北师大版九年级数学下册 3.9 弧长及扇形的面积（Word版 含答案）

北师大版九年级数学下3.9
弧长及扇形的面积（含答案）
一、选择题
1．若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为(　　)
A.π
B．2π
C．3π
D．6π
2．120°的圆心角所对的弧长是6π，则此弧所在圆的半径是
(　　)
A．3
B．4
C．9
D．18
3．如图1，等边三角形ABC的边长为4，D，E，F分别为边AB，BC，AC的中点，分别以A，B，C三点为圆心，以AD长为半径作三条圆弧，则图中三条圆弧的弧长之和是(　　)
图1
A．π
B．2π
C．4π
D．6π
4．如图2，用一个半径为5
cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了(　　)
图2
A．π
cm
B．2π
cm
C．3π
cm
D．5π
cm
5．如图3，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，且∠ABD＝30°，BO＝4，则的长为(　　)
图3
A.π
B.π
C．2π
D.π
6．如图4，从一块直径为2
m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为
(　　)
图4
A.
m2
B.π
m2
C．π
m2
D．2π
m2
二、填空题
7．一个扇形的弧长是11π
cm，半径是18
cm，则此扇形的圆心角是________度．
8．如图5，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形的边长为6
cm，则该莱洛三角形的周长为________
cm.
图5
9．如图6，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分的面积是________．(结果保留π)
图6
10．如图7，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积为________.
图7
三、解答题
11．如图8，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连接BC.
(1)求证：AE＝ED；
(2)若AB＝10，∠CBD＝36°，求的长．
图8
12．如图9，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连接AE交⊙O于点F，连接BF并延长交CD于点G.
(1)求证：△ABE≌△BCG；
(2)若∠AEB＝55°，OA＝3，求的长(结果保留π)．
图9
13．如图10，已知AB，CD是⊙O的两条直径，AE∥CD交⊙O于点E，连接BE交CD于点F.
(1)求证：＝；
(2)若⊙O的半径为6，AE＝6
，求图中阴影部分的面积．
图10
附加题
研究型在学习扇形的面积公式时，同学们推得S扇形＝，并通过比较扇形面积公式与弧长公式l＝，得出扇形面积的另一种计算方法S扇形＝lR.接着老师让同学们解决以下两个问题：
问题
Ⅰ：求弧长为4π，圆心角为120°的扇形的面积．
问题Ⅱ：某小区设计的花坛形状如图11中的阴影部分，已知弧AB和弧CD所在圆的圆心都是点O，弧AB的长为l1，弧CD的长为l2，AC＝BD＝d，求花坛的面积．
(1)请你解答问题Ⅰ.
(2)在解完问题
Ⅱ
后的全班交流中，一名同学发现扇形面积公式S扇形＝lR类似于三角形面积公式；类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积S＝(l1＋l2)d.他的猜想正确吗？如果正确，请写出推导过程；如果不正确，请说明理由．
　图11
参考答案
1．[答案]
C
2．[解析]
C　根据弧长公式l＝，得6π＝，解得r＝9.故选C.
3．[解析]
B　依题意知，图中三条圆弧的弧长之和＝×3＝2π.故选B.
4．[解析]
C　根据题意，得l＝＝3π(cm)，则重物上升了3π
cm.故选C.
5.
[解析]
D　如图，连接OD.
∵∠ABD＝30°，∴∠AOD＝2∠ABD＝60°，∴∠BOD＝120°，∴的长＝＝.故选D.
6．[解析]
A　连接AC，如图．
∵从一块直径为2
m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC＝90°，
∴AC为直径，即AC＝2
m，AB＝BC.
∵AB2＋BC2＝22，
∴AB＝BC＝
m，
∴这个扇形的面积为＝(m2)．
7．[答案]
110
[解析]
根据l＝＝＝11π，
解得n＝110.
故答案为110.
8．[答案]
6π
[解析]
该莱洛三角形的周长＝3×＝6π(cm)．故答案为6π.
9．[答案]
2π
10．[答案]
　
[解析]
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，
∴AB＝2
，
∴S扇形BAD＝＝.
又∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，
∴Rt△ADE≌Rt△ABC，
∴S阴影部分＝S△ADE＋S扇形BAD－S△ABC＝S扇形BAD＝.
故答案为.
11．解：(1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°.
∵OC∥BD，∴∠AEO＝∠ADB＝90°，
即OC⊥AD，∴AE＝ED.
(2)∵OC⊥AD，∴＝，
∴∠ABC＝∠CBD＝36°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝2×36°＝72°，
∴的长＝＝2π.
12．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，AB为⊙O的直径，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCG＝∠AFB＝90°，
∴∠BAF＋∠ABF＝90°，∠ABF＋∠EBF＝90°，
∴∠EBF＝∠BAF，即∠CBG＝∠BAE.
在△ABE与△BCG中，∵∠BAE＝∠CBG，AB＝BC，∠ABE＝∠BCG，
∴△ABE≌△BCG(ASA)．
(2)如图，连接OF.∵∠ABE＝90°，∠AEB＝55°，
∴∠BAE＝90°－55°＝35°，
∴∠BOF＝2∠BAE＝70°.
∵OA＝3，∴的长＝＝.
13．解：(1)证明：如图，连接OE.
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA.
∵AE∥CD，
∴∠OEA＝∠EOD，∠OAE＝∠BOD，
∴∠EOD＝∠BOD，
∴＝.
(2)如图，过点O作OH⊥AE于点H，
则AH＝HE＝AE＝3
，cos∠OAH＝＝＝，
∴∠OAH＝30°，
∴OH＝OA＝3，∠AOH＝60°，
∴∠AOE＝120°，
∴S阴影部分＝－×6
×3＝12π－9
.
附加题
[解析]
根据扇形面积公式、弧长公式之间的关系，结合已知条件推出结果．
解：(1)∵扇形的弧长为4π，圆心角为120°，
∴扇形的半径R1＝＝6，
∴S扇形＝lR1＝×4π×6＝12π.
(2)他的猜想正确．
设大扇形的半径为R，小扇形的半径为r，圆心角的度数为n°，
则由弧长公式得R＝，r＝，
∴花坛的面积为
l1R－l2r
＝·l1·－·l2·
＝
＝(l1＋l2)(l1－l2)
＝·(l1＋l2)(R－r)
＝(l1＋l2)(R－r)＝(l1＋l2)d.
故他的猜想正确．