归纳等腰三角形两底角相等的性质.
3、掌握等腰三角形“三线合一”的性质，能运用性质解决有关的简单问题.
4、经历推导等腰三角形两底角相等的性质，体验实验归纳与逻辑推理这两种方法的联系与区别
教学重点：等腰三角形“等边对等角”、“三线合一”性质的发现和探索过程及其应用.
教学难点：等腰三角形“三线合一”性质的正确表述和运用.
教学过程：
一、新课引入：
1、作出△ABC的边BC上的高AH.
2、作出△ABC的角平分线AD.
3、作出△ABC的边BC上的中线AM.
在不等边三角形中，这三条线段能够重合吗？
二、概念辨析：
等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
练习一：
AB=BC
DE=EF
顶角是__________
∠D是_____；∠E是_____；∠F是_____.
底角是__________
腰是____________
DE是_____；
EF是_____；
DF是_____.
底边是__________
练习二
1、如果等腰三角形的底边长3cm，腰长4cm，那么这个三角形的周长是__________；
2、如果等腰三角形的两边长分别为3cm、4cm，那么这个三角形的周长是__________；
3、如果等腰三角形的两边长分别为3cm、8cm，那么这个三角形的周长是__________.
三、探究新知：
把等腰三角形△ABC纸片对折，观察，除两腰重合外还有哪些重合的部分？
重合的部分是什么？
重合的角
重合的线段
推理说明等腰三角形的这个性质：
已知：△ABC中，AB=AC
说明：∠B=∠C
方法一：
解：过A作顶角的平分线AD交BC于点D.
∵
AD平分∠B
AC（已作）
∴
∠1＝∠2
(角平分线的意义)
在△ABD和△ACD中
∴
△ABD≌
△ACD
（S.A.S）
∴
∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）
方法二：
解：作△ABC
的中线AD交BC于点D
∵AD是BC边上的中线（已作）
∴
BD＝CD（中线的意义）
在△ABD和△ACD中
∴
△ABD≌
△ACD
（S.S.S）
∴
∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）
几何语言表述：
在△ABC
中
∵AB＝AC
（已知）
∴
∠B＝∠C
（等边对等角）
练习二
判断：
（1）
（2）
∵AB＝AC（已知）
∵AB＝AC（已知）
∴
∠1＝∠2
（等边对等角）
∴
∠1＝∠2
（等边对等角）
（
）
（
）
（3）
（4）
∵AB＝AC（已知）
∵AB＝AC（已知）
∴
∠1＝∠2
（等边对等角）
∴
∠1＝∠2
（等边对等角）
（
）
（
）
练习三
（1）等腰三角形一个底角是70°，那么另外两个角的度数是______________
（2）等腰三角形一个角是70°，那么另外两个角的度数是______________
（3）等腰三角形一个角是110°，那么另外两个角的度数是______________
在刚刚的表格中，三角形全等，除了相等的两底角之外，还有哪些相等的量？
性质2：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合
（简称为“等腰三角形的三线合一”）
判断：
等腰三角形的高，中线，角平分线，三线合一（
）
性质2可分解为三种情况（填空）
①等腰三角形的顶角平分线，既是底边上的中线，又是底边上的高.
几何语言表述：
在△ABC
中
∵AB＝AC，∠1＝∠2（已知）
∴BD＝CD，AD⊥BC（等腰三角形三线合一）
②等腰三角形底边上的中线，既是顶角平分线，又是底边上的高.
几何语言表述：
在△ABC
中
∵AB＝AC，BD＝CD（已知）
∴∠1＝∠2，AD⊥BC（等腰三角形三线合一）
③等腰三角形底边上的高，既是底边上的中线，又是顶角的平分线.
几何语言表述：
在△ABC
中
∵AB＝AC，AD⊥BC（已知）
∴BD＝CD，∠1＝∠2（等腰三角形三线合一）
或者我们可以简单理解为：
在等腰三角形ABC中，AB=AC，（大前提）
①∠1＝∠2；②BD＝DC；③AD⊥BC
（知一求二）
即
AB=AC和①推出②③
AB=AC和②推出①③
AB=AC和③推出①②
通过同学们动手操作，以及我们刚刚的说理过程，我们还能够发现，等腰三角形是一个轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线。（也是底边上的高所在的直线，也是底边上的中线所在的直线）
性质3：等腰三角形是一个轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线。（也是底边上的高所在的直线，也是底边上的中线所在的直线）
判断：
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的高（
）
例：如图所示，已知在△ABC中，AB=AC；
（1）如果AD是△ABC的中线，求∠ADB的度数.
（2）如果∠1=∠2，BD=8，求BC的长.
（3）如果AD⊥
BC，∠BAC=110°，求∠1和∠2的度数.
解：
（1）
∵AB=AC，AD是△ABC的中线（已知）
∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一）
∴∠ADB=90°（垂直的意义）
（2）
∵AB=AC，∠1=∠2（已知）
∴BC=2BD（等腰三角形三线合一）
∵BD=8（已知）
∴BC=16
（3）
∵AB=AC，AD⊥BC（已知）
∴∠1=∠2=∠BAC（角平分线的意义）
∵∠BAC=110°（已知）
∴∠1=∠2=55°
练习四：如图所示，等腰△ABC中，AB=AC，点D、点E是BC边上的点，AH⊥BC，∠DAH=∠EAH，那么BD和CE相等吗？请说明理由.
思考1：
如果你手中只有三角板，如何作出等腰△ABC（AB=AC）顶角的平分线
思考2：
如图所示，点D、点E在△ABC的边BC上（不与B、C重合），且AB=AC，AD=AE，那么BD和CE相等吗？请说明理由.
思考3：在探究性质“等腰三角形三线合一”的过程中，我们知道
①∠1＝∠2；②BD＝DC；③AD⊥BC
AB=AC和①推出②③；AB=AC和②推出①③；AB=AC和③推出①②.如果把AB=AC也作为条件之一，即①∠1＝∠2；②BD＝DC；③AD⊥BC；④AB=AC.那么能否由任意两个结合作为条件，推出另外两个结论呢？
小结：
（1）性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）
（2）性质2：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合
（简称为“等腰三角形的三线合一”）
（3）课前我们每位同学画了一个不等边三角形ABC的的角平分线AD，高AH，和中线AM，这三条线重合吗？
在不等边三角形中，三角形的角平分线，高，中线，不重合
（4）性质3：等腰三角形是一个轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线。（也是底边上的高所在的直线，也是底边上的中线所在的直线）
等腰三角形的性质
教学目标：
1、理解等腰三角形有关概念
2、通过观察、操作、说理等活动，发现并归纳等腰三角形两底角相等的性质.
3、掌握等腰三角形“三线合一”的性质，能运用性质解决有关的简单问题.
4、经历推导等腰三角形两底角相等的性质，体验实验归纳与逻辑推理这两种方法的联系与区别
教学重点：等腰三角形“等边对等角”、“三线合一”性质的发现和探索过程及其应用.
教学难点：等腰三角形“三线合一”性质的正确表述和运用.
教学过程：
一、新课引入：
1、作出△ABC的边BC上的高AH.
2、作出△ABC的角平分线AD.
3、作出△ABC的边BC上的中线AM.
在不等边三角形中，这三条线段能够重合吗？
二、概念辨析：
等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
练习一：
AB=BC
DE=EF
顶角是__________
∠D是_____；∠E是_____；∠F是_____.
底角是__________
腰是____________
DE是_____；
EF是_____；
DF是_____.
底边是__________
练习二
1、如果等腰三角形的底边长3cm，腰长4cm，那么这个三角形的周长是__________；
2、如果等腰三角形的两边长分别为3cm、4cm，那么这个三角形的周长是__________；
3、如果等腰三角形的两边长分别为3cm、8cm，那么这个三角形的周长是__________.
三、探究新知：
把等腰三角形△ABC纸片对折，观察，除两腰重合外还有哪些重合的部分？
重合的部分是什么？
重合的角
重合的线段
推理说明等腰三角形的这个性质：
已知：△ABC中，AB=AC
说明：∠B=∠C
方法一：
解：过A作顶角的平分线AD交BC于点D.
∵
AD平分∠B
AC（已作）
∴
∠1＝∠2
(角平分线的意义)
在△ABD和△ACD中
∴
△ABD≌
△ACD
（S.A.S）
∴
∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）
方法二：
解：作△ABC
的中线AD交BC于点D
∵AD是BC边上的中线（已作）
∴
BD＝CD（中线的意义）
在△ABD和△ACD中
∴
△ABD≌
△ACD
（S.S.S）
∴
∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）
几何语言表述：
在△ABC
中
∵AB＝AC
（已知）
∴
∠B＝∠C
（等边对等角）
练习二
判断：
（1）
（2）
∵AB＝AC（已知）
∵AB＝AC（已知）
∴
∠1＝∠2
（等边对等角）
∴
∠1＝∠2
（等边对等角）
（
）
（
）
（3）
（4）
∵AB＝AC（已知）
∵AB＝AC（已知）
∴
∠1＝∠2
（等边对等角）
∴
∠1＝∠2
（等边对等角）
（
）
（
）
练习三
（1）等腰三角形一个底角是70°，那么另外两个角的度数是______________
（2）等腰三角形一个角是70°，那么另外两个角的度数是______________
（3）等腰三角形一个角是110°，那么另外两个角的度数是______________
在刚刚的表格中，三角形全等，除了相等的两底角之外，还有哪些相等的量？
性质2：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合
（简称为“等腰三角形的三线合一”）
判断：
等腰三角形的高，中线，角平分线，三线合一（
）
性质2可分解为三种情况（填空）
①等腰三角形的顶角平分线，既是底边上的中线，又是底边上的高.
几何语言表述：
在△ABC
中
∵AB＝AC，∠1＝∠2（已知）
∴BD＝CD，AD⊥BC（等腰三角形三线合一）
②等腰三角形底边上的中线，既是顶角平分线，又是底边上的高.
几何语言表述：
在△ABC
中
∵AB＝AC，BD＝CD（已知）
∴∠1＝∠2，AD⊥BC（等腰三角形三线合一）
③等腰三角形底边上的高，既是底边上的中线，又是顶角的平分线.
几何语言表述：
在△ABC
中
∵AB＝AC，AD⊥BC（已知）
∴BD＝CD，∠1＝∠2（等腰三角形三线合一）
或者我们可以简单理解为：
在等腰三角形ABC中，AB=AC，（大前提）
①∠1＝∠2；②BD＝DC；③AD⊥BC
（知一求二）
即
AB=AC和①推出②③
AB=AC和②推出①③
AB=AC和③推出①②
通过同学们动手操作，以及我们刚刚的说理过程，我们还能够发现，等腰三角形是一个轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线。（也是底边上的高所在的直线，也是底边上的中线所在的直线）
性质3：等腰三角形是一个轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线。（也是底边上的高所在的直线，也是底边上的中线所在的直线）
判断：
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的高（
）
例：如图所示，已知在△ABC中，AB=AC；
（1）如果AD是△ABC的中线，求∠ADB的度数.
（2）如果∠1=∠2，BD=8，求BC的长.
（3）如果AD⊥
BC，∠BAC=110°，求∠1和∠2的度数.
解：
（1）
∵AB=AC，AD是△ABC的中线（已知）
∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一）
∴∠ADB=90°（垂直的意义）
（2）
∵AB=AC，∠1=∠2（已知）
∴BC=2BD（等腰三角形三线合一）
∵BD=8（已知）
∴BC=16
（3）
∵AB=AC，AD⊥BC（已知）
∴∠1=∠2=∠BAC（角平分线的意义）
∵∠BAC=110°（已知）
∴∠1=∠2=55°
练习四：如图所示，等腰△ABC中，AB=AC，点D、点E是BC边上的点，AH⊥BC，∠DAH=∠EAH，那么BD和CE相等吗？请说明理由.
思考1：
如果你手中只有三角板，如何作出等腰△ABC（AB=AC）顶角的平分线
思考2：
如图所示，点D、点E在△ABC的边BC上（不与B、C重合），且AB=AC，AD=AE，那么BD和CE相等吗？请说明理由.
思考3：在探究性质“等腰三角形三线合一”的过程中，我们知道
①∠1＝∠2；②BD＝DC；③AD⊥BC
AB=AC和①推出②③；AB=AC和②推出①③；AB=AC和③推出①②.如果把AB=AC也作为条件之一，即①∠1＝∠2；②BD＝DC；③AD⊥BC；④AB=AC.那么能否由任意两个结合作为条件，推出另外两个结论呢？
小结：
（1）性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）
（2）性质2：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合
（简称为“等腰三角形的三线合一”）
（3）课前我们每位同学画了一个不等边三角形ABC的的角平分线AD，高AH，和中线AM，这三条线重合吗？
在不等边三角形中，三角形的角平分线，高，中线，不重合
（4）性质3：等腰三角形是一个轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线。（也是底边上的高所在的直线，也是底边上的中线所在的直线）