人教版九年级数学上册《24.1.2 垂直于弦的直径》 同步练习（word版，含答案）

24.1.2
垂直于弦的直径
一．选择题
1．如图，⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），圆心P的横坐标为﹣4．则⊙P的半径为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
2．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD＝12，BE＝2，则⊙O的半径为（　　）
A．8
B．10
C．16
D．20
3．如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧上的一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（　　）
A．60°
B．90°
C．120°
D．135°
4．如图所示，在半径为10cm的⊙O中，弦AB＝16cm，OC⊥AB于点C，则OC的长为（　　）cm．
A．5
B．6
C．7
D．8
5．如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦DE⊥AB于点C，若OC：OB＝3：5，连接DO，则DE的长为（　　）
A．3
B．4
C．6
D．8
6．下列语句中不正确的有（　　）
①长度相等的弧是等弧；
②垂直于弦的直径平分弦；
③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；
④平分弦的直径也必平分弦所对的两条弧；
⑤弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦且过圆心．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7．如图，在⊙O中，半径r＝10，弦AB＝16，P是弦AB上的动点，则线段OP长的最小值是（　　）
A．10
B．16
C．6
D．8
8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝6，CD＝4，则AE的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
9．如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且OB＝13，CD＝24，则OH的长是（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
10．如图，AB为⊙O的弦，点C为AB的中点，AB＝8，OC＝3，则⊙O的半径长为（　　）
A．4
B．5
C．6
D．7
11．已知在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3，则⊙O的面积是（　　）
A．9π
B．16π
C．25π
D．64π
12．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（﹣3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝﹣x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（　　）
A．4
B．
C．
D．
13．如图，已知AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于D，若AB＝6，则BD＝（　　）
A．1
B．2
C．3
D．6
14．如图，AB是⊙O的弦，C是AB上一点，且BC＝2AC，连OC并延长交⊙O于点D，若OC＝3，CD＝2，则O到AB的距离是（　　）
A．6
B．9﹣
C．
D．25﹣3
15．如图，武汉晴川桥可以近似地看作半径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为（　　）
A．50m
B．45m
C．40m
D．60m
二．填空题
16．在半径为2的⊙O中，弦AB＝2，AC＝2，则弦BC的长为　
　．
17．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，画出了一个过格点A，B的圆，则该圆的周长是　
　．
18．如图，E是⊙O的直径AB上一点，AB＝10，BE＝2，过点E作弦CD⊥AB，P是上一动点，连接DP，过点A作AQ⊥PD，垂足为Q，则OQ的最小值为　
　．
19．如图，在⊙O中，AB为直径，弦CD⊥AB，垂足为E，CD＝8，BE＝2，则⊙O的半径为　
　．
20．如图，AB是圆O的弦，半径OC⊥AB于点D，且OC＝5cm，DC＝2cm，则AB＝　
　．
21．如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C，AE为直径，AB＝8，CD＝2，则线段CE的长为　
　．
22．已知⊙O的半径为13，弦AB＝24，CD＝10，且AB∥CD，则弦AB与CD之间的距离为　
　．
23．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为　
　m．
24．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝12cm，则球的半径为　
　cm．
25．水平放置的一个油管的截面半径是10厘米，其中有油部分的油面宽为16厘米，则截面上有油的部分油面高度为　
　厘米．
三．解答题
26．已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是多少？请画图并计算．
27．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE＝1cm，⊙O的半径为3cm，∠DEB＝60°，求CD的长．
28．如图，点P是⊙O内一定点．
（1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若⊙O的半径为13，OP＝5，
①求过点P的弦的长度m范围；
②过点P的弦中，长度为整数的弦有　
　条．
参考答案
一．选择题
1．解：过点P作PD⊥MN，连接PM，如图所示：
∵⊙P与y轴交于M（0，﹣4），N（0，﹣10）两点，
∴OM＝4，ON＝10，
∴MN＝6，
∵PD⊥MN，
∴DM＝DN＝MN＝3，
∴OD＝7，
∵点P的横坐标为﹣4，即PD＝4，
∴PM＝＝＝5，
即⊙P的半径为5，
故选：C．
2．解：连接OC，如图所示：
∵CD⊥AB，
∴CE＝CD＝6，
设⊙O的半径为x，则OE＝x﹣2，
在Rt△OEC中，由勾股定理得：（x﹣2）2+62＝x2
解得：x＝10，
即⊙O的半径为10，
故选：B．
3．解：如图，延长CD交⊙O
于P，延长CE交⊙O于T，连接PT．
∵OA⊥PC，OB⊥CT，
∴CD＝DP，CE＝TE，
∴DE＝PT，
∴当PT是直径时，DE的长最大，
连接OC，
∵OP＝OC＝OT，OD⊥PC，OE⊥CT，
∴∠COD＝∠POA，∠COB＝∠BOT，
∴∠AOB＝∠COA+∠COB＝∠POT＝90°，
故选：B．
4．解：连接OA，如图：
∵AB＝16cm，OC⊥AB，
∴AC＝AB＝8cm，
在Rt△OAC中，OC＝＝＝6（cm），
故选：B．
5．解：∵AB＝10，OC：OB＝3：5，
∴OC＝3，
在Rt△OCD中，CD＝＝＝4，
∵DE⊥AB，
∴DE＝2CD＝8，
故选：D．
6．解：①∵能够完全重合的弧是等弧，
∴①不正确；
②∵垂直于弦的直径平分弦，
∴②正确；
③∵圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，
∴③不正确；
④∵平分弦（不是直径）的直径也必平分弦所对的两条弧，
∴④不正确
⑤∵弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦且过圆心，
∴⑤正确；
不正确的个数有3个，
故选：C．
7．解：过点O作OC⊥AB于C，连接OA，
∴AC＝AB＝×16＝8，
∵⊙O的半径r＝10，
∴OA＝10，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：OC＝＝＝6，
由垂线段最短得：当P与C重合时，OP最短＝OC＝6，
故选：C．
8．解：连接OC，如图，
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝CD＝2，
在Rt△OCE中，∵OC＝3，CE＝2，
∴OE＝＝，
∴AE＝OA+OE＝3+．
故选：B．
9．解：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CH＝CD＝12，
在Rt△OCH中，OH＝＝＝5，
故选：C．
10．解：∵OC⊥AB于C，
∴AC＝CB，
∵AB＝8，
∴AC＝CB＝4，
在Rt△AOC中，OC＝3，
根据勾股定理，
OA＝＝5．
故选：B．
11．解：如图所示：
由题意得：OE⊥AB，OE＝3，
∴AE＝AB＝4．
在Rt△AOE中，AE＝4，OE＝3，
根据勾股定理得到OA＝＝5，
则⊙O的面积＝π×52＝25π，
故选：C．
12．解：过P作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，如图：
∵⊙P的圆心坐标是（﹣3，a），
∴OC＝3，PC＝a，
把x＝3代入y＝﹣x得：y＝﹣3，
∴D点坐标为（3，﹣3），
∴CD＝OC＝3，
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴∠CDO＝45°，
∵PE⊥AB，
∴△PED为等腰直角三角形，AE＝BE＝AB＝×4＝2，
在Rt△PBE中，PB＝3，
∴PE＝＝1，
∴PD＝PE＝，
∴PC＝CD+PD＝3+，
即a＝3+，
故选：B．
13．解：∵半径OC⊥AB于D，AB＝6，
∴BD＝AB＝3，
故选：C．
14．解：延长DO交圆于点E，作OF⊥AB于点F，连接OB，如图所示：
则OE＝OC+CD＝5，CE＝8，
∵DC?CE＝AC?BC，
∴2×8＝AC?2AC，
解得：AC＝2（负值已舍去），
则AB＝3AC＝6，
∵OF⊥AB，
∴BF＝AB＝3，
在直角△OBF中，OF＝＝＝，
即O到AB的距离是，
故选：C．
15．解：设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交于D，连接OA，如图所示：
则OA＝OD＝250，AC＝BC＝AB＝150，
∴OC＝＝＝200，
∴CD＝OD﹣OC＝250﹣200＝50（m），
即这些钢索中最长的一根为50m，
故选：A．
二．填空题
16．解：分两种情况：
①如图1所示：作OE⊥AC于E，连接OA、OB，
则AE＝CE＝AC＝，
∴OE＝＝＝1＝OA，
∴∠OAE＝30°，
∵OA＝OB＝2，AB＝2，
∴OA＝OB＝AB，
∴∠OAB＝60°，
∴∠BAC＝90°，
∴BC是⊙O的直径，
∴BC＝2OA＝4；
②如图2所示：作OE⊥AC于E，连接OA、OB，
同①得：∠OAE＝30°，
∵OA＝OB＝AB，
∴∠AOB＝60°，
∴∠BAC＝30°，∠ACB＝∠AOB＝30°，
∴∠BAC＝∠C，
∴BC＝AB＝2；
故答案为：4或2．
17．解：由垂径定理的推论可知，点O是过格点A，B的圆的圆心，连接OA，
由勾股定理得，OA＝＝，
∴该圆的周长＝2×π×＝2π，
故答案为：2π．
18．解：∵AQ⊥PD，垂足为Q，
∴∠AQD＝90°，
∴点Q在以AD为直径的圆上，
连接AD，以AD为直径作⊙M，如图，
连接MO并延长交⊙M于Q′，
当Q点运动到Q′时，OQ的值最小，
连接OD，
在Rt△ODE中，∵OD＝5，OE＝5﹣2＝3，
∴DE＝＝4，
在Rt△ADE中，AD＝＝4，
∴MA＝MQ′＝2，
在Rt△AOM中，OM＝＝，
∴OQ′＝MQ′﹣OM＝2﹣＝，
∴OQ的最小值为．
故答案为．
19．解：连接OC，如图所示：
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝CD＝4，
设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣2，OC＝r，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：42+（r﹣2）2＝r2，
解得：r＝5，
即⊙O的半径为5．
故答案为：5．
20．解：连接OA，如图所示：
∵半径OC⊥AB，
∴∠ODA＝90°，AD＝BD＝AB，
∵OD＝OC﹣CD＝3，OA＝OC＝5cm，
∴AD＝＝＝4（cm），
∴AB＝2AD＝8cm，
故答案为：8cm．
21．解：连接BE，如图所示：
∵OD⊥AB，AB＝8，
∴AC＝AB＝4，
设⊙O的半径OA＝r，
∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：r2＝（r﹣2）2+42，
解得：r＝5，
∴AE＝2r＝10；
∵OD＝5，CD＝2，
∴OC＝3，
∵AE是直径，
∴∠ABE＝90°，
∵OC是△ABE的中位线，
∴BE＝2OC＝6，
在Rt△CBE中，CE＝＝＝2，
故答案为：2．
22．解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，
∵AB＝24，CD＝10，
∴AE＝12，CF＝5，
∵OA＝OC＝13，
∴EO＝5，OF＝12，
∴EF＝12﹣5＝7；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，
∵AB＝24，CD＝10，
∴AE＝12，CF＝5，
∵OA＝OC＝13，
∴EO＝5，OF＝12，
∴EF＝OF+OE＝17．
∴AB与CD之间的距离为7或17．
故答案为7或17．
23．解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，
∴AE＝BE＝AB＝×8＝4，
在Rt△AEO中，OE＝＝＝3，
∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m），
答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．
24．解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN＝CD＝12，
设OF＝xcm，则ON＝OF，
∴OM＝MN﹣ON＝12﹣x，MF＝6，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2
即：（12﹣x）2+62＝x2
解得：x＝7.5，
故答案为：7.5．
25．解：连接OA，OB，过O作OD⊥AB交AB于C，
∴AC＝BC
∵OA＝10，CA＝AB＝8，
∴OC＝＝6，
∴CD＝OD﹣OC＝10﹣6＝4，或10+6＝16，
故答案为：4或16．
三．解答题
26．解：有两种情况：①圆心O在弦AB和CD的同旁，如图，连接OC、OA，
过O作OE⊥AB于E，且直线OE交CD于F，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∴∠OFC＝90°，∠OEA＝90°，
∵OE⊥AB，OE过O，AB＝16cm，
∴AE＝BE＝8cm，
推理CF＝DF＝6cm，
由勾股定理得：OE＝＝＝6（cm），
OF＝＝＝8（cm），
∴EF＝OF﹣OE＝2cm；
②圆心O在弦AB和弦CD之间，如图，
此时EF＝OE+OF＝14cm，
所以弦AB和CD之间的距离是2cm或14cm．
27．解：作OP⊥CD于P，连接OD，如图所示：
则CP＝PD＝CD，
∵AE＝1cm，⊙O的半径为3cm，
∴OE＝OA﹣AE＝2cm，
在Rt△OPE中，∠DEB＝60°，
∴∠POE＝30°，
∴PE＝OE＝1cm，OP＝PE＝cm，
∴PD＝＝＝（cm），
∴CD＝2PD＝2cm．
28．解：（1）如图1，连接OP并延长，过点P作AB⊥OP，
则弦AB即为所求；
（2）①过点P的所有弦中，直径最长为26，与OP垂直的弦最短，
连接OA，如图2所示：
∵OP⊥AB，
∴AP＝BP＝＝＝12，
∴AB＝2AP＝24，
∴过点P的弦的长度m范围为24≤m≤26；
②∵过P点最长的弦为直径26，最短的弦24，
∴长度为25的弦有两条，
∴过点P的弦中，长度为整数的弦共有4条，
故答案为：4．