人教版九年级上册 一元二次方程的定义、解法和应用培优讲义

一元二次方程的定义，解法和应用培优讲义
一、主要知识点回顾
1．一元二次方程：只含有
个未知数，并且未知数的最高次数是
，这样的
方程叫一元二次方程，它的一般形式是（a、b、c是已
知数且a≠0），其中ax2叫做
，bx叫做
，a叫做
系
数，b叫做
系数，c叫做
。
2．解一元二次方程的方法
（1）直接开平方法：
如果一元二次方程能化成或的形式，那么可以得
到
。或
的形式，从而通过解一元一次方程
得到一元二次方程的两根。
（2）配方法：先将原方程变为
的形式，再两边直接开平方。
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①化二次项系数为1；
②移项,使方程左边为二次项和一次项,右边为常数项；
③方程两边都加上一次项系数一半的平方；
④把原方程变为的形式；
⑤如果方程右边是非负数，就可以直接用开平方法求出方程的解。
（3）公式法：求根公式为
（
）
（4）因式分解法：
因式分解法的步骤是：
①将方程右边化为0；
②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；
③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。
3．一元二次方程的四种解法的灵活运用：对于方程（a≠0，）
（1）若b＝0，即，则宜用
法解；
（2）若c＝0，即，则宜用
法解；
（3）若b≠0，c≠0，则要准确把握方程的特征，选用适当的解法。
①方程化为标准形式ax2+bx+c＝0（a≠0）后，左边易于因式分解的，用因式分解法。
②若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a＝1、b是偶数，可以考虑用配方法。
③如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的系数是无理数，而且因式分解困难，配方法也很麻烦的，用公式法。
4.关于一元二次方程的解有三种情况：
当
0时，方程有两个不相等的实数解；
当
0时，方程有两个相等的实数解；
当
0时，方程没有实数解
二、典型例题
例1：若3＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是
。
变式练习1：
（1）关于x的方程是一元二次方程，则k＝
。
（2）已知关于x的一元二次方程的一个根是0，则k＝
。
例2：用适当的方法解方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）(x2－3)2－3(x2－3)＋2＝0
变式练习2：用适当的方法解下列方程：
（1）
（2）
（3）
（4）2(x1)2
(x+1)(1x)＝(x+2)2
例3：不解方程，判断方程解的情况：（注意书写的规范性与正确性）
（１）　　　
（２）　　
　（３）
练习：（1）
（2）
例4.解方程x2＝
例5.十字相乘法
用十字相乘法解方程：
(1)x2－8x＋12＝0；
(2)x2＋7x＋12＝0.
（3）2x2－5x－3＝0.
练习：用十字相乘法解方程：
(1)x2－4x－12＝0;
(2)x2＋x－12＝0.
（3）3x2＋2x－1＝0.
例6.一元二次方程,当k为何值时,方程有两个不相等的实数根？
练习：已知关于x的方程x
2
–
2（k
+
1）x
+
k
2
+
2k
–
1
=
0①
求证：对于任意实数k，方程①总有两个不相等的实数根；
三、自我检测
1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（
）。
A．
B．
C．
D．
2．一元二次方程x2＝2x的根是（
）。
A．x＝2
B．x＝0
C．x1＝0，x2＝2
D．x1＝0，x2＝-2
3．一元二次方程x（x2）＝2x的根是（
）。
A．-1
B．2
C．1和2
D．-1和2
4．用配方法解方程时，原方程应变形为（
）。
A．
B．
C．
D．
5．一元二次方程的两根分别为（
）。
A．3，-5
B．-3，-5
C．-3，5
D．3，5
6．已知关于的方程的一个根为，则实数的值为（
）。
A．1
B．-1
C．2
D．-2
7.已知2是关于的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（
）
A.
10
B.
14
C.
10或14
D.
8或10
8．若x＝2是关于x的方程的一个根，则a
的值为
。
9．方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（
）。
A．12
B．12或15
C．15
D．不能确定
10．已知关于x的方程x2+bx+a＝0有一根是-a(a≠0)，则a-b的值为（
）。
A．-1
B．0
C．1
D．2
11．如图5，在□ABCD中，AE⊥BC于E，且a是一元二次方程的根，则□ABCD的周长为（
）。
A．
B．
C．
D．或
12.已知代数式x2＋y2＋1与x2＋y2－1互为倒数，
求x2＋y2的值。
13.若（x2+y2-1）2=9，求x2+y2的值。
14.求证：不论m为何值，解关于x的一元二次方程总有两个不等实数根.
四、课外作业
1．解下列方程：
（1）
（2）
（3）
(8－2x)(6－2x)＝24.
2．方程的解是（
）。
A．，　　
B．，
C．，
D．，
3．方程的解是（
）。
A．
B．
C．或
D．或
4．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（
）。
A．14
B．12
C．12或14
D．以上都不对
5．一元二次方程的一个根为，则另一个根为
。
6．已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x2－8x＋15＝0的根，则该等腰三角形的周长为_____________．
7.已知关于的方程有两个实数根，求的取值范围。
8.已知方程；则①当取什么值时，方程有两个不相等的实数根？
②当取什么值时，方程有两个相等的实数根？③当取什么值时，方程没有实数根？
④当a取什么值时,关于x的方程ax2+4x-1=0有实根?
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