4.3 对数 同步练习（含解析）

(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
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人教A版（2019）
必修一
4.3.1
对数
一、单选题（本大题共9小题，每小题5分，共45分。）每小题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的，请用2B铅笔在答题卷上将选定的答案代号涂黑。
1.若实数a，b满足
，则
（???
）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?1
2.下列计算正确的是（???
）
A.?????????????B.?????????????C.?????????????D.?
时
3.下列说法正确的是（???
）
A.?若
，则
???????????????????????B.?若
，则
C.?
，则
?????????????????????????D.?若
，则
4.下列各式化简运算结果为1的是：（???
）
A.?????????B.?????????C.?????????D.?
5.计算：
（???
）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????????????C.?5???????????????????????????????????????????D.?7
6.
（???
）
A.???????????????????????????????????????????B.?6??????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?9
7.已知log43＝p，log325＝q，则lg5＝（???
）
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
8.若
，则a+b的最小值是（???
）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
9.计算:
(???
)
A.?1???????????????????????????????????B.?-1???????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
二、填空题（共10小题，每小题5分，共50分）
10.计算:
________.
11.已知
，
，则
________.（用a，b表示）
12.若
；则
________.
13.若
，则
________.
14.若
,则
=________,
=________.
15.方程
的解为________.
16.若
则
________.
17.已知
用
表示
和
分别为________
18.已知
是不为1的正数，且
，则
的值为________
19.若
则
的值为________
三、解答题（本大题有4小题，共45分，各小题都必须写出解答过程）
20.??
（1）证明对数换底公式：
（其中
且
，
且
，
）
（2）已知
，试用m表示
.
21.计算:
.
22.求值：
（1）
；
（2）已知
，
，求
的值．
23.一种药在病人血液中的量保持在
以上，才有疗效；而低于
，病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药
，如果药在血液中以每小时
的比例衰减，那么应在什么时候范围再向病人的血液补充这种药？（精确到
）（参考数据：
，
，
）
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
D
【解析】因为
，所以
，
．
故答案为：D．
【分析】先将指数式化成对数式，求出
，再利用换底公式的推论
以及对数的运算法则即可求出．
2.【答案】
C
【解析】
，A不符合题意；
，B不符合题意；
，C符合题意；
当
时，
，D不符合题意.
故答案为：C
【分析】直接利用指数式、对数式的运算性质计算即可.
3.【答案】
B
【解析】A.
若
，则
，当
时不成立，错误；
B.
若
，则
，正确；
C.
，则
，
也成立，错误；
D.
若
，则
，当
不成立，错误；
故答案为：B
【分析】依次判断每个选项：当
时不成立，
错误；
正确；
也成立，
错误；当
不成立，
错误；得到答案.
4.【答案】
A
【解析】A.
，故正确；
B.
，故错误；???
C.
，故错误；
D.
，故错误
故答案为：A
【分析】直接利用对数的运算性质和运算法则求解.
5.【答案】
C
【解析】根据对数运算及指数幂运算,化简可得
故答案为：C
【分析】由对数的运算性质,结合零次幂的值,即可求得算式的值.
6.【答案】
B
【解析】
故答案为：B
【分析】根据指数运算法则以及对数运算法则求解即可.
7.【答案】
D
【解析】解：（换底公式）
，
∴
，
故答案为：D．
【分析】计算
,利用对数换底公式、对数运算性质变形，化为
的式子后可得
.
8.【答案】
A
【解析】
，
，即
，
由基本不等式得
，
当且仅当
时，等号成立，
因此，a+b的最小值是
.
故答案为：A.
【分析】利用换底公式得出
，可得?
，将a+b与
相乘，展开后利用基本不等式，即可求出a+b的最小值.
9.【答案】
B
【解析】
则
?
故答案为：B.
【分析】根据
,化简
即可求得答案.
二、填空题
10.【答案】
0
【解析】解:
原式
.
故答案为：0
【分析】根据指数式对数式恒等式、对数的定义和性质直接计算即可.
11.【答案】
1+b-a
【解析】
．
故答案为：
．
【分析】由对数运算法则求解．
12.【答案】
4
【解析】因为
.故
,即
.
由对数函数定义域有
,故
.
故答案为：4
【分析】利用换底公式化成同底的对数方程求解即可.
13.【答案】
【解析】
，则
故答案为：
【分析】利用对数指数运算法则计算得到答案.
14.【答案】
1；0
【解析】①由题：
,
则
；
②由①可得：
.
故答案为：1；0
【分析】①根据换底公式计算即可得解；②根据同底对数加法法则，结合①的结果即可求解.
15.【答案】
【解析】解：
，∴指数式化为对数式得：
，
故答案为：
．
【分析】把指数式化为对数式即可求出方程的解．
16.【答案】
【解析】
根据指数与对数之间的关系可得:
故答案为:
.
【分析】根据指数与对数之间的关系,求出
,利用对数的换底公式,即可求得答案.
17.【答案】
1-a或2-a
【解析】因为
，
所以
，
，
故答案为：1-a或2-a
【分析】根据对数的运算求解即可.
18.【答案】
【解析】由
，
可得
，
，
，
．
故答案为：
【分析】根据对数运算公式，可以将
转化，得到
，
，
的等量关系，将此等量关系代入所求式子即可解决．
19.【答案】
1
【解析】由题意可得，
，
，
∵
故答案为：1
【分析】将指数式化为对数式得
，
，代入可得，
，根据换底公式可求值.
三、解答题
20.【答案】
（1）解：设
，写成指数式
.
两边取以
为底的对数，得
.
因为
，
，
，因此上式两边可除以
，得
.
所以，
（2）解：
【分析】（1）将对数式转化为指数式，然后两边取对数，利用对数函数的应算法则，即可证明.（2）利用换底公式将等号左边化为以3为底的对数，然后根据对数运算法则化简即得.
21.【答案】
解：(方法一)原式
.
(方法二)原式
=13
【分析】利用对数运算公式，化简求得所求表达式的值.
22.【答案】
（1）解：原式
（2）解：原式
【分析】（1）利用指数、对数的运算律和对数的换底公式可计算出所求代数式的值；（2）利用立方和公式得出
，结合
可求出所求代数式的值.
23.【答案】
解：设应在病人注射这种药
小时后再向病人的血液补充这种药，
依题意，可得
，
整理，得
，
∴
，
∴
，
同理得
，
解得：
，
答：应在用药
小时后及
小时前再向病人的血液补充药．
【分析】先设未知数，再根据题意列出不等式，整理得指数不等式，再利用指数函数的单调性、指对关系，、换底公式和对数的运算性质，以及条件进行求解．
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