北师大版九年级数学下册 4.2 圆周角定理的推论（Word版 含答案）

北师大版九年级数学下第三章4
圆周角和圆心角的关系4.2
圆周角定理的推论（含答案）
一、选择题
1．下列命题中，正确的有(　　)
①90°的圆周角所对的弦是直径；　
②若圆周角相等，则它们所对的弧也相等；　
③同圆中，相等的圆周角所对的弦也相等．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
2．从下列三角尺与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是(　　)
图1
3．如图2，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的度数为(　　)
图2
A．60°
B．50°
C．40°
D．20°
4．如图3，CD是⊙O的直径，若∠1＝30°，则∠2的度数为(　　)
图3
A．30°
B．45°
C．60°
D．70°
5．如图4，⊙A过点O(0，0)，C(，0)，且⊙A的半径是1，B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是(　　)
图4
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
6．如图5，△ABC的顶点都在⊙O上，弦AC的长为2，sinB＝，则⊙O的直径为(　　)
图5
A．4
B．3
C．2
D．1
7．如图6，四边形ABCD内接于半圆O，AB为直径，AD＝CD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F，若sin∠CAB＝，DF＝5，则BC的长为(　　)
图6
A．8
B．10
C．12
D．16
二、填空题
8．如图7，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4∶3∶5，则∠D的度数是________．
图7
9．如图8，已知⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F，若∠E＋∠F＝70°，则∠A的度数是________．
图8
10．如图9，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠AOB＝________°.
图9
11．如图10，已知在半圆O中，AB是直径，AD＝DC，∠CAB＝30°，AC＝2
，则AD的长为________．
图10
三、解答题
12．已知在⊙O的内接四边形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC.试判断四边形ABCD的形状，并加以证明.
13．如图11，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.求证：
(1)AD＝CD；
(2)AB是⊙O的直径．
图11
14．如图12，△ABC内接于⊙O且AB＝AC，延长BC至点D，使CD＝AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE，CE.
(1)求证：△ABE≌△CDE.
(2)填空：
①连接AO，CO，当∠ABC的度数为________时，四边形AOCE是菱形；
②若AE＝6，EF＝4，则DE的长为________．
图12
附加题
图形变换题已知：如图13，AB是⊙O的一条弦，C为的中点，CD是⊙O的直径，过点C的直线l交AB所在直线于点E，交⊙O于点F，连接DF.
(1)猜想∠CEB与∠FDC的数量关系，并证明你的结论；
(2)将直线l绕点C旋转(与CD不重合)，在旋转过程中，点E，F的位置也随之变化，请在下面的两个备用图中分别画出直线l在不同位置时，使(1)中的结论仍然成立的图形，标上相应字母，并选其中一个图形给予证明．
图13
参考答案
1．[答案]
C
2．[答案]
B
3．[解析]
B　∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵∠A和∠BCD都是弧BD所对的圆周角，∴∠A＝∠BCD＝40°，∴∠ABD＝90°－40°＝50°.故选B.
4．[解析]
C　如图，连接AD.
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°(直径所对的圆周角是直角)．
又∵∠1＝30°，
∴∠DAB＝60°.
∵∠DAB＝∠2(同弧所对的圆周角相等)，
∴∠2＝60°.故选C.
5．[答案]
B
6．[解析]
B　作直径AD，连接CD，则∠ACD＝90°.∵∠D＝∠B，∴sinD＝sinB＝.
在Rt△ADC中，∵AC＝2，∴AD＝＝3，
∴⊙O的直径为3.
故选B.
7．[解析]
C　连接BD.∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠ACD.
∵AB为直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
∴∠DAB＋∠ABD＝90°.
∵DE⊥AB，∴∠DAB＋∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠ABD.
∵∠ABD＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ADE，
∴AF＝DF＝5.
在Rt△AEF中，sin∠CAB＝＝，
∴EF＝3，∴AE＝4，DE＝3＋5＝8.
易得△ADE∽△DBE，∴＝，
∴BE＝＝＝16，
∴AB＝16＋4＝20.
在Rt△ABC中，sin∠CAB＝＝，
∴BC＝12.
8．[答案]
120°
[解析]
∵∠A，∠B，∠C的度数之比为4∶3∶5，∴设∠A＝4x，则∠B＝3x，∠C＝5x.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A＋∠C＝180°，即4x＋5x＝180°，解得x＝20°，
∴∠B＝3x＝60°，∴∠D＝180°－60°＝120°.
9．[答案]
55°
[解析]
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠BCD＝∠BCF＋∠BCD＝180°，
∴∠A＝∠BCF.
∵∠EBF＝∠A＋∠E，而∠EBF＝180°－∠BCF－∠F，
∴∠A＋∠E＝180°－∠BCF－∠F，
∴∠A＋∠E＝180－∠A－∠F，
即2∠A＝180°－(∠E＋∠F)＝110°，
∴∠A＝55°.
10．[答案]
140
[解析]
作劣弧AB所对的圆周角∠ADB，如图，则∠ACB＋∠ADB＝180°，
∴∠ADB＝180°－110°＝70°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝140°.
11．[答案]
2
[解析]
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵∠CAB＝30°，∴∠ABC＝60°.
∵AD＝DC，且所对的圆心角为30°×2＝60°，
∴，，所对的圆心角均为60°，
∴BC＝AD.
在Rt△ABC中，∵∠CAB＝30°，AC＝2
，
∴BC＝2
×tan30°＝2，
∴AD＝2.
12．[解析]
因为AD＝BC，AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形．再根据圆内接四边形的性质可得出∠B＝∠D＝90°，因此，四边形ABCD是矩形．
解：四边形ABCD为矩形．
证明：如图．
∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B＝∠D.
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B＋∠D＝180°，
∴∠B＝∠D＝90°，
∴?ABCD是矩形．
13．证明：(1)∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D＝180°－∠B＝130°.
∵∠ACD＝25°，
∴∠DAC＝180°－∠D－∠ACD＝25°，
∴∠DAC＝∠ACD，
∴AD＝CD.
(2)∵∠BAC＝∠BAD－∠DAC＝65°－25°＝40°，∠B＝50°，
∴∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝90°，
∴AB是⊙O的直径．
14．解：(1)证明：∵AB＝AC，CD＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，AB＝CD.
∵四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠ECD＝∠EAB，∠CED＝∠ABC.
∵∠ABC＝∠ACB＝∠AEB，
∴∠CED＝∠AEB.
在△ABE和△CDE中，
∵∠AEB＝∠CED，∠EAB＝∠ECD，AB＝CD，
∴△ABE≌△CDE(AAS)．
(2)①60°　②9
附加题
[解析]
(1)根据垂径定理的推论得到CD⊥AB，根据圆周角定理的推论得到∠CFD＝90°，然后通过等量代换证得∠CEB＝∠FDC；(2)根据垂径定理得到CD⊥AB，∠CFD＝90°，然后通过等量代换证得∠CEB＝∠FDC.
解：(1)∠CEB＝∠FDC.
证明：∵CD是⊙O的直径，C为的中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CEB＋∠ECD＝90°.
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CFD＝90°，
∴∠FDC＋∠ECD＝90°，
∴∠CEB＝∠FDC.
(2)所画图形与证明均不唯一，如图①②.
选图②进行证明：如图②.
∵CD是⊙O的直径，C为的中点，
∴CD⊥AB，∴∠CEB＋∠ECD＝90°.
∵CD是⊙O的直径，∴∠CFD＝90°，
∴∠FDC＋∠ECD＝90°，∴∠CEB＝∠FDC.