第6章6.4～6.5相似三角形的判定与性质专题-苏科版九年级数学下册
巩固训练
一、选择题
1、如图，直线a∥b∥c，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，若AB＝2，BC＝4，DE＝3，
则EF的长是（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
2、如图，l1∥l2∥l3，AB＝2，BC＝4，DB＝3，则DE的长为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．9
3、如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，
则BE：EC＝（ ）
A．1：2
B．1：3
C．1：4
D．2：3
4、如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，添加下列条件不能判定△AED∽△ABC的是(
)
A．∠AED＝∠B
B．∠ADE＝∠C
C．∠ADE＝∠B
D．＝
5、如图，在菱形ABCD中，已知AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，点E在CB的延长线上，点F在DC的延长线上，有下列结论：①BE＝CF；②∠EAB＝∠CEF；③△ABE∽△EFC；
④若∠BAE＝15°，则点F到BC的距离为2－2.则其中正确结论的个数是( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
6、如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(
)
A.
A
B.
B
C.
C
D.
D
7、如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①，②，③，④四个三角形，
若OA·OC＝OB·OD，则下列结论中一定正确的是(
)
A.
①和②相似
B.
②和③相似
C.
①和④相似
D.
②和④相似
8、如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的一组是(
)
A．①和② B．②和③
C．①和③
D．②和④
9、如图，△ABC中，E在AD上，且E是△ABC的重心，若S△ABC＝36，则S△DEC等于( )
A．3 B．4 C．6 D．9
10、已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，△ABC的面积为40，则△DEF的面积为（ ）
A．60
B．70
C．80
D．90
11、如图，在△ABC中，点D，E分别是AC和BC的中点，则△DEC和△ABC的周长之比为（ ）
A．1：2
B．2：3
C．1：3
D．1：4
12、下列条件中，能使成立的是（
）
A．∠C＝98°，∠E＝98°，；
B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，EF＝8，DE＝10，FD＝6
C．∠A＝∠F＝90°，AC＝5，BC＝13，DF＝10，EF＝26；
D．∠B＝35°，BC
＝10，BC上的高AG＝7；∠E＝35°，EF＝5，EF上的高DH
＝3.5
二、填空题
13、如图，AB∥CD∥EF．若AD：AF＝3：5，BC＝6，则CE的长为
．
14、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边AB上，线段DC绕点D逆时针旋转，端点C恰巧落在边AC上的点E处．如果＝m，＝n．那么m与n满足的关系式是：m＝
（用含n的代数式表示m）．
15、如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点E在AB上，点F在CD上，点G，H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，则AE的长是_______.
16、如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE，AE分别交于点P，M.对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP·MD＝MA·ME；③2CB2＝CP·CM.
其中正确的是______.
17、如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E.若AB＝12，
BM＝5，则DE的长为_________.
18、△ABC的三边长分别为，，2，△A1B1C1的两边长为1，，要使△ABC∽△A1B1C1，
那么△A1B1C1的第三边长为_______
19、如图，图中的每个点(包括△ABC的各个顶点)都在边长为1的小正方形的顶点上，在P，Q，G，H中
找
一个点，使它与点D，E构成的三角形与△ABC相似，这个点可以是_______．
(写出满足条件的所有的点)
20、如图，△ABC的中线AD，CE相交于O，EF∥BC交AD于F，则OD∶FA＝________．
21、如图，O为Rt△ABC斜边中点，AB＝10，BC＝6，M，N在AC边上，若△OMN∽△BOC，点M的对应点是O，则CM＝
．
22、如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到A′B′C′的位置，如果点A′恰好是△ABC的重心，A′B′、A′C′分别于BC交于点M、N，那么△A′MN面积与△ABC的面积之比是 ．
23、如图，△ABC∽△A′B′C′，AD、BE分别是△ABC的高和中线，A′D′、B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，且AD＝4，A′D′＝3，BE＝6，则B′E′的长为______
24、已知如图，DE是△ABC的中位线，点P是DE的中点，CP的延长线交AB于点Q，
那么S△CPE：S△ABC＝
．
三、解答题
25、如图，直线EF分别交△ABC的边AC、AB于点E、F，交边BC的延长线于点D，且AB·BF＝BC·BD.
求证：AE·EC＝EF·ED.
26、如图，已知AB是⊙O的直径，过点O作弦BC的平行线，交过点A的切线AP于点P，
连接AC.求证：△ABC∽△POA.
27、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AC上；
（1）已知AC=4，BC=2，∠CBD=∠A，求BD的长；
（2）取AB，BD的中点E，F，连接EF，求证：△CEF∽△BAD；
28、如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5
是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
(1)试证明△ABC为直角三角形；
(2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
(3)画一个三角形，它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似．
(要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明)
29、如图，已知AC，AD是⊙O的两条割线，AC与⊙O交于B，C两点，AD过圆心O且与⊙O交于E，D两点，OB平分∠AOC.
(1)求证：△ACD∽△ABO；
(2)过点E的切线交AC于点F，若EF∥OC，OC＝3，求EF的值．
30、如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB＝3，AD＝2，CE＝1．求DF的长度．
31、四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，对角线BD平分∠ABC．
（1）如图1，延长BC，AD交于点M．
求证：①△MCD∽△MAB；
②AD＝CD；
（2）如图2，连接AC交BD于点F，将△ABC沿着AC翻折得到△AEC，连接DE，若CE∥BD，BC＝6，CD＝4，求CF的长．
32、如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M．
（1）求证：△MFC∽△MCA；
（2）求证△ACF∽△ABE；
（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的边长．
第6章6.4～6.5相似三角形的判定与性质专题-苏科版九年级数学下册
巩固训练(答案)
一、选择题
1、如图，直线a∥b∥c，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，若AB＝2，BC＝4，DE＝3，
则EF的长是（B ）
A．5
B．6
C．7
D．8
2、如图，l1∥l2∥l3，AB＝2，BC＝4，DB＝3，则DE的长为（ D ）
A．4
B．5
C．6
D．9
3、如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，
则BE：EC＝（ B ）
A．1：2
B．1：3
C．1：4
D．2：3
4、如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，添加下列条件不能判定△AED∽△ABC的是(
C
)
A．∠AED＝∠B
B．∠ADE＝∠C
C．∠ADE＝∠B
D．＝
5、如图，在菱形ABCD中，已知AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，点E在CB的延长线上，点F在DC的延长线上，有下列结论：①BE＝CF；②∠EAB＝∠CEF；③△ABE∽△EFC；
④若∠BAE＝15°，则点F到BC的距离为2－2.则其中正确结论的个数是( B )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
6、如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(
)
A.
A
B.
B
C.
C
D.
D
试题解析：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
故选C．
7、如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①，②，③，④四个三角形，
若OA·OC＝OB·OD，则下列结论中一定正确的是(
)
A.
①和②相似
B.
②和③相似
C.
①和④相似
D.
②和④相似
【详解】由OA·OC＝OB·OD，得
,又∠AOD=∠BOC，所以，△AOD∽△BOC.
故选：D
8、如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的一组是(
C
)
A．①和② B．②和③
C．①和③
D．②和④
9、如图，△ABC中，E在AD上，且E是△ABC的重心，若S△ABC＝36，则S△DEC等于( C )
A．3 B．4 C．6 D．9
10、已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，△ABC的面积为40，则△DEF的面积为（ ）
A．60
B．70
C．80
D．90
【解答】解：∵△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，
∴面积比为4：9，
∵△ABC的面积为40，
∴△DEF的面积为90，
故选：D．
11、如图，在△ABC中，点D，E分别是AC和BC的中点，则△DEC和△ABC的周长之比为（ ）
A．1：2
B．2：3
C．1：3
D．1：4
解：∵点D，E分别是AC和BC的中点，∴DE为△ABC中位线，
∴DE∥AB，DE＝AB，∴△CDE∽△CAB，∴＝＝．
故选：A．
12、下列条件中，能使成立的是（
）
A．∠C＝98°，∠E＝98°，；
B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，EF＝8，DE＝10，FD＝6
C．∠A＝∠F＝90°，AC＝5，BC＝13，DF＝10，EF＝26；
D．∠B＝35°，BC
＝10，BC上的高AG＝7；∠E＝35°，EF＝5，EF上的高DH
＝3.5
【答案】D
二、填空题
13、如图，AB∥CD∥EF．若AD：AF＝3：5，BC＝6，则CE的长为
4
．
14、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边AB上，线段DC绕点D逆时针旋转，端点C恰巧落在边AC上的点E处．如果＝m，＝n．那么m与n满足的关系式是：m＝
2n+1
（用含n的代数式表示m）．
15、如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点E在AB上，点F在CD上，点G，H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，则AE的长是____5
____.
16、如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE，AE分别交于点P，M.对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP·MD＝MA·ME；③2CB2＝CP·CM.
其中正确的是___①②③____.
17、如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E.若AB＝12，
BM＝5，则DE的长为_____
____.
18、△ABC的三边长分别为，，2，△A1B1C1的两边长为1，，要使△ABC∽△A1B1C1，
那么△A1B1C1的第三边长为_
______
19、如图，图中的每个点(包括△ABC的各个顶点)都在边长为1的小正方形的顶点上，在P，Q，G，H中
找
一个点，使它与点D，E构成的三角形与△ABC相似，这个点可以是__Q或G_____．
(写出满足条件的所有的点)
20、如图，△ABC的中线AD，CE相交于O，EF∥BC交AD于F，则OD∶FA＝___.2∶3_____．
21、如图，O为Rt△ABC斜边中点，AB＝10，BC＝6，M，N在AC边上，若△OMN∽△BOC，点M的对应点是O，则CM＝
．
解：∵△OMN∽△BOC，∴∠NMO＝∠BOC，∴∠AOC＝∠CMO，
∵∠BOC＝∠OMN，又∵∠MCO＝∠OCA，∴△OCM∽△ACO，
∴OC2＝CM?CA，∴25＝CM?8，∴CM＝．故答案为：．
22、如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到A′B′C′的位置，如果点A′恰好是△ABC的重心，A′B′、A′C′分别于BC交于点M、N，那么△A′MN面积与△ABC的面积之比是 ．
【解答】解：∵点A′恰好是△ABC的重心，∴A'D＝AD，
∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移到A′B′C′的位置，∴△ABC∽△A'MN，
∴△A′MN面积与△ABC的面积之比＝（）2＝，
故答案为：．
23、如图，△ABC∽△A′B′C′，AD、BE分别是△ABC的高和中线，A′D′、B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，且AD＝4，A′D′＝3，BE＝6，则B′E′的长为______
24、已知如图，DE是△ABC的中位线，点P是DE的中点，CP的延长线交AB于点Q，
那么S△CPE：S△ABC＝
．
【解答】解：连结AP并延长交BC于点F，
∵DE是△ABC的中位线，∴E是AC的中点，∴S△CPE＝S△AEP，
∵点P是DE的中点，∴S△AEP＝S△ADP，∴S△CPE：S△ADE＝1：2，
∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE：BC＝1：2，
∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC＝1：4，∴S△CPE：S△ABC＝1：8．
故答案为：1：8．
三、解答题
25、如图，直线EF分别交△ABC的边AC、AB于点E、F，交边BC的延长线于点D，且AB·BF＝BC·BD.
求证：AE·EC＝EF·ED.
证明：∵AB·BF＝BC·BD，∴＝.又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△DBF.∴∠A＝∠D.
又∵∠AEF＝∠DEC，∴△AEF∽△DEC.∴＝，即AE·EC＝EF·ED.
26、如图，已知AB是⊙O的直径，过点O作弦BC的平行线，交过点A的切线AP于点P，
连接AC.求证：△ABC∽△POA.
证明：∵BC∥OP，∴∠AOP＝∠B.
∵AB是直径，∴∠C＝90°.
∵PA是⊙O的切线，切点为A，∴∠OAP＝90°，
∴∠C＝∠OAP，∴△ABC∽△POA.
27、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AC上；
（1）已知AC=4，BC=2，∠CBD=∠A，求BD的长；
（2）取AB，BD的中点E，F，连接EF，求证：△CEF∽△BAD；
解：（1）BD=；
（2）由条件可得：，由三边对应成比例可得：△CEF∽△BAD；
28、如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5
是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
(1)试证明△ABC为直角三角形；
(2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
(3)画一个三角形，它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似．
(要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明)
解：(1)由题意得AB＝2，AC＝，BC＝5，∵AB2＋AC2＝BC2，∴△ABC为直角三角形
(2)△ABC与△DEF相似，理由如下：由勾股定理，得DE＝4，DF＝2，EF＝2，
则＝＝＝，∴△ABC∽△DEF
(3)连接P2P5，P2P4，P4P5，在△P4P5P2中，∵P2P5＝，P4P5＝2，P2P4＝，
∴＝＝＝，∴△ABC∽△P4P5P2，图略
29、如图，已知AC，AD是⊙O的两条割线，AC与⊙O交于B，C两点，AD过圆心O且与⊙O交于E，D两点，OB平分∠AOC.
(1)求证：△ACD∽△ABO；
(2)过点E的切线交AC于点F，若EF∥OC，OC＝3，求EF的值．
解：(1)∵OB平分∠AOC，∴∠BOE＝∠AOC，∵OC＝OD，
∴∠D＝∠OCD，∵∠AOC＝∠D＋∠OCD，∴∠D＝∠AOC，
∴∠D＝∠BOE，且∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABO
(2)∵EF切⊙O于点E，∴∠OEF＝90°，
∵EF∥OC，∴∠DOC＝∠OEF＝90°，
∵OC＝OD＝3，∴CD＝＝3，
∵△ACD∽△ABO，∴＝，
∴＝，∴AE＝3，
∵EF∥OC，∴＝，
∴＝，∴EF＝6－3
30、如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB＝3，AD＝2，CE＝1．求DF的长度．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝3，∠ADC＝∠C＝90°．
∵CE＝1，∴DE．
∵AF⊥DE，∴∠AFD＝90°＝∠C，∠ADF+∠DAF＝90°．
又∵∠ADF+∠EDC＝90°，∴∠EDC＝∠DAF，∴△EDC∽△DAF，
∴，即，∴FD，即DF的长度为．
31、四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，对角线BD平分∠ABC．
（1）如图1，延长BC，AD交于点M．
求证：①△MCD∽△MAB；
②AD＝CD；
（2）如图2，连接AC交BD于点F，将△ABC沿着AC翻折得到△AEC，连接DE，若CE∥BD，BC＝6，CD＝4，求CF的长．
【解析】（1）证明：①∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠MDC+∠ADC＝180°，∴∠MDC＝∠ABC，
又∵∠M＝∠M，∴△MCD∽△MAB；
②连接AC，如图1所示：
∵①△MCD∽△MAB，∴，∴，
又∵∠M＝∠M，∴△MBD∽△MAC，∴∠MBD＝∠MAC，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，BD平分∠ABC，∴2∠MBD+∠ADC＝180°，
∵∠ADC+∠MAC+∠DCA＝180°，∴∠DCA＝∠MBD，∴∠DCA＝∠MAC，∴AD＝CD；
（2）连接BE交AC于点N，如图2所示：
∵将△ABC沿着AC翻折得到△AEC，∴点B与点E关于AC对称，EC＝BC＝6，∴BN＝EN，
∵CE∥BD，∴∠CEN＝∠FBN，
在△CEN和△FBN中，，∴△CEN≌△FBN（ASA），∴EC＝BF＝6，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴A、B、C、D四点共圆，∴∠DAC＝∠DBC，
∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，∴∠DBC＝∠DCA，
又∵∠BDC＝∠BDC，∴△DBC∽△DCF，∴，∴DB?DF＝DC2，
∴DB?（DB﹣BF）＝DC2，∴DB2﹣6DB＝16，
解得：DB＝8，或DB＝﹣2（舍去），
∵，即，解得：CF＝3．
32、如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M．
（1）求证：△MFC∽△MCA；
（2）求证△ACF∽△ABE；
（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的边长．
解：（1）四边形是正方形，四边形是正方形，，
，，
，；
（2）四边形是正方形，，，，
同理可得，，
，，；
（3），，，，
，，即，，
，，即正方形的边长为．第6章6.4～6.5相似三角形的判定与性质专题-苏科版九年级数学下册
培优训练
一、选择题
1、如图，直线l1∥l2∥l3，两条直线AC和DF与l1，l2，l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．则下列比例式不正确的是（ ）
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
2、如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，
则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3、如图，DE∥BC，DF∥AC，那么下列比例式中正确的是（ ）
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
4、如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
5、如图，已知△ABC与△ADE中，∠C＝∠AED＝90°，点E在AB上，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△DAE的是(
)
A．＝
B．∠B＝∠D
C．AD∥BC
D．∠BAC＝∠D
6、如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，使得AF∥BC，延长BC交AE于点D，则线段CD的长为(
)
A．4
B．5
C．6
D．7
7、如图，点D是△ABC的边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是(
)
A.
AC∶BC＝AD∶BD
B.
AC∶BC＝AB∶AD
C.
AB2＝CD·BC
D.
AB2＝BD·BC
8、如图，BD平分∠ABC，AB＝2，BC＝3，当BD＝_______时，△ABD∽△DBC.
9、如图所示，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC；②△BCD；③△BDE；④△BFG；⑤△FGH；⑥△EFK.其中②～⑥中与①相似的是(
)
A．②③④
B．③④⑤
C．④⑤⑥
D．②③⑥
10、如图在△ABC中，点O是重心，BC＝10，连接AO并延长交BC于点D，连接BO并延长交AC于点E，AD⊥BE.若BE＝6，AO＝6，则AC的长为( )
A．8
B．4
C．12
D．14
11、如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OA＝2，OB＝OD＝3，OC＝4.5，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．∠OAD＝∠OBC
B．＝
C．＝
D．＝
12、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N，连按EN、EF，有以下结论：①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；
③当AE=AF时，；④BE+DF=EF．其中正确的个数有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二、填空题
13、如图，l1∥l2∥l3，如果AB＝2，BC＝3，DE＝1，那么EF＝
．
14、如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，P点在BC边上的高AD上，且，BP的延长线交AC于E，若S△ABC＝10，则S△ABE＝_____；S△DEC＝_____．
15、如图，AD是△ABC的中线，点E在AC延长线上，BE交AD的延长线于点F，若AC＝2CE，
则＝
．
16、在△ABC中，AB＝3，AC＝4，在△A′B′C′中，A′B′＝8，A′C′＝6，
则当BC∶B′C′＝_______时，△A′B′C′∽__________
17、如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，点P在BC上运动(不与B，C重合)，过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为_______.
18、如图，在边长为1的正方形网格中有点P，A，B，C，
则图中所形成的三角形中，相似的三角形是______．
19、如图在△ABC中，AE，BF交于点D，且D是△ABC的重心，S△DEF＝2，△AEC的面积为____．
20、已知△ABC∽△A'B'C'，S△ABC：S△A'B'C'＝1：4，若AB＝2，则A'B'的长为
．
21、如图，在?ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（ ）
A．16
B．17
C．24
D．25
22、已知△ABC∽△DEF，且相似比为4∶3，若△ABC中∠A的角平分线AM＝8，
则△DEF中∠D的角平分线DN＝_________
23、如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，
若S△DOE：S△COA＝1：25，则S△DOE与S△COE的比是（ ）
A．1：25
B．1：5
C．1：4
D．1：3
24、如图，在平行四边形ABCD中，点E在DA的延长线上，且AE=AD，连接CE交BD于点F，交AB于点G，则S△BGC：S四边形ADCG的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、解答题
25、如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作AC的平行线，过点C作CD的垂线，两线相交于点E．
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若CE=2，CD=4，求△ABC的面积．
26、如图，△ABC内接于⊙O，AC＝BC，CD是⊙O的直径，与AB相交于点G，过点D作EF∥AB，分别交CA，CB的延长线于点E，F，连接BD.
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)求证：BD2＝AC·BF.
27、如图，已知∠MON＝90°，A是∠MON内部的一点，过点A作AB⊥ON，垂足为点B，AB＝3厘米，OB＝4厘米，动点E，F同时从O点出发，点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动，点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动，EF与OA交于点C，连接AE，当点E到达点B时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒(t＞0)．
(1)当t＝1秒时，△EOF与△ABO是否相似？请说明理由；
(2)在运动过程中，不论t取何值时，总有EF⊥OA.为什么？
28、如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.
(1)求证：△ABM∽△EFA；
(2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．
29、如图⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.
(1)求证：PD是⊙O的切线；
(2)求证：△PBD∽△DCA；
(3)当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长．
30、如图，已知在△ABC中，EF∥CD，AF＝3，AD＝5，AE＝4．
（1）求CE的长；
（2）当AB=时，求证：DE∥BC．
31、如图，在矩形ABCD中，E是边AD上的一点，将△CDE沿CE折叠得到△CFE，点F恰好落在边AB上．
（1）证明：△AEF∽△BFC．
（2）若AB，BC＝1，作线段CE的中垂线，交AB于点P，交CD于点Q，连结PE，PC．
①求线段DQ的长．
②试判断△PCE的形状，并说明理由．
32、如图，已知点C在⊙O上，AC=AB，动点P与点C位于直径AB的异侧，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B两点重合)，连结BP，过点C作直线PB的垂线CD交直线PB于D点，连结CP．
（1）如图1，在点P运动过程中，求∠CPD的度数；
（2）求证：△PCD∽△ABC；
（3）如图2，在点P运动过程中，当CP⊥AB，AC=2时，求△BPC的周长．
第6章6.4～6.5相似三角形的判定与性质专题-苏科版九年级数学下册
培优训练(答案)
一、选择题
1、如图，直线l1∥l2∥l3，两条直线AC和DF与l1，l2，l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．则下列比例式不正确的是（ D ）
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
2、如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，
则的值为（ C ）
A．
B．
C．
D．
3、如图，DE∥BC，DF∥AC，那么下列比例式中正确的是（ C ）
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
4、如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：作FG⊥AB于点G，
∵∠DAB=90°，∴AE∥FG，∴=，
∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，
又∵BE是∠ABC的平分线，∴FG=FC，
在Rt△BGF和Rt△BCF中，∴Rt△BGF≌Rt△BCF（HL），∴CB=GB，
∵AC=BC，∴∠CBA=45°，∴AB=BC，∴====+1．
故选：C．
5、如图，已知△ABC与△ADE中，∠C＝∠AED＝90°，点E在AB上，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△DAE的是(
A
)
A．＝
B．∠B＝∠D
C．AD∥BC
D．∠BAC＝∠D
6、如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，使得AF∥BC，延长BC交AE于点D，则线段CD的长为(
A
)
A．4
B．5
C．6
D．7
7、如图，点D是△ABC的边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是(
)
A.
AC∶BC＝AD∶BD
B.
AC∶BC＝AB∶AD
C.
AB2＝CD·BC
D.
AB2＝BD·BC
【详解】根据：由,∠B=∠B
得△ABC∽△DBA.
故选：D
8、如图，BD平分∠ABC，AB＝2，BC＝3，当BD＝_______时，△ABD∽△DBC.
【详解】∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，
又∵△ABD∽△DBC，∴=，
∵AB=2，BC=3，∴BD2=2×3=6，解得：BD=，则BD=时，△ABD∽△DBC．
故答案为：
9、如图所示，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC；②△BCD；③△BDE；④△BFG；⑤△FGH；⑥△EFK.其中②～⑥中与①相似的是(
B
)
A．②③④
B．③④⑤
C．④⑤⑥
D．②③⑥
10、如图在△ABC中，点O是重心，BC＝10，连接AO并延长交BC于点D，连接BO并延长交AC于点E，AD⊥BE.若BE＝6，AO＝6，则AC的长为( )
A．8
B．4
C．12
D．14
[解析]
∵O是△ABC的重心，
∴E是AC的中点，OE＝BE＝×6＝2.
∵AD⊥BE，∴AE＝＝2，
∴AC＝2AE＝2×2＝4.
故选B.
11、如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OA＝2，OB＝OD＝3，OC＝4.5，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．∠OAD＝∠OBC
B．＝
C．＝
D．＝
【解答】解：∵OA＝2，OB＝OD＝3，OC＝4.5，∴，
∵∠AOD＝∠BOC，∴△OAD∽△OBC，
∴∠OAD＝∠OBC，，
同理可得△AOB∽△DOC，，，
故B，C，D选项不正确，
故选：A．
12、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N，连按EN、EF，有以下结论：①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；
③当AE=AF时，；④BE+DF=EF．其中正确的个数有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】D
二、填空题
13、如图，l1∥l2∥l3，如果AB＝2，BC＝3，DE＝1，那么EF＝
．
14、如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，P点在BC边上的高AD上，且，BP的延长线交AC于E，若S△ABC＝10，则S△ABE＝_____；S△DEC＝_____．
【答案】2
4
解：如图所示，取EC中点F，连接DF．
∵AB＝AC，AD为BC边上的高，∴D为BC中点．
∵F为EC中点，∴DF∥BE，则DF∥PE，∴，∴＝．
∴，∴S△ABE＝S△ABC＝×10＝2；
∵S△BEC＝S△ABC﹣S△ABE＝10﹣2＝8，又∵D为BC中点，∴S△DEC＝S△BEC＝×8＝4．故答案为2，4．
15、如图，AD是△ABC的中线，点E在AC延长线上，BE交AD的延长线于点F，若AC＝2CE，
则＝
5
．
16、在△ABC中，AB＝3，AC＝4，在△A′B′C′中，A′B′＝8，A′C′＝6，
则当BC∶B′C′＝___1∶2
____时，△A′B′C′∽______
△ACB_____
17、如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，点P在BC上运动(不与B，C重合)，过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为__4______.
18、如图，在边长为1的正方形网格中有点P，A，B，C，
则图中所形成的三角形中，相似的三角形是_△APB∽△CPA______．
19、如图在△ABC中，AE，BF交于点D，且D是△ABC的重心，S△DEF＝2，△AEC的面积为____．
解：∵D是△ABC的重心，
∴AD＝2DE，F为AC的中点，
∴S△ADF＝2S△DEF＝4，
∴S△EFC＝S△AEF＝6，∴S△AEC＝12.
20、已知△ABC∽△A'B'C'，S△ABC：S△A'B'C'＝1：4，若AB＝2，则A'B'的长为
．
解：∵△ABC∽△A'B'C'，且S△ABC：S△A'B''C'＝1：4，∴AB：A′B′＝1：2，
∵AB＝2，∴A′B′＝4．故答案为4．
21、如图，在?ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（ ）
A．16
B．17
C．24
D．25
【解答】解：∵在?ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF，∴∠BAF＝∠F，∴∠DAF＝∠F，∴DF＝AD＝15，
同理BE＝AB＝10，∴CF＝DF﹣CD＝15﹣10＝5；
∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝10，BG＝8，
在Rt△ABG中，AG6，∴AE＝2AG＝12，
∴△ABE的周长等于10+10+12＝32，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CF，
∴△CEF∽△BEA，相似比为5：10＝1：2，∴△CEF的周长为16．
故选：A．
22、已知△ABC∽△DEF，且相似比为4∶3，若△ABC中∠A的角平分线AM＝8，
则△DEF中∠D的角平分线DN＝_____6____
23、如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，
若S△DOE：S△COA＝1：25，则S△DOE与S△COE的比是（ ）
A．1：25
B．1：5
C．1：4
D．1：3
【解答】解：∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，∴（）2，
∴，∴S△DOE与S△COE的比为1：5，
故选：B．
24、如图，在平行四边形ABCD中，点E在DA的延长线上，且AEAD，连接CE交BD于点F，交AB于点G，则S△BGC：S四边形ADCG的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB∥CD，
∵AE∥BC，∴△AEG∽△BCG，
∴（）2＝（）2＝（）2，即S△BCG＝9S△AEG，
∵AG∥CD，∴△EAG∽△EDC，
∴（）2＝（）2＝（）2，即S△EDC＝16S△EAG，
∴S四边形ADCG＝15S△EAG，∴S△BGC：S四边形ADCG＝9S△AEG：15S△EAG＝3：5．
故选：A．
三、解答题
25、如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作AC的平行线，过点C作CD的垂线，两线相交于点E．
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若CE=2，CD=4，求△ABC的面积．
【答案】（1）证明：∵CE⊥CD，∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DCE=90°，
∵CD是Rt△ACB斜边的中线，∴CD=AD=DB，∴∠A=∠ACD，
∵DE∥AC，∴∠CDE=∠ACD，∴∠A=∠CDE，∴△ACB∽△DCE；
（2）由（1）可得：△ACB∽△DCE，
∵CE=2，CD=4，∴，AB=8，
∴在Rt△ACB中，，即,
∴，
∴．
26、如图，△ABC内接于⊙O，AC＝BC，CD是⊙O的直径，与AB相交于点G，过点D作EF∥AB，分别交CA，CB的延长线于点E，F，连接BD.
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)求证：BD2＝AC·BF.
解：(1)∵AC＝BC，CD是圆的直径，
∴由圆的对称性可知：∠ACD＝∠BCD，∴CD⊥AB，∵AB∥EF，∴∠CDF＝∠CGB＝90°，
∵OD是圆的半径，∴EF是⊙O的切线
(2)∵∠BDF＋∠CDB＝∠CDB＋∠BCD＝90°，∴∠BDF＝∠BCD，
∴△BCD∽△BDF，∴＝，∴BD2＝BC·BF，
∵BC＝AC，∴BD2＝AC·BF
27、如图，已知∠MON＝90°，A是∠MON内部的一点，过点A作AB⊥ON，垂足为点B，AB＝3厘米，OB＝4厘米，动点E，F同时从O点出发，点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动，点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动，EF与OA交于点C，连接AE，当点E到达点B时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒(t＞0)．
(1)当t＝1秒时，△EOF与△ABO是否相似？请说明理由；
(2)在运动过程中，不论t取何值时，总有EF⊥OA.为什么？
解：(1)∵t＝1秒，∴OE＝1.5厘米，OF＝2厘米．∵AB＝3厘米，OB＝4厘米，
∴＝＝，＝＝.又∵∠MON＝∠ABE＝90°，∴△EOF∽△ABO.
(2)在运动过程中，OE＝1.5t，OF＝2t.∵AB＝3，OB＝4，∴＝.又∵∠EOF＝∠ABO＝90°，
∴Rt△EOF∽Rt△ABO.∴∠EFO＝∠AOB.
又∵∠AOB＋∠FOC＝90°，∴∠EFO＋∠FOC＝90°.∴∠FCO＝90°.∴EF⊥OA.
28、如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.
(1)求证：△ABM∽△EFA；
(2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．
解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠AMB＝∠EAF，又∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°，
∴∠B＝∠AFE，∴△ABM∽△EFA
(2)∵∠B＝90°，AB＝12，BM＝5，∴AM＝＝13，
AD＝12，∵F是AM的中点，∴AF＝AM＝6.5，∵△ABM∽△EFA，
∴＝，即＝，∴AE＝16.9，∴DE＝AE－AD＝4.9
29、如图⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.
(1)求证：PD是⊙O的切线；
(2)求证：△PBD∽△DCA；
(3)当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长．
解：(1)证明：如图，连接OD.
∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝90°.
∵∠BAC的平分线交⊙O于点D，∴∠BAD＝∠CAD＝45°，∴∠BOD＝90°.
∵PD∥BC，∴∠PDO＋∠BOD＝180°，∴∠PDO＝90°，即PD⊥OD.
又∵点D在⊙O上，∴PD是⊙O的切线．
(2)证明：∵四边形ABDC内接于⊙O，∴∠ABD＋∠DCA＝180°.
又∵∠PBD＋∠ABD＝180°，∴∠PBD＝∠DCA.
∵PD∥BC，∴∠P＝∠ABC.
又∵∠ABC＝∠ADC，∴∠P＝∠ADC，∴△PBD∽△DCA.
(3)在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝＝＝10，∴OB＝OC＝OD＝5.
又∵OD⊥BC，∴DB＝DC＝5
.
∵△PBD∽△DCA，∴＝，
即＝，∴PB＝＝.
30、如图，已知在△ABC中，EF∥CD，AF＝3，AD＝5，AE＝4．
（1）求CE的长；
（2）当AB=时，求证：DE∥BC．
【答案】解：（1）∵EF∥CD，∴，
∵AF＝3，AD＝5，AE＝4，∴，解得：AC，
∵AE＝4，∴CE＝AC﹣AE4；
（2）∵AB，AD＝5，AE＝4，AC，∴，
∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC．
31、如图，在矩形ABCD中，E是边AD上的一点，将△CDE沿CE折叠得到△CFE，点F恰好落在边AB上．
（1）证明：△AEF∽△BFC．
（2）若AB，BC＝1，作线段CE的中垂线，交AB于点P，交CD于点Q，连结PE，PC．
①求线段DQ的长．
②试判断△PCE的形状，并说明理由．
【解析】证明：（1）∵将△CDE沿CE折叠得到△CFE，∴∠D＝∠EFC＝90°，∴∠AFE+∠BFC＝90°，
又∵∠AFE+∠AEF＝90°，∴∠AEF＝∠BFC，
又∵∠A＝∠B＝90°，∴△AEF∽△BFC；
（2）①连接EQ，
∵将△CDE沿CE折叠得到△CFE，∴CD＝CF，
∴BF1，∴BC＝BF＝1，∴∠BFC＝∠BCF＝45°，
∴∠AFE＝45°＝∠AEF，∴AE＝AF＝AB﹣BF1，∴DE＝AD﹣AE＝2，
∵PQ是EC的垂直平分线，∴EQ＝CQ，
∵EQ2＝DQ2+DE2，∴（DQ）2＝DQ2+（2）2，∴DQ＝2；
②△PEC是等腰直角三角形，
理由如下：∵PQ是EC的垂直平分线，∴PE＝PC，
∵PE2＝AE2+AP2，PC2＝PB2+BC2，∴（1）2+（BP）2＝PB2+1，∴BP1，∴BP＝AE，
在Rt△AEP和Rt△BPC中，，∴Rt△AEP≌Rt△BPC（HL），
∴∠APE＝∠BCP，∠AEP＝∠BPC，
∵∠APE+∠AEP＝90°，∴∠APE+∠BPC＝90°，∴∠EPC＝90°，∴△PEC是等腰直角三角形．
32、如图，已知点C在⊙O上，AC=AB，动点P与点C位于直径AB的异侧，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B两点重合)，连结BP，过点C作直线PB的垂线CD交直线PB于D点，连结CP．
（1）如图1，在点P运动过程中，求∠CPD的度数；
（2）求证：△PCD∽△ABC；
（3）如图2，在点P运动过程中，当CP⊥AB，AC=2时，求△BPC的周长．
【答案】(1)解：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，
∵AC=AB，∴∠ABC=30°，∴∠A=90°?∠ABC=60°，∴∠CPD=∠A=60°；
（2）证明：∵CD⊥PD，∴∠PDC=90°，∴∠ACB=∠PDC，
又∵∠CPD=∠A，∴△PCD∽△ABC；
（3）解：∵∠A=60°，∴∠BPC=∠A=60°．
∵PC⊥AB，AB是直径，∴=，∴∠ABP=∠ABC=30°，∴∠CPB=60°，
∴△CBP是等边三角形，∴BP=BC=CP．
∵在Rt△ABC中，AC=2，∠ABC=30°，∴AB=2AC=4，∴BC==，
∴△BCP的周长=BP+BC+CP=．
