苏科版九年级数学下册 5.2二次函数的图象与性质 提优检测 （一）(word版 含答案)

苏科版九年级下《5.2二次函数的图象与性质》强化提优检测
（一）
二次函数y＝ax2及y＝ax2＋c的图象与性质
（时间：90分钟
满分：120分）
选择题（共8题；共24分）
1.若二次函数y＝ax2的图象过点P(－2，4)，则该图象必经过点(
)
A.(2，4)
B.(－2，－4)
C.(2，－4)
D.(4，－2)
2.已知点(－1，y1)，(2，y2)，(－3，y3)都在函数y＝x2的图象上，则(
)
A.y1B.y1C.y3D.y23.已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是(
)
A
B
C
D
4.已知抛物线y＝ax2(a>0)过A(－2，y1)，B(－1，y2)两点，则下列关系式一定正确的是(
)
A.y1>0>y2
B.y2>0>y1
C.y1>y2>0
D.y2>y1>0
5．抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝x2共有的性质是(
)
A．开口向下
B．对称轴是y轴
C．都有最低点
D．y随x的增大而减小
6．从y＝2x2的图象上可以看出，当－1≤x≤2时，y的取值范围是(
)
A．2≤y≤8
B．－2≤y≤8
C．0≤y≤8
D．1≤y≤4
7．把抛物线y＝ax2＋c向上平移2个单位，得到抛物线y＝x2，则a，c的值分别为(
)
A．1，2
B．1，－2
C．－1，2
D．－1，－2
8．已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法中正确的是(
)
A．若y1＝y2，则x1＝x2
B．若x1＝－x2，则y1＝－y2
C．若0y2
D．若x1y2
二、填空题（共8题；共24分）
9.下列各点：(－1，2)，(－1，－2)，(－2，－4)，(－2，4)，其中在二次函数y＝－2x2的图象上的是____________.
抛物线y＝ax2，y＝bx2，y＝cx2的图象如图所示，则a，b，c的大小关系是_________.
第10题图
第11题图
第15题图
第16题图
11.已知抛物线y＝x2＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为(，3)，P是抛物线y＝x2＋1上一个动点，则△PMF周长的最小值是__________.
12.已知二次函数y＝ax2＋c，当x取x1，x2(x1≠x2)时，函数值相等，则当x＝x1＋x2时，函数值为_____________.
13．下列函数，①y＝－x2；②y＝－2x2；③y＝x2－1；④y＝x2＋2；⑤y＝－2x2＋3.
图象形状、开口大小、方向相同的是__________.（填序号）
14．写出顶点坐标为(0，－2)，开口方向与抛物线y＝－x2的方向相反、大小相同的抛物线的表达式是
____________
．
15.已知抛物线甲:y=-2x2-1和抛物线乙的形状相同,且两条抛物线的对称轴均为y轴,两顶点距离5个单位长度,如图所示,则抛物线乙的表达式为　　　　.?
16.如图所示,桥拱是抛物线形,其函数表达式为y=-x2,当水位线在AB位置时,水面的宽AB是6
m,这时水面离桥拱顶部的高度OC是　　　　.?
三、解答题（共10题；共72分）
17.已知抛物线y＝ax2经过点(1，3).
(1)求a的值；
(2)当x＝3时，求y的值；
(3)说出此二次函数的三条性质.
18.在同一平面直角坐标系中作出y＝x2，y＝x2－1的图象.
(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；
(2)抛物线y＝x2－1与抛物线y＝x2有什么关系？
19.二次函数y＝ax2－2与直线y＝2x－1的图象交于点P(1，m).
(1)求a，m的值；
(2)写出二次函数的表达式，并指出x取何值时，y随x的增大而增大.
20.已知抛物线y＝(m－1)x2＋m2－2m－2的开口向下，且经过点(0，1).
(1)求m的值；
(2)求此抛物线的顶点坐标及对称轴；
(3)当x为何值时，y随x的增大而增大？
21.如图，点P是抛物线y＝x2在第一象限内的一点，点A的坐标是(3，0).设点P的坐标为(x，y).
(1)求△OPA的面积S关于变量y的关系式；
(2)S是x的什么函数？
(3)当S＝6时，求点P的坐标；
(4)在y＝x2的图象上求一点P′，使△OP′A的两边OP′＝P′A.
22.廊桥是我国古老的文化遗产，如图是一座抛物线形廊桥的示意图.已知抛物线对应的函数关系式为y＝－x2＋10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离(参考数据：≈2.24，结果精确到1米).
23．抛物线y＝－x2＋(m－1)与y轴交于点(0，4)．
(1)求m的值，并画出此抛物线．
(2)求此抛物线与x轴的交点坐标．
24．已知y＝(k－1)xk2－k－3是二次函数．
(1)当x<0时，y随x的增大而减少，求k的值；
(2)若y有最大值，求该函数的表达式．
25．
如图，抛物线y1＝－x2＋3与x轴交于A，B两点，与直线y2＝－x＋b交于B，C两点．求直线BC的函数表达式和点C的坐标；
26．如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y＝x＋1相交于A，B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为2，连接AM，BM.
(1)求抛物线的解析式；
(2)判断△ABM的形状，并说明理由．
教师样卷
一．选择题（共8题；共24分）
1.若二次函数y＝ax2的图象过点P(－2，4)，则该图象必经过点(A
)
A.(2，4)
B.(－2，－4)
C.(2，－4)
D.(4，－2)
【答案】A
2.已知点(－1，y1)，(2，y2)，(－3，y3)都在函数y＝x2的图象上，则(A)
A.y1B.y1C.y3D.y2【答案】A
3.已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是(C)
A
B
C
D
【答案】C
4.已知抛物线y＝ax2(a>0)过A(－2，y1)，B(－1，y2)两点，则下列关系式一定正确的是(C)
A.y1>0>y2
B.y2>0>y1
C.y1>y2>0
D.y2>y1>0
【答案】C
5．抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝x2共有的性质是(
B
)
A．开口向下
B．对称轴是y轴
C．都有最低点
D．y随x的增大而减小
【答案】B
6．从y＝2x2的图象上可以看出，当－1≤x≤2时，y的取值范围是(
C
)
A．2≤y≤8
B．－2≤y≤8
C．0≤y≤8
D．1≤y≤4
【答案】C
7．把抛物线y＝ax2＋c向上平移2个单位，得到抛物线y＝x2，则a，c的值分别为(
B
)
A．1，2
B．1，－2
C．－1，2
D．－1，－2
【答案】B
8．已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法中正确的是(
D
)
A．若y1＝y2，则x1＝x2
B．若x1＝－x2，则y1＝－y2
C．若0y2
D．若x1y2
【答案】D
二、填空题（共8题；共24分）
9.下列各点：(－1，2)，(－1，－2)，(－2，－4)，(－2，4)，其中在二次函数y＝－2x2的图象上的是____________.
【答案】(－1，－2).
抛物线y＝ax2，y＝bx2，y＝cx2的图象如图所示，则a，b，c的大小关系是_________.
【答案】a＞b＞c.
第10题图
第11题图
第15题图
第16题图
11.已知抛物线y＝x2＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为(，3)，P是抛物线y＝x2＋1上一个动点，则△PMF周长的最小值是__________.
【答案】5
12.已知二次函数y＝ax2＋c，当x取x1，x2(x1≠x2)时，函数值相等，则当x＝x1＋x2时，函数值为_____________.
【答案】c.
13．下列函数，①y＝－x2；②y＝－2x2；③y＝x2－1；④y＝x2＋2；⑤y＝－2x2＋3.
图象形状、开口大小、方向相同的是__________.（填序号）
【答案】．②⑤
14．写出顶点坐标为(0，－2)，开口方向与抛物线y＝－x2的方向相反、大小相同的抛物线的表达式是
____________
．
【答案】
y＝x2－2
15.已知抛物线甲:y=-2x2-1和抛物线乙的形状相同,且两条抛物线的对称轴均为y轴,两顶点距离5个单位长度,如图所示,则抛物线乙的表达式为　　　　.?
【答案】y=-2x2+4
【解析】由于两条抛物线形状相同,且对称轴均为y轴,因此可将抛物线乙看成是由抛物线甲向上平移得到的.两顶点距离5个单位长度,将抛物线甲向上平移5个单位长度后的表达式为y=-2x2-1+5=-2x2+4,即为抛物线乙的表达式.
16.如图所示,桥拱是抛物线形,其函数表达式为y=-x2,当水位线在AB位置时,水面的宽AB是6
m,这时水面离桥拱顶部的高度OC是　　　　.?
【答案】9
m
【解析】由题意可得AB=6,点A,B关于y轴对称,则BC=3,当x=3时,y=-x2=-9,所以OC=|-9|=9.故水面离桥拱顶部的高度是9
m.
三、解答题（共10题；共72分）
17.已知抛物线y＝ax2经过点(1，3).
(1)求a的值；
(2)当x＝3时，求y的值；
(3)说出此二次函数的三条性质.
解：(1)∵抛物线y＝ax2经过点(1，3)，∴a·1＝3.∴a＝3.
(2)把x＝3代入抛物线y＝3x2，得y＝3×32＝27.
(3)答案不唯一，如：抛物线的开口向上；坐标原点是抛物线的顶点；当x＞0时，y随着x的增大而增大；抛物线的图象有最低点；当x＝0时，y有最小值，最小值是0等.
18.在同一平面直角坐标系中作出y＝x2，y＝x2－1的图象.
(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；
(2)抛物线y＝x2－1与抛物线y＝x2有什么关系？
解：如图所示：
(1)抛物线y＝x2开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，0)；
抛物线y＝x2－1开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，－1).
(2)抛物线y＝x2－1可由抛物线y＝x2向下平移1个单位长度得到.
19.二次函数y＝ax2－2与直线y＝2x－1的图象交于点P(1，m).
(1)求a，m的值；
(2)写出二次函数的表达式，并指出x取何值时，y随x的增大而增大.
解：(1)∵点P(1，m)在y＝2x－1的图象上，∴m＝2×1－1＝1.∴P(1，1).又∵P(1，1)在y＝ax2－2的图象上，∴1＝a－2.∴a＝3.
(2)y＝3x2－2，当x＞0时，y随x的增大而增大.
20.已知抛物线y＝(m－1)x2＋m2－2m－2的开口向下，且经过点(0，1).
(1)求m的值；
(2)求此抛物线的顶点坐标及对称轴；
(3)当x为何值时，y随x的增大而增大？
解：(1)由题意，得∴m＝－1.
(2)当m＝－1时，抛物线的表达式为y＝－2x2＋1，其顶点坐标为(0，1)，对称轴为y轴.
(3)因为抛物线y＝－2x2＋1的开口向下，所以在对称轴的左侧，即当x<0时，y随x的增大而增大.
21.如图，点P是抛物线y＝x2在第一象限内的一点，点A的坐标是(3，0).设点P的坐标为(x，y).
(1)求△OPA的面积S关于变量y的关系式；
(2)S是x的什么函数？
(3)当S＝6时，求点P的坐标；
(4)在y＝x2的图象上求一点P′，使△OP′A的两边OP′＝P′A.
解：(1)S＝y(y>0).
(2)S＝x2(x>0)，S是x的二次函数.
(3)点P的坐标为(2，4).
(4)∵OP′＝P′A，∴P′在OA的垂直平分线上.∴P′的横坐标为.当x＝时，y＝x2＝.
∴点P′的坐标为(，).
22.廊桥是我国古老的文化遗产，如图是一座抛物线形廊桥的示意图.已知抛物线对应的函数关系式为y＝－x2＋10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离(参考数据：≈2.24，结果精确到1米).
解：由题意得：点E，F的纵坐标为8.把y＝8代入y＝－x2＋10，得－x2＋10＝8，
解得x＝4或x＝－4.EF＝|4－(－4)|＝8≈18(米).
答：这两盏灯的水平距离约为18米.
23．抛物线y＝－x2＋(m－1)与y轴交于点(0，4)．
(1)求m的值，并画出此抛物线．
(2)求此抛物线与x轴的交点坐标．
解：(1)将点(0，4)代入y＝－x2＋(m－1)，
得m－1＝4，解得m＝5.
∴此抛物线的解析式为y＝－x2＋4.
画出抛物线如图:
(2)当y＝0时，－x2＋4＝0，解得x1＝2，x2＝－2.
∴抛物线与x轴的交点坐标为(2，0)，(－2，0)．
24．已知y＝(k－1)xk2－k－3是二次函数．
(1)当x<0时，y随x的增大而减少，求k的值；
(2)若y有最大值，求该函数的表达式．
解：(1)∵y＝(k－1)xk2－k－3是二次函数，∴k2－k＝2，且k－1≠0，解得k1＝2，k2＝－1.∵当x<0时，y随x的增大而减小，∴函数图象开口向上，∴k－1>0，∴k＝2.
(2)若y有最大值，则函数图象开口向下，∴k－1<0，∴k＝－1.∴函数的表达式为y＝－2x2－3.
25．
如图，抛物线y1＝－x2＋3与x轴交于A，B两点，与直线y2＝－x＋b交于B，C两点．求直线BC的函数表达式和点C的坐标；
解：由－x2＋3＝0，得x＝2或x＝－2，∴B(2，0)．
将B(2，0)的坐标代入y2＝－x＋b，得b＝.
∴直线BC的函数表达式为y＝－x＋.由－x2＋3＝－x＋，得x＝2或x＝－1.
当x＝－1时，y2＝－×(－1)＋＝，∴C.
26．如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y＝x＋1相交于A，B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为2，连接AM，BM.
(1)求抛物线的解析式；
(2)判断△ABM的形状，并说明理由．
解：(1)∵点A为直线y＝x＋1与x轴的交点，∴点A的坐标为(－1，0)．
又∵点B横坐标为2，代入y＝x＋1中可得y＝3，∴点B的坐标为(2，3)．
∵抛物线顶点在y轴上，∴可设抛物线解析式为y＝ax2＋c，
把A，B两点坐标代入可得解得∴抛物线的解析式为y＝x2－1
(2)△ABM为直角三角形．理由如下：由(1)可知抛物线的解析式为y＝x2－1，
∴点M的坐标为(0，－1)，∴AM＝＝，
AB＝＝，BM＝＝，
∴AM2＋AB2＝2＋18＝20＝BM2，∴△ABM为直角三角形