27.2.1相似三角形的判定（第1课时）
自主预习
1.
在△ABC和△A′B′C′中，若∠A=∠A′,∠B=∠B′,
∠C=∠C′,
，
则△ABC∽△A′B′C′，若AC=3
A′C′,
则△ABC与△A′B′C′的相似比是
，
△A′B′C′与△ABC的相似比是
，
2．如图，直线l1∥l2∥l3.直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F，已知＝，则=
,
=
,
＝
.
2题图
3题图
4题图
3．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD＝2AD，则(
)
A
.
＝
B．＝
C.
＝
D．＝
4．如图，若△ADE∽△ACB，且＝，DE＝10，则CB＝
.
5．如图，已知直线l1∥l2∥l3，AB＝3，BC＝5，DF＝16，求DE和EF的长．
5题图
互动训练
知识点一：平行线分线段成比例
1．如图，AD∥BE∥CF，直线a，b与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB=2，AC=6，DE=1.5，则DF的长为（
）
A．7.5
B．6
C．4.5
D．3
1题图
2题图
3题图
2．如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图，在△ABC中，DE∥BC，下列各式不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．如图，在△ABC中，D是AB边上一点，DE∥BC，DF∥AC，下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
4题图
5题图
5．如图，在△ABC中，点D在边BC上，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图，在6×6的菱形网格中，连结两网格线上的点A，B，线段AB与网格线的交点为M，N，则AM︰MN︰NB为（
）
A．3︰5︰4
B．1︰3︰2
C．1︰4︰2
D．3︰6︰5
6题图
7题图
7.
如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，且AE︰ED=1︰2，BE的延长线交AC于F，则AF︰FC=（
）
A．1︰2
B．1︰3
C．1︰4
D．1︰5
8．如图，已知AB∥MN，BC∥NG，求证：＝.
8题图
9．如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，联结AE并延长交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F，．
（1）若BD=20，求BG的长；
（2）求的值．
9题图
10．已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．
求证：CF2=GF·EF．
10题图
知识点二：平行于三角形一边的直线所截三角形与原三角形相似
11．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形的对数是(
)
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
11题图
12题图
13题图
12.如图,过梯形ABCD对角线AC、BD的交点O作EF∥AD,
分别交两腰AB、DC于E、F两点，则图中的相似三角形共有(
)
A.7对
B.6对
C.5对
D.4对
13.
如图,
正方形ABCD内接于等腰三角形PQR，则PA∶PQ等于(
)
A.1∶
B.1∶2
C.1∶3
D.2∶3
14．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF∶FC等于(
D)
A．3∶2
B．3∶1
C．1∶1
D．1∶2
14题图
15题图
16题图
15．如图，在△ABC中，DE∥BC，且AD＝2，DB＝3，则＝
．
16.
如图，AB、CD相交于点O，OC＝2，OD＝3，AC∥BD.
EF是△ODB的中位线，且EF＝2，则AC的长为
．
17．如图，在平行四边形ABCD中，E为AB延长线上一点，AB＝3BE，DE与BC相交于点F，请找出图中各对相似三角形及其相似比．
17题图
18．已知△OAC∽△OBD，且OA＝4，AC＝2，OB＝2，∠C＝∠D，求：
(1)△OAC与△OBD的相似比；
(2)BD的长．
18题图
19．如图，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F.
若AD＝1，BD＝2，BC＝4，求EF.
19题图
20．小明正在攀登一个如图所示的攀登架，DE和BC是两根互相平行的固定架，DE＝10
m，BC＝18
m，小明从底部固定点B开始攀登，攀行8米，遇上第二个固定点D，小明再攀行多少米可到达这个攀登架的顶部A?
20题图
课时达标
1．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC边上，DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
1题图
2题图
3题图
2.
如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连结CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论中错误的是
(
)
A．∠AEF=∠DEC
B．AB=DC
C．FA︰AB=FE︰EC
D．FA︰CD=AE︰BC
3．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=9，DB=3，CE=2，则AC的长为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
4．如图，在平行四边形ABCD中，AB=12，AD=8，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点E，CG⊥BE，垂足为G，若EF=2，则线段CG的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
4题图
5题图
6题图
5．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=，点D是CB延长线上一点，过AB的中点E作CD的平行线，过点D作AC的平行线，两线相交于点F，则DF的长为(
)
A．
B．4
C．3
D．
6．如图所示，△ADE∽△ACB，∠AED＝∠B，那么下列比例式成立的是(
)
A
.
＝＝
B
.
＝
C.
＝＝
D
.
＝
7．如图，AB∥CD∥EF．若AD︰AF=3︰5，BC=6，则CE的长为_________．
7题图
8题图
8．如图，l1//l2//l3，直线a、b与l1、l2、l3分别交于点A、B、C和点D、E、F，若BC＝2AB，AD＝2，CF＝6，则BE的长为_____．
9.
如图,在△ABC中,
DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于D、E,若AD=4,
DB=2，
求DE︰BC的值.
9题图
10.
如图，小明从路灯下向前走了5米，发现自己在地面上的影子长DE是2米，如果小明的身高为1.6米，那么路灯离地面的高度AB为多少米？
10题图
11．如右图，△ABC中，DG∥EC，EG∥BC．求证：AE2
=AB·AD
11题图
12．如图，延长正方形ABCD的一边CB至点E，ED与AB相交于点F，过点F作FG∥BE交AE于点G，求证：GF＝FB.
12题图
13．如图，AD∥EG∥BC，EG分别交AB，DB，AC于点E，F，G，已知AD＝6，BC＝10，AE＝3，AB＝5，求EG，FG的长．
13题图
拓展探究
1．如图，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，连接DE，线段BE、CD相交于点O，
（1）求和的值？
（2）若连结AO并延长交BC于F点，那么的值是多少？
1题图
2．如图，在△ABC中，DE分别是BC、AC边上的两点，AD、BE相交于点G，
已知AG∶GD＝4∶1，BD∶DC＝2∶3，求AE∶EC的值？
2题图
27.2.1相似三角形的判定（第1课时）答案
自主预习
1.
3,
2.,
,
2.
3.
B.
4.
15.
解析：∵△ADE∽△ACB，＝，∴,即,
BC=15.
5.
解：∵直线l1∥l2∥l3，∴,即,
∴DE=6,
EF=DF-DE=16-6=10.
∴DE=6,
EF=10.
互动训练
1.
C.
解析：∵AD∥BE∥CF，∴.
又∵AB=2，AC=6，DE=1.5，∴DF=.
故选C.
2.
A.
解析：∵DE//AB，∴∴的值为．故答案为A．
3.
C.
解析：∵,∴，，即，，
∴选项A、B、D均正确，故选：C．
4.
C.
解析：A.由已知有，所以错误；B.由已知有，所以错误；
C.由已知有，所以正确；D.由已知有，所以错误．故选C．
5.
A.
解析：∵GE∥BD，∴
∵GF∥AC，∴
∴，
∴A选项正确；
∵GE∥BD，∴∵GF∥AC，∴∴，B选项错误；
∵GE∥BD，∴∵GF∥AC，∴∴，C选项错误；
∵GE∥BD，∴，D选项错误故选：A
6.
B.
解析：如图，∵AE∥MF∥NG∥BH，
∴AM︰MN︰BN=EF︰FG︰GH=1︰3︰2,故选：B．
6题图
7题图
7.
C.
解析：作DH∥BF交AC于H，∵AD是△ABC的中线，
∴FH=HC，∵DH∥BF，∴，∴AF︰FC=1︰4，故选：C．
8．证明：∵AB∥MN，∴＝.
又∵BC∥NG，∴＝，∴＝.
9.
解：（1）∵GF∥BC，∴，∵BD=20，，∴BG=8；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，
∴，∴，∴，∴.
10.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD．
∴，∴，即CF2=GF·EF．
11.
C.
解析：△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，△ADE∽△EFC.
共有3对，
故选C.
12.
C.
解析：△ADB∽△EOB,
△ABC∽△AEO,
△ADC∽△OFC,
△DBC∽△DOF,
△AOD∽△CDB.
共有5对，故选C.
13.
C.
解析：∵
△PAD∽△PQR，
∴.
又∵QR=QB+BC+CR=3AD,
∴C正确.
答案：C
14.
D.
解析：在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，∴AD=2DE,
又AD=BC,
∴BC=2DE,
又∵AD∥BC,
∴△DEF∽△BCF,∴
EF∶FC=DE∶BC=1︰2.
故选D.
15.
.
解析：在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，DB＝3，∴AD︰AB=2︰5,
又∵△ADE∽△ABC,
∴DE︰BC=AD︰AB=2︰5.
16.
.
解析：∵EF是△ODB的中位线，EF＝2，∴BD=2EF=4,
∵AC∥BD,
∴△AOC∽△BOD,
∴AC︰BD=OC︰OD,
即AC︰4=2︰3,
∴AC=.
17.
解：根据平行四边形性质得出DC∥AB，AD∥BC，
由DC∥AB，得△DFC∽△EFB.
由AB＝3BE，AB＝CD，得＝.
由AD∥BC，得△BFE∽△ADE，△DFC∽△EDA.
由AB＝3BE，得＝.
18.
解：(1)∵△OAC∽△OBD，∠C＝∠D，
∴线段OA与线段OB是对应边．
∴△OAC与△OBD的相似比为＝＝.
(2)∵△OAC∽△OBD，∴＝.
∴BD＝＝＝1.
19.
解：∵DE∥BC，∴∠DFB=∠FBC，
∵BF平分∠ABC，∴∠DBF=∠FBC，
∴∠DFB=∠DBF，∴DF=DB=2，
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC,
∴DE︰BC=AD︰AB,
∴DE︰4=1︰3,
∴DE=,
∴EF=DF-DE=2-=.
20.
解：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE.
∴＝，即＝.
∴AD＝10.
答：小明再攀行10米可到达这个攀登架的顶部A.
课时达标
1.
D.
解析：A．∵EF//AB，∴，∴，故本选项正确；
B．∵EF//AB，∴，故本选项正确；
C．∵DE//BC，∴，∵EF//AB，∴DE=BF，∴，∴，
故本选项正确；
D．∵EF//AB，∴，∵CF≠DE，∴，故本选项错误；故选：D．
2.
D.
解析：∵DC∥AB，∴△DCE∽△AFE．∴，故结论D错误．
∵AE∥BC，∴，即FA︰AB=FE︰EC，故结论C正确，
而A、B正确，∴应选D．
3.
C.
解析：∵DE∥BC，∴，即，∴AE=6，
∴AC=AE+EC=6+2=8．故选C．
4.
C.
解析：∵∠ABC的平分线交CD于点F，∴∠ABE=∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，
∴∠CBE=∠CFB=∠ABE=∠E，∴CF=BC=AD=8，AE=AB=12，
∵AD=8，∴DE=4，∵DC∥AB，∴，∴，∴EB=6，
∵CF=CB，CG⊥BF，∴BG=BF=2，在Rt△BCG中，BC=8，BG=2，
根据勾股定理得，CG===，故选C．
5.
C.
解析：如图
延长FE与AC交于点M，
5题图
∵FE∥BC，∴EM∥BC，又∵E点为AB的中点，∴
∵∠A=90°，AB=AC，BC=∴
∴AB=AC=6，∴，
∵DF∥AC，FM∥CD，∴四边形FDCM为平行四边形，
∴FD=MC=3，故答案为C.
6.
A.
解析：相似三角形的对应边成比例，注意这里的“对应”，只有A正确.
7.
4.
解析：如图，连接AE交中间的直线于点G，
根据平行线分线段成比例的定理，有，则，解得BE=10，
∴．故答案是：4．
7题图
8题图
8.
．解析：如图所示，过A作DF的平行线，交BE于G，交CF于H，
则AD＝GE＝HF＝2，CH＝6﹣2＝4，
∵BG//CH，∴＝，即＝，∴BG＝，
∴BE＝BG+GE＝+2＝，故答案为：．
9.
解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∴
10.
解:∵DC∥AB，
∴△DCE∽△ABE，
∴，
∴，
∴AB=5.6，
答:路灯离地面的高度为5.6米.
11.
证明：∵DG∥EC，∴
∵EG∥BC，∴，∴，
∴AE2
=AB·AD
12.
证明：∵GF∥AD，∴＝.
又FB∥DC，∴＝.
又AD＝DC，∴＝.
∴GF＝FB.
13.
解：∵在△ABC中，EG∥BC，
∴
△AEG∽△ABC.
∴＝.
∴＝.∴EG＝6.
∵在△BAD中，EF∥AD，
∴
△BEF∽△BAD.
∴＝.
∴＝.
∴EF＝.
∴FG＝EG－EF＝.
拓展探究
1.
解：（1）∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC,
DE=BC.
∴△DOE∽△BOC,
∴===
（2）根据（1）中的证明可知，=
2.
解：过点D作DF∥BE交AC于点F.
∵AG∶GD＝4∶1，BD∶DC＝2∶3，
∴AG∶GD
=
AE∶EF=4∶1，
BD∶DC＝EF∶FC＝2∶3，
∴AE∶EF=4∶1，EF∶FC＝2∶3，
∴AE∶EF∶FC＝8∶2∶3，
∴AE∶EC＝8∶5.
2题图27.2.1相似三角形的判定（第2课时）
自主预习
1.全等三角形的判定方法有哪些？
2.
如图所示，在△ABC中，DE∥FG∥BC，图中共有相似三角形（
）
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
2题图
3题图
3.
如图，已知△ABC和△DEF中，
（1）当＝
＝
时，△ABC∽△DEF.
（2）当∠A＝
且＝
时，△ABC∽△DEF.
4．一个三角形三边的长分别为6
cm，9
cm，7．5
cm，另一个三角形三边长分别为8
cm，12
cm，10
cm，这两个三角形相似吗?为什么?
5．一个直角三角形两条直角边的长分别为6
cm，4
cm，另一个直角三角形两条直角边的长分别为9
cm，6
cm，这两个直角三角形是否相似?为什么?
互动训练
知识点一：三边对应成比例的两个三角形相似
1．将一个三角形的各边长都缩小后，得到的三角形与原三角形(
)
A．一定相似
B．一定不相似
C．不一定相似
D．无法确定
2．如图，△ABC与△DEF相似，且AB=3.6，BC=6，AC=8，EF=2，则DE的长度为（
）
A．1.2
B．1.8
C．3
D．7.2
2题图
3．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（
）
①
②
③
④
A.
①和②
B.
②和③
C.
①和③
D.
②和④
4．若△ABC各边分别为AB＝10
cm，BC＝8
cm，AC＝6
cm，△DEF的两边为DE＝5
cm，EF＝4
cm，则当DF＝
cm时，△ABC∽△DEF.
5．试判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
5题图
6．如图，AB∥DE，AC∥DF，BC∥EF，求证：△DEF∽△ABC.
6题图
7．在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点.以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.如图，请你在4×4的方格纸中，画一个格点三角形A1B1C1，使△A1B1C1与格点三角形ABC相似(相似比不为1).
7题图
知识点二：两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似
8．在△ABC和△A′B′C′中，下列能判定△ABC∽△A′B′C′的条件是(
)
A.
＝
B.
＝且∠A＝∠A′
C.
＝且∠B＝∠C′
D.
＝且∠B＝∠B′
9．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的(
)
A.
＝
B．＝
C.＝
D．＝
9题图
10题图
11题图
10．如图，在△ABC中，点P在AB上，下列三个条件：
①AP∶AC＝AC∶AB；②AC2＝AP·AB；③AB·CP＝AP·CB.
其中能满足△APC和△ACB相似的条件有(
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．0个
11．如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为(
)
A．P1
B．P2
C．P3
D．P4
12．如图，AB与CD相交于点O，OA＝3，OB＝5，OD＝6，当OC＝
时，△AOC∽△BOD.
12题图
13题图
13．如图，点C、D在线段AB上，∠A＝∠B，AE＝3，AD＝2，BC＝3，BF＝4.5，DE＝5，求CF的长．
14．如图，正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，
求证：△ADQ∽△QCP.
14题图
15.
如图，在矩形ABCD中，AB∶BC=1∶2，点E在AD上，且ED=3AE．判断△ABC与△EAB是否相似，并说明理由．
15题图
课时达标
1.
下列判断中正确的是(
)
A.
全等三角形不一定是相似三角形
B.
不全等的三角形一定不是相似三角形
C.
不相似的三角形一定不全等
D.
相似三角形一定不是全等三角形
2．已知△ABC的三边长分别为、、
2,
△A′B′C′的两边长分别是1和,
如果△ABC与△A′B′C′
相似,
那么△A′B′C′
的第三边长应该是
(
)
A.?
B.?
C.?? D.?
3．如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． ?B． ?C． D．
4.
如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
4题图
5题图
5.
如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是
．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）
6.如图所示，在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，如果点C在x轴上(C与A不重合)，当点C的坐标为________或________时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似(至少找出两个满足条件的点的坐标).
6题图
7题图
7.如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB=__________.
8．网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A、B、C、D、E、F都是格点，
证明△ABC∽△DEF.
8题图
9.
如图，点B、C分别在△ADE的边AD、AE上，且AC=3，AB=2.5，EC=2，DB=3.5．
求证：△ABC∽△AED.
9题图
10．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F.
求证：(1)
△ACB∽△DCE；
(2)
EF⊥AB.
10题图
11．如图，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，AD·AC＝AE·AB.
求证：△AED∽△ACB.
11题图
12．如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形．
(1)△ACF与△ACG相似吗？说说你的理由.
(2)求∠1+∠2的度数.
12题图
13.
如图在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，且，求证：BD⊥CD．
13题图
拓展探究
1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，点P从点B出发以1个单位/s的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位/s的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为（ ）
A．s
B．s
C．s或s
D．以上均不对
1题图
2题图
2.在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，3）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…，按这样的规律进行下去，第2021个正方形的面积为（ ）
A．10×
B．10×
C．10×
D．10×
27.2.1相似三角形的判定（第2课时）答案
自主预习
1.有以下4种：SSS,
SAS,ASA,AAS，两个直角三角形可以用HL.
2.
C.
解析：∵△ADE∽△AFG，△ADE∽△ABC，△AFG∽△ABC，应选C.
3.
（1）=，（2）∠D,
.
4.
解：这两个三角形相似，∵.
根据三角形相似的判定方法知它们是相似的。
5.
解：这两个直角三角形是相似的．
（1）∵，而两直角是相等的．
∴这两个直角三角形相似．
（2）∵这两个直角三角的两条直角边分别为6
cm，4
cm和9cm，6cm，
∴它们的斜边分别为2
cm，3
cm
而，
∴这两个直角三角形相似
互动训练
1.
A.
解析：因为将一个三角形的各边长都缩小后，得到的三角形与原三角形的各边成比例，所以两个三角形一定相似，答案为：A.
2．A.
解析：∵△ABC∽△DEF，∴=，即=，
∴DE=1.2，
故选A.
3.
C.
解析：设每个正方形网格的边长为1，三角形各边的值分别为：
在图①中，，2，；
在图②中，，，3；
在图③中，2，2，2；在图④中，3，，4；
只有①和③的三边对应成比例，两个三角形相似，所以答案：C.
4.
3.
5.
解：相似．理由如下：
在Rt△ABC中，BC＝＝＝1.8，
在Rt△DEF中，DF＝＝＝4.8，
∴＝＝＝.
∴△ABC∽△DEF.
6.
证明：∵AB∥DE，∴△ODE∽△OAB.
∴＝.
∵BC∥EF，∴△OEF∽△OBC.
∴＝＝.
∵AC∥DF，∴△ODF∽△OAC.
∴＝.
∴＝＝.
∴△DEF∽△ABC
.
7.
解：如下图，
7题图
8.
B.
9.
C.
解析：注意∠BAC＝∠D，这两个角的夹边成比例，答案为：C.
10.
B.
解析：①AP∶AC＝AC∶AB；②AC2＝AP·AB；符合条件，答案为：B.
11.
C.
解析：因△ABC的两条直角边之比为2︰3，所以△EPD的两条直角边之比也是2︰3，而DE=4,
所以EP=6,
所以选P3点，故答案为：C.
12.
.
解析：∵AB与CD相交于点O,
∴∠AOC=∠BOD，
当时，△AOC∽△BOD.
即，
∴OC=
13.
解：∵＝＝，＝，∴＝.
又∵∠A＝∠B，∴△AED∽△BFC.
∴
＝.
∴
＝.
∴
CF＝.
14.
证明：设正方形的边长为4a，则AD＝CD＝BC＝4a.
∵Q是CD的中点，BP＝3PC，
∴DQ＝CQ＝2a，PC＝a.
∴＝＝.
又∵∠D＝∠C＝90°，
∴△ADQ∽△QCP.
15.解：△ABC∽△EAB.
理由如下.
∵AB∶BC=1∶2，
∴可设AB=k，BC=2k.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=k，BC=AD=2k，∠ABC=∠BAD=90°.
∵ED=3AE，∴AE=AD=k.
∴=2,
=2,
∴=,
又∵∠ABC=∠EAB=90°，
∴△ABC∽△EAB
.
课时达标
1.
C.
2.
A.
解析：根据三边对应成比例，可以确定，所以第三边是.
3.
B.
解析：已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、，只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．故选B．
4.
C．解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，
∴△AEF∽△CBF，△AEF∽△DEC，∴与△AEF相似的三角形有2个．
5.
AB∥DE（或AC∥DF或）.
解析：当AB∥DE或AC∥DF时，根据平行于三角形一边的直线，截得的三角形与原三角形相似，可知△ABC∽△DEF，
∵∠A=∠D，当时，△ABC∽△DEF.
6．（-1,0）；（1,0）.
7.
4.
解析：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B=∠D=90°，又∵AC⊥CE，∴∠BCA+∠DCE=90°，∴∠BCA=∠E,
∴△ABC∽△CDE.
∵C是线段BD的中点，ED=1，BD=4,
∴BC=CD=2
∴,
即AB=4.
8.
证明：∵AC＝，BC＝＝，AB＝4，
DF＝＝2，EF＝＝2，ED＝8，
∴＝＝＝.
∴△ABC∽△DEF
.
9.
证明：∵AC=3，AB=2.5，EC=2，DB=3.5．
∴AE=5，AD=6.
∴
,
,∴
又∵∠A=∠A，∴△ABC∽△AED.
10.
证明：（1）由图可知，AC=3,
BC=6,
DC=2,
CE=4,
∴AC︰DC=BC︰CE=3︰2,
又∵∠ACB=∠DCE,
∴△ACB∽△DCE；
（2）∵△ACB∽△DCE，∴∠B=∠E，
又∠BDF=∠EDC，∴∠BFD=∠ECD=90°,
∴
EF⊥AB.
11.
证明：由AD·AC＝AE·AB得，,
又∠DAE=∠BAC，∴△AED∽△ACB.
12.
解：（1）△ACF与△ACG相似.
∵CF︰AC=1︰,
AC︰CG=1︰,
∴CF︰AC=
AC︰CG,
又∠ACF=∠GCA，∴△ACF∽△ACG.
（2）∵△ACF∽△ACG，∴
∠CAF=∠1，∴∠1+∠2=∠ACB=45°.
13.证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，
又∵，∴△ABD∽△DCB，
∴∠A＝∠BDC，
∵∠A＝90°，∴∠BDC＝90°，∴BD⊥CD?．
拓展探究
1.
C.
解：设运动时间为t秒．BP＝t，CQ＝2t，BQ＝BC﹣CQ＝6﹣2t，
当△BAC∽△BPQ，＝，即＝，解得t＝；
当△BCA∽△BPQ，＝，即＝，解得t＝，
综上所述，当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，
运动时间为s或s，故选：C．
2.
B.
解析：∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，3），∴OA＝1，OD＝3，
∵∠AOD＝90°，∴AB＝AD＝＝，∠ODA+∠OAD＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，S正方形ABCD＝（）2＝10，
∴∠ABA1＝90°，∠OAD+∠BAA1＝90°，
∴∠ODA＝∠BAA1，∴△ABA1∽△DOA，
∴＝，即＝，∴BA1＝，
∴CA1＝+＝，
∴正方形A1B1C1C的面积＝（）2＝10×（）2，…，
第n个正方形的面积为10×（）2(n-1)
∴第2021个正方形的面积为10×（）2020；
故选：B．27.2.1相似三角形的判定（第3课时）
自主预习
1．在△ABC中，BC=15cm，CA=24cm，AB=36cm，另一个与之相似的三角形最长边为12cm，则最短边为
.
2．在△ABC中，AB=8，AC=6，点D在AC上，且AD=2，若要在AB上找一点E，使△ADE与原三角形相似，那么AE=
。
3.
有两角分别
的两个三角形相似．如图，已知△ABC和△DEF中，∠A＝
，∠B＝
，则△ABC∽△DEF.
3题图
4题图
4．已知△ABC中，∠A＝40°，∠B＝75°，下图各三角形中与△ABC相似的是
.
5．如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线EC，BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形
．(用相似符号连接)
5题图
6题图
7题图
6.
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，则与△ABC相似的三角形有：
.
(用相似符号连接)
7．已知如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D.
求证：△ABC∽△AED.
互动训练
知识点一：有两角对应相等的三角形相似
1．如图，E是平行四边形ABCD的边BC延长线上的一点，连接AE交CD于F，则图中共有相似三角形(
)
A.
1对
B.
2对
C.
3对
D.
4对
1题图
2题图
2．如图，在矩形ABCD中,E、F分别是CD、BC上的点,若∠AEF=90°，则一定有（
）
A.
△ADE∽△AEF
B.
△ECF∽△AEF
C.
△ADE∽△ECF
D.
△AEF∽△ABF
3．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，且∠DCE＝∠B.那么下列判断中，错误的是(
)
A．△ADE∽△ABC
B．△ADE∽△ACD
C．△DEC∽△CDB
D．△ADE∽△DCB
3题图
4题图
6题图
4．如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为(
)
A．2
B．4
C．6
D．8
5．在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′=85°，∠B=50°，∠C′=45°，则这两个三角形
(填“相似”或“不相似”)，根据是
．
6．如图，若∠B=∠DAC，则△ABC∽
,对应边的比例式是
.
7．如图，点B、D、C、F在一条直线上，且AB∥EF，AC∥DE，求证：△ABC∽△EFD.
7题图
8．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE＝∠D.
求证：△ABF∽△BEC.
8题图
9．如图，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.
(1)求证：△APQ∽△CDQ；
(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．当t为何值时，DP⊥AC?
9题图
知识点二：有斜边、直角边对应相等的两个直角三角形相似
10．如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有（
）
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
10题图
11题图
12题图
11．如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD=2OA=6，
AD︰AB=3︰1，则点C的坐标是（ ）
A．（2，7）
B．（3，7）
C．（3，8）
D．（4，8）
12．如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是
A．
B．
C．
D．
13．在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝12，AB＝15，A′C′＝8，则当A′B′＝
时，△ABC∽△A′B′C′.
14．一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为8
cm和15
cm，另一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别是6
cm和
cm，这两个直角三角形
(填“是”或“不是”)相似三角形．
15．一个直角三角形的两边长分别为3和6，另一个直角三角形的两边长分别为2和4，那么这两个直角三角形
(填“一定”“不一定”或“一定不”)相似．
16．如图所示，AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，求证：．
16题图
17．如图，在△ABC和△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，AC＝5，AB＝4，当BD的长是多少时，图中的两个直角三角形相似？
17题图
18.如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝3，CD＝8，BD＝10，一动点P从点B向右D运动，问当点P离点B多远时，△PAB与△PCD是相似三角形？
18题图
知识点三：相似三角形判定的综合应用
19．下列图形不一定相似的是（
）
A.有一个角是120°的两个等腰三角形
B.有一个角是60°的两个等腰三角形
C.两个等腰直角三角形
D.有一个角是45°的两个等腰三角形
20.
下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（
）
A．∠ABD=∠ACB
B．∠ADB=∠ABC
C．AB2=AD?AC
D．
20题图
21题图
22题图
21.
如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，且∠DCE=∠B．那么下列各判断中，错误的是（
）
A．△ADE∽△ABC
B．△ADE∽△ACD
C．△DEC∽△CDB
D．△ADE∽△DCB
22．如图，在平面直角坐标系中，已知A(-3,-2)，B(0,-2)，C(-3,0)，M是线段AB上的一个动点，连接CM，过点M作MN⊥MC交y轴于点N，若点M、N在直线y=kx+b上，则b的最大值是（ ）
A．
B．
C．-1
D．0
23．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，求该古城墙的高度CD．
23题图
24．如图，在△ABC中，AD、BF分别是BC、AC边上的高，过点D作AB的垂线交AB于点E，交BF于点G，交AC的延长线于点H，求证：DE2＝EG·EH.
24题图
课时达标
1.如果点D、E，F分别在△ABC的边AB、BC，AC上，连结DE、EF，且DE∥AC，那么下列说法错误的是（ ）
A．如果EF∥AB，那么AF︰AC＝BD︰AB
B．如果AD︰AB＝CF︰AC，那么EF∥AB
C．如果△EFC∽△ABC，那么
EF∥AB
D．如果EF∥AB，那么△EFC∽△BDE
1题图
2题图
3题图
2．如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、AB上的点，下列条件中，不能使△ADE与△ABC相似的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=2ED，EC交对角线BD于点F，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
4．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，并且OA=5，OC=3．若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在BC边上的A1处，则点C的对应点C1的坐标为（ ）
A．（﹣）
B．（﹣）
C．（﹣）
D．（﹣）
4题图
5题图
5．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB，BD于M，N两点．若AM＝2，则线段ON的长为(
)
A．
B．
C．1
D．
6.如图，△ABC的高AD、BE交于点F，求证：=．
6题图
7.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，CE⊥CD，且＝，＝．
求证：△ACD∽△ECF．
7题图
8.如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝280cm，AB＝140cm，球目前在E点位置，AE＝35cm，如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．
（1）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求CF的长．
8题图
9.如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝m（m＞0）．P为边BC上一动点（不与B，C重合）过P点作PE⊥AP交直线CD于E．
（1）求证：△ABP∽△PCE；
（2）当P为BC中点时，E恰好为CD的中点，求m的值．
9题图
10．如图．在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE．EF与CD交于点G．
（1）求证：BD∥EF
．
（2）若，BE=4，求EC的长．
10题图
11．（2020·四川凉山）如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．
11题图
拓展探究
1．如图①，在钝角△ABC中，∠ABC=30°，AC=4，点D为边AB中点，点E为边BC中点，将△BDE绕点B逆时针方向旋转度（）．
（1）如图②，当时，连接AD、CE．求证：△BDA
∽△BEC；
（2）如图③，直线CE、AD交于点G．在旋转过程中，∠AGC的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O在AB上，以O为圆心，以OA长为半径的圆分别与AC，AB交于点D，E，直线BD与⊙O相切于点
D．
（1）求证：∠CBD＝∠A；
（2）若AC＝6，AD：BC＝1：．
①求线段BD的长；
②求⊙O的面积．
2题图
27.2.1相似三角形的判定（第3课时）
自主预习
1.
5cm.
2.
AE=
3.
∠D,
∠E.
4.
△BHK.
5.
答案不唯一，如△BDE∽△CDF，△ABF∽△ACE等
6.
△ACD∽△ABC，△CBD∽△ABC.
7.
证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠CAD＝∠2＋∠CAD，
即∠BAC＝∠EAD.
又∵∠C＝∠D，∴△ABC∽△AED.
互动训练
1.
C.
2.
C.
3.
D.
4.
B.
5．相似；如果两个角对应相等，那么这两个三角形相似
6.
△DAC,
7.
证明：∵AB∥EF，AC∥DE，
∴∠B＝∠F，∠ACB＝∠EDF.
∴△ABC∽△EFD.
8.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC.
∴∠D＋∠C＝180°，∠ABF＝∠BEC.
又∵∠AFB＋∠AFE＝180°，且∠AFE＝∠D，
∴∠C＝∠AFB.
又∵∠ABF＝∠BEC，∴△ABF∽△BEC.
9.
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD.
∴
△APQ∽△CDQ.
(2)当DP⊥AC时，∠QCD＋∠QDC＝90°.
∵∠ADQ＋∠QDC＝90°，∴∠DCA＝∠ADP.
又∵∠ADC＝∠DAP＝90°，
∴
△ADC∽△PAD.
∴＝.∴＝，解得PA＝5.
∴t＝5.
10．C.
解析：过点D作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．∵截得的三角形与△ABC相似，
∴过点M作AB的垂线，或作AC的垂线，或作BC的垂线，所得三角形满足题意
∴过点M作直线l共有三条．
故选C．
10题图
11题图
12题图
11．A.
解析：过C作CE⊥y轴于E，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB，∠ADC=90°，
∴∠ADO+∠CDE=∠CDE+∠DCE=90°，
∴∠DCE=∠ADO，∴△CDE∽△ADO，
∴，
∵OD=2OA=6，AD：AB=3：1，
∴OA=3，CD：AD=，∴CE=OD=2，DE=OA=1，
∴OE=7，∴C（2，7），故选A．
12．C.
解析：如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．
∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，
∵FN∥AD，∴四边形ANFD是平行四边形，
∵∠D=90°，∴四边形ANFD是矩形，
∵AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，
∵AN=BN，MN∥AE，∴BM=ME，
∴MN=a，∴FM=a，
∵AE∥FM，∴，故选C．
13.
10.
14.
是.
15.
不一定.
16．证明：∵AD、BE分别是BC、AC上的高，∴∠D=∠E=90°
又∵∠ACD=∠BCE（对顶角相等）
，
∴△ADC∽△BEC
，∴．
17．解：在Rt△ABC中，BC3．
∵∠ABC＝∠ADB＝90°，∴分两种情况讨论：
①当时，Rt△DBA∽Rt△BCA，即，解得：BD；
②当时，Rt△DBA∽Rt△BAC，即，解得：BD．
综上所述：当BD的长是或时，图中的两个直角三角形相似．
18.
解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°，
∴当或＝时，△PAB与△PCD是相似三角形，
∵AB＝3，CD＝8，BD＝10，
∴＝或＝，
∴BP＝6或4或，
即PB＝6或4或，时，△PAB与△PCD是相似三角形．
19.
D.
20.
D.
解析：A.∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
B.∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
C.∵AB2=AD?AC，∴，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
D.不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．故选D．
21.
D.
解析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
∴∠BCD=∠CDE，∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB，
∵∠DCE=∠B，∴∠ADE=∠DCE，
又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD；
∵∠BCD=∠CDE，∠DCE=∠B，∴△DEC∽△CDB；
∵∠B=∠ADE，但是∠BCD<∠AED，且∠BCD≠∠A，
∴△ADE与△DCB不相似；
正确的判断是A、B、C，错误的判断是D；
故选D．
22.
A.解析：连接AC，则四边形ABOC是矩形，∴∠A=∠ABO=90°
又，，，
，，
设．则，
，即：
当时，
直线与轴交于
当最大，此时最小，点越往上，的值最大，
，
此时，
，
的最大值为．故选A．
23．由题意知：∠APB=∠CPD，∠ABP=∠CDP，
∴△ABP∽△CDP，
∴=，得：=，解得：CD=8．
答：该古城墙CD的高度为8米．
24.
证明：∵AD、BF分别是BC、AC边上的高，
∴∠ADB＝∠BED＝90°.
∴∠EBD＋∠EDB＝∠EDB＋∠ADE.
∴∠EBD＝∠EDA.
∴△AED∽△DEB.
∴＝，即DE2＝AE·BE.
又∵∠HFG＝90°，∠BGE＝∠HGF，∴∠EBG＝∠H.
∵∠BEG＝∠HEA＝90°，∴△BEG∽△HEA.
∴＝，即EG·EH＝AE·BE.
∴DE2＝EG·EH.
课时达标
1.
C.
解析：如图所示：
A.
∵DE∥AC，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形，△BDE∽△BAC，
∴DE＝AF，＝，∴AF︰AC＝BD︰AB；选项A不符合题意；
B.
∵DE∥AC，∴AD︰AB＝CE︰BC，∵AD︰AB＝CF︰AC，∴CE︰BC＝CF︰AC，
∴EF∥AB，选项B不符合题意；
C.
∵△EFC∽△ABC，∴∠CFE＝∠CBA，∴EF与AB不平行，选项C符合题意；
D.
∵DE∥AC，EF∥AB，∴∠C＝∠BED，∠CEF＝∠B，
∴△EFC∽△BDE，选项D不符合题意；
故选：C．
2．A.
解：若,不满足三角形相似的判定方法,不一定相似,∴A是假命题;
若,则DE∥BC，∴△ADE∽
△ACB
∴B正确;
若又∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ACB,
∴C正确;
若∠ADE=∠B,又∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC,
∴D正确;
所以选A.
3．A.解析：如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴ED∥BC，BC=AD，∴△DEF∽△BCF，∴，
设ED=k，则AE=2k，BC=3k，∴==，故选A．
4.
A.
解析：过点C1作C1N⊥x轴于点N，过点A1作A1M⊥x轴于点M，
由题意可得：∠C1NO=∠A1MO=90°，∠1=∠2=∠3，则△A1OM∽△OC1N，
∵OA=5，OC=3，∴OA1=5，A1M=3，∴OM=4，
∴设NO=3x，则NC1=4x，OC1=3，则（3x）2+（4x）2=9，
解得：x=±（负数舍去），则NO=，NC1=，
故点C的对应点C1的坐标为：（-，）．
故选A．
5．C.
解析：作MH⊥AC于H，如图，
∵四边形ABCD为正方形，∴∠MAH=45°，
∴△AMH为等腰直角三角形，
∴AH=MH=AM=×2=，
∵CM平分∠ACB，∴BM=MH=，∴AB=2+，
∴AC=AB=（2+）=2+2，
∴OC=AC=+1，CH=AC﹣AH=2+2﹣=2+，
∵BD⊥AC，∴ON∥MH，∴△CON∽△CHM，
∴，即，∴ON=1．
故选C．
6.证明：∵△ABC的高AD、BE交于点F，∴∠EBC+∠C=∠DAC+∠C=90°，
∴∠EBC=∠DAC，即∠FBD=∠FAE，
而∠AEF=∠BDF，∴△AEF∽△BDF，∴=．
7.证明：∵CE⊥CD，∴∠ECD＝90°，∴∠ACB＝∠ECD，
又∵＝＝，∴△ACB∽△ECD，∴∠A＝∠E，
∵∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACB﹣∠BCD＝∠ECD﹣∠BCD，
即∠ACD＝∠ECF，∴△ACD∽△ECF．
8.
（1）证明：∵∠EFG＝∠DFG，∴∠EFB＝∠DFC，
又∵∠B＝∠C，∴△BEF∽△CDF；
（2）解：∵△BEF∽△CDF，∴＝，
设FC＝xcm，则＝，解得：x＝160，
答：CF的长为160cm．
9.
解：（1）∵矩形ABCD中，∠B＝90°，PE⊥AP，
∴∠BAP+∠APB＝90°，∠CPE+∠APB＝90°，∴∠BAP＝∠CPE，
又∵∠B＝∠C＝90°，∴△ABP∽△PCE；
（2）当P为BC中点时，E恰好为CD的中点时，BP＝CP＝m，CE＝2，
∵△ABP∽△PCE，∴，∴，
解得：m1＝4，m2＝﹣4（舍去），∴m的值为4；
10．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．
∵DF=BE，∴四边形BEFD是平行四边形，∴BD∥EF；
（2）∵四边形BEFD是平行四边形，∴DF=BE=4．
∵DF∥EC，∴△DFG∽CEG，∴，∴CE===6．
11．解：设正方形的边长为x
mm，则AI＝AD﹣x＝80﹣x，
∵EFHG是正方形，∴EF∥GH，∴△AEF∽△ABC，
∴,
即，解得x＝48
mm，
∴这个正方形零件的边长是48mm．
拓展探究
1.解：（1）如图②中，
由图①，∵点为边中点，点为边中点，∴，
∴，∴，
∵，∴，
∴.
（2）的大小不发生变化，.
理由：如图③中，设交于点．
∵，∴，
∵，，，
∴.
2.解：（1）证明：连接OD，
∵直线BD与⊙O相切于点D，∴∠BDO＝90°，∴∠BDC+∠ODA＝90°，
∵∠C＝90°，∴∠CBD+∠BDC＝90°，
∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠BDC+∠OAD＝90°，∴∠CBD＝∠A；
（2）①∵∠C＝∠C，∠CBD＝∠A，∴△ACB∽△BCD，∴＝，
∵AC＝6，AD：BC＝1：．∴设AD＝x，BC＝x，
∴＝，解得：x＝3．
∴BC＝3，CD＝AC﹣AD＝3
根据勾股定理得，BD＝3；
②由①可知BC＝3．又∵∠C＝90°，AC＝6，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝3，
设OA＝OD＝r，则OB＝3﹣r，
∴在Rt△OBD中，由勾股定理得：r2+＝，
解得：r＝，∴⊙O的面积为：π×＝．
