人教版数学九年级上册第22章22.2二次函数与一元二次方程 综合训练（word解析版）

【22.2二次函数与一元二次方程】综合训练
一．选择题
1．抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的两交点间的距离是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．抛物线y＝x2﹣9与x轴交于A、B两点，则A、B两点的距离是（　　）
A．3
B．6
C．9
D．18
3．对于二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝﹣2
C．顶点坐标是（2，1）
D．与x轴有两个交点
4．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）和（3，0），则方程ax2+bx+c＝0的解为（　　）
A．x1＝﹣3，x2＝﹣1
B．x1＝1，x2＝3
C．x1＝﹣1，x2＝3
D．x1＝﹣3，x2＝1
5．若二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c＝0的解为（　　）
A．x1＝﹣3，x2＝﹣1
B．x1＝﹣1，x2＝3
C．x1＝1，x2＝3
D．x1＝﹣3，x2＝1
6．二次函数y＝kx2﹣8x+8的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＜2
B．k＜2且k≠0
C．k≤2
D．k≤2且k≠0
7．如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（　　）
A．2＜x＜3
B．3＜x＜4
C．4＜x＜5
D．5＜x＜6
8．已知抛物线y＝ax2+（2﹣a）x﹣2（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．给出下列结论：
①在a＞0的条件下，无论a取何值，点A是一个定点；
②在a＞0的条件下，无论a取何值，抛物线的对称轴一定位于y轴的左侧；
③y的最小值不大于﹣2；
④若AB＝AC，则．
其中正确的结论有（　　）个．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9．若实数a，b，c，满足a≥b≥c，4a+2b+c＝0且a≠0，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），则线段AB的最大值是（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
10．如图，一段抛物线（0≤x≤4）记为C1，它与x轴交于两点O，A1，将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2，将C2绕A2旋转180得到C3，交x轴于A3，一直进行下去，直至得到C506，则抛物线C506的顶点坐标是（　　）
A．（2020，3）
B．（2020，﹣3）
C．（2022，3）
D．（2022，﹣3）
二．填空题
21．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（a，0），则a2﹣a+2020＝　
　．
22．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0），则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是　
　．
23．抛物线y＝﹣3x2+x+2与x轴交于A，B两点，则AB的长为　
　．
24．抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是　
　．
25．已知函数y＝x2+4x﹣5，当x＝m时，y＞0，则m的取值范围可能是　
　．
三．解答题
31．二次函数y＝x2﹣2x﹣3图象与x轴交于A、B两点，点A在点B左侧，求AB的长．
32．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴负半轴交于点A，正半轴交于点B，OA＝2OB＝4．求抛物线的顶点坐标．
33．已知点A（t，1）为函数y＝ax2+bx+4（a，b为常数，且a≠0）与y＝x图象的交点．
（1）求t；
（2）若函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴只有一个交点，求a，b；
（3）若1≤a≤2，设当≤x≤2时，函数y＝ax2+bx+4的最大值为m，最小值为n，求m﹣n的最小值．
34．已知抛物线y＝x2﹣x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）若P（m，﹣4）为二次函数y＝x2﹣x﹣6图象上一点，求m的值．
35．已知二次函数y＝x2﹣（k+3）x+3k（k为常数）．
（1）求证：无论k为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）当k取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴上方．
参考答案
一．选择题
1．解：当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
所以抛物线与x轴的两交点的坐标为（﹣1，0），（3，0），
所以抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的两交点间的距离为3﹣（﹣1）＝4．
故选：D．
2．解：令y＝0，即x2﹣9＝0，解得x1＝3，x2＝﹣3，
∴A、B两点的坐标为（﹣3，0），（3，0），
∴A、B两点的距离＝3﹣（﹣3）＝6．
故选：B．
3．解：二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象的开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，1），
当y＝0时，3（x﹣2）2+1＝0，此方程没有实数解，所以抛物线与x轴没有交点．
故选：C．
4．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）和（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3．
故选：C．
5．解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
所以方程ax2﹣2ax+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3．
故选：B．
6．解：∵二次函数与y＝kx2﹣8x+8的图象与x轴有交点，
∴△＝b2﹣4ac＝64﹣32k≥0，k≠0，
解得：k≤2且k≠0．
故选：D．
7．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点为（1，﹣4），
∴对称轴为x＝1，
而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是﹣3＜x＜﹣2，
∴右侧交点横坐标的取值范围是4＜x＜5．
故选：C．
8．解：①y＝ax2+（2﹣a）x﹣2＝（x﹣1）（ax+2）．则该抛物线恒过点A（1，0）．故①正确；
②∵y＝ax2+（2﹣a）x﹣2（a＞0）的图象与x轴有2个交点，
∴△＝（2﹣a）2+8a＝（a+2）2＞0，
∴a≠﹣2．
∴该抛物线的对称轴为：x＝＝﹣．无法判定的正负．
故②不一定正确；
③根据抛物线与y轴交于（0，﹣2）可知，y的最小值不大于﹣2，故③正确；
④∵A（1，0），B（﹣，0），C（0，﹣2），
∴当AB＝AC时，＝，
解得
．故④正确．
综上所述，正确的结论有3个．
故选：C．
9．解：AB＝|x1﹣x2|＝＝，
∵4a+2b+c＝0，
∴c＝﹣（4a+2b），
∴AB＝＝＝|4+|，
∵a≥b，
∴当a≥b＞0时，AB有最大值为5．
故选：D．
10．解：当y＝0时，﹣x2+3x＝0，解得x1＝0，x2＝4，
∴A1（4，0），
∵将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2，将C2绕A2旋转180得到C3，
∴A2（4×2，0），A3（4×3，0），
∴A505（4×505，0），A506（4×506，0），即A505（2020，0），A506（2024，0），
∵抛物线C506的开口向上，
∴抛物线C506的解析式为y＝（x﹣2020）（x﹣2024），
∵抛物线的对称轴为直线x＝2022，
当x＝2022时，y＝（2022﹣2020）（2022﹣2024）＝﹣3，
∴抛物线C506的顶点坐标是（2022，﹣3）．
故选：D．
二．填空题
21．解：∵抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（a，0），
∴a2﹣a﹣1＝0，
∴a2﹣a＝1，
∴a2﹣a+2020＝2021，
故答案为：2021．
22．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0），
∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c对应的x的值﹣1或5，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝5，
故答案为：x1＝﹣1，x2＝5．
23．解：当y＝0，则﹣3x2+x+2＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣，
故AB的长为：1+＝．
故答案为：．
24．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0）两点，
∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c，解得x1＝﹣3，x2＝4，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝4，
故答案为：x1＝﹣3，x2＝4．
25．解：当y＝0时，0＝x2+4x﹣5＝（x+5）（x﹣1），解得x1＝﹣5，x2＝1，
∵函数y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9，
∴当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，
∵当x＝m时，y＞0，
∴m的取值范围是m＜﹣5或m＞1，
故答案为：m＜﹣5或m＞1．
三．解答题
31．解：当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
所以A点坐标为（﹣1，0），B点坐标为（3，0），
所以AB的长为3﹣（﹣1）＝4．
32．解：∵OA＝2OB＝4，
∴B（2，0），A（﹣4，0），
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+4）（x﹣2），
即y＝﹣x2﹣2x+8，
∵y＝﹣（x+1）2+9，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，9）．
33．解：（1）把A（t，1）代入y＝x得t＝1；
（2）∵y＝ax2+bx+4的图象与x轴只有一个交点，
∴，
∴或；
（3）把A（1，1）代入y＝ax2+bx+4得，b＝﹣3﹣a，
∴y＝ax2﹣（a+3）x+4＝a（x﹣）2﹣﹣+，
∴对称轴为直线x＝，
∵1≤a≤2，
∴≤x＝≤2，
∵≤x≤2，
∴当x＝时，y＝ax2+bx+4的最大值为m＝﹣+，
当x＝时，n＝﹣﹣+，
∴m﹣n＝，
∵1≤a≤2，
∴当a＝2时，m﹣n的值最小，
即m﹣n的最小值．
34．解：（1）对于y＝x2﹣x﹣6，令y＝x2﹣x﹣6＝0，解得x＝3或﹣2，令x＝0，则y＝﹣6，
故点A、B、C的坐标分别为（3，0）、（﹣2，0）、（0，﹣6）
（2）将点P的坐标代入y＝x2﹣x﹣6得，﹣4＝m2﹣m﹣6，解得m＝2或﹣1．
35．解：（1）∵y＝x2﹣（k+3）x+3k，
∴△＝[﹣（k+3）]2﹣4×3k＝k2﹣6k+9＝（k﹣3）2≥0，
∴无论k为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）当x＝0时，y＝x2﹣（k+3）x+3k＝3k，
∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为3k，
∴当3k＞0，即k＞0时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方．