人教版九年级数学下册导学案 27.3 第2课时 平面直角坐标系中的位似

27.3
位
似
第2课时
平面直角坐标系中的位似
学习目标：1.
理解平面直角坐标系中，位似图形对应点的坐标之间的联系．
2.
会用图形的坐标的变化表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律.
(重点、难点)
3.
了解四种图形变换
(平移、轴对称、旋转和位似)
的异同，并能在复杂图形中找出这些变换.
【自主学习】
一、知识链接
1.
两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做
，这个交点叫做
．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于
，
对应线段
.
2.
如何判断两个图形是不是位似图形?
3.
画位似图形的一般步骤有哪些？
4.
位似的基本模型：
【合作探究】
要点探究
探究点1：平面直角坐标系中的位似变换
观察1
在平面直角坐标系中，有两点
A
(6，3)，B
(6，0)．以原点
O
为位似中心，相似比为，把线段
AB
缩小，观察对应点之间坐标的变化.
回答1
如图，把
AB
缩小后
A，B
的对应点为
A′
(
，
)，
B'
(
，
)；A"
(
，
)，B"
(
，
).
观察1
△AOC
三个顶点坐标分别为
A
(4，4)，O
(0，0)，C
(5，0)，以点
O
为位似中心，相似比为
2，将△AOC
放大，观察对应顶点坐标的变化.
回答2
如图，把
△AOC
放大后
A，O，C
的对应点为
A'
(
，
)，C'
(
，
)；A"
(
，
)，C"
(
，
).
思考
1.在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作几个？
2.所作位似图形与原图形在原点的同侧，那么对应顶点的坐标的比与其相似比是何关系？如果所作位似图形与原图形在原点的异侧呢？
【要点归纳】1.
在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可作两个．
2.
当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为
k；当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的坐标的比为－k．（位似中的相似比k一般指新图形与原图形的比）
3.
当
k＞1
时，图形扩大为原来的
k
倍；当
0＜k＜1时，图形缩小为原来的．
【针对训练】1.
如图，线段
AB
两个端点的坐标分别为
A
(4，4)，B
(6，2)，以原点
O
为位似中心，在第一象限内将线段
AB
缩小为原来的后得到线段
CD，则端点
D
的坐标为(
)
A.
(2，2)
B.
(2，1)
C.
(3，2)
D.
(3，1)
2.
△ABC
三个顶点
A
(3，6)，B
(6，2)，C
(2，－1)，以原点为位似中心，得到的位似图形
△A′B′C′
三个顶点分别为
A′
(1，2)，B′
(2，)，C′
(，)，则
△A′B′C′
与
△ABC
的位似比是
.
【典例精析】
例1
如图，在平面直角坐标系中，△ABO
三个顶点的坐标分别为
A
(－2，4)，B
(－2，0)，O
(0，0).
以原点
O
为位似中心，画出一个三角形使它与
△ABO
的相似比为.
【提示】画三角形关键是确定它各顶点的坐标.
根据前面的归纳可知，点
A
的对应点
A′
的坐标为，即(－3，6)，类似地，可以确定其他顶点的坐标.
【针对训练】在平面直角坐标系中，四边形
OABC
的顶点坐标分别为
O
(0，0)，A
(6，0)，B
(3，6)，C
(－3，3).
以原点
O
为位似中心，画出四边形
OABC
的位似图形，使它与四边形
OABC
的相似是
2
:
3.
探究点2：平面直角坐标系中的图形变换
思考
至此，我们已经学习了四种变换：平移、轴对称、旋转和位似，你能说出它们之间的异同吗？在如图所示的图案中，你能找到这些变换吗？
【针对训练】将图中的
△ABC
做下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化．（每个小方格的长度为1个单位长度）
(1)
沿
y
轴正向平移
3
个单位长度；
(2)
关于
x
轴对称；
(3)
在点C的左侧，以
点C
为位似中心，将△ABC
放大为原来的2倍；
(4)
以
C
为中心，将△ABC
顺时针旋转180°．
二、课堂小结
【达标练习】
1.
将平面直角坐标系中某个图形的各点坐标做如下变化，其中属于位似变换的是(
)
A.
将各点的纵坐标乘以
2，横坐标不变
B.
将各点的横坐标除以
2，纵坐标不变
C.
将各点的横坐标、纵坐标都乘以
2
D.
将各点的纵坐标减去
2，横坐标加上
2
2.
如图，小朋在坐标系中以A为位似中心画了两个位似的直角三角形，可不小心把
E
点弄脏了，则
E
点坐标为
(
)
A．(4，－3)
B．(4，－2)
C．(4，－4)
D．(4，－6)
第2题图
第3题图
3.
如图，某学习小组在讨论
“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形，则小鱼上的点
(a，b)
对应大鱼上的点
.
4.
原点
O
是
△ABC
和
△A′B′C′
的位似中心，点
A
(1，0)
与点
A′
(－2，0)
是对应点，△ABC
的面积是，则
△A′B′C′的面积是
.
5.
△ABC
三个顶点坐标分别为
A
(2，－2)，B
(4，－5)，C
(5，－2)，以原点
O
为位似中心，将这个三角形放大为原来的
2
倍．
6.
在
13×13
的网格图中，已知
△ABC
和点
M
(1，2).
(1)
以点
M
为位似中心，位似比为
2，画出
△ABC的位似图形
△A′B′C′；
(2)
写出
△A′B′C′
的各顶点坐标.
7.
如图，点
A
的坐标为
(3，4)，点
O
的坐标为
(0，0)，点
B
的坐标为
(4，0).
(1)
将
△AOB
沿
x
轴向左平移1
个单位长度后得△A1O1B1，则点
A1
的坐标为
，△A1O1B1的面积为
；
(2)
将
△AOB
绕原点旋转
180°后得
△A2O2B2，则点
A2
的坐标为
；
(3)
将
△AOB
沿
x
轴翻折后得
△A3O3B3，则点
A3
的坐标为
；
(4)
以
O
为位似中心，按比例尺
1
:
2
将
△AOB
放大后得
△A4O4B4，若点
B4
在
x
轴负半轴上，则点
A4的坐标为
，△A4O4B4的面积为
.
拓展提升：
8.
如图，正方形
ABCD
和正方形
OEFG
中，点
A
和点
F
的坐标分别为
(3，2)，(－1，－1)，则两个正方形的位似中心的坐标是
．
【分析】此时两个正方形位似，但未指明对应的点，因此需要分类讨论
参考答案
自主学习
一、知识链接
1.
位似图形
位似中心
相似比
平行或在同一条直线上
2.
解：看它的对应点的连线是否交于一点
3.
解：过位似中心与其他各个顶点各作一条直线，按位似比在直线截取对应长度的线段，依次连接.
合作探究
一、要点探究
探究点1：平面直角坐标系中的位似变换
回答1
2
1
2
0
-2
-1
-2
0
回答2
8
8
10
0
-8
-8
-10
0
【针对训练】1.
D
2.1:3
【典例精析】
例1
解：利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点
A′
(－3，6)，B′
(－3，0)，O
(0，0).顺次连接点
A′
，B′
，O，所得的
△A′
B′
O
就是要画的一个图形.
【针对训练】解：画法一：将四边形
OABC
各顶点的坐标都乘；在平面直角坐标系中描点O
(0，0)，A'
(4，0)，B'
(2，4)，C′
(－2，2)，用线段顺次连接O，A'，B'，C'.
画法二：将四边形
OABC
各顶点的坐标都乘；在平面直角坐标系中描点O
(0，0)，
A″
(-4，0)，B″
(－2，－4)，C″
(2，－2)，用线段顺次连接O，A″，B″，C″.
探究点2：平面直角坐标系中的图形变换
【针对训练】解：（1）如图中红色三角形，横坐标不变，纵坐标加3；
（2）如图中蓝色三角形，纵坐标互为相反数；
（3）如图中粉色三角形，C不变，A横纵坐标均为-2，B的横坐标－1，纵坐标+1.
（4）如图中绿色三角形，C不变，A的横纵坐标均加4，B的横坐标加2，纵坐标-2.
当堂检测
1.
C
2.
A
3.
(-2a，-2b)
4.
6
5.
解：点的坐标为A'
(4，－4)，B'
(8，－10)，C'
(10，－4)；A″
(－4，4)，B″
(－8，10)，C″
(－10，4).
6.
解：（1）如图所示.
（2）△A′B′C′
的各顶点坐标分别为
A′
(3，6)，B′
(5，2)，C′
(11，4).
7.
(1)
（2,4）
8
(2)
（-4，-3）
(3)
（3，-4）
(4)
（-6，-8）
32
拓展提升：
8.
(1，0)
或
(－5，－2)