1.1集合的概念
一、单选题
1.已知集合
，
是实数集
的子集，定义
，若集合
，
，则
（???
）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
【答案】
B
【考点】集合的含义，元素与集合关系的判断
【解析】【解答】解：根据题意得
，
，
再根据集合的运算得
.
故答案为：B.
【分析】先根据题意得
，
，再根据集合运算即可得答案.
2.下列说法：
①集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{－1,0,1}；②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}；③方程组
的解集为{x＝1，y＝2}．其中正确的有(??
)
A.?3个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?1个???????????????????????????????????????D.?0个
【答案】
D
【考点】元素与集合关系的判断，集合的表示法
【解析】【解答】∵x3=x的解为-1，0，1，
∴集合{x∈Z|x3=x}用列举法表示为{-1，0，1}，故①正确；
实数集可以表示为{x|x为实数}或R，故②错误；方程组
的解集为{（1，2）}，集合{x=1，y=2}中的元素是x=1，y=2；故③错误；故答案为：D．
【分析】x3=x的解为-1，0，1，因为x∈N从而可知①错误；实数集可以表示为{x|x为实数}或R，故②错误；集合{x=1，y=2}表示x=1与y=2两条直线，故③错误．
3.下列说法中正确的是（
??）
A.?联合国所有常任理事国(共5个）组成一个集合
B.?宜丰二中年龄较小的学生组成一个集合
C.?
与
是不同的集合
D.?由
组成的集合有六个元素
【答案】
A
【考点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】年龄较小不确定，所以B选项错误；
与
是相同的集合，C不符合题意；
由
组成的集合有4个元素，D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据集合中的元素的性质逐一判断可得选项.
4.设集合M满足：若
，则
，且集合Ｍ中所有元素之和
，则集合Ｍ中元素个数为（
??）
A.?22????????????????????????????????????B.?22或23????????????????????????????????????C.?23????????????????????????????????????D.?23或24
【答案】
C
【考点】元素与集合关系的判断，集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】由集合M满足：若
，则
，
得当
时，集合
中两个相异的元素
与
之和为
，
当
时，
，
又因为集合Ｍ中所有元素之和
，
所以
，
集合Ｍ中元素个数为
，
故答案为：C.
【分析】利用已知条件当
时，集合
中两个相异的元素
与
之和为
，当
时，
，即可得出结果.
5.已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为（
??）
A.?1或－1???????????????????????????????B.?1或3???????????????????????????????C.?－1或3???????????????????????????????D.?1，－1或3
【答案】
B
【考点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】因为5∈{1，m＋2，m2＋4}，所以m＋2＝5或m2＋4＝5，即m＝3或m＝±1.当m＝3时，M＝{1，5，13}；当m＝1时，M＝{1，3，5}；当m＝－1时，不满足互异性．所以m的值为3或1.
故答案为：B
【分析】由5∈{1，m+2，m2+4}，得m+2=5或m2+4=5，再由集合中元素的互异性，能求出m的取值集合．
6.直角坐标平面中除去两点
?
可用集合表示为（???
）
A.?
B.?
或
C.?
D.?
【答案】
C
【考点】集合的表示法
【解析】【解答】直角坐标平面中除去两点
、
，其余的点全部在集合中，
选项中除去的是四条线
；
选项中除去的是
或除去
或者同时除去两个点，共有三种情况，不符合题意；
选项
，则
且
，即除去两点
?
，符合题意；
选项
，则任意点
都不能
，即不能同时排除
，
两点．
故答案为：C
【分析】直角坐标平面中除去两点
?
，其余的点全部在集合中，逐一排除法．
7.已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，则实数a的值为（???
）
A.?－2????????????????????????????????????????B.?2????????????????????????????????????????C.?4????????????????????????????????????????D.?2或4
【答案】
A
【考点】元素与集合关系的判断，集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】依题意
，
若
，则
，不满足集合元素的互异性，所以
；
若
，则
或
（舍去），此时
，符合题意；
若
，则
，而
，不满足集合元素的互异性，所以
.
综上所述，
的值为
.
故答案为：A
【分析】根据元素和集合的关系以及集合元素的互异性确定正确选项.
8.设集合S，T，S?N
，T?N
，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：
①对于任意x，y∈S，若x≠y，都有xy∈T；②对于任意x，y∈T，若x＜y，则
∈S；下列命题正确的是（???
）
A.?若S有4个元素，则S∪T有7个元素??????????????????????B.?若S有4个元素，则S∪T有6个元素
C.?若S有3个元素，则S∪T有4个元素??????????????????????D.?若S有3个元素，则S∪T有5个元素
【答案】
A
【考点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】解：取：S＝{1，2，4}，则T＝{2，4，8}，S∪T＝{1，2，4，8}，4个元素，排除C．
S＝{2，4，8}，则T＝{8，16，32}，S∪T＝{2，4，8，16，32}，5个元素，排除D；
S＝{2，4，8，16}则T＝{8，16，32，64，128}，S∪T＝{2，4，8，16，32，64，128}，7个元素，排除B；
故答案为：A．
【分析】利用特殊集合排除选项，推出结果即可．
二、填空题
9.集合
，若集合
中只有一个元素，则由实数
的值组成的集合为________.
【答案】
{0,1}
【考点】集合的表示法
【解析】【解答】当
时，方程
可化为
，解得
，满足题意；
当
时，要使集合
中只有一个元素，
则方程
有两个相等的实数根，
所以
，解得
，此时集合
，满足题意.
综上所述，
或
，即实数
的值组成的集合为{0,1}.
故答案为：{0,1}.
【分析】分
和
两种情况，分别讨论集合
，进而可求出答案.
10.设集合
,集合
有
个元素，且
，若所有可能的
的各个元素之和是
，则
的所有可能值为________.
【答案】
3或4
【考点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】当
时，
，元素和为：
，不符；
当
时，
，每个数字出现
次，元素和为：
，不符；
当
时，
，每个数字出现
次，元素和为：
，符合；
当
时，
，每个数字出现
次，元素和为：
，符合；
当
时，
，每个数字出现
次，元素和为：
，不符合；
综上：
或4.
【分析】分别考虑
，然后得出结论.
11.若
，则
则称
是“对偶关系”集合，若集合
的所有非空子集中是“对偶关系”的集合一共15个，则实数
的取值集合为________
【答案】
{1，-5}
【考点】集合的含义，集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】解：集合
，
，
，0，2，4，6，
的所有的“对偶关系”
有
与6，
与4，2与0，则
与7，
这些组合的“对偶关系”有4对，集合有
个．
那么
，可得
．
当
时，则
，也满足“对偶关系”．
可得实数
的取值集合为{1，-5}．
故答案为：{1，-5}．
【分析】根据定义，列举集合
，
，
，0，2，4，6，
的所有的“对偶关系”的集合，再去考查实数
的取值即可．
12.已知集合
各元素之和等于3，则实数
________.
【答案】
2或
【考点】元素与集合关系的判断，集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】由题意知：
中元素，即为
的解，
∴
或
，可知：
或
∴当
时，
；当
时，
，
∴
或
，
故答案为：2或
【分析】由题意知
中各元素为描述中方程的解，由集合的性质讨论
是否相等即可求实数
.
三、解答题
13.数集M满足条件：若
，则
.
（1）若
，求集合M中一定存在的元素；
（2）集合M内的元素能否只有一个？请说明理由；
（3）请写出集合M中的元素个数的所有可能值，并说明理由.
【答案】
（1）解：由
，令
，则由题意关系式可得：
，
，
，而
，所以集合M中一定存在的元素有：
.
（2）解：不，理由如下：
假设M中只有一个元素a，则由
，化简得
，无解，所以M中不可能只有一个元素.
（3）解：M中的元素个数为
，理由如下：
由已知条件
，以此类推可得集合M中可能出现4个元素分别为：
，由(2)得
，
若
，化简得
，无解，故
；
若
，化简得
，无解，故
；
若
，化简得
，无解，故
；
若
，化简得
，无解，故
；
若
，化简得
，无解，故
；
综上可得：
，所以集合M一定存在的元素有
，当
取不同的值时，集合M中将出现不同组别的4个元素，所以可得出集合M中元素的个数为
.
【考点】元素与集合关系的判断
【解析】【分析】（1）由
，令
，代入已知关系式，循环代入直到再次出现
为止，即可得到集合M中的元素.（2）假设M中只有一个元素a，则
，方程无解，即不可能只有一个.（3）由（1）的方法可得集合M中可能出现4个元素分别为：
，然后分别检验四个元素是否相等，从而得到元素个数的所有可能值.
14.把集合
用列举法表示.
【答案】
解：由题意得：
，
，
，
，
，
，
当
时，
，
；
当
时，
，
；
，
；
当
时，
，
；
，
；
，
.
.
【考点】集合的表示法
【解析】【分析】由已知得出
，直接利用列举法写出结果即可.
15.已知
，且
，求x的值
【答案】
解：当
时，即
或
经检验当
或
时，
，不满足集合中元素的互异性.
当
时，即
或
经检验当
时，
当
时，
综上，
或
【考点】元素与集合关系的判断，集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【分析】分别讨论
，
两种情况结合集合中元素的互异性，求解即可.
16.若集合A={x∈R|ax2
+ax+1=0}其中只有一个元素，求实数a的值
【答案】
由题：当
时，方程ax2
+ax+1=0无解，不合题意，舍去；
当
，方程ax2
+ax+1=0为二次方程，集合A={x∈R|ax2
+ax+1=0}其中只有一个元素，
即
，解得
或
（不合题意，舍去）
所以
，此时
符合题意.
故答案为：
【考点】元素与集合关系的判断
【解析】【分析】此集合为方程ax2
+ax+1=0的解集，分类讨论：方程为一次方程和二次方程分别讨论.
17.设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则
∈A(a≠1)．
求证：
（1）若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
（2）集合A不可能是单元素集．
【答案】
（1）解：若a∈A，则
∈A.
又∵2∈A，∴
＝－1∈A.
∵－1∈A，∴
＝
∈A.
∵
∈A，∴
＝2∈A.
∴A中另外两个元素为－1，
.
（2）解：若A为单元素集，则a＝
，
即a2－a＋1＝0，方程无解．
∴a≠
，∴集合A不可能是单元素集
【考点】元素与集合关系的判断
【解析】【分析】（1）根据集合A满足的条件，将2代入逐一求解，即可求出A中另外两个元素；
（2）采用反证法，假设A为单元素集，得出矛盾，即可证明集合A不可能是单元素集.
18.已知集合M是满足下列性质的函数
的全体：在定义域D内存在
，使得
成立．
（1）函数
是否属于集合M？说明理由；
（2）若函数
属于集合M，试求实数k和b满足的约束条件；
（3）设函数
属于集合M，求实数a的取值范围．
【答案】
（1）解：由
，得
，即
.此方程无实根，函数
不属于集合
（2）解：由
，得
解得
为任意实数；
（3）解：由
，得
，即
整理得
，
有解；
解得
综上
【考点】元素与集合关系的判断
【解析】【分析】（1）根据
?
计算是否存在存在即可判断出?是否属于M；
（2）函数
属于集合M，必满足成立．待定系数法可得实数和满足的约束条件；
（3）函数
属于集合M，必满足成立．即可实数的取值范围。
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一、单选题
1.已知集合
，
的子集，定义
，若集合
，
，则
（???
）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
2.下列说法：
①集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{－1,0,1}；②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}；③方程组
的解集为{x＝1，y＝2}．其中正确的有(??
)
A.?3个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?1个???????????????????????????????????????D.?0个
3.下列说法中正确的是（
??）
A.?联合国所有常任理事国(共5个）组成一个集合
B.?宜丰二中年龄较小的学生组成一个集合
C.?
与
是不同的集合
D.?由
组成的集合有六个元素
4.设集合M满足：若
，且集合Ｍ中所有元素之和
，则集合Ｍ中元素个数为（
??）
A.?22????????????????????????????????????B.?22或23????????????????????????????????????C.?23????????????????????????????????????D.?23或24
5.已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为（
??）
A.?1或－1???????????????????????????????B.?1或3???????????????????????????????C.?－1或3??????????????????????????????D.?1，－1或3
6.直角坐标平面中除去两点
?
可用集合表示为（???
）
A.?
B.?
或
C.?
D.?
7.已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，则实数a的值为（???
）
A.?－2????????????????????????????????????????B.?2????????????????????????????????????????C.?4????????????????????????????????????????D.?2或4
8.设集合S，T，S?N
，T?N
，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：
①对于任意x，y∈S，若x≠y，都有xy∈T；②对于任意x，y∈T，若x＜y，则
∈S；下列命题正确的是（???
）
A.?若S有4个元素，则S∪T有7个元素??????????????????????B.?若S有4个元素，则S∪T有6个元素
C.?若S有3个元素，则S∪T有4个元素??????????????????????D.?若S有3个元素，则S∪T有5个元素
二、填空题
9.集合
，若集合
中只有一个元素，则由实数
的值组成的集合为________.
10.设集合
,集合
有
个元素，且
，若所有可能的
的各个元素之和是
，则
的所有可能值为________.
11.若
，则称
是“对偶关系”集合，若集合
的所有非空子集中是“对偶关系”的集合一共15个，则实数
的取值集合为________
12.已知集合
各元素之和等于3，则实数
________.
三、解答题
13.数集M满足条件：若
，则
.
（1）若
，求集合M中一定存在的元素；
（2）集合M内的元素能否只有一个？请说明理由；
（3）请写出集合M中的元素个数的所有可能值，并说明理由.
14.把集合
用列举法表示.
15.已知
，且
，求x的值
16.若集合A={x∈R|ax2
+ax+1=0}其中只有一个元素，求实数a的值
17.设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则
∈A(a≠1)．
求证：
（1）若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
（2）集合A不可能是单元素集．
18.已知集合M是满足下列性质的函数
的全体：在定义域D内存在
，使得
成立．
（1）函数
是否属于集合M？说明理由；
（2）若函数
属于集合M，试求实数k和b满足的约束条件；
（3）设函数
属于集合M，求实数a的取值范围．
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