华东师大版八年级数学下册课件：19.2.2　菱形的判定（共23张ppt）

(共23张PPT)
第19章
矩形、菱形和正方形
19.2.2　菱形的判定
知识回顾
菱形的定义是什么？性质有哪些？
一组邻边相等
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
平行四边形
菱形
获取新知
定义判定法
根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法：
∵四边形ABCD是平行四边形，
AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形.
几何语言
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
A
B
C
D
菱形的性质
菱形的四条边都相等
菱形的两组对边分别平行
菱形的两条对角线互相平分
边
对角线
角
菱形的两组对角分别相等
菱形的邻角分别互补
菱形的两条对角线互相垂直
菱形的每一条对角线平分一组对角
获取新知
菱形的四条边都相等
四条边都相等的四边形是不是菱形呢？
试一试
如图，作一个四条边都相等的四边形.
步骤:
1.画两条相等的线段AB、AD;
2.分别以点B和点D为圆心、AB长为半径画弧，
两弧相交于点C;
3.连结BC、CD，即得一个四条边都相等的四边形
ABCD.
观察你所画的图形，它是菱形吗？
你还有其他作图方法吗？
C
A
B
D
小刚：分别以A、C为圆心,以大于
AC的长为半径作弧,两条
弧分别相交于点B
,
D,依次连接A、B、C、D四点.
你觉得小刚的做法对吗？为什么？
四条边都相等的四边形是菱形
AB=BC=CD=AD
几何语言：
∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，
∴四边形
ABCD是菱形.
A
B
C
D
菱形ABCD
菱形的判定定理：
四边形ABCD
A
B
C
D
获取新知
判定定理1：四条边相等的四边形是菱形
已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵AB=BC=CD=AD;
∴AB=CD
,
BC=AD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
(有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形)
有三边相等的四边形是菱形吗？
例1
如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是四条边的中点，试问四边形EFGH是什么图形？并说明理由.
分析：
四边形EFGH的四条边分别
属于矩形四个角上的三角形，
如果能够证明这四个三角形
全等，那么就可以利用菱形
的判定定理1，得出四边形EFGH是菱形.
例题讲解
你能说出证明过程吗？
获取新知
菱形的两条对角线互相垂直
这是菱形所特有的性质.你能从对角线的角度得到什么关于菱形判定的猜想？
前面我们用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个平行四边形.那么转动木条,这个平行四边形什么时候变成菱形?对此你有什么猜想？
作一条两条对角线互相垂直的平行四边形.
步骤:
1.作两条互相垂直的直线m、n,记交点为点O;
2.以点
O为圆心、适当长为半径画弧，
在直线
m，n上分别截取相等的
两组线段OA、OC和OB、OD
；
3.连接A、B、C、D四点
，显然，
它是一个对角线互相垂直的平行四边形.
n
m
D
C
B
A
思考：所画平行四边形是菱形吗？
O
试一试
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
AC⊥BD
几何语言：
∵在□ABCD中，AC⊥BD,
∴
□ABCD是菱形.
A
B
C
D
菱形ABCD
A
B
C
D
□ABCD
菱形的判定定理2：
判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O
，AC⊥BD.求证：□ABCD是菱形.
A
B
C
O
D
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴OA=OC.
又∵AC⊥BD,
∴BD是线段AC的垂直平分线.
∴BA=BC.
∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.
例2
如图，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F.
求证：四边形AFCE是菱形.
【分析】要证四边形AFCE是菱形，由已知条件可知
EF⊥AC，所以只需证明四边形AFCE是平行四边形，又
知EF垂直平分AC，所以只需证明OE＝OF.
∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥FC，
∴∠1＝∠2.
∵EF平分AC，∴OA＝OC.
又∵∠AOE＝∠COF＝90°，
∴△AOE≌△COF,
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四
边形是菱形).
证明：
随堂演练
1.
如图,要使?ABCD成为菱形,则需添加的一个条件可以是(　　)
A.
AC=AD
B.
BA=BC
C.
∠ABC=90°
D.
AC=BD
B
2.
下列命题中,正确的是(　　)
A.对角线相等的四边形是菱形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线相等的平行四边形是菱形
D.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D
3.
如图,已知△ABC,AB=AC,将△ABC沿边BC翻折,得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC,则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是(　　)
A.一组邻边相等的平行四边形是菱形
B.四条边相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形
B
4.
如图所示,在?ABCD中,AB=13,AC=10,当BD=　　时,四边形ABCD是菱形.
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5.
如图,在?ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,
AB=5,AC=6,BD=8.
求证:四边形ABCD是菱形.
证明:∵在?ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC=6,BD=8,
∴AO=
AC=3,BO=
BD=4.
∵AB=5,且32+42=52,∴AO2+BO2=AB2,
∴△AOB是直角三角形,且∠AOB=90°,
∴AC⊥BD,∴?ABCD是菱形.
例题讲解
一组邻边相等
对角线互相垂直
四条边相等
五种判定方法
四边形
平行四边形
菱形
菱形的判定方法：