巢湖四中高二第一学期周末限时作业（12月5日）

巢湖四中高二第一学期周末
理科数学限时作业2
一、单项选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1.已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l?β，下列命题中正确的是（　　）
A.
若，则
B.
若，则
C.
若，则
D.
若，则
2．下列说法正确的是（
）
A．命题“若，则”的否命题为“若，则”
B．若命题，，则，
C．命题“若，则”的逆否命题为真命题
D．“”是“”的必要不充分条件
3．直线的倾斜角的范围是（
）
A．
B．
C．
D．
4.点关于直线的对称点是，则直线在轴上的截距是（
）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
5.“”是“直线与直线平行”的（
）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6、若圆台的上、下底面半径分别是1和3，它的侧面积是两底面面积的2倍，则圆台的母线长是(
)
A.
2
B
.
2．5
C
.
5
D
.
10
7.
已知正方体的棱长为1，为中点，为线段（不含端点）上的动点.三棱锥的体积记为，三棱锥的体积记为，则以下结论正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
大小关系不确定
8.
已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，
则圆的方程为(
)。
A、
B、
C、
D、
9.如图，在三棱柱中，侧棱底面，底面三角形是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是
A.
与是异面直线
B.
平面
C.
AE，为异面直线，且
D.
平面
10．如果实数满足，那么的最大值是
（
）
A．
B．
C．
D．
11.直线y=与圆心为D的圆交与A、B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为
（
）
A．
B．
C．
D．
12.已知点，直线，下列4个结论中正确的个数是??
①l恒过定点②
为坐标原点
③P到直线l的距离有最小值，最小值为3
④P到直线l的距离有最大值，最大值为5
A.
1
B.2
C.
3
D.4
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．）
13．已知正方体的表面积为，则其外接球体积是_____.
14.
若命题“”是假命题，则实数的取值范围是______．
15．已知圆，当圆的面积最小时，直线被圆截得的
弦长为__________．
16、
球O为边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球，P为球O的球面上动点，M为B1C1中点，，则点P的轨迹周长为
.
解答题
（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）已知命题：方程有两个不相等的实数根；
命题：.
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.
18（本小题满分12分）在△ABC中，A（–1，2），边AC上的高BE所在的直线方程为7x+4y–46=0，边AB上中线CM所在的直线方程为2x–11y+54=0．
（1）求点C坐标；
（2）求直线BC的方程．
19．（本小题满分12分）已知直线：，圆：.
（1）平行于的直线与圆相切，求直线的方程；
（2）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，求的面积的取值范围.
（本小题满分12分）如图，直三棱柱中，，分别是，的中点.
（1）证明：平面；
（2），，求三棱锥的体积.
21.（本小题满分12分）已知圆，点P是直线上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B.
（1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标；
（2）若的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由；
22
.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，
垂直于和，为棱上的点，，.
（1）若为棱的中点，求证：//平面；
（2）当时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；
（3）在第（2）问条件下，设点是线段上的动点，与平面所成的角为，求当取最大值时点的位置.
巢湖四中高二第一学期周末
理科数学限时作业
一、单项选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1.已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l?β，给出下列命题，其中正确的是（　A　）
A.
若，则
B.
若，则
C.
若，则
D.
若，则
2．下列说法正确的是C
A．命题“若，则”的否命题为“若，则”
B．若命题，，则，
C．命题“若，则”的逆否命题为真命题
D．“”是“”的必要不充分条件
3．直线的倾斜角的范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
4.
若点关于直线的对称点是，则直线在轴上的截距是（
）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
【答案】D
5.“”是“直线与直线平行”的（
）
（A）充分不必要条件
（B）必要不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
6、若圆台的上、下底面半径分别是1和3，它的侧面积是两底面面积的2倍，则圆台的母线长是(
C
)
A
2
B
2．5
C
5
D
10
7.
已知正方体的棱长为1，为中点，为线段（不含端点）上的动点.三棱锥的体积记为，三棱锥的体积记为，则以下结论正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
大小关系不确定
【答案】C
8
已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为(
B
)。
A、
B、
C、
D、
9.如图，在三棱柱中，侧棱底面，底面三角形是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是
A.
与是异面直线
B.
平面
C.
AE，为异面直线，且
D.
平面
【答案】C
10．如果实数满足，那么的最大值是
D
A．
B．
C．
D．
11、直线y=与圆心为D的圆交与A、B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为
（
C
）
A．
B．
C．
D．
12.已知点，直线，下列结论正确的个数是?C?个
①l恒过定点②
为坐标原点
③P到直线l的距离有最小值，最小值为3
④P到直线l的距离有最大值，最大值为5
A.
1
B.2
C.
3
D.4
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．）
13．已知正方体的表面积为，则其外接球体积是_____.
14.
若命题“”是假命题，则实数的取值范围是______．
【答案】
15．已知圆，当圆的面积最小时，直线被圆截得的弦长为__________．
【答案】
【解析】圆即，故当当圆的面积最小时，，此时圆方程为，圆心为半径为，圆心到直线的距离为，直线被圆截得的弦长为.
16、
球O为边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球，P为球O的球面上动点，M为B1C1中点，，则点P的轨迹周长为
解答题
（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17、（本小题满分10分）已知命题：方程有两个不相等的实数根；命题：.
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.
（1）若为真命题，则应有，
解得.
…………………………4分
（2）若为真命题，则有，即，
因为为真命题，为假命题，
则应一真一假.
（6分）
①当真假时，有，得；
②当假真时，有，
综上：的取值范围是.
…………………………10分
18（本小题满分12分）
在△ABC中，A（–1，2），边AC上的高BE所在的直线方程为7x+4y–46=0，边AB上中线CM所在的直线方程为2x–11y+54=0．
（1）求点C坐标；
（2）求直线BC的方程．
【解析】（1）AC边上的高BE所在的直线方程为7x+4y–46=0，∴kAC．
∴AC的方程为：y–2（x+1），即4x–7y+18=0．（3分）
联立，解得x=6=y．∴C（6，6）．（6分）
（2）设B（a，b），则中点M．（8分）
∴，解得a=2，b=8，∴B（2，8），（10分）
又C（6，6）．
∴BC的方程为：y–6（x–6），化为：x+2y–18=0．（12分）
19．已知直线：，圆：.
（1）平行于的直线与圆相切，求直线的方程；
（2）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，求的面积的取值范围.
【答案】（1）或；（2）.
【解析】（1）∵
∥，∴
设直线：，
∵
与圆相切，∴
圆心到直线的距离等于，
∴
，解得：或，
∴
直线：或。（6分）
（2）∵
直线分别与轴、轴交于、两点，∴
、，则
又圆心到直线的距离，
∴
即，
∴
，∴
的面积的取值范围：.（12分）
20.
如图，直三棱柱中，，分别是，的中点.
（1）证明：平面；
（2），，求三棱锥的体积.
【详解】（1）证明：连接交于点，则为的中点.
直棱柱中，，分别是，的中点，
故为三角形的中位线，故，
由于平面，而不在平面中，
故有平面.（5分）
（2）因为三棱柱是直三棱柱，所以，
由已知，是的中点，所以，
又，所以平面，即是三棱锥的高，
因为，，
故此直三棱柱的底面为等腰直角三角形.
由为的中点可得
∴.
∴，
同理，利用勾股定理求得，.
再由勾股定理可得，∴.
∴，∴.（12分）
21.
.已知圆，点P是直线上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B.
（1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标；
（2）若的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由；
【答案】（1）或；（2）过定点；定点，.
【解析】
【分析】
（1）设，解方程，即得解；
（2）求出圆N方程：，解方程即得解.
【详解】（1）由题可知，圆M的半径，设，
因为PA是圆M的一条切线，所以，
所以，
解得或，
所以点P的坐标为或.（6分）
（2）设，因为，
所以经过A、P、M三点圆N以MP为直径，
其方程为，
即，
由，
解得或，
所以圆过定点，.（6分）
22
如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，
垂直于和，为棱上的点，，.
（1）若为棱的中点，求证：//平面；
（2）当时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；
（3）在第（2）问条件下，设点是线段上的动点，与平面所成的角为，求当取最大值时点的位置.
【答案】（1）见解析；（2）；（3）即点N在线段CD上且
【解析】
【分析】
（1）取线段SC的中点E，连接ME，ED．可证是平行四边形，从而有，则可得线面平行；
（2）以点A为坐标原点，建立分别以AD、AB、AS所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出两平面与平面的法向量，由法向量夹角的余弦值可得二面角的余弦值；
（3）设，其中，求出，由MN与平面所成角的正弦值为与平面的法向量夹角余弦值的绝对值可求得结论．
【详解】（1）证明：取线段SC的中点E，连接ME，ED．
在中，ME为中位线，∴且，
∵且，∴且，
∴四边形AMED为平行四边形．
∴．
∵平面SCD，平面SCD，
∴平面SCD．（4分）
（2）解：如图所示以点A为坐标原点，建立分别以AD、AB、AS所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，
由条件得M为线段SB近B点的三等分点．
于是，即，
设平面AMC的一个法向量为，则，
将坐标代入并取，得．
另外易知平面SAB的一个法向量为，
所以平面AMC与平面SAB所成的锐二面角的余弦为．（8分）
（3）设，其中．
由于，所以．
所以，
可知当，即时分母有最小值，此时有最大值，
此时，，即点N在线段CD上且．（12分）
15