人教版八年级上册第十五章分式2学案
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文档简介
教
师:
初
学生:
上课时间
年
月
日
阶
段:
基础（
）
提高（）
强化（
）
课时计划
共（
）次课
第
（
）
次课
教学课题:
分式方程
教学目标:
1.
掌握分式方程的几种解法。
2.分式方程与实际问题的运用。
教学重难点：
重点：分式相关概念的掌握，运算法则的运用。
难点：各种运算混合运用的掌握。
教
学
过
程
1.课前检测，相互沟通交流。
2.掌握整式的各种运算法则。
3.能用整式的运算法则解决较复杂问题。
课后作业
见附件
教学反思
知识点
考点1
分式方程
分式方程
分母里含有字母的方程叫做分式方程。
使方程的分母等于零的根
在方程的变形时，有时可能产生不适合原方程的根，使方程中的分母为零，因此解分式方程要验根，其方法是代入最简公分母中看分母是不是为零。
解分式方程的基本思想
把分式方程转化为整式方程，即分式方程
去分母
整式方程。
考点2
分式方程的常用解法
直接去分母法：方程两边同乘各分式的公分母，约去分母，化为整式方程，再求根、验根。
注意：有些分式方程直接去分母会产生不易解的高次方程，因此可选择一些特殊方法，先将原方程进行有效变形。
考点3
列分式方程解应用题的注意事项
列分式方程解应用题的步骤跟其他应用题有点不一样的是：要检验两次，既要检验求出来的解是否为原方程的根，又要检验是否符合题意。
类型之一
分式方程的概念
命题角度：
分式方程的概念
分式方程的增根：分式方程的分母等于零的根。
例1
若关于x的分式方程无解，则a=
2．下列各式中，不是分式方程的是（
）
1．若分式方程有增根，则增根为
类型之二
分式方程的解法
命题角度“
去分母法
换元法
注意解分式方程必须检验
点评：（1）检验是解分式方程重要的步骤，不可忽略；（2）换元法是重要的数学方法，关键是一个未知数替换原方程的一个代数式，使原方程转化为该未知数的方程。
解方程：
变式题：解方程：
常用方法
1．一般法
所谓一般法，就是先去分母，将分式方程转化为一个整式方程。然后解这个整式方程。
解
原方程就是
方程两边同乘以（x＋3）（x－3），约去分母，得4（x－3）＋x（x＋3）=x2－9－2x。
2．换元法
使用换元法时一定注意:①换元后使原方程或方程组变得简单明显.②能使解题步骤简单.③能使解题省时省力，过程简单，结果准确.④对求出的方程(方程组)的根一定要检验，避免出现增根或漏根现象.
分析
本方程若去分母，则原方程会变成高次方程，很难求出方程的
解
设x2＋x=y，原方程可变形为
解这个方程，得y1=－2，y2=1。当y=－2时，x2＋x=－2。∵Δ＜0，∴该方程无实根；
当y=1时，x2＋x=1，∴经检验，是原方程的根，所以原方程的根是。
（1）、单个换元：
1.
解方程。
2.
解方程。
（2）、部分换元：
部分换元之后，一般方程还剩下两个未知数
例3.
解方程
分析：方程变形：
，
方程可进行部分换元：
设，
方程整理可得，可解得，
再代入，求出方程的解并检验。
例4.
解方程
。
3．配方法
配方法就是先把分式方程中的常数项移到方程的左边，再把左边配成一个完全平方式，进而可以用直接开平方法求解。
例6
解方程。
解：移项，得
配方得
直接开平方得：
∴x2±6x＋5=0，
解这个方程，得x=±5，或x=±1。
检验知，它们都是原方程的根。所以，原方程的根是x1=5，x2=－5，x3=1，x4=－1。
练习：
1.
解分式方程
1）.
2）.
3）.
4）
5）
6）
7）
8）
分式的实际应用
应用题基本公式有四种：
(1)行程问题：路程=速度×时间．
(2)数字问题：掌握十进制数的表示法．
(3)工程问题：工作量=工时×工效．
(4)顺水逆水问题：
v顺水=v静水+v水；
v逆水=v静水-v水．
一、营销类应用性问题
例1
某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料0.5kg少3元，比乙种原料0.5kg多1元，问混合后的单价0.5kg是多少元？
1．某公司去年产值为50万元，计划今年产值达到x万元，使去年的产值仅为去年与今年两年产值和的20%，依题意可列方程
二、工程类应用性问题
例2
某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队共5500元．
⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？
⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．
三、行程中的应用性问题
例3
甲、乙两地相距828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早4h到达乙地，求两车的平均速度．
1、一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地.求前一小时的行驶速度．
四、轮船顺逆水应用问题
例4
轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等，已知水流速度为2千米／时，求船在静水中的速度
1．AB两港之间的海上行程仅为s
km，一艘轮船从A港出发顺水航行，以a
km／h的速度到达B港，已知水流的速度为x
km／h，则这艘轮船返回到A港所用的时间为
h。
五、浓度应用性问题
例5
要在15%的盐水40千克中加入多少盐才能使盐水的浓度变为20%．
1．在x克水中加入a克盐，则盐水的浓度为
六、货物运输应用性问题
例6
一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用．已知甲、乙、丙三辆车每次运货物量不变，且甲、乙两车单独运这批货物分别运次、次能运完；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了180t；若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270t．问：⑴乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍；⑵现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时，货主应付车主运费各多少元？(按每运1t付运费20元计算)
练习题
1.甲、乙、丙三个数字一次大1，若丙数的倒数的两倍与乙数的倒数之和与甲数的倒数的三倍相等，求甲、乙、丙
2.一个两位数的个位上的数为7，若把个位数字与十位数字对调，那么所得的两位数与原两位数的比值为8：3，求原两位数
3.甲乙两地相距125千米，从甲地到乙地，有人乘车，有人骑自行车，自行车比汽车早出发4小时，晚到1/2小时，已知骑车的速度与乘车的速度之比为2：5，求自行车与汽车的速度各式多少？
课堂练习：
1、解方程：
2、方程的解是
3、方程的解是
4、如果关于x的方程无解，则m的值为（
）
A、1
B、3
C、―2
D、2
5、方程无解，则m的值为…………………………（
）
A、0
B、1
C、3
D、6
6、如果方程的根是1，则a的值为
7、在“情系海啸”捐款活动中，某同学对甲、乙两班捐款情况进行统计，得到如下三条信息：
信息一：甲班共捐款300元，乙班共捐款232元
信息二：乙班平均每人捐款钱数是甲班平均每人捐款钱数的
信息三：甲班比乙班多2人
请你根据以上三条信息，求出甲班平均每人捐款多少元？
对应练习：
8、某商店销售一种衬衫，4月份的营业额为5000元，为了扩大销售，在5月份将每件衬衫按原价的8折销售，销量比4月份增加了40件，营业额比4月份增加了600元，求4月份每件衬衫的售价。
课后作业：
一、选择题
1．下列式子是分式的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．下列各式计算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．化简的结果是（
）
A.
B.
C.
D.
4．若把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（
）
A．扩大2倍
B．不变
C．缩小2倍
D．缩小4倍
5．若分式方程有增根，则a的值是（
）
A．1
B．0
C．—1
D．—2
6．一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为x千米/时，则可列方程（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
7．计算=
．
8．用科学记数法表示—0.000
000
0314=
．
9．计算 ． ．
．
10．如果记
=f(x)，并且f(1)表示当x=1时y的值，即f(1)=；f()表示当x=时y的值，即f()=；……那么f(1)+f(2)+f()+f(3)+f()+…+f(n)+f()=
（结果用含n的代数式表示）．
三、解答题（共52分）
11．（10分）计算：
（1）
；
（2）．
12．（10分）解方程求：
（1）
；
（2）．
13．（7分）有一道题：
“先化简，再求值：
其中，x=—3”．
小玲做题时把“x=—3”错抄成了“x=3”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？
14．（8分）今年我市遇到百年一遇的大旱，全市人民齐心协力积极抗旱。某校师生也活动起来捐款打井抗旱，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？
15．（9分）某市从今年1月1日起调整居民用天燃气价格，每立方米天燃气价格上涨25%．小颖家去年12月份的燃气费是96元．今年小颖家将天燃气热水器换成了太阳能热水器，5月份的用气量比去年12月份少10m?，5月份的燃气费是90元．求该市今年居民用气的价格．
10
师:
初
学生:
上课时间
年
月
日
阶
段:
基础（
）
提高（）
强化（
）
课时计划
共（
）次课
第
（
）
次课
教学课题:
分式方程
教学目标:
1.
掌握分式方程的几种解法。
2.分式方程与实际问题的运用。
教学重难点：
重点：分式相关概念的掌握，运算法则的运用。
难点：各种运算混合运用的掌握。
教
学
过
程
1.课前检测，相互沟通交流。
2.掌握整式的各种运算法则。
3.能用整式的运算法则解决较复杂问题。
课后作业
见附件
教学反思
知识点
考点1
分式方程
分式方程
分母里含有字母的方程叫做分式方程。
使方程的分母等于零的根
在方程的变形时，有时可能产生不适合原方程的根，使方程中的分母为零，因此解分式方程要验根，其方法是代入最简公分母中看分母是不是为零。
解分式方程的基本思想
把分式方程转化为整式方程，即分式方程
去分母
整式方程。
考点2
分式方程的常用解法
直接去分母法：方程两边同乘各分式的公分母，约去分母，化为整式方程，再求根、验根。
注意：有些分式方程直接去分母会产生不易解的高次方程，因此可选择一些特殊方法，先将原方程进行有效变形。
考点3
列分式方程解应用题的注意事项
列分式方程解应用题的步骤跟其他应用题有点不一样的是：要检验两次，既要检验求出来的解是否为原方程的根，又要检验是否符合题意。
类型之一
分式方程的概念
命题角度：
分式方程的概念
分式方程的增根：分式方程的分母等于零的根。
例1
若关于x的分式方程无解，则a=
2．下列各式中，不是分式方程的是（
）
1．若分式方程有增根，则增根为
类型之二
分式方程的解法
命题角度“
去分母法
换元法
注意解分式方程必须检验
点评：（1）检验是解分式方程重要的步骤，不可忽略；（2）换元法是重要的数学方法，关键是一个未知数替换原方程的一个代数式，使原方程转化为该未知数的方程。
解方程：
变式题：解方程：
常用方法
1．一般法
所谓一般法，就是先去分母，将分式方程转化为一个整式方程。然后解这个整式方程。
解
原方程就是
方程两边同乘以（x＋3）（x－3），约去分母，得4（x－3）＋x（x＋3）=x2－9－2x。
2．换元法
使用换元法时一定注意:①换元后使原方程或方程组变得简单明显.②能使解题步骤简单.③能使解题省时省力，过程简单，结果准确.④对求出的方程(方程组)的根一定要检验，避免出现增根或漏根现象.
分析
本方程若去分母，则原方程会变成高次方程，很难求出方程的
解
设x2＋x=y，原方程可变形为
解这个方程，得y1=－2，y2=1。当y=－2时，x2＋x=－2。∵Δ＜0，∴该方程无实根；
当y=1时，x2＋x=1，∴经检验，是原方程的根，所以原方程的根是。
（1）、单个换元：
1.
解方程。
2.
解方程。
（2）、部分换元：
部分换元之后，一般方程还剩下两个未知数
例3.
解方程
分析：方程变形：
，
方程可进行部分换元：
设，
方程整理可得，可解得，
再代入，求出方程的解并检验。
例4.
解方程
。
3．配方法
配方法就是先把分式方程中的常数项移到方程的左边，再把左边配成一个完全平方式，进而可以用直接开平方法求解。
例6
解方程。
解：移项，得
配方得
直接开平方得：
∴x2±6x＋5=0，
解这个方程，得x=±5，或x=±1。
检验知，它们都是原方程的根。所以，原方程的根是x1=5，x2=－5，x3=1，x4=－1。
练习：
1.
解分式方程
1）.
2）.
3）.
4）
5）
6）
7）
8）
分式的实际应用
应用题基本公式有四种：
(1)行程问题：路程=速度×时间．
(2)数字问题：掌握十进制数的表示法．
(3)工程问题：工作量=工时×工效．
(4)顺水逆水问题：
v顺水=v静水+v水；
v逆水=v静水-v水．
一、营销类应用性问题
例1
某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料0.5kg少3元，比乙种原料0.5kg多1元，问混合后的单价0.5kg是多少元？
1．某公司去年产值为50万元，计划今年产值达到x万元，使去年的产值仅为去年与今年两年产值和的20%，依题意可列方程
二、工程类应用性问题
例2
某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队共5500元．
⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？
⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．
三、行程中的应用性问题
例3
甲、乙两地相距828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早4h到达乙地，求两车的平均速度．
1、一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地.求前一小时的行驶速度．
四、轮船顺逆水应用问题
例4
轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等，已知水流速度为2千米／时，求船在静水中的速度
1．AB两港之间的海上行程仅为s
km，一艘轮船从A港出发顺水航行，以a
km／h的速度到达B港，已知水流的速度为x
km／h，则这艘轮船返回到A港所用的时间为
h。
五、浓度应用性问题
例5
要在15%的盐水40千克中加入多少盐才能使盐水的浓度变为20%．
1．在x克水中加入a克盐，则盐水的浓度为
六、货物运输应用性问题
例6
一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用．已知甲、乙、丙三辆车每次运货物量不变，且甲、乙两车单独运这批货物分别运次、次能运完；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了180t；若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270t．问：⑴乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍；⑵现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时，货主应付车主运费各多少元？(按每运1t付运费20元计算)
练习题
1.甲、乙、丙三个数字一次大1，若丙数的倒数的两倍与乙数的倒数之和与甲数的倒数的三倍相等，求甲、乙、丙
2.一个两位数的个位上的数为7，若把个位数字与十位数字对调，那么所得的两位数与原两位数的比值为8：3，求原两位数
3.甲乙两地相距125千米，从甲地到乙地，有人乘车，有人骑自行车，自行车比汽车早出发4小时，晚到1/2小时，已知骑车的速度与乘车的速度之比为2：5，求自行车与汽车的速度各式多少？
课堂练习：
1、解方程：
2、方程的解是
3、方程的解是
4、如果关于x的方程无解，则m的值为（
）
A、1
B、3
C、―2
D、2
5、方程无解，则m的值为…………………………（
）
A、0
B、1
C、3
D、6
6、如果方程的根是1，则a的值为
7、在“情系海啸”捐款活动中，某同学对甲、乙两班捐款情况进行统计，得到如下三条信息：
信息一：甲班共捐款300元，乙班共捐款232元
信息二：乙班平均每人捐款钱数是甲班平均每人捐款钱数的
信息三：甲班比乙班多2人
请你根据以上三条信息，求出甲班平均每人捐款多少元？
对应练习：
8、某商店销售一种衬衫，4月份的营业额为5000元，为了扩大销售，在5月份将每件衬衫按原价的8折销售，销量比4月份增加了40件，营业额比4月份增加了600元，求4月份每件衬衫的售价。
课后作业：
一、选择题
1．下列式子是分式的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．下列各式计算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．化简的结果是（
）
A.
B.
C.
D.
4．若把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（
）
A．扩大2倍
B．不变
C．缩小2倍
D．缩小4倍
5．若分式方程有增根，则a的值是（
）
A．1
B．0
C．—1
D．—2
6．一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为x千米/时，则可列方程（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
7．计算=
．
8．用科学记数法表示—0.000
000
0314=
．
9．计算 ． ．
．
10．如果记
=f(x)，并且f(1)表示当x=1时y的值，即f(1)=；f()表示当x=时y的值，即f()=；……那么f(1)+f(2)+f()+f(3)+f()+…+f(n)+f()=
（结果用含n的代数式表示）．
三、解答题（共52分）
11．（10分）计算：
（1）
；
（2）．
12．（10分）解方程求：
（1）
；
（2）．
13．（7分）有一道题：
“先化简，再求值：
其中，x=—3”．
小玲做题时把“x=—3”错抄成了“x=3”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？
14．（8分）今年我市遇到百年一遇的大旱，全市人民齐心协力积极抗旱。某校师生也活动起来捐款打井抗旱，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？
15．（9分）某市从今年1月1日起调整居民用天燃气价格，每立方米天燃气价格上涨25%．小颖家去年12月份的燃气费是96元．今年小颖家将天燃气热水器换成了太阳能热水器，5月份的用气量比去年12月份少10m?，5月份的燃气费是90元．求该市今年居民用气的价格．
10