北师大版八年级上册数学 7.5三角形内角和定理 同步测试（Word版 含解析）

7.5三角形内角和定理 同步测试
一．选择题
1．下列条件中，能确定三角形是直角三角形的是（　　）
A．∠A＝∠B＝∠C B．∠A+∠B＝∠C
C．∠A＝∠B＝30° D．
2．如图，△ABC的两条内角平分线BE、CD相交于点F，∠A＝62°，则∠BFC的度数是（　　）
A．59° B．118° C．121° D．124°
3．如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（　　）
A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A+∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D
4．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝108°，则∠DAC的度数为（　　）
A．80° B．82° C．84° D．86°
5．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD与∠ACB的外角平分线CD相交于点D，∠D＝30°，则∠A等于（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
6．如图，在三角形ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝24°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，其角平分线相交于D，则∠BDC＝（　　）
A．141° B．142° C．143° D．145°
7．已知直线a∥b，Rt△DCB按如图所示的方式放置，点C在直线b上，∠DCB＝90°，若∠B＝20°，则∠1+∠2的度数为（　　）
A．90° B．70° C．60° D．45°
8．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A’，若∠B＝60°，∠C＝80°，则∠1+∠2等于（　　）
A．40° B．60° C．80° D．140°
9．如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是两内角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数之和为（　　）
A．115° B．120° C．125° D．130°
10．如图，BD、BE分别是△ABC的高线和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠F＝（∠BAC﹣∠C）；②∠BEF＝（∠BAF+∠C）； ③∠FGD＝2∠ABE+∠C；④∠DBE＝∠F．其中正确的个数是（　　）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
二．填空题
11．在△ABC中，若∠A﹣∠C＝∠B，则这个三角形最大内角的度数是　 　．
12．如图所示的折线图形中，α+β＝　 　．
13．如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，AD⊥BC于D点，AE平分∠BAC交BC于点E．若∠C＝30°，则∠DAE的度数为　 　．
14．已知，AD是△ABC的角平分线，MN⊥AD于点D，分别交AB、射线AC于点M、N，∠MDB＝10°，则∠ACB﹣∠ABC＝　 　°．
15．如图1，△ABC中，有一块直角三角板PMN放置在△ABC上（P点在△ABC内），使三角板PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点B和点C．
（1）若∠A＝52°，则∠1+∠2＝　 　°；
（2）如图2，改变直角三角板PMN的位置；使P点在△ABC外，三角板PMN的两条直角边PM、PN仍然分别经过点B和点C，∠1，∠2与∠A的关系是　 　．
三．解答题
16．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，∠B＝70°，∠BAC＝46°．求∠CAD的度数．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AP平分∠BAC交BD于点P，∠BDC＝58°，求∠BAP的度数．
18．小亮在学习中遇到这样一个问题：
如图1，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于D．
猜想∠B、∠C、∠EAD的数量关系，说明理由．
（1）小亮阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路．于是尝试带入∠B、∠C的值求∠EAD值，得到下面几组对应值：
∠B/度 10 30 30 20 20
∠C/度 70 70 60 60 80
∠EAD/度 30 20 15 a 30
上表中a＝　 　．
（2）猜想∠B、∠C、∠EAD的数量关系，说明理由．
（3）小亮突发奇想，交换B、C两个字母位置，如图2，过EA的延长线是一点F作FD⊥BC交CB的延长线于D，当∠B＝80°、∠C＝20°时，∠F度数为　 　°．
参考答案
一．选择题
1．解：A、由∠A＝∠B＝∠C，可知△ABC是等边三角形，本选项不符合题意．
B、由∠A+∠B＝∠C，推出∠C＝90°，本选项符合题意．
C、由∠A＝∠B＝30°，推出∠C＝120°，△ABC是钝角三角形，本选项不符合题意．
D、由∠A＝∠B＝∠C，推出∠C＝（）°＞90°，本选项不符合题意．
故选：B．
2．解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣62°＝118°，
∵∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，
∴∠FBC＝∠ABC，∠FCB＝∠ACB，
∴∠FBC+∠FCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×118°＝59°，
在△BCF中，∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝180°﹣59°＝121°．
故选：C．
3．解：∵∠A+∠AOD+∠D＝180°，∠C+∠COB+∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，
∴∠B＝∠D，
∵∠1＝∠2＝∠A+∠D，
∴∠2＞∠D，
故选项A，B，C正确，
故选：D．
4．解：设∠1＝∠2＝x，
∵∠4＝∠3＝∠1+∠2＝2x，
∴∠DAC＝180°﹣4x，
∵∠BAC＝108°，
∴x+180°﹣4x＝108°，
∴x＝24°，
∴∠DAC＝180°﹣4×24°＝84°．
故选：C．
5．解：设点E在BC的延长线上，AC与BD交于点F，如图所示.
∵∠DCE＝∠DBC+∠D，CD平分∠ACE，
∴∠ACD＝∠DCE＝∠DBC+∠D．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠DBC．
又∵∠ABF+∠A+∠AFB＝180°，∠DCF+∠D+∠CFD＝180°，∠AFB＝∠CFD，
∴∠ABF+∠A＝∠DCF+∠D，即∠ABF+∠A＝∠DBC+∠D+∠D，
∴∠A＝2∠D＝2×30°＝60°．
故选：B．
6．解：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝×50°＝25°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB＝∠ACB＝×24°＝12°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB
＝180°﹣25°﹣12°
＝143°．
故选：C．
7．解：如图，延长BD交直线b于点M．
∵∠DCB＝90°，∠B＝20°，
∴∠BDC＝90°﹣20°＝70°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠BMC，
∵∠BDC＝∠DMC+∠2＝∠1+∠2，
∴∠1+∠2＝70°，
故选：B．
8．解：连接AA′．
∵∠B＝60°，∠C＝80°，
∴∠A＝40°
∵∠1＝∠EA′A+∠EAA′，∠2＝∠DA′A+∠DAA′，∠BCA＝∠EA′D，
∴∠1+∠2＝∠EA′A+∠EAA′+∠DA′A+∠DAA′＝∠EAD+∠EA′D＝2∠EAD＝80°，
故选：C．
9．解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°
∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
又∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°，
∵AE、BF是角平分线，
∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°，
∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°，
∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°，
∴∠DAE+∠BOA＝5°+120°＝125°．
故选：C．
10．解：∵BD⊥FD，
∴∠FGD+∠F＝90°，
∵FH⊥BE，
∴∠BGH+∠DBE＝90°，
∵∠FGD＝∠BGH，
∴∠DBE＝∠F，故④正确；
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∠BEF＝∠CBE+∠C，
∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C，
∠BAF＝∠ABC+∠C，
∴2∠BEF＝∠BAF+∠C，即∠BEF＝（∠BAF+∠C），故②正确；
∵∠AEB＝∠EBC+∠C，
∵∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE+∠C，
∵BD⊥FC，FH⊥BE，
∴∠FGD＝∠FEB，
∴∠FGD＝∠CBE+∠C＝∠ABE+∠C，故③错误，
∵∠ABD＝90°﹣∠BAC，∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，∠CBD＝90°﹣∠C，
∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，
∵∠DBE＝∠F，
∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，
∴∠F＝（∠BAC﹣∠C）；故①正确；
故选：A．
二．填空题
11．解：∵∠A﹣∠C＝∠B，
∴∠A＝∠C+∠B，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝90°，
即这个三角形最大内角的度数是90°，
故答案为：90°．
12．解：如图，连接BC．
在△EBC中，∠1+∠2＝180°﹣∠E＝140°，
在四边形ABCD中，∠A+∠ABC+∠BCD+∠D＝360°，
∴70°+α+∠1+∠2+β+65°＝360°，
∴α+β＝360°﹣70°﹣65°﹣140°＝85°，
故答案为85°．
13．解：∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAC＝×100°＝50°，
∵∠C＝30°，
∴∠AED＝∠C+∠EAC＝30°+50°＝80°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE＝90°，
∴∠DAE＝90°﹣80°＝10°，
故答案为：10°．
14．解：∵AD是△ABC的角平分线，MN⊥AD于点D，
∴AM＝AN．
∴∠AMN＝∠AND．
∵∠MDB＝∠CDN＝10°，
∵∠ACB＝∠AND+∠CDN，
∠ABC＝∠AMN﹣∠MDB，
∴∠ACB﹣∠ABC
＝∠AND+∠CDN﹣∠AMN+∠MDB
＝∠CDN+∠MDB
＝20°．
故答案为：20．
15．解：（1）∵∠A＝52°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣52°＝128°，
∵∠P＝90°，
∴∠PBC+∠PCB＝90°，
∴∠ABP+∠ACP＝128°﹣90°＝38°，
即∠1+∠2＝38°．
故答案为：38；
（2）∠2﹣∠1＝90°﹣∠A．理由如下：
在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵∠MPN＝90°，
∴∠PBC+∠PCB＝90°，
∴（∠ABC+∠ACB）﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣∠A﹣90°，
即∠ABC+∠ACP+∠PCB﹣∠ABP﹣∠ABC﹣∠PCB＝90°﹣∠A，
∴∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A．
即∠2﹣∠1＝90°﹣∠A；
故答案为：∠2﹣∠1＝90°﹣∠A．
三．解答题
16．解：∵AD⊥BC，
∴∠BDA＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝20°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD
＝46°﹣20°＝26°．
17．解：∵∠BDC＝58°，∠C＝90°，
∴∠DBC＝90°﹣∠BDC＝32°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝32°，
∴∠ABC＝2∠ABD＝64°，
∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝26°，
∵PA平分∠BAC，
∴∠BAP＝∠CAB＝13°．
18．解：（1）a＝20，
故答案为20．
（2）猜想：∠EAD＝（∠C﹣∠B）．
理由：∵AD⊥BC，
∴∠DAC＝90°﹣∠C，
∵AE平分∠BAC，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，
∴∠EAC＝∠BAC＝90°﹣∠B﹣∠C，
∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝90°﹣∠B﹣∠C﹣（90°﹣∠C）＝（∠C﹣∠B）．
（3）如图2中，过点A作AH⊥CD于H．
∵AH⊥CD，FD⊥CD，
∴AH∥DF，
∴∠F＝∠EAH＝（∠B﹣∠C）＝（80°﹣20°）＝30°．
故答案为30．